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第十五章 分式 华东师大版(2024)
15.3 可化为一元一次方程的分式方程
一、教学目标
1.经历从实际情境中抽象出分式方程的过程，理解分式方程的概念，能正确识别分式方程与整式方程的区别.
2.掌握分式方程的基本解法，理解“去分母化为整式方程”的转化思想；了解增根产生的原因，掌握验根的方法，明确解分式方程必须验根.
3.能根据实际问题中的数量关系正确列出分式方程，会解可化为一元一次方程的分式方程，提升用方程解决实际问题的能力.
二、教学重点及难点
重点：分式方程的概念、解法，以及根据实际问题列分式方程并求解.
难点：理解增根产生的原因，掌握验根的方法；在实际问题中准确分析数量关系，列出分式方程并完整求解.
三、教学过程
【探究新知】
探究：认识分式方程.
教师提问：同学们，我们来看一个轮船航行的实际问题：轮船在顺水中航行 80 km 所需的时间和在逆水中航行 60 km 所需的时间相同，已知水流的速度是 3 km/h，求轮船在静水中的速度．我们之前学过整式方程，这个问题能直接列整式方程解决吗？
【师生活动】学生思考后发现，若设轮船在静水中的速度为x km/h，则顺水速度为(x+3) km/h，逆水速度为(x 3) km/h，根据 “时间相等” 可列出方程：
教师引导学生观察这个方程：它和我们之前学的整式方程有什么不同？
学生：学生发现方程中含有分式，且分母中含有未知数．
教师追问：像刚才列出的方程 ①这样，含有分式且分母中含有未知数的方程，我们应该给它起个什么名字呢？
【学生活动】学生先独立思考，结合方程特征尝试归纳，再与同伴交流.
教师总结分式方程的定义：方程 ① 中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．
教师提问：整式方程和分式方程的根本区别是什么？
学生回答：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数．
设计意图：通过观察、对比、归纳，让学生自主形成分式方程的概念，明确其“分母含未知数”的本质特征，在辨析中深化对概念的理解，培养抽象概括与语言表达能力．
教师拓展：分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于 的方程 （ 为非零常数），分母中虽然含有字母 ，但 不是未知数，所以该方程不是关于 的分式方程．
【探究新知】
探究：分式方程的解法和增根的概念.
教师提问：我们会解一元一次方程，那怎样解分式方程呢？有没有办法去掉分式方程中的分母，把它转化为整式方程？
大家回顾一下解一元一次方程时是怎样去分母的，从中能得到什么启发？
【学生】解一元一次方程时，是在方程的两边同时乘以各分母的最小公倍数，从而去掉分母的．
学生小组讨论后得到启发：可用类似的方法把分式方程的分母去掉，即用转化的思想把分式方程转化为整式方程来解．
答案预设：
方程两边都乘以 ，约去分母，得
解这个整式方程，得
由此可得问题的答案：轮船在静水中的速度为 ．
教师概括解分式方程的基本思路：
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边都乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．
【典型例题】
例1. 解方程：．
解：方程两边都乘以 ，约去分母，得
解这个整式方程，得
教师提问：想一想，解到这儿，我们能不能说 x=1 就是原分式方程的解（或根）呢？
【学生活动】学生仔细观察并检验后发现，当 时，原分式方程左边和右边的分母 和 都是 0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此得出结论： 不是原分式方程的解，应当舍去．所以原分式方程无解．
教师讲解增根的概念：我们看到，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根．
因此，在解分式方程时必须进行检验．
教师提问：那大家知道如何检验方程的解吗，有什么快速的方法吗？
【学生】解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中分式的分母为 0，所以将求得的解代入原分式方程的分母．
教师：大家回答得很棒．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为 0．如果为 0，即为增根．如例 1 中，把 x=1 代入 x21，其值为 0，可知 x=1 是原分式方程的增根．
教师拓展：增根产生的原因
分式方程本身有各分母不能为 0 的限制，而去分母化为整式方程后，没有了这一限制，这时所得的整式方程的解有可能会使原分式方程中的分母为 0，而使方程无意义，所以这个解不是原分式方程的解．
设计意图：通过例题让学生直观发现增根，理解增根产生的原因，深刻体会验根的必要性，掌握验根的核心方法，突破本节课的教学难点，培养严谨的运算习惯．
【典型例题】
教师：有了上面的经验，我们再来完整地解一个分式方程．
例2. 解方程：．
解：方程两边都乘以 ，约去分母，得
解这个整式方程，得
检验：把 代入 ，得
所以， 是原方程的解．
教师点拨：也可代入原方程的每一个分母进行检验，试试看．
例3. 用计算机处理数据时，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致．两人各输入 2640 个数据，已知甲的输入速度是乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完．这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
解：设乙每分钟能输入 个数据，则甲每分钟能输入 个数据．根据题意，得
解得 ．
经检验， 是原方程的解．并且，当 时，，所以乙用了 240 min，甲用了 120 min，甲比乙少用了 120 min，符合题意．
答：甲每分钟能输入 22 个数据．乙每分钟能输入 11 个数据．
设计意图：例 2 通过完整的解方程示范，巩固 “去分母化为整式方程 + 验根” 的解法流程，让学生熟练掌握最简公分母的确定与验根方法，强化解分式方程必须检验的意识；例 3 以实际数据处理问题为载体，体会分式方程在实际问题中的应用，同时强调双重检验（检验方程根 + 检验实际意义）的必要性，培养学生严谨的运算习惯与数学应用能力．
【课堂互动】
教师提问：我们已经学会了解分式方程，那用分式方程解决实际问题时，要遵循怎样的步骤才能做到思路清晰、步骤规范呢？和我们之前列整式方程解应用题有什么不一样的地方？
【师生活动】学生回顾列方程解应用题的经验，结合分式方程的特点，在教师引导下逐步梳理流程，教师板书归纳：
（1）审：审清题意，找出能够表示题目全部含义的等量关系，分清题中的已知量、未知量；
（2）设：设出恰当的未知数，注意单位统一和语言的完整性；
（3）列：根据题中的等量关系，正确列出分式方程；
（4）解：求解列出的分式方程；
（5）验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求；
（6）答：写出答案．
教师拓展：列分式方程常用的等量关系
（1）行程问题：速度× 时间= 路程.
（2）利润问题：利润= 售价 进价；
利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%.
（3）工程问题：工作量 = 工作时间 × 工作效率；
总工作量 = 各个分工作量之和.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.分式方程：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．
2.解分式方程的基本思路：将方程的两边都乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
3.增根：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.
4.列分式方程解决实际问题的一般步骤：
（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）验；（6）答.

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