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专题突破练20
(分值:84分)
主干知识达标练
1.(2024辽宁大连一模)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为(　　)
A.x2+y2=4
B.(x-2)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=5
D.(x-2)2+y2=10
答案D
解析设该圆圆心为(a,0),半径为r,则该圆方程为(x-a)2+y2=r2,把点(-1,1)和(1,3)代入,则有解得故该圆方程为(x-2)2+y2=10.故选D.
2.已知直线l1:ax+2y+b=0与直线l2:bx-y+a=0垂直,则a2+b2的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案B
解析因为直线l1:ax+2y+b=0与直线l2:bx-y+a=0垂直,所以ab-2×1=0,即ab=2,所以a2+b2≥2ab=4,当且仅当a=b=或a=b=-时等号成立.
即a2+b2的最小值为4.故选B.
3.(2024辽宁抚顺三模)已知直线y=x+1与圆C:x2+y2=5相交于M,N两点,O为坐标原点,则△MON的面积为(　　)
A. B.2 C. D.4
答案A
解析设点O到直线MN的距离为d,
则d=,
又|MN|=2=3,
所以S△MON=×3.故选A.
4.(2025全国1,7)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,3)
C.(3,+∞) D.(0,+∞)
答案B
解析由题知,该圆的圆心为C(0,-2),半径为r,圆心C到直线的距离d==2,
∴要使圆C上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则d-15.已知点M(1,)在圆C:x2+y2=m上,过点M作圆C的切线l,则直线l的倾斜角为(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案D
解析由题意得m=1+3=4.
当直线l的斜率不存在时,此时直线方程为x=1,与圆C:x2+y2=4相交,不合题意,
当直线l的斜率存在时,设l的斜率是k,
则l的方程为y-=k(x-1),
即kx-y+-k=0.
则=2,解得k=-,
设l的倾斜角为θ,则有0°≤θ<180°,
由tan θ=-,得θ=150°.
故l的倾斜角为150°.
6.(多选题)已知圆C1:x2+y2-2x-2y-2=0,圆C2:x2+y2-8x-10y+32=0,则下列选项正确的是(　　)
A.直线C1C2的方程为4x-3y-1=0
B.圆C1和圆C2共有4条公切线
C.若P,Q分别是圆C1和圆C2上的动点,则|PQ|的最大值为10
D.经过点C1,C2的所有圆中面积最小的圆的面积为π
答案ACD
解析由题意得,圆C1:(x-1)2+(y-1)2=4,圆心C1(1,1),半径r1=2,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9,圆心C2(4,5),半径r2=3,由直线方程的两点式可得直线C1C2的方程为,即4x-3y-1=0,所以A正确;
因为|C1C2|==5且r1+r2=2+3=5,所以|C1C2|=r1+r2,所以圆C1与圆C2外切,所以两圆的公切线共有3条,所以B错误;
因为|C1C2|=5,所以|PQ|的最大值为|C1C2|+r1+r2=10,所以C正确;
当|C1C2|为圆的直径时,该圆在经过点C1,C2的所有圆中面积最小,此时圆的面积为π()2=π,所以D正确.故选ACD.
7.数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(1,3),B(2,4),C(3,2),则△ABC的欧拉线方程是(　　)
A.x-y+1=0 B.x-y+3=0
C.x+y-5=0 D.3x+y-9=0
答案C
解析由已知得,△ABC的重心为G(2,3),直线AB的斜率为=1,则AB边上高所在的直线斜率为-1,则方程为y=-x+5,直线AC的斜率为=-,则AC边上高所在的直线斜率为2,则方程为y=2x.
联立可得△ABC的垂心为H().则直线GH的斜率为=-1,则可得直线GH的方程为y-3=-(x-2),故△ABC的欧拉线方程为x+y-5=0.故选C.
8.(多选题)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列说法正确的是(　　)
A.直线l恒过定点(3,1)
B.直线l被圆C截得的弦最长时,m=-
C.直线l被圆C截得的弦最短时,m=-
D.直线l被圆C截得的弦最短弦长为2
答案ABC
解析由题得,圆心C(1,2),半径r=5.
直线l的方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,令解得所以直线恒过定点P(3,1),故A正确;
因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,即点P(3,1)在圆C内,当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最长,将圆心C代入直线l,此时2m+1+2(m+1)-7m-4=0,解得m=-,故B正确;
当直线l⊥CP时,直线被圆截得的弦长最短,直线l的斜率为k=-(m≠-1),kCP==-,由-×(-)=-1,解得m=-,此时直线l的方程是2x-y-5=0,故C正确;
如图,设l与圆C交于A,B两点,圆心C(1,2)到直线2x-y-5=0的距离为d=,可得|AP|=|BP|==2,所以最短弦长|AB|=2|AP|=4,故D错误.故选ABC.
9.(5分)如图,已知两点A(22,0),B(0,11),从点P(2,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上,最后经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线MN的一般式方程为　　　　　　　　　　.
答案4x-3y+8=0
解析由题意知AB所在的直线方程为=1,化简可得x+2y-22=0.
设点P(2,0)关于直线AB:x+2y-22=0的对称点P1(a,b),
则解得a=10,b=16,所以点P关于直线AB对称的点为P1(10,16),点P关于y轴对称的点为P2(-2,0).直线MN即直线P1P2,则直线MN的方程为y=(x+2),化成一般式:4x-3y+8=0.
10.(5分)(2025天津,12)已知直线x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点.若|AB|=3|CD|,则r=　　　　.
答案2
解析由题意知,A(-6,0),B(0,6),则|AB|=6.又|AB|=3|CD|,∴|CD|=2.该圆圆心(-1,3)到直线x-y+6=0的距离d=,∴r2=d2+(|CD|)2=2+2=4,∴r=2.
11.(5分)已知直线l1:2x+y-6=0与l2:2x+y+4=0均与圆M相切,点(2,2)在圆M上,则圆M的方程为　　　　　.
答案x2+(y-1)2=5
解析由于直线l1:2x+y-6=0与l2:2x+y+4=0平行,且均与圆M相切,所以两平行直线之间的距离为圆M的直径,即2r= r=,又圆M上一点(2,2)也在直线l1:2x+y-6=0上,所以(2,2)为l1与圆M的切点,故过点(2,2)且与l1:2x+y-6=0垂直的直线方程为y=(x-2)+2,联立所以l2:2x+y+4=0与圆M相切于点(-2,0),故圆心为(2,2)与(-2,0)的中点,即圆心为(0,1),故圆M的方程为x2+(y-1)2=5.
关键能力提升练
12.设直线l:x+y-1=0,一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出,经l反射后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N.若||=,则k的值为(　　)
A. B. C. D.2
答案B
解析如图,设点O关于直线l的对称点为A(x1,y1),
则
得即A(1,1).
由题意知y=kx(x≥0)与直线l不平行,
故k≠-1,联立即P(),
故直线AP的斜率为kAP=,
直线AP的方程为y-1=(x-1),令y=0得x=1-k,故M(1-k,0),令x=0得y=1-,故由对称性可得N(0,-1),由||=,得(1-k)2+(-1)2=,即(k+)2-2(k+)=,解得k+,得k=或k=,若k=,则第二次反射后光线不会与y轴相交,故不符合条件.
经验证k=符合条件.故k=.故选B.
13.(多选题)设点P(x,y)为圆C:x2+y2=1上一点,已知点A(4,0),B(5,0),则下列结论正确的有(　　)
A.x+y的最大值为
B.x2+y2-4x-4y的最小值为8
C.存在点P使|PB|=|PA|
D.过A点作圆C的切线,则切线长为
答案AD
解析设x+y=t,t∈R,即x+y-t=0,由≤1得-≤t≤,所以t的最大值是,所以A正确;
x2+y2-4x-4y=(x-2)2+(y-2)2+8,当x=2且y=2时,x2+y2-4x-4y取得最小值8,但x2+y2=1时,-1≤x≤1且-1≤y≤1,因此上述最小值取不到,所以B错误;
由|PB|=|PA|得,整理得(x-3)2+y2=2,因此满足|PB|=|PA|的点P在圆(x-3)2+y2=2上,此圆圆心为(3,0),半径为,而+1<3,因此它与圆C外离,所以圆C上不存在点P使|PB|=|PA|,所以C错误;
圆C的圆心为C(0,0),半径为r=1,则过A点作圆C的切线的切线长为,D正确.故选AD.
14.(2023新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　)
A.1 B. C. D.
答案B
解析由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R=.
如图,过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=,∠ADC=∠BDC=,
由几何知识得,|BC|=|AC|=,|CD|==2.
由勾股定理得,|AD|=|BD|=.
(方法一)在Rt△CDB中,cos,sin,sin α=2sincos=2×.
(方法二)由CA⊥DA,∠CDA=∠CDB,可知AB⊥DC,四边形ACBD的面积为×AB×CD=BD×CB,得AB=.
在△ADB中,由余弦定理可得cos α=-,所以sin α=.故选B.
15.(5分)已知直线l:(m+2)x-(m+1)y-1=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,则|AB|的最小值为　　　　　.
答案2
解析将直线l的方程变形为m(x-y)+2x-y-1=0,
令解得
所以直线l过定点(1,1),
又12+12<4,所以该定点在圆O:x2+y2=4内,由圆O:x2+y2=4可得圆心O(0,0),半径r=2,当圆心O与定点(1,1)的连线垂直于AB时,|AB|取得最小值,圆心O(0,0)与定点(1,1)的距离为d=,
则|AB|的最小值为2=2=2.
核心素养创新练
16.(多选题)如图,OA是连接河岸AB与OC的一座古桥,因保护古迹与发展的需要,现规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:
①新桥BC与河岸AB垂直;
②保护区的边界为一个圆,该圆与BC相切,且圆心M在线段OA上;
③古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.
经测量,点A,C分别位于点O正北方向60 m、正东方向170 m处,tan∠BCO=.
根据图中所给的平面直角坐标系,下列结论中,正确的是(　　)
A.新桥BC的长为150 m
B.圆心M可以在点A处
C.圆心M到点O的距离至多为35 m
D.当OM长为20 m时,圆形保护区的面积最大
答案AC
解析如图,以OC,OA所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系,
则C(170,0),A(0,60),
依题意,直线BC的斜率kBC=-,直线BC方程为y=-(x-170),直线AB的斜率kAB=-,
则直线AB方程为y=x+60,
联立
解得
即B(80,120),
|BC|==150,所以A正确;
设OM=t,即M(0,t)(0≤t≤60),直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,
圆M的半径为r=,
显然
由0≤t≤60,得r=136-t,
则
解得10≤t≤35,即OM长的范围是10≤|OM|≤35,所以B错误,C正确;
当t=10,即OM长为10 m时,圆M的半径r最大,圆形保护区的面积最大,所以D错误.故选AC.
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