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专题突破练18
(分值:58分)
主干知识达标练
1.(多选题)某学校共有2 000名男生,为了解这部分学生的身体发育情况,学校抽查了其中100名男生的体重情况.根据所得样本数据绘制的频率分布直方图如图所示,则(　　)
A.样本数据的众数的估计值为67.5
B.样本数据的80%分位数的估计值为72.5
C.样本数据的平均数的估计值为66
D.该校男生中低于60 kg的人数大约为300
答案ABD
解析对于A,在频率分布直方图中,体重在区间[65,70)内的学生最多,所以样本数据的众数的估计值为67.5,故A正确;
对于B,因为(0.03+0.05+0.06)×5=0.7,0.7+0.04×5=0.9,所以80%分位数落在区间[70,75)内.
设80%分位数为x,则0.7+0.04(x-70)=0.8,解得x=72.5,
所以样本数据的80%分位数的估计值为72.5,故B正确;
对于C,样本数据的平均数的估计值为5×57.5×0.03+62.5×0.05+67.5×0.06+72.5×0.04+77.5×0.02=66.75,故C错误;
对于D,被抽到的100名男生中体重低于60 kg的频率为0.03×5=0.15,故可估计该校男生体重低于60 kg的概率为0.15,所以该校男生中低于60 kg的人数大约为2 000×0.15=300,故D正确.
故选ABD.
2.(多选题)(2025东北三省四市高三模拟)新能源汽车的核心部件是动力电池,碳酸锂是动力电池的主要成分.从2021年底开始,碳酸锂的价格一直升高,下表是2022年我国某企业前5个月碳酸锂价格的统计数据.
月份代码x 1 2 3 4 5
碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
若y关于x的经验回归方程为=0.24x+,则下列说法正确的有(　　)
A.y与x的样本相关系数r<0
B.=0.28
C.经验回归直线=0.24x+经过点(3,1)
D.由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72
答案BCD
解析由题意可得,=3,=1,
(xi-)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,(yi-)2=(0.5-1)2+(0.8-1)2+(1-1)2+(1.2-1)2+(1.5-1)2=0.58,
则y与x的样本相关系数r=>0,故A错误;
由y关于x的经验回归方程为=0.24x+且经验回归直线恒过样本点的中心(3,1),则有1=0.24×3+,解得=0.28,故B正确,C正确;
由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为0.24×6+0.28=1.72,故D正确.
故选BCD.
3.(多选题)进入冬季,哈尔滨旅游火爆全网,下图是一周内哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图,则(　　)
A.中央大街日旅游人数的极差是1.2万
B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3万
C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大
答案BC
解析中央大街日旅游人数的最大值为2.8万,最小值为0.9万,所以极差为1.9万,故A错误;
冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,所以其中位数为2.3,故B正确;
冰雪大世界日旅游人数的平均值为
(万),
中央大街日旅游人数的平均值为
=2(万),>2,故C正确;
冰雪大世界日旅游人数的方差为
-()2=-()2<5.2-2.22=0.36,
中央大街日旅游人数的方差为
-4=≈0.63>0.36,
故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小,故D错误.故选BC.
4.(17分)(2023全国乙,理17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).
解(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,
∴×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,
∴s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=×(4+25+9+361+16+0+64+49+81+1)=61.
(2)∵2=2<11,即2,
∴可判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
关键能力提升练
5.(多选题)某次考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于[80,90)内的学生成绩的方差为12,成绩位于[90,100]内的学生成绩的方差为10.则(　　)
参考公式:若样本划分为2层,各层的容量、平均数和方差分别为m,;n,.记样本平均数为,样本方差为s2,则s2=]+].
A.a=0.004
B.估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
答案BCD
解析对于A选项,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1,则(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1,解得a=0.005,故A错误;
对于B选项,因为(2a+3a)×10=50a=0.25,0.25+7a×10=0.6,所以这100名学生成绩的中位数落在区间[70,80)内.
设这100名学生成绩的中位数为m,则0.25+(m-70)×7×0.005=0.5,解得m=≈77.14,所以这100名学生成绩的中位数的估计值为77.14,所以估计该年级学生成绩的中位数为77.14,故B正确;
对于C选项,这100名学生中,成绩在80分及以上的学生成绩的平均数的估计值为×85+×95=87.5,所以估计该年级成绩在80分以上的学生成绩的平均数为87.5,故C正确;
对于D选项,这100名学生中,成绩在80分及以上的学生成绩的方差的估计值为[12+(85-87.5)2]+[10+(95-87.5)2]=30.25,所以估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25,故D正确.
故选BCD.
6.(17分)(2025东北三省四市高三模拟)研究表明,春季早晚温差大,由于个人体质不同,可能会导致感冒患病.某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关,在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测,将检测结果制成如下2×2列联表:
性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
(1)在上述不感冒的人群中,按照性别采用分层随机抽样的方法抽取9人,再从这9人中随机选取4人访谈,记参与访谈的男性人数为X,求X的分布列和期望E(X).
(2)依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关 若把表中所有数据扩大到原来的10倍,在相同的检验标准下,再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性,结论还一样吗 请解释原因.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
解(1)样本中不感冒的男性有12人,女性有6人,比例为2∶1,按照性别采用分层随机抽样的方法抽取9人,则抽取男性9×=6人,女性9×=3人,所以随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)=1×+2×+3×+4×.
(2)零假设为H0:30~40岁人群的体质健康与性别无关.
根据列联表中的数据,经计算得到χ2=≈2.857<6.635=x0.01,所以依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为30~40岁人群的体质健康与性别有关.
如果把所有数据都扩大10倍后,
χ2=≈28.57>6.635=x0.01,
所以依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,我们推断H0成立,即认为30~40岁人群的体质健康与性别有关,此推断犯错误的概率不超过0.01.
与之前的结论不一样,原因是每个数据都扩大为原来的10倍,相当于样本量变大为原来的10倍,导致推断结论发生了变化.
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