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第十五章 分式 华东师大版(2024)
15.4 零指数幂与负整数指数幂
一、教学目标
1.经历从同底数幂除法出发，探究零指数幂与负整数指数幂概念的过程，理解零指数幂和负整数指数幂的规定，体会其合理性与性质.
2.通过举例验证，理解随着指数范围扩充到整数，正整数指数幂的运算性质在整数范围内仍然成立，能规范运用这些性质进行简单计算.
3.掌握用科学记数法表示绝对值小于 1 的数的方法，能将这类数表示为 为正整数）的形式，提升数的表达与运算能力.
二、教学重点及难点
重点：零指数幂与负整数指数幂的概念及运算性质，用科学记数法表示绝对值小于 1 的数.
难点：理解零指数幂与负整数指数幂规定的合理性，以及正整数指数幂运算性质在整数范围内的推广与应用.
三、教学过程
【探究新知】
探究：零指数幂的意义.
教师提问：在介绍同底数幂的除法公式 am÷an=am n 时，有一个附加条件：m>n，即被除数的指数大于除数的指数．那么当被除数的指数不大于除数的指数，即 m=n 或 m我们先考察被除数的指数等于除数的指数的情况．例如下列算式：
同学们试着计算一下．
【学生活动】学生独立计算，仿照同底数幂除法公式计算得出结果：
教师：同学们的答案是正确的．
另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于 1．
想一想，可以得出什么结论？
【师生活动】教师引导学生对比归纳，得出零指数幂规定．
教师总结零指数幂的概念：由此启发，我们规定：a0=1 (a≠0)．
这就是说：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1．
教师提问：在上面的式子中，如 ，为什么约定 ？
【学生回答】学生小组讨论后得出：当 时，，即 中的除式等于 0，此时 无意义，所以约定 a≠0.
教师总结：0 的 0 次幂没有意义．
注意：a0=1 (a≠0) 中，a 可以是一个数，也可以是一个式子，但无论是数和式子都不为 0．
设计意图：从旧知法则的限制条件切入，通过 m=n 的特殊情况引发认知冲突，让学生在对比中感受零指数幂规定的合理性，体会数学概念扩充的严谨性，强化底数不为 0 的条件，培养归纳与合情推理能力．
【探究新知】
探究：负整数指数幂的意义.
教师提问：我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如下列算式：
同学们试着计算一下．
【学生活动】学生独立计算，仿照同底数幂除法公式计算得出结果：
教师：同学们的答案是正确的．想一想，我们还可以用什么方法解题？
【学生活动】学生与同伴交流，讨论可以利用约分，直接算出这两个式子的结果．
答案预设：
学生：这两个答案是相等的，即：
教师总结负整数指数幂的概念：一般地，我们规定
这就是说，任何不等于 0 的数的 ( 是正整数) 次幂，等于这个数的 次幂的倒数．
设计意图：延续同底数幂除法的探究思路，由 m【典型例题】
例1. 计算：
（1）； （2）．
解：（1）．
（2）．
例2. 用小数表示下列各数：
（1）； （2）．
解：（1）．
设计意图：通过例题，夯实基础，让学生熟练运用零指数幂、负整数指数幂的定义进行计算，规范解题格式；通过练习，加深对负指数幂的理解，提升数感与运算严谨性．
【探究新知】
探究：整数指数幂的运算性质.
教师提问：正整数指数幂有什么运算性质？
学生回答：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
教师：在上述各式中， 都是正整数，在性质（2）中还要求 ．
提问：我们已经引进零指数幂和负整数指数幂，指数的范围扩大到了全体整数，上述幂的运算性质是否还成立呢？也就是说，以上这些性质中，原来的限制是否可以取消，只要 m、n 是整数就可以了呢？请用具体例子进行验证．
【学生活动】学生以小组为单位展开讨论，举例进行验证．
例如，取 ，来检验性质（1）：
通过上述验证得到性质（1）成立．
教师：类似地，可以检验幂的其他运算性质的正确性．请同学们课下自己试一试．
在取值时，也可以再取几个 m，n 的值（其中至少有一个是负整数或 0）试一试．
教师归纳整数指数幂的运算性质：
名称 式子表示
同底数幂的乘法 是整数 ．
幂的乘方 是整数）．
积的乘方 （ 是整数）．
同底数幂的除法 是整数，．
分式的乘方 是整数，．
设计意图：通过举例验证让学生确信性质可推广，体会数学运算的一致性与延续性，完善幂的运算知识体系，为后续综合运算提供理论依据．
【探究新知】
探究：用科学记数法表示绝对值较小的数.
教师提问：我们会用科学记数法表示大于 10 的数，例如，864000 可以写成 ．
谁能回忆一下这种表示方法的形式和关键规则是什么？
学生回答：利用 10 的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成 的形式，其中 是正整数，．
教师追问：那么绝对值小于 1 的数，如 0.00001、0.0000257，应该怎样用科学记数法表示？
【师生活动】教师出示 0.00001、0.0000257，引导学生将其写成分数形式：
，．
教师讲解用科学记数法表示绝对值较小的数：我们可以利用 10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 的形式，其中 是正整数，．例如，0.000021 可以写成 ．
教师拓展：用科学记数法表示绝对值小于1的数的一般步骤
（1）确定a：1≤|a|<10，a 可为正数，也可为负数.
（2）确定n：确定 n 的方法有两种，
① n 等于原数中左起第一个非 0 数字前 0 的个数(包括小数点前的那个 0)；
②小数点向右移到第一个非 0 的数字后，小数点移动了几位，n 就等于几)；
（3）将原数用科学记数法表示为 a×10-n (其中 1≤|a|<10，n 是正整数)．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.零指数幂：我们规定：a0=1 (a≠0)．
这就是说：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.
2.负整数指数幂：我们规定
这就是说，任何不等于 0 的数的 ( 是正整数) 次幂，等于这个数的 次幂的倒数.
3.整数指数幂的性质：从正整数幂的性质延伸到整数指数幂.
4.用科学记数法表示绝对值较小的数：用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 的形式，其中 是正整数，.

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