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第十五章 分式 华东师大版(2024)
15.1.1 分式
一、教学目标
1.经历从实际问题抽象出分式的过程，了解分式和有理式的概念，能正确识别分式.
2.理解分式有意义、分式的值为0的条件，能利用这些条件求字母的值或取值范围.
3.体会分式与整式的区别与联系，提升代数问题的分析与推理能力.
二、教学重点及难点
重点：分式的概念，分式有意义、分式的值为0的条件及简单应用.
难点：理解分式分母不能为 0 的原因，灵活运用分式有意义、分式值为0的条件解决相关综合问题.
三、教学过程
【探究新知】
探究：认识分式，理解分式的概念.
教师提问：我们之前已经学习了整式的相关知识，请大家先独立思考，用代数式表示下列实际问题中的数量关系，再仔细观察这些代数式，看看它们和我们学过的整式有什么不同？
（1）面积为 2 m2 的长方形的长为 3 m，则它的宽为___________m；
（2）面积为 S m2 的长方形的长为 a m，则它的宽为___________m；
（3）一箱苹果售价 p 元，总重 m kg，箱重 n kg，则每千克苹果的售价为___________元．
【师生活动】学生独立完成列式，教师对答案进行板书：，，.
教师引导学生观察：这些式子在形式上都是“分子÷分母”的结构，和分数很像，但分母部分和分数有明显区别——分母中都含有字母.
教师追问：你能结合这些例子，尝试给这类“分母含字母的式子”下一个严谨的定义吗？
【学生活动】学生先独立思考，再与同桌交流，尝试归纳定义.
教师总结分式的定义：形如 是整式，且 中含有字母）的式子，叫做分式．其中 叫做分式的分子， 叫做分式的分母．
整式和分式统称为有理式，即有理式包含整式和分式两类.
设计意图：从学生熟悉的长方形面积、商品售价等生活场景出发，让学生经历“实际问题→数量关系→代数式”的抽象过程，体会数学与生活的联系．通过与整式对比，引导学生自主发现分式“分母含字母”的本质特征，在归纳、辨析中深刻理解分式概念，培养抽象概括与表达能力，为后续有理式分类奠定基础．
教师拓展1：分式必须满足三个条件：
（1）具备的形式；
（2）都是整式；
（3）分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
教师拓展2：辨析整式和分式
分式与整式的主要区别体现在分母中是否含有字母：
（1）分式的分母中含有字母，如 ， 都是分式；
（2）整式的分母中不含有字母，如 是整式．
【典型例题】
例1. 下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
解： 和 是整式， 和 是分式．
设计意图：通过对比辨析有理式，引导学生抓住“分母是否含有字母”这一核心特征，准确区分整式与分式，巩固分式的概念定义．
【探究新知】
探究：分式有无意义的条件.
教师提问：我们知道除法运算中除数不能为 0，那在分式中，分母 B 可以等于 0 吗？为什么？如果 B=0，会出现什么问题？
【学生活动】学生以小组为单位展开讨论，结合除法的意义和分数的认知，分享自己的理解：有的学生从“除数不能为0”的角度出发，认为分母 B 相当于除法中的除数，所以不能为0；有的学生结合具体例子，说明当 x=0 时，这个式子没有意义.
教师归纳总结分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能为0．
如果分母的值为 0，则分式没有意义．
例如，在分式 中，；在分式 中，．
即分式有意义 分母≠0；分式无意义 分母=0．
【典型例题】
例2. 当 取什么值时，下列分式有意义？
（1）； （2）．
教师点拨：要使分式有意义，必须且只需分母的值不等于0．
解：（1）分母 ，即 ．
所以，当 时，分式 有意义．
（2）分母 ，即 ．
所以，当 时，分式 有意义．
设计意图：以两个典型分式为例，让学生直接运用“分式有意义 分母0”这一核心条件，通过解简单不等式求出字母的取值范围．一方面，强化学生对“分母不能为0”这一前提的理解与记忆；另一方面，规范解题步骤与表述方式．
【探究新知】
探究：分式值为零的条件.
教师提问：既然分式是一种代数式，那它的值可以为 0 吗？如果可以，需要满足什么条件？
【学生1】分子 A=0.
【学生2】分子 A=0 并且分母不能等于0，分式才能既为0也有意义.
教师总结分子为零的条件：
分式 的值为零，则分子为零，且分母不为零，即 ，．
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
教师拓展：分式有（无）意义的条件的一些注意条件
(1)分式是否有意义，只与分式中分母的值是否为 0 有关，而与分子的值是否为 0 无关.
(2)讨论分式有无意义，一定要针对原分式讨论，不能将分式化简后讨论．判断时，注意含有 的式子中 是常数.
(3)式子中含有多项时，若其中至少一项分母含有字母，其他项为整式，则该式也为分式，如：.
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.分式：形如 是整式，且 中含有字母）的式子，叫做分式．其中 叫做分式的分子， 叫做分式的分母．
2.有理式：整式和分式统称为有理式.
3.分式有意义的条件：分母不等于 0.
4.分式值为零的条件：分子等于 0 且分母不等于 0.

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