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专题突破练7
(分值:85分)
主干知识达标练
1.(2025全国1,4)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx-的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案B
解析由题意知,a-,k∈Z,所以a=,k∈Z.又a>0,所以当k=0时,a取最小值.故a的最小值为.故选B.
2.为了得到函数y=cos2x+的图象,只需将函数y=sin2x+的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案A
解析因为y=cos2x+=cos2x+-=sin2x+,所以将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度,得到y=sin2x++=sin2x+的图象,故选A.
3.函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象如图所示,图中阴影部分的面积为6π,则f()=(　　)
A.- B.-
C. D.
答案A
解析如图,①和②面积相等,故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积,可得AB=3,
设函数f(x)的最小正周期为T,则AD=T,由题意得3T=6π,解得T=2π,故=2π,得ω=,即f(x)=tanx+φ.
∵f(x)的图象过点,-1,
∴tan+φ=tan+φ=-1,
又φ∈-,则+φ∈-∪(),
∴+φ=-,解得φ=-,∴f(x)=tan(x-).
∴f()=tan()=tan=tan=-.
故选A.
4.(2025北京,8)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在区间[0,]上存在零点,则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.3
答案C
解析f(x)=sin(ωx+),当x∈[0,]时,ωx+∈[ω+].
∵f(x)在[0,]上存在零点,∴ω+≥π,解得ω≥3.
又f(x+π)=f(x),∴π为f(x)的一个周期.设f(x)的最小正周期为T,
则π=kT,k∈N*.又T=,∴π=k·,k∈N*,∴2k=ω,k∈N*,∴ω的最小值为4.故选C.
5.关于函数y=3cos(2x+),则下列结论中:
①-π为该函数的一个周期;
②该函数的图象关于直线x=对称;
③将该函数的图象向左平移个单位长度,得到y=3cos 2x的图象;
④该函数在区间[-]内单调递减.
所有正确结论的序号是(　　)
A.①② B.③④
C.①②④ D.①③④
答案C
解析对于①,由周期公式可得T==π,所以函数y=3cos(2x+)的最小正周期为π,所以kπ(k∈Z,k≠0),均是其周期,故①正确;
对于②,当x=时,y=3cos(2×)=3cos π=-3,所以直线x=是其对称轴,故②正确;
对于③,将函数y=3cos(2x+)的图象向左平移个单位长度,得到y=3cos[2(x+)+]=3cos(2x+)的图象,故③错误;
对于④,因为x∈[-],所以2x+∈[0,],由余弦函数的单调性可知,函数y=3cos(2x+)在[-]内单调递减,故④正确.综上,正确的有①②④.故选C.
6.(多选题)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ) (ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在[-]上单调递增
C.f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D.函数F(x)=f()+f(x-)的最小值为-
答案ABD
解析由题图可得A=2,
又,ω>0,∴T=π,
又T=,∴ω=2.
∴y=2cos(2x+φ).将(,2)代入y=2cos(2x+φ),得cos(+φ)=1,即+φ=2kπ,k∈Z,
即φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,∴φ=-.
∴f(x)=2cos(2x-).
对于A,最小正周期T==π,故A正确;
对于B,令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,可得f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,当k=0时,单调递增区间为[-],故B正确;
对于C,函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,所得到的函数解析式为y=2sin[2(x+)]=2sin(2x+)=2cos(2x+)≠f(x),故C不正确;
对于D,F(x)=f()+f(x-)=2cos(x-)+2sin 2x=(cos x+sin x)+4sin xcos x,
令t=cos x+sin x=sin(x+)∈[-],所以F(x)=(cos x+sin x)+4sin xcos x可化为h(t)=t+2(t2-1)=2t2+t-2=,故当t=-时,h(t)的最小值为-,即F(x)的最小值为-,故D正确.故选ABD.
7.(多选题)(2025黑龙江哈尔滨高三一模)已知函数f(x)=3tan(2x-)+1,则下列选项正确的有(　　)
A.f()=7-3
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)图象的对称中心为(,1)(k∈Z)
D.不等式f(x)≤4的解集为{x答案ACD
解析对于A,f()=3tan()+1=3×+1=+1=7-3,故A正确;
对于B,f(x)的最小正周期T=,故B错误;
对于C,由2x-,k∈Z,得x=,k∈Z,所以f(x)图象的对称中心为(,1)(k∈Z),故C正确;
对于D,由f(x)=3tan(2x-)+1≤4得tan(2x-)≤1,所以-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,解得-8.(多选题)已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<4,0<φ<π)为偶函数,将g(x)图象上的所有点向左平移个单位长度,再把图象上所有点的横坐标变为原来的长度,得到函数f(x)的图象,若f(x)的图象过点(0,),则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为1
B.函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=
C.函数f(x)在(1,)内单调递减
D.函数f(x)在(0,π)上恰有5个零点
答案AC
解析由函数g(x)为偶函数,得φ=+kπ,k∈Z,而0<φ<π,则φ=,
因此f(x)=sin(2ωx+)=cos(2ωx+),f(0)=cos,
由0<ω<4,得0<,于是,解得ω=π,
则f(x)=cos(2πx+).
对于A,函数f(x)的最小正周期为T==1,A正确;
对于B,f()=cos≠±1,函数f(x)的图象不关于直线x=对称,B错误;
对于C,当1对于D,由f(x)=0,得2πx+=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,
由0<<π,k∈Z,解得k∈{0,1,2,3,4,5},因此函数f(x)在(0,π)上恰有6个零点,D错误.故选AC.
9.(5分)把函数y=sin(2x+)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象;再将f(x)图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)=　　　　.
答案sin x
解析y=sin(2x+)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,函数解析式变为f(x)=sin(x+),将f(x)图象上所有点向右平移个单位长度,可得g(x)=f(x-)=sin(x-)=sin x.
10.(5分)写出一个同时满足下列三个条件的函数f(x)的解析式:　　　　　　　　.
①f(x)=-f(x+2);②f(x+1)=f(1-x);③f(x)的导数为f'(x)且f'(x)=f'(-x).
答案f(x)=sin(x)(答案不唯一)
解析由①得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.
由②得f(x)的图象关于直线x=1对称.由③得f(x)的图象关于点(0,c)对称,c为常数.
则同时满足上述三个条件的一个函数可以为f(x)=sin(x)(答案不唯一).
关键能力提升练
11.正弦波是频率成分非常单一的信号,其波形是数学上的正弦曲线,任何复杂信号,如光谱信号、声音信号等,都可由多个不同的正弦波复合而成.现已知某复合信号I(x)由三个振幅、频率相同的正弦波f(x),g(x),h(x)叠加而成,即I(x)=f(x)+g(x)+h(x),设f(x)=Asin(ωx+φ),g(x)=Asin(ωx+α),h(x)=Asin(ωx+β)(A>0,ω>0,|φ|<,α,β∈(0,π)),若图中所示为f(x)的部分图象,则下列描述正确的是(　　)
A.(A+ω)·φ=
B.I(x)的最小正周期是2π
C.若α=,β=,则I(x)=(1+)sin(2x+)
D.若I(x)=0恒成立,则cos(φ-α)cos(α-β)cos(β-φ)=-
答案D
解析对于A,由题图可知,A=2,且,所以ω=2,又f(0)=1,所以sin φ=,因为|φ|<,所以φ=,所以(A+ω)·φ=(2+2)×,故A错误;
对于B,因为ω=2,所以f(x),g(x),h(x)的最小正周期均为π,所以I(x)=f(x)+g(x)+h(x)的最小正周期为π,故B错误;
对于C,因为α=,β=,所以I(x)=2sin(2x+)+2sin(2x+)+2sin(2x+),
因为I(0)=2sin+2sin+2sin=1+,而(1+)·sin(2×0+)=(1+),故C错误;
对于D,因为I(x)=0,所以2sin(2x+φ)+2sin(2x+α)+2sin(2x+β)=0,
展开得sin 2x(cos α+cos β+cos φ)+cos 2x(sin α+sin β+sin φ)=0,等式恒成立,
则
则平方求和得2+2cos(α-β)=1,
所以cos(α-β)=-;同理,cos(φ-α)=-,cos(β-φ)=-,
所以cos(φ-α)cos(α-β)cos(β-φ)=-,故D正确.故选D.
12.(多选题)已知函数f(x)=cos(2x-),则(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在(-,0)上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.若x∈(0,),则f(x)的最大值为1
答案BCD
解析对于A,由函数f(x)=cos(2x-),得其最小正周期T==π,故A错误;
对于B,由-对于C,由x=,则2x-=π,因为函数y=cos t图象的对称轴为直线t=kπ(k∈R),故C正确;
对于D,由013.(多选题)已知函数f(x)=2|sin x|cos x,则(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是周期为π的周期函数
C.f(x)在[π,]上单调递增
D.f(x)的最小值为
答案AD
解析显然f(x)的定义域是R.
因为f(-x)=2|sin(-x)|cos(-x)=2|sin x|cos x=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确;
易知f(x+π)=2|sin(x+π)|cos(x+π)=2-|sin x|cos x≠f(x),故B错误;
当x∈[π,]时,f(x)=2|sin x|cos x=2-sin xcos x=,
因为2x∈[2π,],所以y=-·sin 2x在[π,]上单调递减,
又y=2x单调递增,所以f(x)在[π,]上单调递减,故C错误;
易知f(x+2π)=f(x),所以f(x)是周期为2π的周期函数,
当x∈[0,2π]时,f(x)=2|sin x|cos x=
显然当x∈[0,π]时,sin 2x∈[-],当x∈(π,2π]时,-sin 2x∈[-],则f(x)的最小值为,故D正确.故选AD.
14.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),且f(x)在区间()上单调递增,则ω的取值范围为　　　　　　　　　.
答案(0,1]∪[]
解析因为ω>0,所以当因为函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)在区间()内单调递增,则() (2kπ-,2kπ+)(k∈Z),所以其中k∈Z,解得4k-≤ω≤+1(k∈Z),因为ω>0,且k∈Z,所以k=0或k=1.当k=0时,0<ω≤1;当k=1时,≤ω≤.
综上所述,ω的取值范围是(0,1]∪[].
15.(5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)及其导函数f'(x)的图象如图所示,若函数y=f(x)-m在[0,]上恰有3个不同的零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是　　　　　　.
答案[)
解析因为在区间(0,)内,两个函数图象在x轴上方,所以原函数在区间(0,)内单调递增,所以最大值为的函数图象为原函数图象.
∵f(x)=Asin(ωx+φ),
∴f'(x)=ωAcos(ωx+φ),
∴则ω=2,f(x)=sin(2x+φ),
由f()=sin(+φ)=,得+φ=+2kπ,k∈Z,∵0<φ<,得φ=,
∴f(x)=sin(2x+),作出f(x)在[0,]上的大致图象,如图,不妨设x1核心素养创新练
16.若函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的任意连续三个交点均构成钝角三角形,则正实数ω的取值范围是(　　)
A. (0,) B. (0,)
C.(,+∞) D.(,+∞)
答案B
解析如图,作出函数y=2sin ωx和y=2cos ωx的大致图象,
不妨以图中△ABC为研究对象,由对称性可得△ABC是以C为顶角的等腰三角形,过点C作CM⊥AB于M,则AB==2BM,得BM=.
由sin ωx=cos ωx,得cos ωx=±,则yB=-yC=,所以CM=2yB=2,要使△ABC为钝角三角形,只需∠CBA<即可,由tan∠CBA=<1,整理得0<ω<.故选B.
12

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