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第十五章 分式 华东师大版(2024)
15.2.1 分式的乘除
一、教学目标
1.经历从分数乘除运算法则抽象出分式乘除运算法则的过程，理解分式乘除法则的推导逻辑，进一步根据乘方的意义和分式乘法法则得出分式乘方法则.
2.能规范运用分式乘法、除法和乘方法则进行运算，会对结果进行约分化简，发展运算能力.
3.体会＂类比分数＂的代数转化思想，提升代数问题的分析与运算推理能力.
二、教学重点及难点
重点：分式乘除、乘方法则的理解与运用，利用法则进行分式乘除、乘方运算，并将结果化为最简分式.
难点：分子分母为多项式时的因式分解与约分，灵活运用法则解决分式乘除、乘方的综合运算问题.
三、教学过程
【复习回顾】
教师提问：上节课我们学习了分式的基本性质、约分与通分，谁能回忆一下：
1.分式的基本性质是什么？
2.什么是约分？什么是最简分式？
3.什么是通分？如何确定最简公分母？
【学生】学生独立思考后，举手发言，相互补充．
分式基本性质：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变．
约分：把分式的分子与分母的公因式约去，得到最简分式（分子与分母没有公因式的分式）．
通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母分式；最简公分母取各分母所有因式的最高次幂的积．
教师追问：约分和通分的依据是什么？
【引导学生回答】分式的基本性质．
【探究新知】
探究：分式的乘法法则.
教师提问：回想分数的乘除法，如何计算 和 ？
【学生活动】学生回顾分数乘除法则，独立完成计算．
答案预设：
分数的乘法法则：分数乘以分数，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.
分数的除法法则：一个数除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数.
；.
教师提问：类比分数的乘除法法则，如何得出分式的乘除法法则？从中可得到什么启示？
分数除法是转化为乘法来计算的，“除以一个数等于乘它的倒数”，分式除法也可以这样转化吗？让我们通过两道题来试一试.
计算：（1）； （2）．
【师生活动】学生独立计算两道例题，教师引导学生观察并得出上述式子的计算过程．
小组交流后通过结果类比分数乘除法则，归纳得出分式乘除运算法则：乘法分子乘分子、分母乘分母；除法变除为乘，再约分．
答案预设：（1）．
（2）．
教师总结分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简．
用式子表示：．
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示：．
【教师点拨】当分式与整式相乘除时，可把整式看作分母是 1 的式子．
设计意图：以“试一试”的例题为载体，先让学生回顾分数乘除运算，再通过类比迁移自主完成分式乘除计算，最后自然概括出分式乘除运算法则．既让学生体会“从具体到抽象、从已知到未知”的探究过程，又巩固了约分技能，渗透类比推理的数学思想，为后续更复杂的分式运算奠定基础．
【典型例题】
例1. 计算：
（1）；（2）．
解：（1）．
（2）．
例2. 计算：．
教师点拨：将分子、分母分别分解因式，并及时约分．
解：原式．
设计意图：通过两道例题分层递进：例1巩固单项式分式乘除的基础运算，强化法则应用与约分意识；例2突破多项式分子分母的运算难点，训练“先因式分解再约分”的解题思路，培养规范运算习惯，为后续复杂运算奠定基础．
【课堂延伸】
教师提问：我们已经学习了分式乘除的运算法则，那在实际运算时，应该按照怎样的步骤来操作，才能保证计算既规范又准确呢？
【师生活动】
教师引导学生回顾之前做过的例题，小组讨论“运算时容易出错的环节”，梳理出运算的关键步骤．
教师结合学生讨论结果，板书总结分式乘除运算的 4 步流程：
1.判运算：先判断运算类型，将除法转化为乘法（颠倒除式分子分母）；
2.定符号：根据负因数个数确定结果的符号；
3.看形式：若分子、分母是多项式，先进行因式分解；
4.算并约：按分式乘法法则计算，最后约去公因式，化为最简分式或整式．
教师可以再结合一道典型例题（如多项式分式乘除），带领学生按步骤完整演练一遍，强化步骤意识．
【探究新知】
探究：分式的乘方法则.
教师提问：乘方的意义是n个相同因式相乘，那么怎样进行分式的乘方呢？
试计算：①；② 为整数，且 ．
【学生活动】学生根据乘方意义与分式乘法法则自主推导，小组内交流推导过程．
答案预设：
①
．
．
教师追问：观察计算结果，你能总结出分式乘方法则吗？
【师生活动】教师带领学生回顾乘方的意义，结合分式乘法法则，一步步拆解上述式子的推导过程，引导学生观察分子、分母的乘方规律，共同归纳．
教师总结分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
用式子表示：（n是正整数）．
【教师点拨】分式的乘方法则中，字母 a，b 分别表示分子与分母，它们可以是单项式，也可以是多项式．
设计意图：从乘方的意义出发，结合分式乘法法则进行演绎推导，让学生明白分式乘方不是机械记忆，而是由已有知识自然生成．通过自主探究，加深对法则的理解，提升演绎推理能力，同时为分式混合运算做好铺垫．
教师拓展1：分式乘方看“两号”
（1）定符号，分式乘方确定结果的符号的方法与有理数乘方确定结果的符号的方法相同（正分式的任何次幂都为正，负分式的偶次幂为正，奇次幂为负）；
（2）加括号，当分式的分子或分母是多项式时，要把它看成一个整体，加括号．
教师拓展2：分式的乘除、乘方混合运算顺序
先计算乘方，再计算乘除，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简．
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
3.分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．

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