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专题突破练15
(分值:90分)
主干知识达标练
1.(15分)(2025北京,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ABC与△ADC均为等腰直角三角形,∠BAC=90°,∠ADC=90°,E为线段BC的中点.
(1)若F,G分别为线段PD,PE的中点,求证:FG∥平面PAB;
(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求AB与平面PCD夹角的正弦值.
(1)证明取PA的中点N,PB的中点M,连接FN,MN,GM.
由题意,知∠ADC=90°,∠BAC=90°,
令AD=CD=2,则AC=AB=2,
∴BC==4.
又FN=AD=1,BE=CB=2,GM=BE=1,则FN=GM.
∵∠DCA=∠ACB=45°,
∴∠ADC=∠DCB=90°,∴AD∥BC,故FN∥GM,且FN=GM,即四边形FGMN为平行四边形,∴FG∥MN.
∵FG 平面PAB,MN 平面PAB,
∴FG∥平面PAB.
(2)解∵PA⊥平面ABCD,AC,AB 平面ABCD,∴PA⊥AC,PA⊥AB.
又AC⊥AB,则PA,AC,AB两两垂直.以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=DC=2,则AC=AB=PA=2,
则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),D(,-,0),P(0,0,2),=(0,2,0),=(,0),=(-2,0,2).
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,则y=-1,z=1,
得n=(1,-1,1),设AB与平面PCD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,
故AB与平面PCD所成角的正弦值为.
2.(15分)(2025全国1,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)设PA=AB=,BC=2,AD=1+,且点P,B,C,D均在球O的球面上.
(ⅰ)证明:点O在平面ABCD内;
(ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值.
(1)证明∵PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
∴PA⊥AB.
又AB⊥AD,AP,AD 平面ADP,AP∩AD=A,
∴AB⊥平面ADP.
又AB 平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)(ⅰ)证明易知PA,AB,AD两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
∵AP=,AB=,BC=2,AD=+1,
∴P(0,0,),B(,0,0),C(,2,0),D(0,+1,0).
∵点O为P,B,C,D共球面的球心,
则PO=OB,CO=DO,BO=CO.
设O(x,y,z),则有
解得即点O(0,1,0),
∴点O在平面ABCD上.
(ⅱ)解由(ⅰ)知=(,2,0),=(0,1,-),
则cos<>=.
所以直线AC与PO所成角的余弦值为.
3.(15分)如图,在四棱锥A-BCDE中,侧棱AB⊥平面BCDE,底面四边形BCDE是矩形,AB=BE=4,点P,M分别为棱AE,AC的中点,点F在棱BE上(不与点B,E重合).
(1)若,求证:直线BM∥平面PCF;
(2)若BC=2,从下面①②两个条件中选取一个作为已知,证明另外一个成立.
①平面ADE与平面ABC的交线为直线l,直线l与直线CF的夹角的余弦值为;
②二面角P-CF-E的余弦值为.
(1)证明如图所示,取AP的中点N,连接BN,MN.
因为M,N分别为AC,AP的中点,
所以MN∥PC.
因为,所以BN∥PF.
又因为MN∩BN=N,MN,BN 平面BMN,PC∩PF=P,PC,PF 平面PCF,
所以平面BMN∥平面PCF.
又BM 平面BMN,所以BM∥平面PCF.
(2)解若条件①为已知:
因为BC∥DE,BC 平面ADE,DE 平面ADE,所以BC∥平面ADE.
又由BC 平面ABC,平面ABC∩平面ADE=l,所以l∥BC,所以直线l与直线CF的夹角为∠BCF,所以cos∠BCF=,
所以CF=,BF=1.
以点B为坐标原点,分别以BC,BE,BA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,0,0),E(0,4,0),P(0,2,2),F(0,1,0),
所以=(2,-1,0),=(0,1,2).
设平面PCF的一个法向量为m=(x,y,z),
则
令x=1,可得y=2,z=-1,
所以平面PCF的一个法向量为m=(1,2,-1).
易知平面CEF的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos==-,
所以二面角P-CF-E的余弦值为.
若条件②为已知:
以点B为坐标原点,分别以BC,BE,BA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设BF=m,0则C(2,0,0),F(0,m,0),P(0,2,2),
则=(2,-m,0),=(0,2-m,2).
设平面PCF的一个法向量为p=(x,y,z),
则
令z=m-2,可得x=m,y=2,
所以平面PCF的一个法向量为p=(m,2,m-2).
易知平面CEF的一个法向量为n=(0,0,1),
所以|cos|=,
解得m=1或m=4(舍去),所以BF=1,
所以CF=.
因为BC∥DE,BC 平面ADE,DE 平面ADE,所以BC∥平面ADE.
又BC 平面ABC,平面ABC∩平面ADE=l,所以l∥BC,所以直线l与直线CF的夹角为∠BCF,所以cos∠BCF=.
关键能力提升练
4.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与BB1的距离为,AB=AC=A1B=2,A1C=BC=2.
(1)证明:平面A1ABB1⊥平面ABC;
(2)若点N在棱A1C1上,求直线AN与平面A1B1C所成的角的正弦值的最大值.
(1)证明如图,取棱A1A中点D,连接BD.
因为AB=A1B,
所以BD⊥AA1.
又AA1∥BB1,B∈BB1,D∈AA1,
所以BD=.
因为AB=2,所以AD=1,所以AA1=2.
因为AC=2,A1C=2,
所以AC2+A=A1C2,所以AC⊥AA1.
同理,AC⊥AB.
又AA1∩AB=A,AA1,AB 平面A1ABB1,
所以AC⊥平面A1ABB1.
又AC 平面ABC,
所以平面A1ABB1⊥平面ABC.
(2)解取AB中点O,连接A1O,则A1O⊥AB.取BC中点P,连接OP,则OP∥AC.
由(1)知AC⊥平面A1ABB1,
所以OP⊥平面A1ABB1.
又A1O,AB 平面A1ABB1,
所以OP⊥A1O,OP⊥AB.
以点O为坐标原点,OP,OB,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),A1(0,0,),B1(0,2,),C(2,-1,0),
所以=(0,2,0),=(2,-1,-).
设点N(a,0,),0≤a≤2,
则=(a,1,).
设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z),则
令x=,则y=0,z=2,所以平面A1B1C的一个法向量为n=(,0,2).
设直线AN与平面A1B1C所成的角为θ,
则sin θ=|cos|=.
若a=0,则sin θ=;
若a≠0,则sin θ=,
当且仅当a=,即a=2时,等号成立.
因为,
所以直线AN与平面A1B1C所成的角的正弦值的最大值为.
5.(15分)
(2025黑龙江哈尔滨高三联考)如图,在棱长为5的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在线段C1D1上,满足=λ(0<λ<1),A1D1与平面ACE交于点F.
(1)若λ=,求线段EF的长度;
(2)已知四边形ACEF的周长为8+2.
①求λ的值;
②求二面角E-AC-B的余弦值.
解(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
又平面ACE∩平面ABCD=AC,平面ACE∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥AC.连接A1C1,因为AC∥A1C1,所以EF∥A1C1.
又λ=,即E为D1C1的中点,
所以EF为△D1A1C1的中位线,
所以F为D1A1的中点,则EF=.
(2)①由(1)知,EF∥AC,D1E=D1F,
所以C1E=A1F,所以CE=AF,
所以四边形ACEF为等腰梯形.
由=λ,得D1E=D1F=5λ,则EF=5λ,C1E=A1F=5(1-λ),所以CE=AF==5,
所以等腰梯形ACEF的周长为5(1+λ)+10=8+2,
又0<λ<1,所以λ=.
②以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则E(0,3,5),A(5,0,0),C(0,5,0),则=(-5,5,0),=(-5,3,5).
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=5,则y=5,z=2,所以平面ACE的一个法向量为n=(5,5,2).易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).
设二面角E-AC-B的平面角的大小为θ,
由题图可得θ为钝角,
则|cos θ|=|cos|=,则cos θ=-,
所以二面角E-AC-B的余弦值为-.
核心素养创新练
6.(15分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,经过点F1且倾斜角为θ(0<θ<)的直线l与椭圆交于A,B两点(其中点A在x轴上方),且△ABF2的周长为8.将平面xOy沿x轴向上折叠,使二面角A-F1F2-B为直二面角,如图所示,折叠后A,B在新图形中对应点记为A',B'.
(1)当θ=时,
①求证:A'O⊥B'F2;
②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成的角的余弦值.
(2)是否存在θ(0<θ<),使得折叠后△A'B'F2的周长为 若存在,求tan θ的值;若不存在,请说明理由.
折叠前
折叠后
(1)①证明由椭圆定义可知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,
所以△ABF2的周长为4a=8,所以a=2.
因为椭圆离心率为,故,
解得c=1,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆方程为=1.F1(-1,0),
所以直线l:y-0=tan·(x+1),
即y=(x+1).
联立化简得5x2+8x=0,
解得x=0或-.
当x=0时,y=;当x=-时,y=-,所以A(0,),B(-,-),
所以AO⊥F1F2,所以A'O⊥F1F2.
因为二面角A-F1F2-B为直二面角,
所以平面A'F1F2⊥平面F1F2B',平面A'F1F2∩平面F1F2B'=F1F2,A'O 平面A'F1F2,所以A'O⊥平面F1F2B'.
又B'F2 平面F1F2B',所以A'O⊥B'F2.
②解以点O为坐标原点,折叠后的y轴负半轴所在直线为x轴、x轴为y轴、y轴正半轴所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A'(0,0,),B'(,-,0),F2(0,1,0),所以=(0,1,-),=(-,0).易知平面A'F1F2的一个法向量为n1=(1,0,0).
设平面A'B'F2的法向量为n2=(x,y,z),
则
令y=,则x=,z=1,
所以平面A'B'F2的一个法向量为n2=(,1),所以cos=,
所以平面A'B'F2与平面A'F1F2所成的角的余弦值为.
(2)解存在θ,使折叠后△A'B'F2的周长为.
设折叠前A(x1,y1),B(x2,y2),
则折叠后对应的A'(0,x1,y1),B'(-y2,x2,0),所以|AB|=,|A'B'|=.设折叠前直线l的方程为my=x+1,则tan θ=.
因为0<θ<,所以tan θ>0,即>0,
所以m>0.
联立化简得(3m2+4)y2-6my-9=0,则Δ>0,且y1+y2=,y1y2=.
因为△ABF2的周长为8,△A'B'F2的周长为,所以|AF2|+|BF2|+|AB|=8,|A'F2|+|B'F2|+|A'B'|=.
又|AF2|=|A'F2|,|BF2|=|B'F2|,
所以|AB|-|A'B'|=,
即-,①
所以,所以+
=-4y1y2.　②
由①+②可得-2y1y2.因为,
所以-2y1y2=.
将y1+y2=,y1y2=代入上式得=4-.
所以,所以m2=,
解得m=或m=-(舍去),
所以tan θ=.
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