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课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　
数系的扩充和复数的概念
素养目标 思维导图
1.在问题情境中了解数系的扩充过,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、求根)在数系扩充过中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.(数学抽象) 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.(数学抽象)
课前自主学习
问题1.我们知道,x2+1=0在实数集中无解.那能否类比从自然数集到实数集的扩充过,通过引进新数而使实数集得到扩充,从而使这个有解吗
提示:为了解决x2+1=0这样的在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i,使得x=i是x2+1=0的解,即使得i2=-1.
问题2.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零
提示:当且仅当a=b=0时表示零.
(2)实数集R与复数集C有什么关系
提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即R C.
用图形语言描述:
问题3.由3>2能否推出3+i>2+i 两个实数能比较大小,那么两个复数一定能比较大
小吗
提示:由3>2不能推出3+i>2+i,当两个复数都是实数时,可以比较大小,当两个复数
不是实数时,不能比较大小.
【核心概念】
1.数系的扩充与复数的概念
(1)复数的定义
形如_____________的数叫做复数,其中i叫做__________,满足i2 = ____,体复数所
构成的集合C叫做________.
虚数单位
-1
复数集
a+bi(a,b∈R)
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=_____________,这一表示形式叫做复数的__________,
a与b分别叫做复数z的______与______.
(3)复数相等
设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di __________.
2.复数的分类与数系表
a+bi(a,b∈R)
代数形式
实部
虚部
a=c且b=d
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探究点一　复数的有关概念与表示
【典例1】(1)下列四种说法正确的是(　　)
A.如果实数a=b,那么a-b+(a+b)i是纯虚数
B.实数是复数
C.如果a=0,那么z=a+bi是纯虚数
D.任何数的偶数次幂都不小于零
【思维导引】根据复数的概念及分类,逐项判定,即可求解.
【解析】选B.对A,当a=b=0时,则a-b+(a+b)i是实数,故A错误;
对B,根据复数定义可知,故B正确;
对C,如果a=b=0,那么z=a+bi是实数,故C错误;对D,虚数i2=-1,故D错误.
√
(2)复数z=(2-)i的虚部为(　　)
A.2 B.-　
C.2- D.(2-)i
【思维导引】根据复数虚部的知识求得正确答案.
【解析】选C.依题意,复数z=(2-)i的虚部为2-.
√
【类题通法】
判断与复数有关的命题是否正确的策
(1)复数的代数形式:
若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
【定向训练】
1.下列复数中,满足x2+2=0的是(　　)
A.±1 B.±i
C.±i D.±2i
【解析】选C.因为x2=-2=2i2,所以x=±i.
2.设i是虚数单位,若复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,则实数a= (　　)
A.5 B.-5 C.3 D.-3
【解析】选A.因为复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,所以3+2a=-(2-3a),解得a=5.
√
√
探究点二　复数的分类与参数问题
【典例2】(一题多问)
已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),解决下列问题.
(1)若复数z是实数,求实数a的值;
(2)若复数z是虚数,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a使复数z是纯虚数 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由;
(4)是否存在实数a使z=+(a2-5a-6)i>0 若存在,求出实数a的值或范围;若不存在,请说明理由.
【问题解读】(1)由复数的分类可得
;
(2)由复数的分类可得;
(3)根据纯虚数的概念即得;
(4)复数不能比较大小,能比较大小的是实数.
【解析】(1)若复数z是实数,
则
即所以a=6;
(2)若复数z是虚数,
则即
所以实数a的取值范围为{a|a≠±1,a≠6};
(3)不存在实数a使z是纯虚数.理由如下:
若复数z是纯虚数,则即此时无解,
故复数z不是纯虚数.
(4)因为虚数不能比较大小,能比较大小的是实数.
故若存在实数a使z=+(a2-5a-6)i>0,则得复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R)为实数,由问题(1)知a=6时z为实数,而当a=6时,z为0,不符合z>0,所以不存在实数a满足题意.
【题后反思】只有实数才能比较大小,若一复数能比较大小,则该复数必为实数.
【类题通法】
解决复数分类问题的法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的(不等式)组即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数 b=0;②z为虚数 b≠0;③z为纯虚数 a=0且b≠0.
【定向训练】
1.已知a,b∈R,“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.充分性:当b≠0时,显然a+bi为虚数,则“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的充分条件;必要性:复数a+bi为虚数,则必定b≠0,则“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的必要条件,综上所述,“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的充要条件.
√
2.(2025·扬州高一检测)已知复数z=(m2-m-6)+(m2-4)i.(其中i为虚数单位,m为实数)
(1)若z为纯虚数,求m的值;
(2)若z<0,求m的值.
【解析】(1)若z为纯虚数,则m2-m-6=0且m2-4≠0,所以m=3.
(2)若z<0,则m2-m-6<0且m2-4=0,所以m=2.
探究点三　复数相等及其应用
【典例3】(1)(2022·国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
(2)①已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求x,y的值;
②若z1=3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数n,m的值分别为多少
【思维导引】(1)根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值.
(2)利用复数相等直接列式计算作答.
√
【解析】(1)选A.因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.
(2)①因为x,y∈R,2x-1+(y+1)i=x-y+
(-x-y)i,所以
解得所以
②由已知得
解得或
【类题通法】
复数相等问题的解题技巧
(1)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(2)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则两个复数不能比较大小.
【定向训练】
1.已知复数z=x+yi(x,y∈R),且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i,则z=　　　　　.
【解析】由题知,复数z=x+yi(x,y∈R),且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i,
因为2x+y+i·log2x-8=2x+y-8+log2x·i=(1-log2y)i,
所以,即,
解得或,所以z=1+2i或z=2+i.
答案:1+2i或2+i
2.求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y∈R.
【解析】由复数相等的充要条件可知,
解得
课堂学业达标
1.已知复数z=-i,则z的虚部为(　　)
A.1 B.i C.-1 D.-i
【解析】选C.复数z=-i的虚部为-1.
√
2.给出下列命题:
①若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则实数a=±1;
②1+i2是虚数;
③复数m+ni的实部一定是m.
其中真命题的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则a2-1=0且a2+3a+2≠0,解得a=1,所以①错误;1+i2=1-1=0是实数,所以②错误;复数中m,n未指明是实数,故③错误.
√
3.已知x是x2=-1的解,则1+x= (　　)
A.1+i B.1-i C.1±i D.0
【解析】选C.由x2=-1,可知x=±i,
所以1+x=1±i.
√
4.若复数z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,当实数m为何值时,
(1)z是实数
(2)z是纯虚数
【解析】(1)由题意可得m2-m-2=0,
解得m=-1或2.
(2)由题意可得:m2+m-6=0,且m2-m-2≠0,
所以m=2或-3,且m≠-1且m≠2,
所以m=-3.第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
素养目标 思维导图
1.在问题情境中了解数系的扩充过,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、求根)在数系扩充过中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.(数学抽象) 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.(数学抽象)
课前自主学习
问题1.我们知道,x2+1=0在实数集中无解.那能否类比从自然数集到实数集的扩充过,通过引进新数而使实数集得到扩充,从而使这个有解吗
提示:为了解决x2+1=0这样的在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i,使得x=i是x2+1=0的解,即使得i2=-1.
问题2.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零
提示:当且仅当a=b=0时表示零.
(2)实数集R与复数集C有什么关系
提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即R C.
用图形语言描述:
问题3.由3>2能否推出3+i>2+i 两个实数能比较大小,那么两个复数一定能比较大小吗
提示:由3>2不能推出3+i>2+i,当两个复数都是实数时,可以比较大小,当两个复数不是实数时,不能比较大小.
【核心概念】
1.数系的扩充与复数的概念
(1)复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1,体复数所构成的集合C叫做复数集.
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(3)复数相等
设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di a=c且b=d.
2.复数的分类与数系表
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探究点一　复数的有关概念与表示
【典例1】(1)下列四种说法正确的是(　　)
A.如果实数a=b,那么a-b+(a+b)i是纯虚数
B.实数是复数
C.如果a=0,那么z=a+bi是纯虚数
D.任何数的偶数次幂都不小于零
【思维导引】根据复数的概念及分类,逐项判定,即可求解.
【解析】选B.对A,当a=b=0时,则a-b+(a+b)i是实数,故A错误;
对B,根据复数定义可知,故B正确;
对C,如果a=b=0,那么z=a+bi是实数,故C错误;对D,虚数i2=-1,故D错误.
(2)复数z=(2-)i的虚部为(　　)
A.2 B.-　
C.2- D.(2-)i
【思维导引】根据复数虚部的知识求得正确答案.
【解析】选C.依题意,复数z=(2-)i的虚部为2-.
【类题通法】
判断与复数有关的命题是否正确的策
(1)复数的代数形式:
若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
【定向训练】
1.下列复数中,满足x2+2=0的是(　　)
A.±1 B.±i
C.±i D.±2i
【解析】选C.因为x2=-2=2i2,所以x=±i.
2.设i是虚数单位,若复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,则实数a= (　　)
A.5 B.-5
C.3 D.-3
【解析】选A.因为复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,所以3+2a=-(2-3a),解得a=5.
探究点二　复数的分类与参数问题
【典例2】(一题多问)
已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),解决下列问题.
(1)若复数z是实数,求实数a的值;
(2)若复数z是虚数,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a使复数z是纯虚数 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由;
(4)是否存在实数a使z=+(a2-5a-6)i>0 若存在,求出实数a的值或范围;若不存在,请说明理由.
【问题解读】(1)由复数的分类可得
;
(2)由复数的分类可得;
(3)根据纯虚数的概念即得;
(4)复数不能比较大小,能比较大小的是实数.
【解析】(1)若复数z是实数,
则
即所以a=6;
(2)若复数z是虚数,
则即
所以实数a的取值范围为{a|a≠±1,a≠6};
(3)不存在实数a使z是纯虚数.理由如下:
若复数z是纯虚数,则
即此时无解,
故复数z不是纯虚数.
(4)因为虚数不能比较大小,能比较大小的是实数.
故若存在实数a使z=+(a2-5a-6)i>0,则得复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R)为实数,由问题(1)知a=6时z为实数,而当a=6时,z为0,不符合z>0,所以不存在实数a满足题意.
【题后反思】只有实数才能比较大小,若一复数能比较大小,则该复数必为实数.
【类题通法】
解决复数分类问题的法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的(不等式)组即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数 b=0;②z为虚数 b≠0;③z为纯虚数 a=0且b≠0.
【定向训练】
1.已知a,b∈R,“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.充分性:当b≠0时,显然a+bi为虚数,则“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的充分条件;必要性:复数a+bi为虚数,则必定b≠0,则“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的必要条件,综上所述,“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的充要条件.
2.(2025·扬州高一检测)已知复数z=(m2-m-6)+(m2-4)i.(其中i为虚数单位,m为实数)
(1)若z为纯虚数,求m的值;
(2)若z<0,求m的值.
【解析】(1)若z为纯虚数,则m2-m-6=0且m2-4≠0,所以m=3.
(2)若z<0,则m2-m-6<0且m2-4=0,所以m=2.
探究点三　复数相等及其应用
【典例3】(1)(2022·国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
(2)①已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求x,y的值;
②若z1=3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数n,m的值分别为多少
【思维导引】(1)根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值.
(2)利用复数相等直接列式计算作答.
【解析】(1)选A.因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.
(2)①因为x,y∈R,2x-1+(y+1)i=x-y+
(-x-y)i,所以
解得所以
②由已知得
解得或
【类题通法】
复数相等问题的解题技巧
(1)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(2)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则两个复数不能比较大小.
【定向训练】
1.已知复数z=x+yi(x,y∈R),且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i,则z=　　　　　.
【解析】由题知,复数z=x+yi(x,y∈R),且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i,
因为2x+y+i·log2x-8=2x+y-8+log2x·i=(1-log2y)i,
所以,
即,
解得或,所以z=1+2i或z=2+i.
答案:1+2i或2+i
2.求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y∈R.
【解析】由复数相等的充要条件可知,
解得
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1.已知复数z=-i,则z的虚部为(　　)
A.1 B.i C.-1 D.-i
【解析】选C.复数z=-i的虚部为-1.
2.给出下列命题:
①若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则实数a=±1;
②1+i2是虚数;
③复数m+ni的实部一定是m.
其中真命题的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则a2-1=0且a2+3a+2≠0,解得a=1,所以①错误;1+i2=1-1=0是实数,所以②错误;复数中m,n未指明是实数,故③错误.
3.已知x是x2=-1的解,则1+x= (　　)
A.1+i B.1-i C.1±i D.0
【解析】选C.由x2=-1,可知x=±i,
所以1+x=1±i.
4.若复数z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,当实数m为何值时,
(1)z是实数
(2)z是纯虚数
【解析】(1)由题意可得m2-m-2=0,
解得m=-1或2.
(2)由题意可得:m2+m-6=0,且m2-m-2≠0,
所以m=2或-3,且m≠-1且m≠2,
所以m=-3.
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