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第一章　三角形的证明
一、课标摘录
1.探索并证明三角形内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
2.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
3.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
5.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
6.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
7.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
8.能用尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形。
9.了解原命题及逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
二、教材分析
本章的内容主要包括：三角形内角和定理、多边形的内角和与外角和、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、直角三角形的判定、线段的垂直平分线的性质和判定、角平分线的性质定理及其逆定理、反证法以及应用本章的知识证明或者解决有关的实际问题。
本章是平行线的证明的继续，在“平行线的证明”中，给出了一些基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论，运用这些基本事实和己经学习的定理我们还可以证明有关三角形的一些结论，三角形的证明是中考的必考内容，考查方式以填空题、选择题和中档解答题为主，主要考查等腰三角形、直角三角形中的角度问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系。另外，利用线段的垂直平分线、角平分线的性质作图也是常见的题型。
三、教学目标
1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展推理能力。
2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，掌握 综合法的证明方法；结合实例体会反证法的含义。
3.证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理。
4.证明判定三角形全等的“角角边”定理；探索并掌握定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
6.已知底边及底边上的高线，能用尺规作出等腰三角形；已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形；能用尺规过一点作已知直线的垂线。
7.发展勇于质疑，严谨求实的科学态度。
四、教学重难点
重点: 等腰三角形内角和定理，等腰（边）三角形的性质和判定；直角三角形的性质和判定；角平分线、线段垂直平分线的性质定理和逆定理；反证法。
难点: 用严谨的几何语言进行推理证明。
本章知识结构
1 三角形内角和定理
第1课时　三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质
教学设计
课标摘录 1.探索并证明三角形内角和定理。 2.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
教学目标 1.理解三角形内角和定理及其证明过程，感悟具有传递性的数学逻辑，提升推理能力。 2.能灵活运用该定理解决简单的与三角形有关的角的计算和证明问题，能规范的书写简单的推理过程。 3.经历添加辅助线将三角形三个内角转化为平角或平行线间同旁内角的过程,体会转化思想.
教学重难点 重点:三角形内角和定理的证明及其应用。 难点:如何添加辅助线证明三角形内角和定理。
教学策略 本节课采用引导探究、独立思考、合作交流、分组展示相结合的教学方法。兼顾探索与证明，在探索中引导学生发现证明的方法与思路。通过探索活动发展合情推理能力，经历证明过程发展演绎推理能力。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 假如你是小法官的话，你觉得它们谁说得有道理呢？ 直角三角形：我的形状最大，那我的内角和最大. 钝角三角形：不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 锐角三角形：难道说我的形状最小，我的内角和就最小吗？ 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 你还记得我们是怎样发现这个结论的吗？
新知初探 探究一 三角形内角和定理　 活动1 尝试·交流 请大家用准备好的三角形纸片进行探究。（小组合作交流并派出代表分享探究结果） 根据学生的分享，教师总结学生的探究方法 教师提出三角形有无数多个，我们无法通过以上的操作过程对它们一一进行验证，并且我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行严格的推理论证.这就是我们这节课所要研究的内容. 对于文字命题，首先画出一般图形，分析命题的条件和结论,写出“已知”、“求证”。 证明:三角形三个内角的和等于180°. 已知：△ABC， 求证：∠A+∠B+∠C＝180°. 思考：从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA． ∵ CE∥BA， ∴ ∠A=∠ACE ,∠B=∠DCE . 又∵∠ACE+∠DCE+∠ACB=180°， ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°. 活动2 思考·交流 (1) 如图：在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使 P Q ∥B C ，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？ (2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗？与 同伴进行交流。 结论： 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° 活动3 即时评价一 1.想一想，△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？ 2.（1）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角． （2）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角． 任务一　意图说明 在分享多种方法之后，对比不同的方法，发现解决这一问题的核心原则：都是通过作平行线将三个内角转化为一个平角或平行线间的同旁内角，从而证明结论。通过比较方法的异同,体会不同方法的统一性，提高推理论证的水平。　
探究二 典型例题　 活动1 例1如图，在 ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是 ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）。 ∵∠B=38°,∠C=62°, ∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40° 在△ADB中， ∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）。 ∵∠B=38°,∠BAD=40°, ∴ ∠ADB=180°-38°-40°=102°. 活动2 即时评价二 3.如图所示,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 第3题 第4题 4.如图所示,把△ABC的一角折叠,若∠1+∠2=130°,则∠A的度数为　 ． 5.在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则(　　) A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45° C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90° 任务二　意图说明 在得到三角形内角和定理后，通过简单应用加以巩固。在解决问题时引导学生将题目中的信息清晰的标注到图形中，并思考：根据这些信息可以得到哪些结论？从而培养学生分析问题、解决问题的能力。同时规范书写过程，力求做到步步有据。　　
探究三 全等三角形的判定和性质 活动1 结论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 问题：你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗 学生回答：证明一个命题的一般步骤: (1)弄清条件和结论； (2)画出相应的图形； (3)写出已知和求证； (4)证明过程. 已知：△ABC与△DEF，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 分析:利用三角形内角和定理将本题中“角角边”的关系转化为“角边角”的关系 证明两个三角形全等. 证明: ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180° ∴∠C=180°－(∠A+∠B)， ∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代换）. 在△ABC和△DEF中， ∵∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F . ∴ △ABC≌△ DEF（ASA）. 归纳：全等三角形的判定和性质 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS) 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 任务三　意图说明 通过这个环节的内容，三角形全等的研究就完整经历了“观察-操作-猜想-证明”的过程。为我们探究三角形的特例等腰三角形做好知识和方法的准备。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 (
第1课时 三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质
1.三角形内角和定理 2. 三角形内角和定理的应用
三角形三个内角的和等于180
°
例1
3.全等三角的判定和性质
)
教学反思 三角形的内角和定理是研究三角形的角的关系、求解与三角形有关的角的大小的重要依据,也是平行线的性质定理和判定定理的重要应用.学生学习的难点是证明三角形的内角和定理,学生往往无从下手.教师以介绍证明思路,培养学生的推理证明能力为主,让学生了解可以通过添加辅助线解决问题,知道一个问题有多种解决的办法.
第2课时　三角形的外角
教学设计
课标摘录 1.掌握三角内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
教学目标 1.掌握三角形外角的定义和外角的两条性质. 2.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题. 3.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．
教学重难点 重点:了解并掌握三角形的外角的定义。 难点:掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。
教学策略 引导学生通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养学生主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯，培养学生的论证能力。在体验一题多变、一题多解得过程中发散思维拓宽学生的解题思路，提高空间想象能力，从而使他们灵活应用所学知识
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 甲乙丙三名同学玩游戏，发现甲同学在O处后，乙同学打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住甲同学到终点E的去路，丙同学则直接在A处追赶甲同学，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.乙同学从C处要转多少度角才能直达B处？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 思考：像∠BCD这样的角叫做三角形的什么角 它又有怎样的性质呢？ 这就是我们这节课要探究的内容。
新知初探 探究一 三角形外角的定义 活动1 如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角. 问题1：如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ 答案提示：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2：如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 答案提示：∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角. 画一画：画出△ABC的所有外角，共有几个呢 如图 每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 总结：三角形的外角应具备的条件 ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角，每一个三角形都有6个外角． 问题3：如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ 答案提示：∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 任务一　意图说明 通过设置学生熟悉的数学问题，引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣，让学生不知不觉中进入思考。　
探究二　三角形外角的性质 活动1思考·交流 ∠1 与△ABC的三个内角之间有什么关系？ 答案提示：∠1与∠2互补 ∠1+∠2=180°(平角的定义). ∠1=∠A+∠B ∠1 ＞ ∠A ， ∠1＞ ∠B 你能证明此结论吗？ 如图，∠1+∠2=180°（平角的定义）， ∠A+∠2+∠B=180°（三角形内角和定理）， 所以∠1= ∠A+∠B（等量代换）. 所以∠1＞∠A，∠1＞∠B. 归纳总结： 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：∵ ∠1 是△ABC 的外角 ∴ ∠1=∠B+∠C 定理：三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角. 符号语言：∵ ∠1 是△ABC 的外角 ∴ ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C 在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理. 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用. 任务二　意图说明 　　推理证明形成产生过程实际上就是思维发展提升的过程，会通过交流提升自己的表达能力，反思能力等等这些看似无形实则会使学生的数学能力在逐步提升。
探究三　三角形外角性质的应用 活动1如图,在△ABC中,∠B= ∠C,AD平分外角∠EAC.求证:AD∥ BC. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C=∠EAC (等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥ BC(内错角相等,两直线平行). 想一想： 对于例2还有其他证明方法吗？ 证法二:推理可得:∠DAC=∠C (已证), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴∠BAC+∠B+∠DAC =180°(等量代换). ∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 活动2 例3.如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC，∠B=∠C. 求证: ∠BPC＞∠A. 证明: 如图，延长BP，交AC于点D. ∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义), ∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角定义), ∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPC>∠A.（不等式的性质） 还有其他证明方法吗？ 如图，点P是△ABC内的一点，连接BP和CP. 证明∠BPC﹥∠A． 证明: 如图 ∵∠BPD是△ABP的一个外角(外角定义), ∴∠BPD>∠BAP(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∵∠DPC是△PAC的一个外角(外角定义), ∴∠DPC>∠PAC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴ ∠BPD+∠DPC> ∠BAP+ ∠PAC.（不等式的性质） 即∠BPC﹥∠A 任务三　意图说明 通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理及推论.教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性
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板书设计 (
第2课时 三角形的外角
三角形外角的定义 3.三角形外角性质的应用
2.三角形外角的性质
)
教学反思 本节课力图让每个同学在课堂中都有不同的收获，通过一题多解、小组讨论积分、修改“例题过程”、猜想证明等过程，使学生在证明过程中信心更足。 其中在对例题进行分析时，对其进行修改或者增加变成另外一种方法进行证明，大部分同学能认真进行阅读模仿、修改，对规范自己的证明步骤起到了很好的作用。另外，小组讨论如何验证推论“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的时候，出现了有同学说出了在三角形的一个顶点利用作平行线的方法进行推理证明，虽然表述不清，但是引起了其他同学的思考，同三角形内角和定理的证明方法很好的联系起来了，效果不错。但在推论应用的环节，增加的一个猜想，可能是问题还不够清楚，也或者是从不等关系到数量关系过渡有些快，部分学生一开始不知道从哪些角下手，不过经过提示后思路豁然开朗。推理证明本就是一个严谨的逻辑思维的展示，需要学生不断的尝试，最终达到一个较好的结果。
第3课时 多边形的内角和
教学设计
课标摘录 1.探索并掌握多边形内角和公式。
教学目标 1.掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想 2.经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法． 3.让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．
教学重难点 重点:多边形内角和定理的探索和应用。 难点:多边形定义的理解；多边形内角和公式的推导；转化的数学思维方法的渗透。
教学策略 在多边形内角和教学中，可从学生熟悉的三角形、四边形内角和入手，通过实物演示或动态画图，引导学生观察图形分割过程。比如让学生尝试把五边形、六边形分割成若干个三角形，记录三角形个数与多边形边数的关系，进而自主发现规律。结合小组讨论，鼓励学生分享不同分割方法，分析哪种更易推导公式。再用多个不同边数的多边形验证公式，强化理解。最后设计生活化问题，如计算不规则多边形零件内角和，让学生体会知识应用，逐步构建从具体到抽象的认知过程。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼。 提出问题：上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？ 要想解决此问题，就要用到本节课所学的内容-----多边形的内角和。
新知初探 探究一 多边形内角和　 活动1 三角形的内角和是180 ，你根据三角形的内角和，你能否求出五边形的内角和呢？ (
①
)教师引导学生用多种方法探究五边形内角和。 方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为:3×180 =540 (
②
) 方法2：如图2，在AB上任取点F，连FC、FD、FE，则五边形的内角和为：4×180-180 =540 (
③
) 方法3：如图3，在五边开外任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为： (
④
) 4×180 -180 =540° 方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、 OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：5×180 -360 =540° 活动2 小组合作，完成下面的表格： 活动3归纳小结： 从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形,从而得出：n 边形的内角和是(n-2)·180°。 定理：n边形的内角和等于(n-2)·180° 强调：① n≥3的正整数； ②n边形的内角和是180的整数倍； ③多边形内角和只与边数有关，与多边形的大小，形状无关。 任务一　意图说明 通过探究活动，使同学们从探索一般的四边形内角和到五边形、六边形、七边形……n边形内角和的探究，切身经历把复杂问题简单化和由特殊到一般的数学方法，体会类比、归纳、转化的数学思想，学有用的数学。顺理成章地引出多边形的内角和公式：(n-2) ·180°　
探究二 典例精析　 活动1例1、如图，在四边形ABCD中，已知∠A+∠C=180 ， 那么∠B与∠D有什么关系？为什么？ 解：∵ ∠A+∠B +∠C+∠D =（4-2）×180 = 360° ∴ ∠B +∠D =360 -（∠A+∠C） =360 -180° =180 说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补． 活动2 操作·思考 问题1：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？ 答案提示：60°，90°，108°，120°，135°。 问题2：怎样计算正多边形每个内角的度数？ 答案提示： 活动3 思考·交流 1.如图，有一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 = 。 2.工人师傅将一个长方形的桌面用锯子锯掉一个角，还剩几个角？剩下残余桌面所有的内角和是多少？ 活动4：随堂练习 1.一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是(　C　) A.4 B.5 C.6 D.7 2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 (　A　) A.增加180° B.增加360° C.减少360° D.不变 3．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（　B　） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 4.在一个多边形中，除其中一个内角外，其余内角的和为1105°，则这个多边形的边数为 　 9 　． 5.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1260°，则原多边形的边数是为 8或9或10　 ． 任务二　意图说明 通过实际问题巩固知识，体会数学与生活的联系。从已知边数求内角和，到已知内角和求边数，再到解决图形分割、角度计算等综合问题，逐步提升应用能力。通过变式练习，引导学生灵活运用 (n-2)×180° 公式，培养逆向思维与逻辑推理能力。同时，结合生活中多边形物体的角度计算，让学生感受知识的实用性，增强应用意识，为后续更复杂的几何问题解决奠定基础。　　
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课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 (
第3课时 多边形的内角和
1.多边形内角和 2.例1
(n-2)·180° 3.正多边形每个内角度数
)
教学反思 本次多边形内角和教学，以三角形内角和为基础，引导学生通过分割多边形为三角形的方法推导公式。从四边形开始，让学生尝试连接对角线，发现可分成两个三角形，进而类推五边形、六边形的情况，逐步归纳出 (n-2)×180° 的公式。但教学中，部分学生对 “从一个顶点出发分割” 的理解不到位，出现重复或遗漏三角形的情况；对 n 的含义（边数）与公式的关联掌握不牢。后续需加强直观演示，结合图形强调分割规律，增加不同多边形的练习，让学生在应用中深化对公式的理解，同时关注个体差异，及时辅导理解较慢的学生。
第4课时 多边形的外角和
教学设计
课标摘录 1.了解多边形的外角概念；探索并掌握多边形与外角和公式。
教学目标 1.理解并掌握多边形的外角和定理，且能够证明它. 2.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题. 3.经历多边形的外角和定理的探究过程，进一步体会转化的数学思想.
教学重难点 重点:多边形外角和定理的探索和应用。 难点:灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透。
教学策略 多边形外角和教学，可从学生熟悉的三角形、四边形入手，先让学生测量具体图形的外角和，引发 “是否存在固定值” 的猜想。接着引导学生结合内角和公式推导：以 n 边形为例，每个顶点内外角和为 180°，n 个顶点总和为 180°n，减去内角和 (n-2)×180°，得出外角和 360°。过程中借助几何画板动态演示，让学生直观看到边数变化时外角和不变，强化认知。设计阶梯式练习，从直接应用公式求外角，到结合内角关系解题，再到联系生活实例（如正多边形地砖拼接），让学生在推导、观察、应用中理解外角和的特殊性，突破 “边数影响和” 的思维定式。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 如图，小刚在公园沿一个五边形步道按逆时针方向慢跑。 (1)小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时， 跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角。 (2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？ 说说你的理由，并与同伴交流。 如果公园步道的形状是六边形、八边形那么结果会 怎样？与同伴进行交流。
新知初探 探究一 多边形外角和 活动1 了解多边形的外角 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。比如： 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，∠ACD叫做三角形的外角． (
A
B
C
D
) 活动2探究外角和 (
四边形外角和
∠1+∠2+∠3+∠4=180°×4-180°×2=360°
) (
三角形外角和
∠1+∠2+∠3=180°×3-180°=360°
) (
六形外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
=180°×6-180°×4=360°
) (
五边形外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=180°×5-180°×3=360°
) 猜想：多边形的外角和360° 验证猜想 n边形外角和=n个平角-n边形内角和=180°×n-(n-2)×180°=360° ∴n边形的外角和等于360°，它与边数无关。 任务一　意图说明 多边形外角和教学，意在让学生通过探究发现其特殊性，理解外角和恒为 360° 的本质。从具体图形测量到公式推导，引导学生经历 “猜想 — 验证 — 归纳” 过程，培养逻辑推理与空间想象能力。通过对比内角和与外角和的差异，深化对多边形性质的认知，打破 “边数影响和” 的思维惯性。结合生活中旋转、拼接等实例，让学生感受外角和的应用价值，提升用数学解决实际问题的意识，为后续学习图形运动、镶嵌等知识埋下伏笔，同时渗透转化与数形结合的思想。　
探究二 典例精析　 活动1例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形， 则它的内角和为:(n-2)×180 ，外角和为360° 则根据题意，得(n-2)×180 =3×360° 解得n=8 所以这个多边形是八边形 活动2 随堂练习 1．正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（ C ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 2．已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ C ） A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形 3.如果一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，那么这个多边形是几边形 解：设这个多边形的边数为n， 依题意得 (n-2)×180°=360°×6， 解得n=14. 答：这个多边形是十四边形. 4.如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时: (1)求整个行走路线是什么图形 (2)一共走了多少米？ 解：(1)设行走路线是正n边形， 根据题意，得n= 360/40 =9. 所以行走路线是正九边形. (2) 8×9=72(米) 答：一共走了72米 任务二　意图说明 多边形外角和例题与随堂练习，旨在助力学生深化对多边形外角和恒为 360° 这一特性的理解。通过基础例题，像已知多边形外角和与内角和关系求边数，让学生熟悉公式正向、逆向运用，夯实基础。随堂练习从简单的正多边形外角度数计算，到图形拼接中运用外角和知识判断，题型逐步复杂，训练学生灵活应对各类问题，提升知识迁移能力，增强用多边形外角和知识解决实际问题的意识。　　
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第4课时 多边形的外角和
1.多变形外角概念 2.
n边形的外角和等于360°
3.例2
)
教学反思 本次多边形外角和教学，先从三角形、四边形外角测量切入，引导学生猜想规律，再结合内角和公式推导外角和恒为 360°。但教学中存在不足：部分学生对 “外角” 定义理解模糊，常与内角混淆；推导过程中，对 “每个顶点取一个外角” 的限定关注不够，导致计算时出现重复计数。虽用几何画板演示了边数变化时外角和不变，但学生对 “不变性” 的本质理解不深。后续需加强外角概念的辨析，结合具体图形标注外角，推导时强调顶点对应关系，增加不同多边形外角标注练习，让学生在操作中深化认知，同时设计对比性问题，区分内外角的联系与区别。
2 等腰三角形
第1课时　等腰三角形和等边三角形的性质
教学设计
课标摘录 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。 2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。
教学目标 1.通过等腰（边）三角形性质的证明过程，掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 2.经历自主探究、合作交流等活动，能证明等腰三角形的性质定理，并能用定理解决实际问题. 3.经历观察——操作——猜想——证明的过程中，感受研究几何图形的一般方法，不断积累活动经验,进一步发展推理能力、几何直观.
教学重难点 重点:证明等腰（边）三角形的有关性质定理，并能解决相关问题.。 难点:体会证明的思想，在证明的过程中体会、规范数学证明的要求和步骤.。
教学策略 本课时将注重培养学生的应用意识和实践能力。通过设计一些与现实生活紧密相关的应用题，让学生在实际情境中运用所学知识解决问题。同时，鼓励学生将所学知识应用到其他领域，如建筑设计、艺术创作等，以拓宽他们的视野和知识面。这种教学策略既能增强学生的应用意识，又能提高他们的实践能力和创新能力。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 问题1图中有些你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点 问题2 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理
新知初探 探究一 等腰三角形的性质 问题1 你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗 等腰三角形的两个底角相等. 等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合. 问题2你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗 定理：等腰三角形的两底角相等（简述为“等边对等角”）. 已知：如图,在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 方法一：作底边上的中线 证明：作底边的中线AD，则BD=CD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC （ 已知 ）， BD=CD （ 已作 ）， AD=AD （公共边）， ∴ △BAD≌ △CAD （SSS）. ∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等）. 方法二：作顶角的平分线 证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC （ 已知 ）， ∠BAD=∠CAD （ 已作 ）， AD=AD （公共边）， ∴ △BAD≌ △CAD （SAS）. ∴ ∠B= ∠C （全等三角形的对应角相等）. 思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？ ∵△BAD≌ △CAD， ∴由全等三角形的性质易得 BD=CD, ∠BAD=∠CAD， ∠ADB=∠ADC， 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. 推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（简写成“三线合一”）. 任务一　意图说明 让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性.在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，把几何问题转化为代数问题的能力. 　
探究二 等边三角形的性质　 问题1 “等腰三角形它的底边和腰相等，而等边三角形是特殊的等腰三角形，它又有什么特殊的性质？” 根据学生回答归纳猜想： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 问题2 提问：“你能想办法证明这个定理吗？” 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC. 求证:∠A=∠B=∠C=60°. 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角). 又∵AC=BC， ∴∠A=∠B（等边对等角）. ∴∠A=∠B=∠C. 在△ABC中, ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C=60° 引导归纳:“你能用几何语言描述刚刚证明的性质吗？” 几何语言： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60° 任务二　意图说明 通过引导学生动手画图、观察猜想、尝试证明等一系列活动，旨在深入探究等边三角形的特殊性质。通过从特殊到一般的归纳推理过程，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。同时，通过让学生尝试用几何语言描述性质，提高学生的数学表达能力和抽象思维能力，为后续的学习打下坚实的基础。 　　
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第1课时 等腰三角形和等边三角形的性质
等腰三角形的性质 2.
等边三角形的性质
（1）等边对等角
（2）三线合一
)
教学反思 本节课讲授的是等腰三角形第一课时，教学方法是采用“目标--问题”的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。教学内容安排详略适当，教师把问题“讲明白”，学生把问题“学透彻”。
2 等腰三角形
第2课时　等腰三角形的判定与反证法
教学设计
课标摘录 1.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 2.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
教学目标 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理，能运用该定理进行简单的证明和计算。 2.了解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，会用反证法证明一些简单的命题
教学重难点 重点:理解等腰三角形的判定定理。 难点:了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。
教学策略 教学过程中，通过引导学生观察、实验和推理，逐步探索并发现这些定理。通过具体实例的分析和练习，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力和几何直观能力。在教学过程中，通过具体实例来解析反证法的应用步骤和逻辑结构。通过反证法的学习和应用，可以培养学生的逻辑思维能力和数学证明能力。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？ (
A
) (
B
) (
C
)
新知初探 探究一 等腰三角形的判定　 活动1 探索等腰三角形的判定定理 问题1： 等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？ 问题2：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 学生猜想它们所对的边相等． 即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 问题3：如何证明？ 教师引导学生根据图形，写出已知、求证，并引导学生作出辅助线． 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，你能证明AB＝AC吗？ ①作高AD可以吗？ ②作角平分线AD呢？ ③作中线AD呢？ 学生口头证明后，选择一种方法写出证明过程． 师生共同归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即归纳等腰三角形的判定方法： 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 简述：等角对等边． 几何语言：在△ABC中， ∵∠B=∠C；∴ AC=AB 即△ABC为等腰三角形. 例1　已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E，求证：△AED是等腰三角形． 证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD=DA ∴△ABD≌△DCA(SSS)． ∴∠ADB＝∠DAC.∴EA＝ED. ∴△AED是等腰三角形． 任务一　意图说明 　 通过学生的自主探索和验证，让他们更深入地理解等腰三角形的判定定理，培养几何直观能力。
探究二 反证法　 活动1了解反证法 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 师生活动：学生先思考，然后小组讨论，发现用正常的证明思路不好解决问题，教师此时提出反证法并出示小明的解题过程． 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 师生活动：师生一同认识反证法的概念，并总结反证法的证明步骤. 方法总结：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．我们把这种方法叫做反证法． “反证法”的一般步骤： (1)假设：假设结论的反面正确； (2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾； (3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确. 活动2例2 用反证法证明：一个三角形中不可能有两个直角 已知：△ABC 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角 证明：假设∠A，∠B，∠C有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°。 于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C> 180° 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立。 所以，一个三角形中不能两个角是直角。 任务二　意图说明 　通过具体例子和学生讨论，让学生掌握反证法的基本思路和应用方法，提高逻辑推理能力。
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第2课时 等腰三角形的判定与反证法
等腰三角形的判定
2. 了解反证法
(
1
)假设：
(2)归谬：
(3)结论：
)
教学反思 本节课我通过问题引导和小组讨论，激发了学生的学习积极性和主动性，学生对等腰三角形判定定理和反证法的理解较为深入。课堂练习中，多数学生能够正确运用所学知识解决问题，达到了预期的教学效果。
2 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
教学设计
课标摘录 1.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
教学目标 1.能够准确理解并熟练掌握等边三角形的三种判定方法。 2.深入理解含 30° 角的直角三角形的性质。 3.在小组合作学习中，培养学生合作交流意识和团队协作精神，提升学生的数学表达能力。
教学重难点 重点:等边三角形的判定方法和含 30° 角的直角三角形的性质的推导过程及应用。 难点:灵活运用等边三角形的判定方法和含 30° 角的直角三角形的性质解决实际问题，尤其是在复杂图形中准确识别和运用相关知识。
教学策略 教学过程中，讲授法、演示法、探究法、小组合作学习法相结合。通过讲授法讲解基本概念和定理，利用演示法直观展示几何图形的变化，引导学生进行探究和小组合作学习，让学生在自主探索和合作交流中掌握知识。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点) 和一棵小树 (A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 米，则 AC 长多少米？ 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？
新知初探 探究一　等边三角形的判定 问题1 ：一个三角形满足什么条件就是等边三角形 （学生回答） 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 问题2：你能证明这些定理吗？（学生独立思考后口述） 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 已知： 若AB=AC , ∠A=60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A=60 °. ∴∠B＝∠C＝(180°－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠B=∠C. ∴AB=AC=BC. 问题3：证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 学生独立完成. 【归纳】等边三角形的判定定理： 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 任务一　意图说明 对等腰三角形中一个角为 60° 的情况进行分类讨论，培养学生全面、严谨的思维习惯。动画演示直观呈现图形变化过程，帮助学生突破理解难点。小组交流和代表发言，让学生在总结归纳中深化对判定方法的理解，同时锻炼语言表达和概括能力，教师的点评和补充则确保知识的准确性和完整性。　
探究二　含30角的直角三角形的性质 活动1尝试·思考 操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 猜想验证：已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°， ∠A=30°.求证:BC= AB. 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD， ∵ ∠ACB=90°, (已知) ∴∠ACD=90°，(平角意义) 在△ABC与△ADC中， BC=DC，（作图） 　∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB； ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知) ∴∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) ∴BC= BD= AB.(等式性质) 归纳总结:定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半) 推论：BC:AC:AB=1: :2 活动2 典型例题 例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半． 分析：这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°.根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD＝AC. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高． 求证：CD＝AB. 证明：在△ABC中， ∵AB＝AC，∠B＝15°， ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角)， ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC＝90°. ∴CD＝AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)． ∴CD＝AB. 活动3随堂练习 1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是(A) A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是__5__． 任务二　意图说明 通过实验操作，让学生亲身体验知识的发现过程，培养学生的观察能力和数据分析能力。多次测量不同大小的直角三角形，使学生感受到结论的普遍性，增强学生对规律的认同感，激发学生进一步探究其理论依据的兴趣 。例题和巩固练习培养学生的逻辑推理能力和几何证明能力，让学生学会运用转化思想，将复杂问题转化为已学知识解决，拓宽学生的解题思路。教师详细讲解和规范书写格式，有助于学生养成严谨的学习态度，提高几何证明的规范性和准确性。 　　
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第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
等边三角形的判定
2.
含30角的直角三角形的性质
（1）判定定理1
（2）判定定理2
)
教学反思 本节课通过一组图片，引入等边三角形，让学生体会等边三角形的特点，学生热情很高，参与积极．本节课的难点在于对30°角定理的理解及应用，让学生充分参与，深刻体会定理内容，掌握应用技巧．解题过程中，培养学生获取信息、分析信息的能力．
3 直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
教学设计
课标摘录 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。。 2.了解原命题及逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
教学目标 1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。 2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。 3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明，激发学生的探索热情，并在小组合作中体会交流与合作的重要性。
教学重难点 重点:理解并掌握直角三角形的性质与判定方法。 难点:勾股定理及其逆定理的证明方法，结合具体命题实例理解互逆命题的概念。
教学策略 针对直角三角形性质和判定定理，采用“问题引导 - 自主尝试 - 合作交流”模式。如证明直角三角形两锐角互余及有两角互余的三角形是直角三角形时，先让学生独立思考，再小组合作讨论证明思路。教师巡视指导，适时点拨疑难。通过自主探究培养学生逻辑思维与创新能力，合作交流促进学生思维碰撞，让学生在互动中深化对知识的理解与掌握。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 同学们，在上前面的学习中，我们学习了直角三角形的有关内容，下面请同学们回答： 问题1.什么是直角三角形？ 答案：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形. 问题2.直角三角形的两个锐角有怎样的关系？ 答案：直角三角形的两个锐角互余. 问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC， ∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少
新知初探 探究一　直角三角形的性质与判定 活动1 直角三角形的两个锐角为什么互余呢？ 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 求证：∠A+∠B＝90°. 证明：在Rt△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C＝90°. 又∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°. 即：直角三角形的两个锐角互余. 活动2思考：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 答案：是直角三角形 已知：如图所示，在△ABC中，∠A+∠B＝90°. 求证：△ABC是直角三角形 证明：在△ABC中， ∵∠A +∠B+∠C＝90°. 又∵∠A +∠B＝90°， ∴ ∠C＝90°. ∴△ABC是直角三角形. 即：有两个角互余的三角形是直角三角形. 归纳：直角三角形的性质与判定 定理：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°. 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. 活动3说一说：在上学期，我们通过数方格和割补法得到了勾股定理，谁能说一说勾股定理的内容呢？ 归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵△ABC直角是三角形，且∠C＝90°， ∴AC2+BC2=AB2. 活动4探究：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形呢？ 已知：如图所示，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形 证明：如图，作Rt△A′B′C′， 使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC, 则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2， ∴BC2＝B′C′2. ∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此，△ABC是直角三角形. 归纳：定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 几何语言： 在△ABC中 ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形. 活动5如图，已知∠ABD=90°，AB=8m，AD=17m，DC=20m，BC=25m． （1）求BD的长度；（2）求四边形ABCD的面积． 解：（1）在∴△ABD中， ∵∠ABD=90°， ∴AB2+BD2=AD2， 即：82+BD2=172， ∴BD=15（m）； (2)∵BD=15m，DC=20m，BC=25m， ∴BD2+DC2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴四边形ABCD的面积=AB×BD+CD×BD =×8×15+×20×15 =210(m2)． 任务一　意图说明 通过引导学生独立完成推理证明的书面表达过程，培养学生的逻辑思维能力和证明能力。通过探究直角三角形的性质和判定方法，加深学生对几何图形的理解和认识。同时，通过随堂练习，拓宽学生的知识面，激发学生的探索精神。此环节旨在拓展学生思维，提升数学素养。　
探究二　命题的互逆关系 活动1 观察交流：观察下的两组定理，它们的之间有怎样的关系？ 定理：直角三角形的两个锐角互余. 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 答案：它们的条件和结论交换了位置 活动2再观察下面三组命题： （1）如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. （2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. （3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 答案：它们的条件和结论交换了位置 活动3归纳：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 追问：你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗 答案：如果两个有理数的相等平方相等,那么这两个有理数相等.第一个命题是真命题，它的逆命题是假命题. 指出：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 强调：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举反例就可以． 归纳：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理． 比如：定理：直角三角形的两个锐角互余.与定理：有两个角互余的三角形是直角三角形，是互逆定理 又如：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方与定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是互逆定理 活动4 随堂练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)五边形是多边形； (2)两直线平行，内错角相等. 解：(1)逆命题：多边形是五边形， 原命题是真命题，逆命题是假命题； (2)逆命题：内错角相等，两直线平行， 原命题是真命题，逆命题也是真命题． 任务二　意图说明 通过例题剖析，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。通过讨论互逆定理和逆定理的重要性，加深学生对数学定理之间联系的理解。同时，通过小组合作和全班分享，培养学生的团队协作能力和沟通能力。　　
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课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 (
第1课时 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定
2.
命题的互逆关系
（1）性质
（2）判定
)
教学反思 本节课的教学实践让我深刻体会到了教学设计的重要性。通过情境导入，学生迅速融入了课堂，对直角三角形的性质和判定定理表现出了浓厚的兴趣。在探究勾股定理及其逆定理的证明方法时，学生积极参与，通过自主探究和合作交流，不仅掌握了证明方法，还锻炼了逻辑思维和证明能力。然而，我也发现部分学生在理解互逆命题、逆定理等概念时仍存在困难，这提示我在后续教学中需要进一步加强这些概念的讲解和练习，帮助学生巩固理解。
3 直角三角形
第2课时　直角三角形全等的判定　
教学设计
课标摘录 1.能用尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形；。 2.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
教学目标 1.熟练掌握“HL”定理，并利用“HL”定理解决实际问题。 2.能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形。
教学重难点 重点:理解和掌握直角三角形的全等判定定理及应用。 难点:探究直角三角形的全等判定定理的过程。
教学策略 本节课的主要目标是让学生掌握直角三角形全等的判定方法，并能灵活应用这些方法解决实际问题。首先，简要回顾三角形全等的基本概念和之前学过的三角形全等的判定方法。然后，重点介绍直角三角形的特殊性质，探索直角三角形全等的判定方法，强调直角边和斜边的对应关系。同时，对比说明HL判定与其他三角形全等判定方法的异同。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量． (1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？学习了今天的知识，我们就能明白这个道理了．
新知初探 探究一 直角三角形全等的判定　 活动1 全等判定的复习 1.填一填： (1)判定两个三角形全等的方法有哪几种？__SSS、SAS、ASA、AAS__ (2)如图，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，还需要添加什么条件？请说明理由． 添加__AC＝BD__，利用__SAS__证明△ACB≌△BDA， 添加__∠ABC＝∠DAB__，利用__ASA__证明△ACB≌△BDA； 添加__∠C＝∠D__，利用__AAS__证明△ACB≌△BDA. 2.思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等码？如果其中一组等边的对角是直角呢？请你画一画，并与同伴进行交流。 活动2 尝试·交流 已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？ (1) 假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗？ (2) 你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流 梳理上述作图过程，请你总结“已知直角三角形的斜边和 一条直角边，用尺规作这个三角形的方法和步骤。 活动3做一做(小组合作完成) 如图，已知线段a，c(a探究二　经典例题 活动1例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 ∠ B和 ∠ F的大小有什么关系？ 解:根据题意，可知 ∠BAC=∠EDF=90° BC=EF,AC=DF, ∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL) ∴∠B=∠DEF(全等三角形的对应角相等) ∵∠DEF+∠F=90°(直角三角形的两锐角互余) ∴∠B+∠F=90° 活动2随堂练习：判断下列命题的真假，并说明理由 （1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等； （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的 两个直角三角形全等. 解：（1）假，让学生体会举反例的作用. （2）真，满足AAS定理的条件。 （3）真，满足基本事实SAS的条件。 （4）真，先利用HL定理得到另一条直角边相等，再根据基本事实SAS判定两个三角形全等。 任务二　意图说明 通过这两个问题，引导学生运用所学知识解决实际问题，加深对直角三角形全等判定定理的理解。培养学生的逻辑思维和推理能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。同时，让学生在小组讨论中学会合作与交流，增强团队意识。 　　
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板书设计 (
第2课时 直角三角形全等的判定
1.利用斜边和一条直角边作直角三角形 3. 例题
2.直角三角形全等的判定
)
教学反思 本节课的教学基本达到了预期目标，学生在课堂上表现出较高的积极性和参与度。通过情境导入和尺规作图活动，学生成功被引入课题，对直角三角形全等判定定理“HL”产生了浓厚的兴趣。在探究引导环节，学生通过动手操作、观察比较和小组讨论，提出了猜想并成功证明了定理，这一过程有效锻炼了他们的思维能力和团队协作能力。
4 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理　
教学设计
课标摘录 1.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
教学目标 1.通过经历观察、发现、合情推理的过程，探索出证明线段垂直平分线性质定理的思路和方法，并能尝试写出证明过程； 2.通过经历猜想、类比等数学方法，发现垂直平分线的判定定理并能独立完成判定定理的证明，发展推理能力和有条理的表达能力； 3.通过自主探究、合作学习，能够熟练运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决问题．培养解决问题的能力和合作探索交流的能力
教学重难点 重点:掌握线段垂直平分线的性质定理和其逆定理的证明方法。 难点:探索线段垂直平分线性质定理和其逆定理证明的思路和方法。
教学策略 通过提出问题引导学生探究线段垂直平分线的性质定理，鼓励学生进行小组讨论和合作探究。展示两种证明方法，培养学生的逻辑思维能力和证明技巧，同时鼓励学生多角度思考问题，提升数学思维的灵活性和严谨性。出示例题，引导学生将线段垂直平分线的性质和判定定理应用于实际问题中，加深对知识点的理解和内化。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
新知初探 探究一　线段垂直平分线的性质 活动1： 温故知新，动手操作。 1.线段是轴对称图形吗？如果是请指出它的对称轴？ 2.什么是线段的垂直平分线？根据图形试着用符号语言描述出来。 3.提前拿出课前准备的彩色卡纸，根据要求对折卡纸。 将纸沿着MN对折，观察PA和PB，你有什么发现？ 4. 我们发现，PA=PB你能用严谨的数学语言来证明吗？ 活动2：大胆猜想，严谨论证。 已知:如图，直线 MN⊥AB，垂足是 C，AC=CB，点 P在 MN上，求证:PA=PB。 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) 【归纳结论】线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 从特殊到一般： 几何语言： ∵ MN⊥AB，AC=BC，P是 MN上任意一点 ∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等） 任务一　意图说明 通过折纸回顾所学知识，引导学生证明性质定理。明确线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的重要依据之一。　
探究二 线段垂直平分线的判定　 活动1：大胆猜想，小心求证。 你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 定理逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上已知: 如图， PA=PB 求证: 点 P在线段 AB的垂直平分线上。 证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上 【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵ PA=PB ∴点 P在线段 AB的垂直平分线上（与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。） 活动2：例1已知：如图，在 △ABC 中，AB=ACO是△ABC内一点， 且OB = OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC． 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴ 直线AO是线段BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 任务二　意图说明 学生通过判定定理的证明和例题的讲解及时巩固所学知识，加深了对判定定理的理解和应用和交流能力。为接下来应用判定定理解决问题奠定了基础。 　　
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板书设计 (
第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
1.线段垂直平分线的性质 3.线段垂直平分线的性质和判定的应用
2.线段垂直平分线的判定
)
教学反思 本节课采用“学生主体性学习”的教学模式，引导学生从问题出发，通过生活实际情境导入新课，学生通过折纸活动自己说出线段垂直平分线的性质，然后对这个命题进行自主证明，在证明过程中，学生独立思考与合作交流相结合。学生根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明。教师引导学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透。
4 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线　
教学设计
课标摘录 1.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
教学目标 1.通过操作、发现、证明等探究活动，掌握三角形三边垂直平分线的性质定理的证明。 2.通过观察、发现、作图等操作活动，能用尺规作出等腰三角形和过一点作已知直线的垂线。 3.通过实际问题的解决，体会线段垂直平分线的性质和判定定理的应用，提升学生知识迁移的能力。
教学重难点 重点:掌握线段垂直平分线性质定理和判定定理的应用。 难点:三角形三边垂直平分线的性质定理的证明。
教学策略 本节课注重学生的动手操作活动，如作线段AB的垂直平分线、用三角形纸片找出每条边的垂直平分线等。通过动手操作，学生能够更直观地理解线段垂直平分线和三角形垂直平分线的性质和特点，培养动手能力和空间想象力。在教学过程中，教师引导学生通过观察、讨论和交流，探究三角形垂直平分线的性质和特点，特别是三条垂直平分线的交点位置与三角形类型的关系，培养学生的合作学习和思维能力。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼A、B、C之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
新知初探 探究一　尺规作图 活动1 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h. 求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h. 提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. 活动2 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 师生活动：学生自己尝试用尺规作出所求作的三角形，小组讨论交流得出结论. 想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？ 已知：线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，高 AD = h. 作法：1. 作线段 BC = a； 2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D； 3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h . 4. 连接 AB，AC. 则△ABC 为所求的等腰三角形. 活动3 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 作法： (1) 先以 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的垂直距离 R 为半径作圆，交直线 l 于A，B. (2) 分别以 A、B 为圆心，大于 R 的长为半径作圆，相交于 C、D 两点. (3) 过两交点作直线 l' ，此直线为 l 过 P 的垂线. 任务一　意图说明 　 活动1 这样的三角形能画出无数个，由于高的位置可以不同，因此所画出的三角形不都全等。活动2 能作出两个三角形，由于等腰三角形底边上高的位置只能在底边的垂直平分线上，因此可以在已知边的两侧作两个三角形，这两个三角形全等。活动3通过回忆线段的垂直平分线的作法，锻炼和巩固学生的作图能力，培养学生联系和应用能力。
探究二 三角形三边的垂直平分线的性质　 活动1 例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P. 师生活动：教师引导学生分析： 鼓励学生试试看，你会写出证明过程吗？ 证明：连接 PA，PB，PC. ∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， ∴PA = PB，PA = PC ( 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ). ∴ PB = PC. ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 几何语言： ∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA = PB = PC． 活动2试一试：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 师生活动：让学生自己尝试用尺规作图，小组讨论交流得出结论. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 任务二　意图说明 　　通过例题剖析，引导学生运用所学知识解决实际问题，加深对线段垂直平分线和三角形外接圆等概念的理解。通过讲解和讨论，帮助学生掌握解题思路和技巧，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
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板书设计 (
第2课时 三角形三边的垂直平分线
1.尺规作图 2.
三角形三边的垂直平分线的性质
（1）锐角三角形
（2）直角三角形
（3）钝角三角形
)
教学反思 本节利用我们已学过的定理和公理证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线．已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从折纸，尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.尤其本节能够充分利用几何画板的动态演示功能，更能增强学生的理解力.
5 角平分线
第1课时　角平分线的性质定理及其逆定理
教学设计
课标摘录 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
教学目标 1.会叙述角平分线的性质及判定； 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重难点 重点:会叙述角平分线的性质及判定。 难点:能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题。
教学策略 通过具体的图形和已知条件，引导学生探究角平分线的性质定理和判定定理。在探究过程中，组织学生讨论角平分线的判定条件，鼓励学生相互交流、合作学习。通过小组讨论，学生能够更深入地理解角平分线的性质定理和判定定理，形成完整的知识体系。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计． (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 师生活动：教师分析， 仓库到两所大学的距离相同读成数学语言： 到一条线段 MN 两个端点距离相等的点在哪？ 预设1：在这条线段的垂直平分线上. 仓库到两条公路的距离相同读成数学语言： 到∠AOB 两边的距离相等的点在哪？ 学生独立思考.
新知初探 探究一　角平分线的性质 活动1 在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗 改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗 活动探究：教师引导学生通过折纸的活动，自主探究线段 CD 和 CE 的数量关系. 师追问：对此你能得出什么结论？动手证一证. 结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠1 =∠2. ∵OP = OP， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE (全等三角形的对应边相等). 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用：证明线段相等. 应用格式：∵ OP 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 师强调：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 任务一　意图说明 通过学生的知识回顾：命题证明的一般步骤及线段垂直平分线性质的证明方法. 能够利用三角形全等进行命题证明，从而获得角平分线的性质定理.　
探究二　角平分线的判定 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 活动1 问题1：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 预设1：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 问题2：它是真命题吗？你能证明吗？ 已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∵PD = PE ，OP = OP ， ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴ OP 平分∠AOB. 师生活动：教师引导学生写出已知和求证，学生独立完成证明过程，教师进行定义总结： 角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 老师强调：角的内部指的是位置关系；距离相等指的数量关系. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 活动2 例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. 证明：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°. 在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10， ∴DE＝AD＝×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 活动3 回顾导入：根据以上的知识，则可解决导入中的问题. 师生活动：学生独立完成证明过程，学生代表展示，教师引导学生方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 任务二　意图说明 结合之前学过的直角三角形的有关知识和刚刚学习的角平分线的性质定理和判定定理，解决实际问题，同时在解决中引导学生明确知识应用的条件和注意事项，深一步解读知识，明确应用条件.　　
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第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
1.角平分线的性质 3. 例题1
2.角平分线的判定
)
教学反思 本节课的教学过程中，学生表现出了较高的学习积极性和参与度。通过情境引领和探究引导，学生成功地理解了角平分线的性质定理和判定定理，并能够运用所学知识解决实际问题。例题剖析环节进一步巩固了学生的知识内化，拓宽了他们的解题思路。
5 角平分线
第2课时　三角形三个内角的平分线　
教学设计
课标摘录 1.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
教学目标 1.运用三角形中三条角平分线性质定理解决问题。 2.引导学生发现并证明“三角形的三条角平分线相交于三角形內一点并且这一点到三边的距离相等”这一结论，即三角形中三条角平分线性质定理。 3.角平分线的性质定理和判定定理的综合运用。
教学重难点 重点:角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。 难点:角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。
教学策略 本节课的教学思路是按“操作、猜想、验证、运用”的学习过程，遵循学生的认知规律，先学习新知：三角形中角平分线的性质定理，再结合第一课时角平分线性质定理和判定定理来进一步提高学生的思维水平和应用数学知识解决实际问题的能力。
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 三条公路围成了一个三角形区域， 要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.
新知初探 探究一　角平分线的性质和判定综合运用 活动1 例2如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． (1)解：∵AD是△ABC的角平分线， ∠C=90°，DE⊥AB． ∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°， ∴∠B=×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°＝45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中 BD=2DE2.=4 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+4 )cm． (2)证明：由(1)的求解过程可知， △ACD≌△AED(HL) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 活动2 随堂练习 已知:如图,∠C=900, ∠B=300, AD是Rt△ABC的角平分线. 求证:BD=2CD. 证明 ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 30° ∴在Rt△ABC中，AB=2BC, ∠BAC= 60° ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°,AD=BD ∴ 在Rt△ACD中，AD=2CD ∴ BD=2CD 任务一　意图说明 通过剖析例题，帮助学生将所学知识应用于实际问题中，实现知识的内化。例题通过具体计算与证明，提升学生的解题能力和数学应用能力。自主解答与听讲解相结合的方式，有助于学生发现自己的不足，及时更正和完善，促进知识的深入掌握。　
探究二　三角形三个内角的角平分线的性质 活动1：剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线. 问题： 观察这三条角平分线,你发现了什么 结论:三角形三个角的平分线相交于一点. 活动2：利用尺规作出三角形三个角的角平分线. 问题： 再观察这三条角平分线,你又发现了什么 与同伴交流. 结论:三角形三个角的角平分线相交于一点. 老师期望:你能写出规范的证明过程. 思考分析：如何证三条直线交于一点？ 基本思路:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 求证:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM 与角平分线CN相交于点P，过点P分别 作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F. 求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF 证明： ∵ BM是△ABC 的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是D、E ， ∴PD=PE 同理：PE=PF．∴PD=PE=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上 即∠A的平分线经过点P 在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢 （PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．） 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等
活动3学以致用 开拓创新 再次出示问题“三条公路围成了一个三角形区域， 要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.” （1）学生应用新知解决。 （2）课后讨论：若去掉“三角形区域内”这个条件，则批发市场的位置是否唯一？ 任务二　意图说明 通过动手作出角平分线和观察思考，培养学生的动手能力和观察能力。证明活动的设置，旨在锻炼学生的逻辑推理能力，加深对三角形内心性质的理解。拓展问题的提出，进一步拓宽学生的思维视野。　　
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 (
第2课时 三角形三个内角的平分线
1.角平分线的性质和判定综合运用 3.三角形三个内角的角平分线的性质
2.随堂练习 4.开拓创新
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教学反思 本节课，学生在课堂上积极参与思考、大胆尝试、主动探讨、勇于创新。在此教学中，只需真正实施民主的开放式教学，创设平等、民主、宽松的教学氛围，使师生完全处于平等的地位，学生才能敞开思想，积极参与教学活动，才能最大限度地调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣，引导他们多角度、多方位、多层次地思考问题，使他们有足够的机会显示灵性，展现个性。让学生自主参与学习，解决问题，体验到参与的乐趣、合作的价值，并获得成功的体验。
☆问题解决策略：反思
教学设计
课标摘录 1.在具体现实情境中，学会从几何的角度发现问题和提出问题。 2.在经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，培养应用意识和创新意识。 3.经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题过程，体会几何数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会借助图形分析问题，形成解题的思路，发展模型观念。
教学目标 1.证明等腰三角形的性质定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性。 2.经历“观察－发现－猜想－论证”的过程，发展学生初步的逻辑推理能力,在图形的观察中，发展学生的几何直觉。
教学重难点 重点:经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。 难点:经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。
教学策略 充分利用八年级学生好奇、好动的心理特点，设计“画一画”等动手操作环节，让学生在实践中观察等腰三角形的特殊性质。通过直观感知和亲身体验，激发学生的学习兴趣和探究欲望。同时，通过追问环节，引导学生深入思考，形成初步猜想，为后续证明过程奠定基础。这种教学策略不仅有助于学生更好地掌握等腰三角形的性质，还能培养他们的动手能力和观察分析能力
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 我们欣赏下列两个建筑物，如图，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的？有什么性质？
新知初探 探究一 问题解决策略：反思　 问题：证明：等腰三角形两腰上的中线相等. (
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)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.求证:BD=CE. 活动1 理解问题 已知条件是什么？目标是什么？将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系？ 学生活动：学生讨论，交流，寻找解决问题的途径，并得出正确结论。 活动2 拟定计划 (1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法？ (2) 以BD为边的三角形有哪些？以CE为边的三角形呢？其中哪些三角形有可能全等？ (3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？ (4) 整理你的思路，并与同伴进行交流。 活动3 实施计划 按照下述思路写出证明过程，并说明每一步的理由。 (1) 通过△ABD≌∠ACE, 证明BD=CE. (2) 通过△CBD≌△BCE 证明BD=CE. (
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)学生活动:学生分组写出两种证明方法. 方法一： 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠BAD=∠CAE(公共角). 又∵AD=AC,AE=AB(已知), ∴AE=AD(等式性质).在△BDC与△CEB中 ∵ AB=AC（公共边）, ∠BAD=∠CAE(公共角),AE=AD（已证）, ∴△ABD≌△ACE（SAS）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) (
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)方法二： 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠EBC=∠DCB(等边对等角). 又∵BE=AC,CD=AB(已知), ∴BE=CD(等式性质).在△BDC与△CEB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠EBC=∠DCB（已证）,BE=CD（已证）, ∴△BDC≌△CEB（SAS）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 活动4 回顾反思 (1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。 (2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。 (3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？ (4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明自己结论的正确性吗？ (5) 你认为还可以研究哪些问题？与同伴进行交流。 活动5 变式训练 1.求证:等腰三角形两底角的平分线相等. (
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2
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)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线. 求证:BD=CE. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵∠1=∠ABC,∠2=∠ACB(已知), ∴∠1=∠2(等式性质). 在△BDC与△CEB中 ∵∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）,∠1=∠2（已证）, ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 2.求证:等腰三角形两腰上的高相等. (
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)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高. 求证:BP=CQ. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义). 在△BPC与△CQB中 ∵∠BPC=∠CQB（已证）, ∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）, ∴△BPC≌△CQB（AAS）. ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等) 活动6 小结 解决问题之后，还可以继续进行思考与尝试：①条件不变，尝试寻找更多 可能成立的结论；②适当改变条件（如将条件改成更一般的条件、更特殊的条 件或者类似的条件）、探究结论是否仍然成立；③研究是否可以将一些条件和 结论互换。 任务一　意图说明 1.通过自主学习，培养学生的自主探究学习的能力。 2.问题具体化，让学生亲历知识生成的过程，明确本节的重点，突破难点。 3.问题的层次化引导了学生数学模型的建立。 4.通过反思培养学生的语言表达能力、归纳总结能力等。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 (
☆问题解决策略：反思
1.情境导入 2.问题解答 3.变式练习
4.小结
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教学反思 本节课的主要内容是问题解决策略：反思.在具体问题的解决过程中，需要利用数学中的转化思想方法，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，因此，教学过程安排“学生合作探究”与“师生合作探究”，在这样的探究活动中，有助于发展学生分析问题、解决问题的能力以及应

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