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专题突破练21
(分值:86分)
主干知识达标练
1.(2025全国1,3)已知双曲线C的虚轴长为实轴长的倍,则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.2
答案D
解析(方法一)由题知,2b=×2a,∴b=a,
∴c==2a,∴e==2.
故选D.
(方法二)由题可得,,则e==2.故选D.
2.已知椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则抛物线y=ax2的焦点坐标为(　　)
A.(,0) B. (0,)
C.(,0) D. (0,)
答案D
解析因为椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,
所以,解得a=4,则抛物线y=ax2的标准方程为x2=y,它的焦点坐标为(0,).故选D.
3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,其焦点到渐近线的距离为2,则C的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案B
解析由题意可得=tan,所以a=b,双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,不妨设焦点(c,0)到渐近线x+y=0的距离为2,即d==2,解得c=4,又a2+b2=c2=16,a=b,所以b2=4,a2=12,所以C的方程为=1.故选B.
4.(2023全国甲,文7)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若=0,则|PF1|·|PF2|=(　　)
A.1 B.2 C.4 D.5
答案B
解析由椭圆C:+y2=1,知a2=5,b2=1,则c2=a2-b2=4,即c=2,则|F1F2|=2c=4.
∵=0,∴PF1⊥PF2,
即∠F1PF2=90°.在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∵|PF1|+|PF2|=2a=2,
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2.∴20-2|PF1|·|PF2|=16,
解得|PF1|·|PF2|=2.故选B.
5.(2025天津,9)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P.若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,则双曲线的离心率为(　　)
A.2 B.5
C. D.
答案A
解析如图,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,
而|PF1|+|PF2|=3|F1F2|=6c,∴|PF1|=a+3c,|PF2|=3c-a.
又=c,∴p=2c,
即y2=4cx.设P(x0,y0),过点P作PH垂直于准线x=-,H为垂足.
由抛物线定义得|PF2|=x0+c=3c-a,
∴x0=2c-a.
又|PH|=|PF2|,|PH|2+=|PF1|2,
∴|PF2|2+=|PF1|2,
∴y0=.
代入方程y2=4cx,得12ac=4c(2c-a).
∴2a=c,则e==2.故选A.
6.(多选题)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1,远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2,并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上,则(　　)
A.轨道的焦距为d2+d1
B.轨道的离心率为
C.轨道的短轴长为2
D.当越大时,轨道越扁
答案BC
解析以近日点和远日点的中点为坐标原点,近日点和远日点连线所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设该椭圆的方程为=1(a>b>0).
由题知解得a=,c=,因为轨道的焦距为2c=d2-d1,所以选项A错误;
因为离心率为,所以选项B正确;
因为轨道的短轴长为2=2=2,所以选项C正确;
因为=-1+,则越大时,离心率越小,则轨道越圆,所以选项D错误.
故选BC.
7.(多选题)(2023新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
答案AC
解析对于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0),所以=1,
所以p=2,故A正确;
对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x,则由
不妨设M(),N(3,-2),则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B不正确;
对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为(,-),半径为,又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=,故以MN为直径的圆与l相切,故C正确;
对于D,因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,可知△OMN不是等腰三角形,故D不正确.故选AC.
8.(5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,若C上存在一点P满足|PF1|2=19|PF2|2,则C的离心率的取值范围是　　　　　.
答案[,1)
解析因为|PF1|2=19|PF2|2,所以|PF1|=|PF2|,
由椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|=(+1)|PF2|,所以|PF2|=∈[a-c,a+c],则e=,
又09.(5分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作一条渐近线的垂线交双曲线C的左支于点P,已知,则双曲线C的渐近线方程为　　　　　.
答案y=±2x
解析根据题意画出图象如下:
由得|PF1|=|PF2|,
又|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=,|PF1|=,双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0,则点F1(-c,0)到渐近线的距离d==b,所以在△PF1F2中,cos∠PF1F2=,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2,
即+4c2-,
化简得()2-=0,即(-2) ()=0,解得=2或=-,
因为a>0,b>0,所以=2.
则双曲线C的渐近线方程为y=±2x.
关键能力提升练
10.(2025黑龙江哈尔滨高三一模)已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:=1(a>b>0),若在椭圆C2上存在一点P,过P点能作圆C1的两条切线,切点为A,B,且∠APB=,则椭圆C2离心率的取值范围为(　　)
A.(0, B.[,1)
C.(0,] D.[,1)
答案B
解析由对称性可知,∠APB=2∠APO,因为sin∠APO=,∠APO∈(0,),所以当点P位于长轴端点时∠APO最小.
由题可知,在椭圆C2上存在一点P,使得∠APB=,只需当点P位于长轴端点时,∠APO≤,即,故e=.
又011.(多选题)(2025全国1,10)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　　)
A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB|
C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18
答案ACD
解析由题意知,F(,0),抛物线的准线方程为x=-.由抛物线定义知|AD|=|AF|,故A正确;
设AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x可得y2-6my-9=0,则y1+y2=6m,y1y2=-9,x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3,
则|AB|=x1+x2+p=6m2+6,|AB|≥6,故C正确;
当m=0时,E(-,0),|AB|=6,|AE|=3,此时|AE|≠|AB|,故B错误;
当m=0时,|AE|=|BE|=3,|AE|·|BE|=18;当m≠0时,直线EF的方程为x=-y+,E(-,3m),|EF|=,S△AEB=|AE|·|BE|·sin∠AEB=(6m2+6)=9(m2+1)>9,
则|AE|·|BE|>>18,
综上可知,|AE|·|BE|≥18,故D正确.
故选ACD.
12.(多选题)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)过点P(2,2),其焦点为F,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线Γ相交于A,B两点,直线l2与Γ相交于C,D两点(如图所示),则下列结论正确的是(　　)
A.抛物线Γ的方程为y2=4x
B.抛物线Γ的准线方程为x=-2
C.△ACF和△BFD面积之和的最小值为7
D.△ACF和△BFD面积之和的最小值为8
答案AD
解析将点P(2,2)代入y2=2px,得8=4p,解得p=2,所以抛物线Γ的方程为y2=4x,故A正确;
由y2=4x知,抛物线的准线方程为x=-1,故B错误;
易知直线l1,l2斜率均存在且不为0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l1的方程为y=k(x-1),联立
即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,①
所以x1+x2=2+,x1x2=1,
设C(x3,y3),D(x4,y4),则直线l2的斜率为-,代入①中,得x3+x4=2+4k2,x3·x4=1,所以△ACF和△BFD面积之和为S=|FA|·|FC|+|FB|·|FD|=[(x1+1)(x3+1)+(x2+1)(x4+1)]=(x1x3+x2x4+x1+x2+x3+x4)+1=(x1x3+x2x4+2++2+4k2)+1≥(2+2+4)+1=8,当且仅当k=±1,且x1x3=x2x4时等号成立,所以△ACF和△BFD面积之和的最小值为8,故C错误,D正确.故选AD.
13.(多选题)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=m与C交于A,B两点(A在y轴右侧),O为坐标原点,则下列说法正确的是(　　)
A.|AF1|+|BF1|=2
B.当m=时,四边形ABF1F2为矩形
C.若AF1⊥BF1,则m=
D.存在实数m使得四边形ABF1O为平行四边形
答案ABD
解析如图,根据椭圆方程可得a=,b=2,c=1,F1(-1,0),F2(1,0).
由对称性可得|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|=2,故A正确;
当m=时,可得A(1,),B(-1,),又F1(-1,0),F2(1,0),
则AF2⊥F1F2,AB=F1F2,AB∥F1F2,则四边形ABF1F2为矩形,故B正确;
设A(n,m),B(-n,m),则=(-1-n,-m),=(-1+n,-m),若AF1⊥BF1,则=1-n2+m2=0,
又=1,联立消元得9m2-16=0,
解得m=±,故C错误;
若四边形ABF1O为平行四边形,则|AB|=|F1O|=1,即点A的横坐标为即可,代入椭圆方程可得m=±,故当m=±时,四边形ABF1O为平行四边形,故D正确.故选ABD.
14.(5分)已知O为坐标原点,点F为椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,点A,B在C上,且线段AB的中点为F,OA⊥OB,则C的离心率为　　　　　.
答案
解析如图,由椭圆的对称性可知,AB垂直于x轴,
又OA⊥OB,
所以∠AOF=,
所以△AOF为等腰直角三角形,
故A(c,c),代入椭圆方程有=1,
即a2c2+b2c2=a2b2,
所以a2c2+(a2-c2)c2=a2(a2-c2),
整理得e4-3e2+1=0,
解得e2=或e2=(舍去),
故e=.
15.(5分)数学家Dandelin用一平面截圆锥后,在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥侧面、截面相切,就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆(如图称为丹德林双球模型).若圆锥的轴截面为正三角形,则用与圆锥的轴成60°角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为　　　　　.
答案
解析如图,令两个球O1,O2分别与截面相切于点E,F,在截口曲线上任取一点H,过点H作圆锥的母线,分别与两个球相切于Q,P,HQ,HF均为球O1的切线,则HQ=HF,
同理HE=HP,
因此HE+HF=HP+HQ=PQ>EF,
由切点P,Q的产生方式知,PQ长为定值,于是截口曲线上任意一点H到定点E,F的距离和为定值,该曲线是以点E,F为焦点的椭圆,作出几何体的轴截面,如图,设SA=2,依题意,∠S=60°,∠SAB=30°,
则∠SBA=90°,SB=1,AB=,椭圆的长轴长2a=AB=,半焦距为c,
则a-c=BF=,
因此c=,所以离心率e=.
核心素养创新练
16.(多选题)用平面α截圆柱面,圆柱的轴与平面α所成角记为θ,当θ为锐角时,圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示,将两个大小相同的球嵌入圆柱内,使它们分别位于α的上方和下方,并且与圆柱面和α均相切.其中G1G2为椭圆长轴,F1,F2为两切点,P为椭圆上一点.下列结论中正确的有(　　)
A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距O1O2相等
C.所得椭圆的离心率e=cos θ
D.若R为球O1半径,则有R=AG1·tan
答案ABC
解析过点P作线段EF,EF分别与球O1,O2切于点F,E,
由图可知,PF1,PF2分别与球O1,O2切于点F1,F2,根据切线长定理有PF1=PF,PF2=PE,故有|PF1|+|PF2|=|PF|+|PE|=|EF|=|O1O2|,于是截口曲线上任一点P到定点E,F的距离和为定值且|O1O2|>|F1F2|,由椭圆定义可知,该曲线是以F1,F2为焦点,|O1O2|为长轴长的椭圆,故B正确;
由平面α与球O1切于点F1,OF1 α,故O1F1⊥OF1,由上知OO1=O1O2=a,有|O1F1|2=|OO1|2-|OF1|2=a2-c2=b2,即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等,故A正确;
由题意可得θ=∠O1OF1,则cos θ==e,故C正确;
由切线长定理可得|AG1|=|F1G1|,θ=∠O1OF1=∠AO1F1,
故tan,即R=,故D错误.故选ABC.
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