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专题突破练22
(分值:87分)
主干知识达标练
1.已知椭圆C:=1,过点P()的直线与椭圆C交于A,B两点且线段AB的中点为P,则坐标原点O到直线AB的距离为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
答案B
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
两式相减得=0,
由条件可知,x1+x2=1,y1+y2=3,
即=0,
因为点P纵坐标不为0,并且由对称性可知,x1≠x2,
所以=-1,
所以直线AB的斜率为-1,
所以直线AB的方程为y-=-(x-),即x+y-2=0,
所以原点到直线AB的距离d=.
故选B.
2.过双曲线C:=1(a>0,b>0)上一点P作双曲线C的切线l,若直线OP与直线l的斜率均存在,且斜率之积为,则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案C
解析设P(x0,y0),则直线OP的斜率为.
由于双曲线C在点P(x0,y0)处的切线方程为=1,故切线l的斜率k=.
因为k·kOP=,则,则,即双曲线C的离心率e=.故选C.
3.(多选题)(2022新高考Ⅰ,11)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　　)
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
答案BCD
解析∵点A(1,1)在抛物线C上,∴1=2p,
∴p=,∴抛物线C的方程为x2=y.
∴抛物线C的准线为y=-,故A错误;
∵点A(1,1),B(0,-1),∴直线AB的方程为y=2x-1,联立抛物线C与直线AB的方程,得消去y整理得x2-2x+1=0,Δ1=(-2)2-4×1×1=0,∴直线AB与抛物线C相切,故B正确;
由题意可得,直线PQ的斜率存在,则可设直线PQ的方程为y=kx-1,联立直线PQ与抛物线C的方程,得消去y整理得x2-kx+1=0,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则∴|k|>2,y1y2=(x1x2)2=1,
又|OP|=,
|OQ|=,∴|OP|·|OQ|==|k|>2=|OA|2,故C正确;
∵|BP|=|x1|,|BQ|=|x2|,
∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.故选BCD.
4.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,下顶点为A,过A,F的直线l与椭圆C交于另一点B,若直线l的斜率为1,且|AB|=,则椭圆C的标准方程为　 .
答案=1
解析如图,设F(c,0),则A(0,-b),kAF==1,所以b=c,a=c,直线l的方程为y=x-c,
与椭圆C的方程联立消去y得3x2-4cx=0,所以xA=0,xB=c,故|AB|=·|xB-xA|=c=,解得c=,所以b=,a=2,椭圆C的方程为=1.
5.(15分)(2025黑龙江哈尔滨高三一模)A为直线x=-4上的动点,O为坐标原点,过点A作直线l垂直于y轴,过点O作直线OA的垂线交直线l于点P.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)记点P的轨迹为曲线C,曲线C上一定点B,过点B作两条不同直线分别交曲线C于M,N两点.
①直线BM,BN的斜率满足kBM+kBN=1,且直线MN过点(-3,2),求定点B的坐标;
②若点B(1,2),且直线BM,BN的斜率满足kBM+kBN=0,设△BMN的外接圆为圆E,过点B作曲线C的切线m,判断直线m与圆E的位置关系,并说明理由.
解(1)设A(-4,y0),则直线l:y=y0,直线OA:y=-x,当y0≠0时,直线OP:y=x,点P的轨迹为y2=4x(y≠0);
当y0=0时,P(0,0).
综上,点P的轨迹方程为y2=4x.
(2)设M(,y1),N(,y2).
①设B(,t),由已知直线MN的斜率存在,所以设直线MN:y=k(x+3)+2,
联立得ky2-4y+12k+8=0,所以
由题意得kBM+kBN==1,所以(t2-8t+12)k+(4t-8)=0,解得t=2,
所以B(1,2).
②当y>0时,由y2=4x可得y=2,求导可得y'=,
当x=1时,y'=1,所以切线m的斜率为1,所以直线m:y=x+1.
设直线MN:x=μy+n,联立抛物线方程得y2-4μy-4n=0,则kBM+kBN==0,
可得y1+y2+4=4μ+4=0,所以μ=-1.
BM的中垂线:y-=-(x-),同理,BN的中垂线:y-=-(x-),联立可得x=,y=,故E().
kBE·km=-1,即直线m与圆E相切.
关键能力提升练
6.(多选题)(2025黑龙江哈尔滨高三二模)已知P(x0,y0)为双曲线C:=1上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,G和I分别为△PF1F2的重心和内心.若GI⊥x轴,则(　　)
A.|x0|=6
B.△PF1F2的面积为12
C.|PF1|=14
D.△PF1F2内切圆的半径r=
答案AD
解析不妨设点P在第一象限,D,E,F分别为圆I与△PF1F2三边的切点,如图.
由切线长定理以及双曲线的定义,得2a=|PF1|-|PF2|=(|PF|+|FF1|)-(|PE|+|EF2|)=|FF1|-|EF2|=|F1D|-|F2D|=(xD+c)-(c-xD)=2xD,
∴xD=a=2,∴xG=xI=xD=2.
设P(x0,y0),由G为△PF1F2的重心知,x0=3xG=6,故A正确;
把x0=6代入双曲线C:=1可得y0=4,∴|PF1|==14,|PF2|==10,
∴|F1F2|·|y0|=×8×4=16,故B错误;
若点P在第二象限,则2a=|PF2|-|PF1|,同理可求得|PF1|=10,|PF2|=14,故C错误;
设△PF1F2内切圆的半径为r,则(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)×r=16r,
又|F1F2|·|y0|=×8×4=16,∴16r=16,∴r=,故D正确.故选AD.
7.(多选题)已知抛物线y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,A点位于B点右方,若∠AFB=∠CFB,则下列结论一定正确的有(　　)
A.|AF|=8 B.|AB|=
C.S△AFB= D.直线AF的斜率为
答案ABC
解析由题意得,如图,F(2,0),C(-2,0),当直线l的斜率为0时,与抛物线只有1个交点,不符合题意.
故设直线l的方程为x=my-2,不妨设m>0,联立y2=8x,可得y2-8my+16=0,
由l与抛物线交于A,B两点,所以Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1>0,y2>0,则y1+y2=8m,y1y2=16,
则|AB|=·|y1-y2|,|BC|=·|y2|=·y2,
在△CBF与△ABF中,由正弦定理得,
因为∠AFB=∠CFB,∠CBF+∠ABF=π,y1>y2,,
即.
又由抛物线的性质可知|AF|=x1+2=my1-2+2=my1,则,
即my1y2=4y1-4y2=4,
即16m=4,解得m=,
则y1+y2=,y1y2=16,
解得y1=4,y2=,
故|AF|=my1=×4=8.
当m<0时,同理可得到|AF|=8,故A正确;
又|AB|=·|y1-y2|==8=8×,故B正确;
S△AFB=S△ACF-S△BCF=×|CF|×|y1-y2|=2|y1-y2|=2=16,故C正确;
当m>0时,y1=4,则x1==6,
即A(6,4),此时kAF=.
由对称性可得,当m<0时,kAF=-,故直线AF的斜率为±,故D错误.故选ABC.
8.(5分)斜率为-1的直线与椭圆C:=1(a>b>0)交于A,B两点,点T是椭圆上的一点,且满足TA⊥TB,点P,Q分别是△OAT,△OBT的重心,点R是△TAB的外心.记直线OP,OQ,OR的斜率分别为k1,k2,k3,若k1k2k3=-,则椭圆C的离心率为　　　　　.
答案
解析如图,取AT,BT的中点C,D,依题意,点R是AB中点,点P,Q分别在OC,OD上.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
两式相减得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0,(*)
易知x1≠x2,直线AB斜率kAB==-1,直线OR斜率k3=kOR=,
由(*)得,则k3kAB=-,
直线AT,BT的斜率分别为kAT,kBT,
同理k1kAT=-,k2kBT=-,又kATkBT=-1,因为k1k2k3=-,所以k1kAT·k2kBT·k3kAB=(-)3=-,解得,
所以椭圆C的离心率e=.
9.(17分)已知长为2的线段PQ的中点为原点O,圆T经过P,Q两点且与直线y+2=0相切,圆心T的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点D(1,b)且互相垂直的直线l1,l2分别与曲线C交于点E,H和点M,N,且|ED|=|DH|,四边形MENH的面积为15,求实数b的值.
解(1)由题意知圆心T在线段PQ的垂直平分线上(异于点O),
设T(x,y),圆T的半径为r,
则OT2+OP2=TP2,
则r=,
又圆T与直线y+2=0相切,故r=|y+2|,
于是|y+2|=,化简得x2=4y+2,所以曲线C的方程为x2=4y+2.
(2)设E(x1,y1),H(x2,y2),根据|ED|=|DH|可得D为EH的中点,
则,即,
所以直线l1:y=(x-1)+b.
联立消去y整理得x2-2x-4b=0,由Δ1=(-2)2-4(-4b)=16b+4>0,得b>-,所以x1+x2=2,x1·x2=-4b,所以|EH|=.
设M(x3,y3),N(x4,y4),因为l1,l2互相垂直,易知直线l2:y=-2(x-1)+b,
联立消去y整理得x2+8x-4b-10=0,
由Δ2=82-4(-4b-10)=16b+104>0,得b>-,所以x3+x4=-8,x3·x4=-4b-10,所以|MN|==2.
则四边形MENH的面积为|EH|·|MN|=×2=5.
令5=15,化简得4b2+27b-7=0,解得b=-7(舍去)或b=,符合Δ1>0,Δ2>0,所以实数b的值为.
核心素养创新练
10.(17分)已知点M(x0,y0)为双曲线-y2=1上的动点.
(1)判断直线-y0y=1与双曲线的公共点个数,并说明理由;
(2)①如果把(1)的结论推广到一般双曲线,你能得到什么相应的结论 请写出你的结论,不必证明;
②将双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”,其方程为=0,请利用该方程证明如下命题:若T(m,n)为双曲线C上一点,直线l:=1与C的两条渐近线分别交于点P,Q,则T为线段PQ的中点.
(1)解由点M(x0,y0)在双曲线-y2=1上,得=1,即-1,联立消去y得()x2+x0x-(1+)=0,则x2-2x0x+=0,显然Δ=4-4=0,所以该直线与双曲线有且只有1个公共点.
(2)①解由(1)知,直线-y0y=1与双曲线-y2=1相切于点(x0,y0),
所以过双曲线=1(a>0,b>0)上一点(x0,y0)的切线方程为=1.证明如下:
因为点(x0,y0)在双曲线上,所以=1,即b2-a2=a2b2,
由消去y得x2-x0x+b2+=0,
于是Δ=(b2+)==0,
因此直线=1与双曲线=1(a>0,b>0)相切于点(x0,y0),所以过双曲线=1(a>0,b>0)上一点(x0,y0)的切线方程为=1.
②证明当n=0时,直线l的斜率不存在,由对称性知,点T为线段PQ的中点;
当n≠0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(t,s),
联立消去y得()x2+2mx-a2=0,由=1,得x2-2mx+a2=0,则t==m,
又=1,于是s=-1)=n,
即点T与点N重合,
所以点T为线段PQ的中点.
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