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第十五章 分式 华东师大版(2024)
15.1.2 分式的基本性质
一、教学目标
1.经历类比分数基本性质的探究过程，理解分式基本性质的推导逻辑，掌握分式的基本性质.
2.能规范运用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式、最简公分母的概念，能正确识别最简分式，确定几个分式的最简公分母.
3.体会“类比分数”的代数转化思想，提升代数问题的分析与运算能力.
二、教学重点及难点
重点：分式基本性质的理解与运用，利用分式基本性质进行约分、通分，识别最简分式与确定最简公分母.
难点：理解分式基本性质中“乘（或除以）同一个不等于 0 的整式”的限制条件，灵活运用因式分解进行约分与通分.
三、教学过程
【探究新知】
探究：分式的基本性质.
教师提问：同学们，在进行分数的化简与运算时，常常要进行约分和通分，其主要依据是分数的基本性质．大家回顾一下分数的基本性质具体内容是什么？
学生回忆并回答：分数的分子和分母同乘或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变.
教师追问：分式本质上是两个整式相除，那么分式是否也存在类似的性质？如果有，你能类比分数的性质猜想一下分式的性质吗？
【学生活动】学生独立思考，小组交流讨论，尝试仿写分数性质的表述.
教师总结分式的基本性质：
分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变．
字母表示 ，，其中 是整式，．
注意事项 （1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算； （2）乘以（或除以）的对象必须是同一个不等于 0 的整式．
用途 进行分式的恒等变形．
设计意图：借助学生已有的分数基本性质知识储备，通过“回顾旧知—类比猜想—验证归纳”的逻辑链条，引导学生主动构建新知．类比法的引入降低了新知理解的难度，不仅让学生轻松掌握分式性质，更培养了知识迁移能力和数学合情推理能力．
【探究新知】
探究：分式的约分与最简分式.
教师：与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分．
那分式的约分依据是什么？约分的核心目标是什么？下面我们一起来看一道例题.
【典型例题】
例3. 约分：
（1）； （2）．
解（1）．
（2）．
教师提问：试用分式的基本性质说明这里是怎样进行约分的．
【学生活动】学生以小组为单位讨论，结合例题梳理约分步骤：先找出分子分母的公因式（多项式需先因式分解），再根据分式基本性质将分子分母同时除以公因式，同时强调所除公因式不能为 0，最后小组代表发言规范表述约分流程.
答案预设：
（1）先找出公因式，根据基本性质同时除以公因式.
（2）先将分子分母因式分解，再找出公因式，根据基本性质同时除以公因式.
教师讲解分式的约分和最简分式：分式的约分就是把分式的分子与分母的公因式约去．
约分的依据：分式的基本性质 ，其中C为A，B的公因式．
最简分式：约分后，分子与分母不再有公因式．分子与分母没有公因式的分式称为最简分式．
教师点拨：（1）判断一个分式是不是最简分式，关键是确定其分子与分母是否有公因式．
（2）约分的结果应是最简分式或整式．
设计意图：以教材典型例题为载体，将分数约分的经验迁移到分式约分中，让学生在动手操作中掌握约分步骤．这一过程不仅巩固了分式基本性质的应用，还强化了因式分解的工具作用，帮助学生清晰区分“公因式”与“最简分式”的概念，规范约分的解题格式，提升运算的准确率与简洁度．
【探究新知】
探究：分式的通分与最简公分母.
教师提问：分数通分是为了统一分母方便运算，分式通分的依据是什么？通分的关键在于确定公分母，那应该如何确定公分母才能让计算更简便？下面让我们通过一道例题的前两问一起来看一下.
【典型例题】
例4. 通分：
（1）； （2）．
解（1）与 的最简公分母为 ，所以
教师提问：试用分式的基本性质说明这里是怎样进行通分的．
（2）与 的最简公分母为 ，即 ，所以
【学生活动】学生小组讨论后发言：先确定最简公分母，再根据分式基本性质，将分子分母同乘对应整式化为同分母分式，同时强调所乘整式不能为 0.
答案预设：
与的最简公分母为，根据分式的基本性质，的分子与分母同乘以b，得；的分子与分母同乘以a，得．
教师讲解分式的通分和最简公分母：分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式．
通分的依据：分式通分的依据是分式的基本性质．
最简公分母：通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）．
例如两个分式 和 ，它们的最简公分母是 ．
设计意图：以教材通分例题为载体，类比分数通分经验，让学生理解通分依据是分式基本性质，掌握最简公分母的确定方法与通分步骤，为后续分式的运算奠定基础．
【课堂互动】
教师提问：同学们，我们已经学习了分式的通分和最简公分母的概念，那大家尝试将例4的（3）按照下面的格式做一下吧.
例4 通分：
（3）．
解：（3）因为 ______________，
______________，
所以 与 的最简公分母为______________，
因此，=________________________，
=________________________．
【学生活动】学生先独立完成因式分解与通分，再小组交流：先分解分母确定最简公分母，再根据分式基本性质将两分式化为同分母分式，最后代表展示解题步骤，强调因式分解的关键作用．
答案预设：
，，，，.
教师拓展1：约分的一般方法：
（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式.
（2）找公因式方法：分子、分母系数的最大公因数；分子、分母中相同字母的最低次幂的乘积.
（3）若分子或分母是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.
教师拓展2：辨析约分和通分的相同点和不同点
约分 通分
不同点 分式的个数 1 个 多于 1 个
变形过程
关键环节 确定分子、分母的公因式 确定几个分式的最简公分母
目的 将分式化为最简分式或整式 把几个异分母的分式化为同分母的分式
相同点 依据 分式的基本性质
分式的值 不变
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变．
2.分式的约分：分式的约分就是把分式的分子与分母的公因式约去．
最简分式：分子与分母没有公因式的分式称为最简分式．
3.分式的通分：分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式．
最简公分母：通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）．

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