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专题突破练9
(分值:52分)
1.(13分)(2025黑龙江齐齐哈尔二模)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知∠AOD=60°,AC=3,BD=6,且AD=BC.
(1)求BO的长;
(2)若7sin(2∠OCB-)=8cos∠ODA-15,求cos∠ODA的值.
解(1)设BO=m,CO=n,
所以OD=6-m,OA=3-n,
在△OBC中,BC2=m2+n2-2mncos 60°,
在△OAD中,AD2=(6-m)2+(3-n)2-2(6-m)(3-n)cos 60°,
因为BC=AD,解得m=3,所以BO的长为3.
(2)由(1)知BO=DO=3,设∠OCB=α,∠OAD=β,∠ODA=θ,
在△OBC中,,
在△OAD中,,
所以sin α=sin β,所以α=β或α+β=π.
若α=β,则△OBC与△ODA全等,所以CO=AO=,
所以θ=,所以α=β=,
7sin(2α-)=8cos θ-15不成立,所以α+β=π,
所以sin(2α-)=sin[2(π-β)-]=sin[2(+θ)-]=sin(+2θ)=cos 2θ.
因为7cos 2θ=8cos θ-15,
所以7(2cos2θ-1)=8cos θ-15,
所以7cos2θ-4cos θ+4=0,
所以cos θ=,
所以cos∠ODA的值为.
2.(13分)(2025北京,16)在△ABC中,cos A=-,asin C=4.
(1)求c;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高.
条件①:a=6;
条件②:bsin C=;
条件③:S△ABC=10.
解(1)由cos A=-,得sin A=.
∵asin C=4,∴S△ABC=absin C=×4b=bcsin A,
∴4c,解得c=6.
(2)若选①,a=6,则a=c.又cos A<0,∴A为钝角,故△ABC不存在.
若选②,bsin C=,如图,作AD垂直BC于点D,则BC边上的高AD=,此时sin B=,∴B∈().
又cos A=-,∴A∈(),∴A+B∈(,π),
∴△ABC存在,此时BC边上的高AD=.
若选③,S△ABC=10.由(1)知S△ABC=×4b=10,解得b=5.
由余弦定理得,a==9,∴△ABC存在.
又S△ABC=·a·AD,
∴·a·AD=10,解得AD=.
3.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,若D为AC边上一点,满足AB⊥BD,BD=2,且a2=-S+abcos C.
(1)求∠ABC;
(2)求的取值范围.
解(1)∵a2=-S+abcos C,
∴a2=-absin C+abcos C,
即a=-bsin C+bcos C,
由正弦定理得,sin A=-sin∠ABCsin C+sin∠ABCcos C,
∴sin(∠ABC+C)=-sin∠ABCsin C+sin∠ABCcos C,
∴cos∠ABCsin C=-sin∠ABCsin C.
∵sin C≠0,∴tan∠ABC=-.
由0<∠ABC<π,得∠ABC=.
(2)如图,由(1)知,∠ABC=,
因为AB⊥BD,所以∠ABD=,∠DBC=.
在△BCD中,由正弦定理得,即DC=,
在Rt△ABD中,AD=,
∴=sin A+sin C.
∵∠ABC=,∴A+C=,
∴=sin A+sin C=sin(-C)+sin C=sin·cos C-cossin C+sin C=sin(C+).
∵0∴sin(C+)∈(,1),
所以的取值范围是(,1].
4.(13分)(2024新高考Ⅱ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
解(1)由题得2=2,
即sin=1.又A+,
所以A+,即A=.
(2)因为bsin C=csin 2B,
所以由正弦定理可得sin Bsin C=sin C·2sin Bcos B,
又sin B≠0,sin C≠0,
所以cos B=.
又0由正弦定理得,
则b=2,c=,
所以△ABC的周长为a+b+c=2++3.
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