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第三章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第2课时
1.掌握简单平面图形按已知条件旋转后的图形的作法.
2.理解并掌握确定一个图形旋转后的位置的条件，进一步探究简单的旋转画图及图形之间的变换关系.
3.经历观察、分析、画图的过程，掌握画图的技能，进一步培养学生的动手操作能力，发展审美观念.
4.培养操作技能、增强合作意识，认识和欣赏旋转在现实生活中的应用.
重点：简单平面图形旋转后的图形的作法.
难点：确定一个图形旋转后的位置的条件.
情景导入
教师活动：教师出示图片，学生观察思考并尝试回答问题.
问题1：下面图形变换哪个属于旋转变换？
预设答案：第三个.
问题2：如图，你能在方格纸上画出小旗子绕旗杆底端O顺时针旋转后形成的新图案吗？
预设答案：
教师活动：作图后，引导学生总结归纳，在上述作图过程中的关键是找图形的关键点，作出关键点旋转后的对应点.进而提问：
在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，你能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？
设计意图：通过问题1复习旋转的概念，通过问题2唤醒学生小学数学的学习记忆，而且可以使学生动起来，增强课堂的参与感.
探究新知
活动：旋转作图
思考：如图，你能找出点A绕点O顺时针旋转30后所在的位置吗？
预设答案：
作法：连接OA，
以OA为一边，顺时针方向画∠AOB=30，
在射线OB上取点A'，使得OA=OA'，点A'即为所求.
思考：在下图中，你能画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60后的线段吗？
教师活动：引导学生分析，线段的旋转能不能看成是点的旋转呢？在得出肯定的答案后，继续追问：是不是只要找到点B绕着点A旋转后的对应点就可以了呢？最终引导学生理解要画出线段BA绕着点A旋转的图形，只需画出点B关于点A旋转后的对应点，然后连接即可.
预设答案：
解：如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX=60；
在射线AX上取点C，使得AC=AB；
线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60后的线段.
操作·交流：如图，△ABC绕点O按逆时针方向旋转后，顶点A旋转到了点D.
(1)指出这一旋转的旋转角.
(2)画出旋转后的三角形.
预设答案：(1)∠AOD.
(2)画法：
①连接OB，OC；
②分别将线段OB和OC绕点O按逆时针方向旋转一个等于∠AOD的角度，得到线段OE，OF；
③连接DE，EF，FD，△DEF就是△ABC绕点O逆时针旋转后的三角形.
教师追问：与同伴交流你的画法，你们的画法都一样吗？还有其他画法吗？
设计意图：通过作图，使学生掌握旋转图形的做法，进而意识到点的旋转是作旋转图形的本质，其他复杂情形无非是简单情形的组合或重复而已.
思考·交流：确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件？你的依据是什么？与同伴进行交流.
预设答案：需要原图形的位置，还需要旋转中心和旋转角度.
小结：旋转三要素：旋转中心、旋转角度、旋转方向.
设计意图：明确旋转的三要素，旋转中心，旋转角度，旋转方向.
总结：旋转作图的基本步骤：
(1)找出旋转中心和旋转角；
(2)找出构成图形的关键点；
(3)沿旋转的方向，按旋转的角度，通过截取线段的方法，旋转各个关键点；
(4)顺次连接各个关键点的对应点，标上相应的字母，所得图形即为所作.
设计意图：明确旋转作图的一般步骤.
思考·交流：观察下图，甲图案进行怎样的运动变化，可以与乙图案重合？写出你的操作过程.
预设答案：先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，再沿AB方向将所得图案平移到B点位置，即可得到乙图案.
追问：还有其他方法吗？
预设答案：先将甲图案沿AB方向平移到B点位置，再将所得图案绕B点旋转，即可得到乙图案.
设计意图：通过相对活泼的问题，向学生展示图形间的变换关系.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【典型例题】
例1 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90，画出旋转后的图形.
分析：作图的关键是确定△ADE三个顶点的对应点，即它们旋转后的位置.
解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身.
正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90，所以旋转后点D与点B重合.
设点E的对应点为点E′.因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以∠ABE′=∠ADE=90，BE'=DE.
因此，在CB的延长线上取点E'，使BE'=DE，则△ABE'为旋转后的图形.
设计意图：通过例题，巩固所学知识，加深理解.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【自选练习】
1.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫做格点).画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′.
解：
2.在图中画出线段AB绕点O按顺时针方向旋转50后的线段.
解：(1)以OA为一边按顺时针方向画∠AOX，使得∠AOX =50；
(2)在射线OX上取点C，使得OC=OA；
(3)延长CO至点D，使得OD=OB.
线段CD就是线段AB绕点O按顺时针方向旋转50后的线段.
3.如图，画出△ABC绕边AB的中点O旋转180°后的图形.
解：如图，因为点O是AB的中点，180°的角是平角，所以点A绕点O旋转180°后的对应点是点B，点B绕点O旋转180°后的对应点是点A.
连接CO并延长到点D，使OD=OC，点C绕点O旋转180°后的对应点是点D.
连接BD，AD，△BAD就是所求作的图形.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.第三章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第1课时
1.通过具体实例认识平面图形的旋转，尝试探索旋转的基本性质.
2.探掌握旋转的基本性质，利用旋转的基本性质进行简单的计算.
3.经历有关旋转的观察、操作、分析及抽象、概括等过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观念.
4.培养操作技能、增强合作意识，认识和欣赏旋转在现实生活中的应用.
重点：理解并掌握旋转的定义与基本性质.
难点：利用旋转的基本性质进行简单的计算.
情景导入
教师活动：教师出示图片，学生观察思考并尝试回答问题.
问题1：下面情境中的转动现象，它们有什么共同特征？
预设：都是绕着一个定点沿着某个方向转动一定的角度.
追问1：钟表的时针、分针、秒针在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？
预设：形状和大小都没变，位置变化了.
追问2：风力发电机的叶片和摩天轮在转动过程中其形状、大小、位置是否发生改变？
预设：也是形状和大小都没变，位置变化了.
追问3：你还能举出一些类似的例子吗？
预设：
设计意图：通过生活中常见的3个图片，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，也为新课的学习做准备.
探究新知
活动一：旋转的定义
【思考】
教师活动：通过已有的生活经验及生活中旋转实物的认识，学生尝试迁移到平面图形中，从而得出旋转的概念，进而探究旋转的基本性质.
问题2：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，转动前与转动后的图形是全等图形吗？
预设：转动前后图形是全等图形.
设计意图：通过已有的经验，观察、归纳得出旋转的概念.
【归纳】
旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的形状和大小.
如图，△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF，点A、B、 C分别旋转到了点D、E、F.
可知，旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角度：()
我们称点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角.
追问：你还能找到其他的对应点、对应线段和对应角吗？
预设：对应点：点B与点E，点C与点F；
对应线段：线段AC与DF，线段BC与EF；
对应角：∠BCA与∠EFD，∠ABC与∠DEF.
设计意图：明确旋转的概念，知道旋转后图形的对应点，对应线段和对应角.
活动二：旋转的性质
【做一做】
如图，两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH完全重合，在纸上选取旋转中心O，并将其固定.把其中一张纸片绕点O旋转一定角度.
(1)观察图中的两个四边形，你能发现有哪些相等的线段和相等的角？
预设：AB=EF，BC=FG，CD=GH，DA=HE.
∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，∠D=∠H.
(2)连接AO，BO，CO，DO，EO，FO，GO， HO，你又能发现有哪些相等的线段和相等的角？
教师活动：可以操作演示，引导学生度量得出相关结论.
预设：OA=OE，OB=OF，OC=OG，OD=OH.
∠AOE=∠BOF=∠COG=∠DOH
设计意图：用实验的方法探索平面图形旋转的基本性质，让学生分组进行，每组选用的图形形状可以不同，每次旋转的方向和旋转的角度也可以不同；在此基础上，全班交流，概括出平面图形旋转的基本性质.
(3)在图中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么？
预设：
如取BC，FG，AD，EH的中点P，M ，Q ，N ，
则点P与点M、点Q与点N是对应点，有PO=MO，QO=NO，∠POH=∠QON=∠AOE.
追问：说一说，你能得到什么结论？
预设：对应点与旋转中心所连成的线段相等，所形成的角也相等.
设计意图：探究任意的对应点与旋转中心的所连线段的关系，体会从特殊到一般的思想.
【归纳】
旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．
设计意图：明确旋转的性质.
【想一想】
下图的四个三角形中，哪个不能由△ABC经过平移或旋转得到？
预设：(1)是由△ABC经过平移得到的，
(2)不能由△ABC经过平移或旋转得到，可以看成是由△ABC经过轴对称得到的，
(3)(4)是由△ABC经过旋转得到的.
设计意图：帮助学生理解平移、轴对称、旋转三种图形运动形式的不同之处，从而把握它们的基本特征.
【归纳】
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【经典例题】
例1 如图所示，如果把钟表的时针看做四边形AOBC，它绕点O按顺时针方向旋转得到四边形DOEF.在这个旋转过程中：
(1)写出它的旋转中心和旋转角；
(2)经过旋转，点A，C，B分别到达什么位置？
(3)AO与DO的长有什么关系？你还能在图中找出相等的线段吗？
(4)∠AOD与∠BOE有什么大小关系？你还能在图中找出相等的角吗？
分析：观察图形，由旋转的概念可得旋转中心、旋转角及对应点，由旋转的性质可得对应线段与对应角相等.
解：(1)旋转中心是点O，旋转角是∠AOD.
(2)点A，C，B分别旋转到点D，F，E.
(3)AO = DO，BO = EO，AC = DF，CB = FE.
(4)∠AOD=∠BOE，∠A=∠D，∠C=∠F，∠B=∠E，∠AOB = ∠DOE.
例2 如图，在中，，点，分别在，上，且，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．
求证：≌；
若，求证：．
证明：(1)由旋转的性质得CD＝CF，∠DCF＝90°，∴∠DCE＋∠ECF＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ECF．
又∵BC=CE，∴△BDC≌△EFC（SAS）．
(2)∵EF // CD，∴∠F＋∠DCF＝180°．
∵∠DCF＝90°，∴∠F＝90°，
∵△BDC≌△EFC，∴∠BDC＝∠F＝90°．
例3 如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上，已知AB=4 cm，BB′=1 cm，则A′B的长度是( ) cm
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：∵△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，
∴A′B′=AB，∵AB=4 cm，∴A′B′=4 cm，
∵A′B=A′B′-BB′，BB′=1 cm，∴A′B=4-1=3cm.
答案选C.
设计意图：让学生进一步体会旋转的概念及基本性质，掌握与旋转有关的简单计算.
课堂练习
【自选练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 如图，△ABC按顺时针方向旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是(　　)
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点
D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点
答案：C
2.如图，△ABC按逆时针方向旋转得到△ADE.
(1)指出图中的旋转中心；
(2)指出△ABC与△ADE的对应边；
(3)说出图中哪些角等于旋转角.
解：(1)图中的旋转中心为点A.
(2)对应边：AB与AD，BC与DE，AC与AE.
(3)∠BAD，∠CAE等于旋转角.
3.如图，将绕点顺时针旋转得到.若点，，在同一条直线上，，则的度数是( )
A. B. C. D.
答：D.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.第三章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
第3课时
1.了解中心对称、中心对称图形和旋转对称图形的概念，探索它们的基本性质.
2.利用中心对称的基本性质画图.
3.认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
4.经历有关中心对称的观察、操作、欣赏和设计的过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观念.
重点：了解中心对称、中心对称图形和旋转对称图形的概念，探索它们的基本性质.
难点：利用中心对称的基本性质画图.
情景导入
教师活动：教师出示各组图形，学生思考后回答.
问题1：观察下面的每组图形，你有什么发现？
预设答案：每组的两个图形都关于直线成轴对称.
问题2：观察下面的这两组图形，它们还成轴对称吗？
预设答案：都不成轴对称.
追问：它们的关系又是怎样的呢？
设计意图：通过观察四组图形，引发学生思考，激发学生的学习兴趣，也为新课的学习做准备.
探究新知
活动一：中心对称
教师活动：以图形的旋转为基础，通过活动引导学生认识中心对称与中心对称图形，探索成中心对称的基本性质，利用中心对称的基本性质画图，认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
思考：(1)观察图3-20，图(1)经过怎样的运动变化就可以与图(2)重合？观察图3-21，再试一试，你还能举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流
预设答案：图3-20，图(1)绕着一点旋转180°后与图(2)重合. 图3-21，图(1)绕着一点旋转180°后也与图(2)重合.
设计意图：通过两组动画展示观察旋转的角度和旋转规律，归纳出中心对称的概念.
总结：如果把一个图形绕某一点旋转180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心.
两个图形上，经过旋转180后重合的两个点叫作对应点.
△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'等都是对应点.
尝试·思考：(1)自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转180.
(2)连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？再选几组对应点试一试.
预设答案：①对应点的连线经过对称中心；
② OA =OA'，OB=OB'， OC=OC' ，OD=OD' ，OE=OE' .
设计意图：通过让学生对对应点连线与对称中心的关系，以及对称中心到两对应点的距离的交流，来探索成中心对称的基本性质.
总结：成中心对称的性质：
成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.
成中心对称的两个图形：
(1)对称中心在任意两个对应点的连线上；
(2)对称中心到两个对应点的距离相等.
中心对称与轴对称的对比：
练一练：已知点A和点O，怎样画出点A关于点O成中心对称的对应点A'？
预设答案：连接AO，并延长到A'，使OA'=AO，点A'就是所求的点.
设计意图：使学生通过画图，明确怎样作出已知点关于对称中心的对应点.
活动二：中心对称图形
观察·交流：观察下列图形，这些图形有什么共同特征？你还能举出一些类似的图形吗？与同伴进行交流.
预设答案：绕着某个点旋转一个角度后，与原始图形重合.
设计意图：在研究两个图形之间对称关系的基础上，转而研究一个图形本身的对称性质，从而归纳得出中心对称图形的概念.
总结：中心对称图形：
把一个图形绕某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心.
思考：如图，是一个以点O为对称中心的中心对称图形，在该图形上任取一点A.你能画出点A关于点O成中心对称的点吗？由此你发现了什么？与同伴进行交流.
预设答案：连接AO，并延长到A'，使OA'=AO，点A'就是所求的点.
结论：中心对称图形上的每一组对应点所连成的线段都被对称中心平分.
设计意图：探究中心对称图形的性质,中心对称图形上的每一组对应点所连成的线段都被对称中心平分.
观察·思考：观察你所学过的平面图形，哪些图形是中心对称图形？
预设答案：线段、平行四边形、长方形、圆、边数为偶数的正多边形是中心对称图形.
思考：能找到线段、圆、平行四边形、长方形、正方形的对称中心吗？
预设答案：对应点连线都经过对称中心且被对称中心平分.
设计意图：进一步体会中心对称图形的基本性质.
总结：中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称图形与轴对称图形的对比：
设计意图：使学生深入理解中心对称与中心对称图形.
活动三：旋转图形的概念
阅读·思考：观察下图中的等边三角形，点O是它的角平分线的交点，将这个三角形绕着点O旋转120，能发现什么？
预设答案：旋转后的图形与旋转前的图形重合.
追问：类似地，观察下图的正六边形，点O是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点O旋转60，能发现什么？
预设答案：旋转后的图形也与旋转前的图形重合.
设计意图：通过实际问题了解旋转对称图形的概念.
总结：旋转对称图形：
一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度(小于360°)后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形，这个点叫作它的对称中心.
等边三角形和正六边形都是旋转对称图形.
旋转对称图形和中心对称图形的区别：
旋转对称图形：绕着一个定点旋转一定角度(小于360°)后，能与自身重合的图形.旋转的角度不一定是180°.
中心对称图形：绕着一个定点旋转180°后，能与自身重合的图形.中心对称图形属于旋转对称图形的一种特殊情况.
阅读·思考：如图所示的图形都是旋转对称图形，想一想，你学过的几何图形中，哪些图形是旋转对称图形？
教师活动：同学之间互相交流，并尝试能否设计一个旋转对称图形(要求它不是中心对称图形).
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【典型例题】
教材例题
例1 如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形.
分析：作已知图形关于某点成中心对称的图形
(1)确定图形的对称中心；
(2)确定图形的关键点；
(3)作这些关键点关于对称中心的对称点；
(4)顺次连接各点，得到成中心对称的图形．
解：连接BO并延长至B′，使得OB′=OB；
连接CO并延长至C′，使得OC′=OC；
连接DO并延长至D′，使得OD′=OD；
顺次连接E，B′，C′，D′，A.
图形EB′C′ D′A就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称的图形.
设计意图：进一步体会画中心对称图形的基本步骤和思想.
思考：图形ABCDEB'C'D'是中心对称图形吗？
预设答案：是中心对称图形.
追问：你发现了什么？
预设答案：①成中心对称是对两个图形说的，它表示两个图形之间的对称关系；中心对称图形是对一个图形说的，它表示某个图形所具有的特性.
②如果把成中心对称的两个图形看成一个图形，那么它就是一个中心对称图形；如果用一条过对称中心的直线将一个中心对称图形分成两个图形，那么这两个图形就成中心对称.
设计意图：通过具体例子引导学生思考两个图形成中心对称与中心对称图形之间的关系.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.下面的扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形
答案：
【自选练习】
2.判断下列说法是否正确.
(1)轴对称图形也是中心对称图形.( )
(2)旋转对称图形也是中心对称图形.( )
(3)平行四边形、长方形和正方形都是中心对称图形，对角线的交点是它们的对称中心.( )
(4)角是轴对称图形也是中心对称图形.( )
(5)在成中心对称的两个图形中，对应线段平行(或在同一直线上)且相等. ( )
答案：(1)(2)(4)说法不正确，(3)(5)说法正确.
3.如图是由四个等腰直角三角形构成的图形，画出这个图形关于点O成中心对称的图形.
解：如图所示.
4.画一个与已知四边形ABCD中心对称图形.
(1) 以顶点A为对称中心；
解：如图所示.
(2) 以BC边的中点为对称中心.
解：如图所示.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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