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第十五章 分式 华东师大版(2024)
15.2.2 分式的加减
一、教学目标
1.经历从同分母分式加减到异分母分式加减的探究过程，理解分式加减运算法则的推导逻辑，熟练掌握同分母、异分母分式的加减运算法则.
2.能规范运用分式加减运算法则进行计算，会对多项式分母先因式分解再通分，将结果化为最简分式，发展运算能力.
3.体会“异分母化同分母”的转化思想，提高思维的灵活性；能用分式加减运算法则解决实际问题，增强应用意识.
二、教学重点及难点
重点：同分母、异分母分式加减运算法则的理解与运用，利用法则进行分式加减运算并将结果化为最简分式.
难点：异分母分式加减中最简公分母的确定，以及分子、分母为多项式时的因式分解与通分，灵活运用法则解决分式加减的综合运算问题.
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：同学们，我们之前学过分数的加减和分式基本性质，今天要探究分式加减法则，先一起回顾几个关键问题：
1.分数加减法法则是什么？同分母和异分母分别怎么算？
2.什么是分式的通分？如何确定分式的最简公分母？
【学生】学生独立思考后举手发言，相互补充完善．
分数加减法法则：同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母分数加减，先通分再计算．
通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母分式；最简公分母取各分母所有因式的最高次幂的积．
【探究新知】
探究：同分母分式和异分母分式的加减法法则.
教师提问：类比分数的加减法则，你认为同分母分式和异分母的加减应该怎样计算？让我们通过两道题来试一试．
计算：
（1）； （2）．
并说明你的依据．
【学生活动】学生独立尝试计算两道分式加减题，教师引导学生观察并梳理计算过程．小组交流后结合分数加减经验，类比归纳得出分式加减的运算法则．
答案预设：
（1）；
（2）．
教师总结同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．
用式子表示：．
异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示：．
设计意图：以两道例题为探究载体，引导学生从分数加减经验出发，类比迁移得出分式加减的计算方法．在动手计算中巩固通分、约分技能，体会“异分母化同分母”的转化思想．帮助学生自主归纳分式加减法则．
教师拓展：同分母分式加减“三注意”：
（1）分子相减时，一定要把减式的分子加上括号，否则易出现符号错误；
（2）若分母是互为相反数的多项式，则视它们为同分母分式（将其中一个分母的负号移到分数线的前面即可）；
（3）最后的结果必须是最简分式或整式．
【典型例题】
例3. 计算：．
教师点拨：如果所得结果不是最简分式，应该通过约分进行化简．
例4. 计算：．
教师提问：这两个分式分母不同，第一步应该做什么？
【学生】先对多项式分母因式分解，再找最简公分母．
教师点拨：这里两个分式的分母不同，要先通分．为此，先找出它们的最简公分母．注意到 ，所以最简公分母是 ．
设计意图：例3巩固同分母分式加减法则，通过分子为多项式的运算，训练展开、合并与约分技能，强化化简意识；例4突破异分母且分母为多项式的运算难点，让学生掌握因式分解、通分与符号处理方法，提升综合运算能力，培养规范解题习惯，为后续复杂运算与实际应用打好基础．
【课堂延伸】异分母分式相加减的一般步骤
教师提问：我们已经学会了异分母分式加减的方法，那在实际计算时，按照怎样的步骤操作才能既规范又不容易出错呢？
【师生活动】
教师引导学生回顾例 3、例4的解题过程，以小组为单位梳理运算流程，随后师生共同总结出五步标准步骤：
（1）约分：将式子中能约分的分式先约分；
（2）通分：将异分母分式化成同分母分式(其中的整式，可将其分母看成 1)；
（3）写成分母不变、分子相加减的形式；
（4）化简分子(如去括号、合并同类项等)；
（5）将结果化成最简分式或整式．
教师拓展：分式加减运算的步骤
分式加减运算时，首先观察各分式的分母是否相同：若分母相同，直接保持分母不变、将分子相加减；若分母不同，则先通过通分将异分母分式化为同分母分式，再保持分母不变、对分子进行加减运算，最后将运算结果化为最简分式或整式．
【课堂延伸】分式的混合运算
教师提问：如果一个式子中同时包含分式的乘方、乘除、加减，甚至还有括号，我们应该按照怎样的顺序来计算呢？
【师生活动】
教师引导学生类比有理数混合运算的顺序，自主讨论分式混合运算的优先级，随后师生共同归纳运算顺序：
先乘方，后乘除，再加减，若有括号，则先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序进行计算.
教师拓展：
（1）分式混合运算的顺序与实数混合运算的顺序相同；
（2）分子或分母首项含负号时，要把“ ”号提到分式的前面；
（3）进行分式的混合运算时，可以根据需要灵活运用交换律、分配律、结合律等运算律来简化运算．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．
2.异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．

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