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(共24张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
10.1.3　古典概型
素养目标 思维导图
1.结合具体实例,理解古典概型.(数学抽 象) 2.能计算古典概型中简单随机事件的 概率.(数学运算)
课前自主学习
问题1.抛掷两枚硬币,有哪几种可能结果 每种结果出现的机会是否相等
提示:抛掷两枚硬币有4种可能的结果,是“正正”“反反”“正反”“反正”,它们都是随机事件,每个事件出现的机会是均等的,都为.
问题2.上述试验中,任何两种结果是什么关系
提示:因为任何两种结果都不可能同时发生,所以它们是互斥关系.
问题3.某同学从红、黄、蓝、白4个小球中,任取3个,所有结果有哪些 这个试验有哪些特点
提示:该试验的基本事件有4个:红黄蓝、红黄白、红蓝白、黄蓝白,而且每个基本事件发生的概率都是,是等可能的.
【核心概念】
1.随机事件概率的定义
对随机事件发生___________的度量(数值)称为事件的概率.
2.古典概型的特点
(1)有限性:样本空间的样本点只有_____个.
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性_____.
3.古典概型的概率公式
设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事
件A的概率P(A)=.
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
可能性大小
有限
相等
=
课堂合作探究
探究点一　古典概型的判断
【典例1】(1)下列试验中,是古典概型的有(　　)
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C.四名同学用抽签法选一人参加会议
D.从区间[1,10]上任取一个实数,求取到1的概率
(2)袋中有形状、大小相同的4个白球、2个黑球、3个红球,每球都有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.
①如果把每个球的编号看作一个样本点,建立概率模型,问:该模型是否为古典概型
②若以球的颜色为样本点,以这些样本点建立概率模型,该模型是否为古典概型
【解析】(1)选C.由古典概型性质:基本事件的有限性及它们的发生是等可能的,对于A,基本事件只有中靶、不中靶,但概率不相等,不满足;对于B,基本事件坐标系中整数点是无限的,不满足;对于C,基本事件是四名同学是有限的,且抽到的概率相等,满足;对于D,基本事件是区间[1,10]上所有实数是无限的,不满足;
(2)①由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,又由于所有球的大小、形状一样,从中摸一个球,是随机选取,因此每个球被摸到的可能性相等.故属于古典概型.
②由于9个球共三种颜色,因此共有三个样本点,又由于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等,而白球4个,故一次摸球摸到白球的可能性为,同理摸到黑球的可能性为,摸到红球的可能性为=.
显然三个样本点出现的可能性不等,故不是古典概型.
【类题通法】
判断古典概型的法
(1)两个特征:一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.
(2)并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:
①样本点个数有限,但非等可能.
②样本点个数无限,但等可能.
③样本点个数无限,也不等可能.
【定向训练】
下列概率模型是古典概型吗 为什么
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率;
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率;
(3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率.
【解析】(1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的实数有无限多种结果,与古典概型的有限性矛盾.
(2)不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等,与古典概型的等可能性矛盾.
(3)是古典概型,在试验中所有可能出现的结果是有限的,而且每个整数被抽到的可能性相等.
探究点二　古典概型的概率计算
【典例2】已知某医疗队共有医生20人,护士30人,现在要用分层随机抽样的法从中选取5人组建一个救援小组.
(1)求救援小组中医生和护士的人数;
(2)若从救援小组中随机选取2人担任组长,求医生和护士各有1人被选中的概率.
【思维导引】(1)根据分层随机抽样的特征进行求解即可;
(2)利用列举法求解即可.
【解析】(1)由题可知救援小组中医生的人数为×5=2,
护士的人数为×5=3.
(2)由(1)可知救援小组中有2名医生,记为A,B;有3名护士,记为a,b,c.
从中随机选取2人担任组长,所有的结果为
(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共有10种可能的结果.
记事件M为“医生和护士各有1人被选中”,
依题意可知事件M包含的样本点有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),
共有6种可能的结果.
故P(M)==.
【类题通法】
1.古典概型概率求法步骤
(1)确定样本空间包含的样本点总数n.
(2)确定所求事件包含样本点数k.
(3)P(A)=.
2.使用古典概型概率公式的注意点
(1)确定是否为古典概型.
(2)事件A是什么,包含的样本点有哪些.
【定向训练】
一个袋子中有大小和质地相同的5个球,其中有3个红球和2个绿球,从袋中随机摸出2个球.
(1)求“摸到两个球颜色不同”的概率;
(2)求“至少摸到一个红球”的概率.
【解析】用1,2,3表示3个红球,4,5表示2个绿球,用数组(x,y)表示可能的结果,则样本空间所
包含的样本点为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种.
(1)“摸到两个球颜色不同”包含的样本点有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),共6种,
设“摸到两个球颜色不同”为事件A,故P(A)==.
(2)其中“至少摸到一个红球”包含的样本点有:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),共9种,设“至少摸到一个红球”为事件B,
故P(B)=.
探究点三　“有放回”与“无放回”的概率问题
【典例3】(规范解答)
(13分)一个袋中装有四个形状、大小完相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取一个球,
该球的编号为n,求n【解析】(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有:1和2,1和
3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个, …………………………3分
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2个, …………5分
因此所求事件的概率为P==. …………………………6分
(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号
为n, ………………………………7分
其一切可能的结果(m,n)有:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),
共16个. ………………………………9分
又满足条件n(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共13个. …11分
所以满足条件n【类题通法】
解决放回与不放回问题应注意的两点
(1)关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的,但不论选择哪一种式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.
【定向训练】
(2022·国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2
张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B. C. D.
【思维导引】通过数对的形式写出样本空间,用古典概型公式计算.
【解析】选C.从6张卡片中无放回抽取2张,共有
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种
情况,其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况,
故概率为=.
√
课堂学业达标
1.下列是古典概型的是 (　　)
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
【解析】选C.A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的样本空间是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中样本空间不是有限个,各个样本点的发生也不具有等可能性,故D不是.
√
2.(2020·国Ⅰ卷)设O为正形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的
概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.如图,从O,A,B,C,D 5个点中任取3个点有
{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C},
{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D},
{A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法,
3点共线只有{O,A,C}与{O,B,D}共2种情况,
由古典概型的概率计算公式知,
取到3点共线的概率为=.
√
3.以下论述描述正确的是　　　　.(请填写对应序号)
①随机现象是不可重复的;
②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的;
③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小.
【解析】对于①,随机现象是可以重复的,比如抛一枚硬币多次,可以重复出现正面朝上,故错误;对于②,比如抛一枚骰子,出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性,故错误;对于③,概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小,正确.
答案:③
4.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率为　　　　.
【解析】设3件正品为A,B,C,1件次品为D,从中不放回地任取2件,
试验的样本空间Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD},共6个.其中恰有1件是次品的样本点有:AD,BD,CD,共3个,故P==.
答案:
5.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名学生参加演讲比赛,请计算下列事件的概率.
(1)至少有1名女生;
(2)是男生;
(3)是女生.
【解析】3名男生设为a,b,c,2名女生设为d,e,从中任选2名学生参加演讲比赛,
情况如下:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种情况,
(1)至少有1名女生的情况为(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),
共7种情况,故至少有1名女生的概率为;
(2)是男生的情况有(a,b),(a,c),(b,c),共3种情况,故是男生的概率为;
(3)是女生的情况有(d,e),故是女生的概率为.10.1.3　古典概型
素养目标 思维导图
1.结合具体实例,理解古典概型.(数学抽象) 2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.(数学运算)
课前自主学习
问题1.抛掷两枚硬币,有哪几种可能结果 每种结果出现的机会是否相等
提示:抛掷两枚硬币有4种可能的结果,是“正正”“反反”“正反”“反正”,它们都是随机事件,每个事件出现的机会是均等的,都为.
问题2.上述试验中,任何两种结果是什么关系
提示:因为任何两种结果都不可能同时发生,所以它们是互斥关系.
问题3.某同学从红、黄、蓝、白4个小球中,任取3个,所有结果有哪些 这个试验有哪些特点
提示:该试验的基本事件有4个:红黄蓝、红黄白、红蓝白、黄蓝白,而且每个基本事件发生的概率都是,是等可能的.
【核心概念】
1.随机事件概率的定义
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率.
2.古典概型的特点
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个.
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
课堂合作探究
探究点一　古典概型的判断
【典例1】(1)下列试验中,是古典概型的有 (　　)
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C.四名同学用抽签法选一人参加会议
D.从区间[1,10]上任取一个实数,求取到1的概率
(2)袋中有形状、大小相同的4个白球、2个黑球、3个红球,每球都有一个区别于其他球的编号,从中摸一个球.
①如果把每个球的编号看作一个样本点,建立概率模型,问:该模型是否为古典概型
②若以球的颜色为样本点,以这些样本点建立概率模型,该模型是否为古典概型
【解析】(1)选C.由古典概型性质:基本事件的有限性及它们的发生是等可能的,对于A,基本事件只有中靶、不中靶,但概率不相等,不满足;对于B,基本事件坐标系中整数点是无限的,不满足;对于C,基本事件是四名同学是有限的,且抽到的概率相等,满足;对于D,基本事件是区间[1,10]上所有实数是无限的,不满足;
(2)①由于共有9个球,且每个球的编号各不相同,又由于所有球的大小、形状一样,从中摸一个球,是随机选取,因此每个球被摸到的可能性相等.故属于古典概型.
②由于9个球共三种颜色,因此共有三个样本点,又由于所有球的大小、形状一样,因此每个球被摸到的可能性相等,而白球4个,故一次摸球摸到白球的可能性为,同理摸到黑球的可能性为,摸到红球的可能性为=.
显然三个样本点出现的可能性不等,故不是古典概型.
【类题通法】
判断古典概型的法
(1)两个特征:一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.
(2)并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:
①样本点个数有限,但非等可能.
②样本点个数无限,但等可能.
③样本点个数无限,也不等可能.
【定向训练】
下列概率模型是古典概型吗 为什么
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率;
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率;
(3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率.
【解析】(1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限多个实数,取出的实数有无限多种结果,与古典概型的有限性矛盾.
(2)不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等,与古典概型的等可能性矛盾.
(3)是古典概型,在试验中所有可能出现的结果是有限的,而且每个整数被抽到的可能性相等.
探究点二　古典概型的概率计算
【典例2】已知某医疗队共有医生20人,护士30人,现在要用分层随机抽样的法从中选取5人组建一个救援小组.
(1)求救援小组中医生和护士的人数;
(2)若从救援小组中随机选取2人担任组长,求医生和护士各有1人被选中的概率.
【思维导引】(1)根据分层随机抽样的特征进行求解即可;
(2)利用列举法求解即可.
【解析】(1)由题可知救援小组中医生的人数为×5=2,护士的人数为×5=3.
(2)由(1)可知救援小组中有2名医生,记为A,B;有3名护士,记为a,b,c.
从中随机选取2人担任组长,所有的结果为(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共有10种可能的结果.
记事件M为“医生和护士各有1人被选中”,依题意可知事件M包含的样本点有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共有6种可能的结果.
故P(M)==.
【类题通法】
1.古典概型概率求法步骤
(1)确定样本空间包含的样本点总数n.
(2)确定所求事件包含样本点数k.
(3)P(A)=.
2.使用古典概型概率公式的注意点
(1)确定是否为古典概型.
(2)事件A是什么,包含的样本点有哪些.
【定向训练】
一个袋子中有大小和质地相同的5个球,其中有3个红球和2个绿球,从袋中随机摸出2个球.
(1)求“摸到两个球颜色不同”的概率;
(2)求“至少摸到一个红球”的概率.
【解析】用1,2,3表示3个红球,4,5表示2个绿球,用数组(x,y)表示可能的结果,则样本空间所包含的样本点为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种.
(1)“摸到两个球颜色不同”包含的样本点有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),共6种,
设“摸到两个球颜色不同”为事件A,故P(A)==.
(2)其中“至少摸到一个红球”包含的样本点有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),共9种,设“至少摸到一个红球”为事件B,故P(B)=.
探究点三　“有放回”与“无放回”的概率问题
【典例3】(规范解答)
(13分)一个袋中装有四个形状、大小完相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n【解析】(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个, 3分
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2个, 5分
因此所求事件的概率为P==. 6分
(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,
7分
其一切可能的结果(m,n)有:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个. 9分
又满足条件n所以满足条件n13分
【类题通法】
解决放回与不放回问题应注意的两点
(1)关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的,但不论选择哪一种式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.
【定向训练】
(2022·国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【思维导引】通过数对的形式写出样本空间,用古典概型公式计算.
【解析】选C.从6张卡片中无放回抽取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况,其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况,故概率为=.
课堂学业达标
1.下列是古典概型的是 (　　)
A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
【解析】选C.A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的样本空间是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中样本空间不是有限个,各个样本点的发生也不具有等可能性,故D不是.
2.(2020·国Ⅰ卷)设O为正形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.如图,从O,A,B,C,D 5个点中任取3个点有
{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C},
{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D},
{A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法,
3点共线只有{O,A,C}与{O,B,D}共2种情况,
由古典概型的概率计算公式知,
取到3点共线的概率为=.
3.以下论述描述正确的是　　　　.(请填写对应序号)
①随机现象是不可重复的;
②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的;
③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小.
【解析】对于①,随机现象是可以重复的,比如抛一枚硬币多次,可以重复出现正面朝上,故错误;对于②,比如抛一枚骰子,出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性,故错误;对于③,概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小,正确.
答案:③
4.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率为　　　　.
【解析】设3件正品为A,B,C,1件次品为D,从中不放回地任取2件,
试验的样本空间Ω={AB,AC,AD,BC,BD,CD},共6个.其中恰有1件是次品的样本点有:AD,BD,CD,共3个,故P==.
答案:
5.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名学生参加演讲比赛,请计算下列事件的概率.
(1)至少有1名女生;
(2)是男生;
(3)是女生.
【解析】3名男生设为a,b,c,2名女生设为d,e,从中任选2名学生参加演讲比赛,情况如下:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种情况,
(1)至少有1名女生的情况为(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),
共7种情况,故至少有1名女生的概率为;
(2)是男生的情况有(a,b),(a,c),(b,c),共3种情况,故是男生的概率为;
(3)是女生的情况有(d,e),故是女生的概率为.
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