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基于数学文化的大单元整体教学
——《完美的圆》
聚焦 “新课标”，探索 “大单元”，共酿 “大智慧”，在教学实际中，我们对大单元整体教学积累了一些经验和策略。接下来，我们团队将以《完美的圆》这一单元为例，和大家分享我们是如何紧密结合新课标的要求，通过整体性的设计，让高质量的图形学习在孩子中间真正发生的。
一、单元概述
基于儿童， 以单元整合立场，改变原有的小步子、碎片化教学方式，尝试用有机整合方式将教材进行重组，让我们的孩子更加系统化地学习、探究，这是我们团队站在单元视角下对单元整体教学的设计与思考。
在我们团队的单元整体结构化设计过程中，我们挖掘出了两条主线，这两条基本主线帮助我们完成了整个单元的构架。
第一条主线是基于儿童，了解学生，对于儿童的已知、未知、困惑、难点进行学情评估，然后在这个基础上，尝试对整个单元内容尝试做属于我们自己的整体架构，再对关键课例做整体探索。这是我们团队对我校六年级学情评估的统计情况。从结果上看，可以发现有些数据比值很高，也有些数据比值不高， 比如说有些学生对于圆与其他图形的关系没有足够认知，又比如说，孩子在这个过程当中已经知道的知识其实是通过别人告知或者实际得到的，而不是真正通过画图、操作等经验活动得到的，基于这样，
我们在整体架构的时候，会把圆与其他直边图形的关系作为架构的关键点。
依据学情评估，根据本单元既定课时编排内容，我们从课程标准及大概念层面，尝试对这个单元做了如下梳理：我们从大概念的视角来思考，这个单元学习的意义是什么？ 明确圆的要素（ 圆心、半径、直径），并且体会要素之间的关系， 当学习曲边图形圆时，要不断借鉴直边图形类比化归的方法，帮助学生获得探索图形公式的一般思路。这是我们从大概念的层面进行的梳理。无论是从学情分析，还是从大概念的视角， 目标核心都指向圆与方之间的关系。
第二条主线是基于数学文化，而数学思想方法又是数学文化的核心承载者。《义务教育数学课程标准（ 2022 年版）》指出，教学内容的结构与组织要关注核心素养发展的整体性和一致性。除了知识、技能的整体性和一致性之外，我们更应该注重 “逻辑的连贯性和思想方法的一致性”。对于单元整体学习而言，数学思想方法具有组织、 串联和统整的作用。
单元整体架构的时候，我们团队分三步走，通过 “提炼核心问题——聚焦思想方法——制定单元整体规划” 的思路展开。
1.提炼核心问题
将教学内容置于全局视角下，能够更好地厘清知识的来龙去脉，有助于把握教学中的共性问题。在 “ 圆”这一单元中，最为关键的是圆的特征、圆的周长、圆的面积三个内容都指向同一个核心问题，即方（多边形）与圆的转化。
2.聚焦思想方法
有了单元核心问题，还需进一步聚焦与该问题相关的主要数学思想方法，思考其如何作用于全局。 “ 圆”单元的核心问题是方与圆之间的 “无缝”衔接与转化，在此过程中，圆的概念与特征、圆周率与圆周长、圆的转化及面积公式推导等知识技能的习得始终需要得到极限思想的支持。
二、课时安排
基于此，我们团队在整个设计过程中，通过设置单元起始课、单元探究课、单元练习课、单元复习课四个课型，不仅可以使知识、技能和方法得到更好地运用，还有利于极限思想持续发挥作用。 同时，在大概念引领下，为 了突破圆的本质，发展学生的度量观念，渗透极限思想，发展几何推理能力和问题解决能力。我
们的单元整体课时安排如下所示:
活动 序列 课题 核心问题 课 时
活动 一 单元起始课 《有趣的 圆》 整理旧知，形成单元知识概览 1
活动二 单元探究课 《圆的认 识》 理解圆的本质——一中同长，感 知数学说理过程 1
活动三 单元探究课《圆的周 探秘圆周率——圆的直径与周长 之间的关系 1
长》
活动四 单元探究课 《圆的面 积》 推导圆面积公式——转化中初步 感知极限思想、渗透 “化圆为方” 思想 1
活动五 单元练习课 《圆与生 活》 应用公式解决问题的综合性学习——形成空间观念和应用意识 2
活动六 单元复习课 《回顾整 理》 沟通圆与方之间的关系——回顾整理的过程中建立模型 1
三、单元目标
在厘清单元整体教学的主线之后，确定本单元整体目标，合理划分、调整学习内容并制定课时目标。
学习目标分为单元目标和课时目标。单元目标不是课时目标的简单叠加，应对单元知识技能进行整体思考和定位，明确数学思想方法在教学过程中的整体促进作用，兼顾学生数学素养的整体提升， 以使单元整体教学活动取得长期效果。在这个过程中，我们团队将 “ 圆”单元的整体目标定位为：
1.经历圆的特征、周长、面积的探究过程，掌握圆周长、面积的计算方法，对平面图形形成整体认知；
2.关注方与圆的转化这一核心问题，借助正多边形与圆的多重对应关系，体会极限思想的重要意义并用于指导各内容的学习和探究，熟练运用转化思想解决问题；
3.经历知识技能和思想方法的形成、发展和完善的过程，结合学习素材进行质疑和辨析，发展问题意识、批判精神和创新意识。
课时目标的制定应围绕核心问题和思想方法，紧扣单元目标，分阶段落实。我们团队从显性（知识技能）和隐性（ 思想方法）两个层面制定各课时目标。特别是隐性目标，应该符合并体现数学思想方法习得的规律。这是我们制定的课时目标，分为显性目标和隐性目标，如下：
课时 显性目标（知识技能） 隐性目标（ 思想方法）
有趣的圆 通过图形的分类 、整理，复习已学图形的特征;能运用直观教具描述图形的周长、面积及其测量方法 经历 多边形 学习路径的回顾，构建单元概览和学习路径，为迁移知识、经验做足准备
圆的认识 尝试以不同的方法画圆，体会圆的特征;比较不同的画圆方法，理解圆的概念和特征 在视 频演 示 中体会 由正 多边形向 圆 转化 的 过程，理解“圆出于方” “一中同长”等命题
圆的周长 运用“化曲为直”的数 在 “化曲为直”研究圆
学方法，研究周长与直径之间的关系，得出圆周率的近似值 周率的过程中，运用并巩固极限思想
圆的面积 根据圆与正多边形的关系，通过转化与对应，推导出圆的面积计算公式 运用极限思想、转化思想， 解决圆的面积问题，培养数学思维能力
圆与生活 熟练掌握圆的周长和面积计算方法，经历从问题分析到解题过程的完整思维过程，培养学生的应用能力 认识到圆的知识在生活中的广泛应用，培养用数学的眼光观察生活、解决实际问题的意识和能力
复习整理 通过自主复习、小组合作交流等方式，对圆的知识进行整理和归纳 归纳整理圆的知识体系，形成系统的认知结构，体验数学知识的系统性和连贯性，感受数学的严谨性和逻辑性
四、评价任务
为确保这些目标的有效达成，我们团队制定了与之相对应的
评价任务。如表格所示：
课题 核心问题 评价任务
单元起始课 整理旧知，形成单元知识概览 1.图形特征与研究方法比较：学生对已学多边形的特征掌握情况。对周
《有趣的圆》 长、面积的掌握情况，对已学图形的周长、面积的测量及计算的理解 2. 推理与拓展： 能否以多边形的学习经验和建构单元学习概览；能否迁移多边形面积的研究方法
单元探 究课 《圆的 认识》 理解圆的本质— —一中同长，感知 数学说理过程 1.概念阐述：解释“圆，一中同长也”的含义 2.实际应用：阐述实际生活中圆的各类应用问题 3.画圆实践：用圆规画出指定半径的圆
单元探 究课 《圆的 周长》 探秘圆周率—— 圆的直径与周长 之间的关系 1.概念阐述；圆周率与周长、直径的关系 2.圆周率的探究；圆的周长计算公式是如何推导出来的 3.计算应用；设置实际问题情境，运用公式解决实际问题
单元探 究课 《圆的 面积》 推导圆面积公式 ——转化中初步 感知极限思想、渗 透“化圆为方”思 想 1.概念理解;圆的面积的定义 2.公式推导分析；阐述圆的面积公式的推导过程 3.计算与实际应用：设计实际问题，运用公式解决实际问题
单元练 应用公式解决问 运用圆的知识解决实际生活中的问
习课《圆与生活》 题的综合性学习 ——形成空间观 念和应用意识 题
单元复习课《回顾整理》 沟通圆与方之间 的关系——回顾 整理的过程中建 立模型 知识梳理全面、准确，对圆的概念和公式推导理解深刻。
依据课时安排，对相关数学知识予以问题化呈现，从中精确提炼出核心问题， 以这些核心问题为基础，设置出具体明确、可操作性强的评价任务，完成问题向任务的有效转化。 以任务为明晰指向，对任务进行深度数学化处理，从而生成具体且卓有成效的教学过程。
五、设计学习活动
在开展单元整体教学设计时，我们团队既注重各课时的自成一体，又要考虑数学思想方法习得的各个阶段与相应学习活动之间的关系，同时还应关注各课时学习活动的前后呼应。 “ 圆”单元各课时主要活动如下：
我们在单元起始课中，设计了系统整理多边形学习的方法，
以便于学生形成“认识图形就是认识图形的特征、周长、的面积”的知识概括，更好地迁移已有的学习经验来学习圆的有关知识，
水到渠成地形成 “ 圆”单元的知识概括，在此过程中，发展学生的空间观念、量感和推理意识。 同时，创设大情境任务，制作钟
表模型，让学生通过讨论分解活动任务，明确单元学习目标和学习方法。
1.在概念习得中明确思想方法
学生获得对数学思想方法的初步感知后，还需要将其运用于特定对象的学习中，并以此为载体进一步明确思想方法。在数学对象特征的刻画和数学概念的抽象过程中，其中包含的数学思想方法及其价值得到进一步显现。在 “ 圆的认识” 一课中，通过视频展示生活中人们是如何画圆的，进而介绍在正方形纸里画出近似的圆形，对比不同画图方法之间的联系，感知圆与方之间存在的微妙关系，圆出于方的种子已经种下。其次，在沟通圆与其他几何图形联系时，通过 “异中求联”和”多中求同 “，首先发现圆是一中同长，其次发现其他图形是一中不同长，最后又感悟圆出于方，方出于矩，沟通图形间内在联系。
在这一过程中，学生明确了方与圆的转化过程中包含的极限思想，通过极限思想验证了正多边形与圆之间可以互相转化的事实，解决核心问题——圆一中同长。
2.在知识应用中巩固思想方法
在明确数学思想方法之后，学生能否在面对新问题时自觉应用，是思想方法是否被理解与接受的重要判断标准，也是他们必须要经历的阶段。
因此，创造机会让学生主动应用数学思想方法指导自己的学习活动。在 “ 圆的周长”学习中，首先感知圆周长的含义，借助圆内接正六边形、圆外切正方形与圆直径的关系，进而推理出圆
周长与直径之比大于 3，小于 4，随着，通过正方形不断剪切，以动态图象为支架,切的次数越来越多，发现正多边形越来越接近圆，正多边形的周长越来越接近圆的周长，前期活动中蕴含的 “ 圆与方”思想便发挥了作用，再通过分组实验探究，借助信息技术使圆周长与直径之比更精确，解决核心问题——圆周率、周长、半径之间的关系。最后播放 “割圆术与圆周率”视频， 弘扬中国优秀传统文化，增强文化自信和民族自豪感，让学生体悟求真务实、不断探索的科学精神，
3.在问题解决中发展思想方法
数学思想方法不是孤立的，一方面，它是包含于具体数学知识之中的；另一方面，某一数学思想方法往往与其他思想方法共存于学习内容之中。 因此，应以联系发展的眼光加以对待，在复杂问题的解决过程中综合运用，形成对数学思想方法的综合性、深层次理解。
在 “ 圆的面积”研究中，学生根据本单元前期研究的过程，在初探圆的面积怎么求时，引导学生利用圆与方之间的接近关系，在圆外画一个最小的正方形或者在圆内画一个最大的正方形，限定圆的面积介于在大正方形与小正方形的面积区间内，同时揭示面积计算本质就是面积单位的累加；其次，学生利用头脑中已有认知经验，将圆转化成以前学过的图形，最后，课件直观演示，将圆分割成无数个极小的扇形，然后把这些扇形重新组合，近似地拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底近似为圆周长的一半，高近似为圆的半径。通过这种方式，我们成功地将圆的面积
转化为平行四边形的面积，在此过程中，感受极限思想在圆的探究中的应用。
单元练习课中，我们将圆与扇形、圆与方、赏析和制作包含圆形元素的艺术作品，让孩子在实践活动过程巩固基础的知识，进行综合性的应用，让数学思想方法在孩子们心中生根发芽，立体全方位地理解圆的本质。
单元复习课中，围绕大单元核心内容,循序渐进、螺旋上升地展开复习,先引导学生明确圆的本质属性—一中同长，再灵活运用圆的周长与面积计算公式来解决实际问题，发展学生的核心素养。
纵观整体，在单元整体学习过程中，在圆的认识过程中，极限思想逐步成型，运用极限思想改进圆周率的研究方案进一步巩固对极限思想的认识，在圆的面积公式探究中极限思想得到自觉运用并被用于弥补转化思想的不足。知识技能的学习与思想方法的习得始终交织在一起，互相促进，互为补益。 因此，数学思想方法的习得应以具体的学习活动作为载体，反之，将数学思想方法习得的各阶段与教学活动相融合，有助于更好地完成单元整体教学。
六、作业设计
在本单元的作业设计方面，我们遵循开放性、生活性、实践性原则。本单元的作业设计围绕单元目标，紧扣解决核心问题，综合考察了学生对本单元基础知识的掌握情况，注重了知识前后整合链接，体现了知识的横向、纵向延伸。根据以往六年级的教学经验，在整体设计单元题目时，我们关注了学生的易错点，力
求使作业的效果最大化。最重要的是，针对本单元的作业设计，我们立足生活实际，突出数学文化，聚焦学生核心素养的提升。
以计算半圆的周长为例，学生们常常会将半圆的周长与圆周长的一半这两个概念混淆。为了加深学生对半圆周长这一知识点的理解，我们特别设计了填空题中的第五小题以及选择题中的第二小题。通过这两道题目的练习， 旨在进一步强化学生对半圆周长概念的掌握与巩固。
在此次大单元教学主题的引领下，我们致力于将数学文化融入到单元作业中。通过精心筛选与整合，我们从知网、学习强国等权威平台广泛搜集相关资料。
例如，在设计题目时，我们结合本地知名品牌 “小周月饼”来构思，学生们在做题中感受数学源于生活，用于生活的理念。解答时学生需要在观察、想象，操作，思考， 比较中体会圆的这种区别于其他图形的本质特征——一中同长也。
在课程改革的大背景下，阅读教学的重要性逐渐突显。我们选定了以 “天圆地方，天人合一——山东博物馆新馆”为主题的阅读材料解答题，这一设计， 旨在让学生在完成作业的过程中，既能加深对数学知识的理解和应用，又能领略到数学文化的博大精深与独特魅力。
结合我校校本课程—— “纸上生花 美劳共生”剪纸课程，我们团队还安排了一项富有创意的数学实践作业——制作圆形元素相关的剪纸作品，使学生能够在实践中体验到创作的乐趣。
总之，在本单元的整体设计中，我们从提升学生核心素养的角度，以 “ 画圆为方”为主线，让孩子去操作、去实践、去领悟、去表达，引导学生主动建构知识之间的联系，实现圆与方之间的无缝衔接与转化，从而形成完整的认知结构，促进其深度学习的发生。
我们团队的分享到此结束，不足之处欢迎大家批评指正，谢谢大家。

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