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专题突破练14
(分值:98分)
主干知识达标练
1.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　)
A.若a∥b,a∥α,则b∥α
B.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,a⊥β,则a∥α
D.若α⊥β,a∥α,则a⊥β
答案B
解析若a∥b,a∥α,则b∥α或b α,故A错误;若a⊥α,b⊥β,则直线a,b的方向向量a,b分别为平面α,β的法向量.又a⊥b,即a⊥b,所以α⊥β,故B正确;若α⊥β,a⊥β,则a∥α或a α,故C错误;由α⊥β,a∥α无法判断a与β的关系.故D错误.故选B.
2.(多选题)(2025全国1,9)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC中点,则(　　)
A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D
答案BD
解析取B1C1中点D1,连接A1D1,AD,则AD∥A1D1.易知A1D1不垂直于平面AA1C1C,∴A1D1与A1C不垂直,∴AD与A1C不垂直,故A错误;
由题可知,B1C1⊥A1D1,B1C1⊥AA1,A1D1∩AA1=A1,A1D1,AA1 平面AA1D,
∴B1C1⊥平面AA1D,故B正确;
∵AD∥A1D1,AD∥平面A1B1C1,A1D1与A1B1相交,∴AD与A1B1异面,故C错误;
∵CC1∥AA1,CC1 平面AA1D,AA1 平面AA1D,∴CC1∥平面AA1D,故D正确.故选BD.
3.(多选题)在某次数学探究活动中,小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接,然后他又将三角板ABC折起,使得二面角A-BC-D为直二面角,得图2所示四面体ABCD.小明对四面体ABCD中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断,其中正确的是(　　)
图1
图2
A.CD⊥平面ABC
B.AB⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面ABD⊥平面BCD
答案ABC
解析因为二面角A-BC-D为直二面角,可得平面ABC⊥平面BCD.又因为平面ABC∩平面BCD=BC,DC⊥BC,DC 平面BCD,所以DC⊥平面ABC,故A正确;
因为DC⊥平面ABC,AB 平面ABC,
所以DC⊥AB.
又因为AB⊥AC,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,所以AB⊥平面ACD,故B正确;
因为AB⊥平面ACD,AB 平面ABD,
所以平面ABD⊥平面ACD,故C正确;
假设平面ABD⊥平面BCD,
因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面ABD=AB,所以AB⊥平面BCD.
又BC 平面BCD,所以AB⊥BC,矛盾,
所以平面ABD与平面BCD不垂直,故D错误.故选ABC.
4.(15分)(2025上海,18)如图,P是圆锥的顶点,O是底面圆圆心,AB为底面圆直径,AB=2.
(1)若PA与底面所成角大小为,求该圆锥的侧面积;
(2)已知Q是母线AP的中点,点C,D在底面圆周上,弧长为,且CD∥AB,点T在OC上运动,求证:QT∥平面PBD.
(1)解如图,连接PO,由题意知PO垂直底面,
∵PA与底面所成角大小为,
∴∠PAO=,∠POA=,
又OA=AB=1,∴PA=2,
∴S侧=π·OA·PA=2π.
(2)证明如图,作出点C,D,T,连接CD,BD,QT,QC,QO,OD,PD,
在△PAB中,∵O,Q分别是AB,AP的中点,∴OQ∥PB,
又PB 平面PBD,OQ 平面PBD,∴OQ∥平面PBD.
∵∠AOC=,且CD∥AB,
∴∠OCD=∠AOC=,
又OC=OD=1,∴△OCD是等边三角形,
∴CD=1=OB,
又CD∥OB,∴四边形OCDB是平行四边形,∴OC∥BD,
又OC 平面PBD,BD 平面PBD,
∴OC∥平面PBD,
又OC∩OQ=O,OC 平面OCQ,OQ 平面OCQ,∴平面OCQ∥平面PBD.
∵QT 平面OCQ,∴QT∥平面PBD.
5.(15分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.求证:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
证明(1)取BC的中点O,连接PO.
由题可知△PBC为等边三角形,∴PO⊥BC.
又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO 平面PBC,
∴PO⊥平面ABCD.
以点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴、过点O与AB平行的直线为y轴、OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=,
∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),∴=(-2,-1,0),=(1,-2,-).
∵=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,∴,∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M,连接DM,
则M(,-1,),∴=(,0,).
∵=(1,0,-),=(1,-2,-),
∴×1+0×0+×(-)=0,
×1+0×(-2)+×(-)=0,∴,
∴DM⊥PB,DM⊥PA.
又PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,
∴DM⊥平面PAB.
又DM 平面PAD,
∴平面PAD⊥平面PAB.
关键能力提升练
6.(多选题)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F,H分别为棱AA1,AB,BC1,BC的中点,G为△A1B1C1的重心,则下列结论正确的是(　　)
A.DF∥平面ABC
B.FG∥平面A1EC
C.AF,GH为异面直线
D.FG,A1E为异面直线
答案ABD
解析如图1,连接FH,AH,
图1
则AD∥CC1,AD=CC1,且FH∥CC1,FH=CC1,所以AD∥FH,AD=FH,
所以ADFH为平行四边形,则DF∥AH.
又DF 平面ABC,AH 平面ABC,
所以DF∥平面ABC,故A正确;
如图2,取A1B1的中点N,连接C1N,EN,BN,易知C1N∥CE,BN∥A1E,
图2
因为C1N∩BN=N,C1N,BN 平面C1NB,CE∩A1E=E,CE,A1E 平面A1EC,
所以平面C1NB∥平面A1EC.又GF 平面C1NB,所以FG∥平面A1EC,故B正确;
如图3,取B1C1的中点M,连接A1M,MH,由题可知G∈A1M,F∈MH,四边形A1AHM为平行四边形,所以AF 平面A1AHM,GH 平面A1AHM,故C错误;
图3
如图4,因为BN∥A1E,且BN 平面BC1N,A1E 平面BC1N,所以A1E∥平面BC1N.
图4
又FG 平面BC1N,且,即FG不与BN平行,即FG不与A1E平行,所以FG,A1E为异面直线,故D正确.
故选ABD.
7.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,PA=PC,PB⊥AC.
(1)求证:四边形ABCD为菱形;
(2)若E为棱PB上一点(不与P,B重合),求证:AE不可能与平面PCD平行.
证明(1)如图,连接AC,BD,交于点O.
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以O为AC,BD的中点.
因为PA=PC,
所以AC⊥PO.
又AC⊥PB,PB∩PO=P,PO,PB 平面PBD,
所以AC⊥平面PBD.
又BD 平面PBD,所以AC⊥BD,
所以四边形ABCD为菱形.
(2)(方法一　反证法)假设AE∥平面PDC.
因为AB∥CD,AB 平面PDC,CD 平面PDC,所以AB∥平面PDC.
又AB 平面PAB,AE 平面PAB,AB∩AE=A,
所以平面PAB∥平面PDC.
这显然与平面PAB与平面PDC有公共点P矛盾,所以假设错误,即AE不可能与平面PCD平行.
(方法二)因为P∈平面PAB,P∈平面PCD,所以平面PAB与平面PCD相交,
设平面PAB∩平面PCD=l.
因为AB∥CD,AB 平面PCD,CD 平面PCD,所以AB∥平面PCD.又AB 平面PAB,平面PAB∩平面PCD=l,所以AB∥l.
又AE 平面PAB,AE∩AB=A,
所以AE必与l相交.设AE∩l=F.
又l 平面PCD,所以AE∩平面PCD=F,即AE不可能与平面PCD平行.
8.(15分)如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.
(1)求证:AC⊥BF;
(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC⊥平面BCEF 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,AF 平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD.
又AC 平面ABCD,∴AF⊥AC.
如图,取BC中点H,连接AH.
由题可知AD∥CH,AD⊥CH,AD=DC,
∴四边形ADCH为菱形,
∴AH=BC,∴AB⊥AC.
又AB∩AF=A,AB,AF 平面FAB,
∴AC⊥平面FAB.
又BF 平面FAB,
∴AC⊥BF.
(2)解存在.由(1)知,AF,AB,AC两两垂直,以点A为坐标原点,AB,AC,AF的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(-1,,2),则=(0,2,0),=(-3,,2),=(-2,2,0).
设=λ,0≤λ≤1,
则P(2-3λ,λ,2λ),
则=(2-3λ,λ,2λ).
设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z),
则
即
令x=2λ,则y=0,z=3λ-2,
所以m=(2λ,0,3λ-2)为平面PAC的一个法向量.
设平面BCEF的一个法向量为n=(a,b,c),则
令a=,则b=1,c=,所以n=(,1,)为平面BCEF的一个法向量.
令m·n=2λ+3λ-2=5λ-2=0,得λ=,
所以,
所以.
故存在满足题意的点P,此时.
核心素养创新练
9.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC 请证明你的结论.
(2)若在棱BC上至少存在一点M,使得PM⊥DM,求a的取值范围.
解(1)当a=2时,BD⊥平面PAC,证明如下:
当a=2时,由题可知四边形ABCD为正方形,则BD⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以BD⊥PA.
又AC∩PA=A,PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
(2)如图,设M是符合条件的棱BC上的点,连接AM.
因为PA⊥平面ABCD,DM 平面ABCD,
所以DM⊥PA.
又PM⊥DM,PA∩PM=P,PA,PM 平面PAM,
所以DM⊥平面PAM.
又AM 平面PAM,
所以DM⊥AM,
所以点M应是以AD为直径的圆和棱BC的一个公共点,
所以AD≥2AB,即a≥4,
所以a的取值范围是[4,+∞).
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