资源简介

一元二次方程的应用—销售利润问题
教材分析
教材地位：
本节内容是沪科版八年级数学下册第17章《一元二次方程》的重点应用课，是在学生掌握一元二次方程解法的基础上，进一步培养数学建模能力的关键课型。通过销售问题的实际情境，帮助学生理解"总利润=单件利润×销售量"的核心数量关系，从中逐步体会方程思想在解决实际问题中的重要作用。
学情分析：
八年级学生已掌握列一元一次方程解应用题的方法，知道列方程解应用题的一般步骤但对二次方程的应用存在畏难情绪。销售问题涉及价格、销量、利润等多个变量，需引导学生通过列表、画线段图等方法梳理数量关系，突破"变量间相互影响"的理解难点。
教学目标：
1、学生通过学习掌握销售问题中的基本数量关系：总利润=（售价-进价）×销售量，并能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解。
2、学生经历"实际问题→数学模型→方程求解→验证应用"的过程，培养数学建模能力，并体会分类讨论、数形结合等数学思想方法。
3、学生通过小组合作，感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣，培养合作意识和严谨的解题习惯。
教学重难点：
重点：建立销售问题的数学模型，正确列出一元二次方程。
难点：理解价格变化对销售量的影响，准确表达变量间的关系。
教学过程设计
一：情境导
问题1：某商店将进价8元的商品按10元销售，每天可卖出100件。求出该商品日利润是多少？ 让学生动手解决问题， （设计意图：通过贴近生活的问题引发认知冲突，激发探究欲望，明确本节课的学习目标。） 追问：①利润、售价、进价的关系？②总利润的计算公式？ 单件利润= 售价 - 进价 总利润=单件利润 × 销售量 （设计意图：通过对以前知识的回顾，使学生唤醒已有知识经验，为后续建模做铺垫。）
新知探究
问题2：某商店将进价8元的商品按10元销售，每天可卖出100件。调查发现，每涨价1元，日销量减少10件。如何定价才能使日利润达到350元？ 追问1：涨价后每件商品的利润是多少？
追问2：涨价后日销售是多少？ 让学生思考，小组交流并尝试解决。 （设计意图：通过问题2提高学生主动参与能力，培养学生小组合作意识，引出课题）
例题精讲
例题1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施. 经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元，商场平均每天可多售出2件. 若商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元
解析：用一元二次方程解决实际问题，关键是审请题意并设未知量，降价后每件衬衫售价是多少？每件衬衫利润是多少？商场每天销售多少件衬衫？（关键步骤：设变量→表相关量→找等量关系） 学生小组合作尝试解决，并板演。
解：设每件衬衫应降价x元.
根据题意，得 (40-x)(20+2x)=1200
解方程，得 x1=10，x2=20
∵ 要尽快减少库存
∴ 每件衬衫应降价20元. 答：商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价20元。
归纳列一元二次方程解应用题方法：
审：读题弄清题意，找出题中已知条件和所要求的问题，找出等量关系；
设：根据问题设未知数；
列：根据等量关系列出方程；
解：解所列方程，求出未知量的值；
验：检验所求的方程的根是否正确，是否符合题意；
答：根据问题和所求写出答案. （设计意图：通过具体销售利润的实际问题引导学生如何审题分析并出示完整的解题示范，培养学生分析问题和解决问题的能力，突出建模过程的规范性。）
巩固提升
练习1：某水果批发商经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
练习2、某商店如果将进货价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨价0.5元，其销售量就会减少10件. (1) 问应将每件商品的售价定为多少时，才能使每天所获得的利润为640元？
提高题(2) 问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？最大利润是多少？ （设计意图：及时练习巩固新知，加大对销售利润问题的理解，对于提高题渗透二次函数最值思想，为后续学习做铺垫。
三：课堂小结
总结：
1、今天我学会了什么？
2、我印象最深的是什么？
3、我还有些困惑的是什么？
4、销售利润问题的基本关系： 利润=售价-成本
总利润=单个商品利润x商品数量
建立一元二次方程模型的关键
实际应用中要注意的问题 （设计意图：通过师生共同小结，梳理本节课的重点内容，强化学习效果。）
板书设计
一元二次方程的应用——销售问题
利润=售价-成本 总利润=单件利润×销售量
解：设 一般步骤：
设→表→列→解→验→答
x)(20+2x)=1200
注意事项：结果需符合实际意义
解方程，得
答
课后作业
必做题：教材P50 第9题
选做题：教材P50 第10题 （设计意图：作业设计兼顾巩固与拓展，选做题体现实践性。）
教学反思
本节课教学中学生对于售价变化销售数量也发生变化理解上有困难，还可能忽略"每涨价1元销量减少10件"中的单位对应关系，在解方程后容易忘记检验解的实际意义。教师讲解中要仔细分析售价变化对销售量变化的影响，可以通过单位标注（如"元/件"）强化数量关系理解，在例题中设置"当x=2时销售量多4件"的实际意义讨论依次来突破难点。后续可增加"线上销售"等新情境问题，增强时代感。本设计注重数学与生活的联系，通过"问题链"引导学生逐步深入，在掌握知识的同时培养核心素养。

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