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专题突破练10
(分值:96分)
主干知识达标练
1.已知数列{an}满足2an+1=an+an+2,其前n项和为Sn,若S9=18,则a5=(　　)
A.-2 B.0 C.2 D.4
答案C
解析根据题意2an+1=an+an+2,可得数列{an}为等差数列,所以S9==18,
所以a1+a9=4,所以2a5=4,
所以a5=2.故选C.
2.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a2+a4+a6=5π,b2b4b6=3,则tan=(　　)
A. B.-
C. D.-
答案A
解析因为数列{an}是等差数列,
所以a2+a4+a6=3a4=5π,
故a4=,所以a1+a7=2a4=,
因为{bn}是等比数列,所以b2b4b6==3,故b4=,所以b2b6=3.
所以tan=tan(-)=-tan.
故选A.
3.已知等比数列{an}的前n项积为Tn,a1=16,公比q=,则Tn取最大值时n的值为(　　)
A.3 B.6
C.4或5 D.6或7
答案C
解析an=a1qn-1=16×=24×21-n=25-n,
(方法一)由题意知,an>0且数列{an}为递减数列,a5=1,前4项大于1,从第6项起小于1,所以n=4或5时,Tn取得最大值.
(方法二)Tn=a1a2…an=24×23×…×25-n=24+3+…+(5-n)=,因为n∈N*,所以n=4或5时,Tn取得最大值.故选C.
4.已知{an}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,若ln a1,ln a3,ln a6也是等差数列,则其公差为(　　)
A.ln d B.ln 2d
C.ln D.ln
答案D
解析因为ln a1,ln a3,ln a6是等差数列,
所以2ln a3=ln a1+ln a6,
即ln =ln a1a6,所以=a1a6,
即(a1+2d)2=a1(a1+5d).
又d≠0,所以a1=4d,所以公差为ln a3-ln a1=ln=ln=ln=ln.
故选D.
5.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何 ”根据这一数学思想,所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列结论正确的是(　　)
A.a3+b5=c3 B.b28=c10
C.a5b2>c8 D.c9-b9=a26
答案B
解析根据题意数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,则an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,则bn=2+5(n-1)=5n-3,数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,则cn=2+15(n-1)=15n-13.
对于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30,c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,A错误;
对于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,B正确;
对于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13=107,a5b2=14×7=98<107=c8,C错误;
对于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-3=42,a26=3×26-1=77,c9-b9=122-42=80≠77=a26,D错误.故选B.
6.(2025天津,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　)
A.112 B.48
C.80 D.64
答案C
解析由题意知a1=S1=7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+8n+(n-1)2-8(n-1)=-2n+9.
又a1=7适合上式,所以an=-2n+9.
当an>0时,n≤4,当an<0时,n≥5.
∴{|an|}前12项的和T12=S4-(S12-S4)=2S4-S12=2×(-16+32)-(-122+8×12)=80.故选C.
7.(多选题)(2025黑龙江大庆高三质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,an=an+1+3,则下列说法正确的是(　　)
A.a5-a1=-12
B.{an}是递增数列
C.当n>4时,an<0
D.当n=3或n=4时,Sn取得最大值
答案ACD
解析因为an=an+1+3,所以an+1-an=-3.
又a1=9,所以数列{an}是首项为9,公差为-3的等差数列.
记公差为d,则d=-3,所以an=a1+(n-1)d=-3n+12,Sn=.
对于A,a5-a1=4d=-12,故A正确.
对于B,因为公差为-3,所以数列{an}是递减数列,故B错误.
对于C,当n>4时,-3n+12<0,即an<0,故C正确.
对于D,Sn=,所以Sn在1≤n≤3时单调递增,在n≥4时单调递减.因为S3=18,S4=18,所以当n=3或n=4时,Sn取得最大值,最大值为18,故D正确.
故选ACD.
8.(多选题)一百零八塔始建于西夏时期,是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一,塔群随山势凿石分阶而建,自上而下一共12层,第1层有1座塔,从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数,总计108座塔.已知包括第1层在内的其中十层的塔数可以构成等差数列{an},剩下的两层的塔数分别与上一层的塔数相等,第1层与第2层的塔数不同,则下列结论正确的有(　　)
A.第3层的塔数为3
B.第4层与第5层的塔数相等
C.第6层的塔数为9
D.等差数列{an}的公差为2
答案ABD
解析设等差数列{an}的公差为d,若d=1,则这10层的塔数之和为10×1+=55,
则最多有55+10+10=75座塔,不符合题意;
若d≥3,则这10层的塔数之和不少于10×1+×3>108,不符合题意;
所以d=2,这10层的塔数之和为10×1+×2=100,
塔数依次是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,
依题意剩下两层的塔数为3和5,
所以这12层塔的塔数分别为1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19,因此A,B,D正确,C错误.故选ABD.
9.(多选题)(2025全国2,9)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　)
A.q= B.a5=
C.S5=8 D.an+Sn=8
答案AD
解析由S3=7,a3=1,得S2=6,即a1(1+q)=6①,又a1q2=1②,
①÷②,得=6,即6q2-q-1=0,解得q=-(舍去)或q=,所以a1=4,A正确.a5=a3q2=1×,B错误.S5=,C错误.Sn==2(4-an)=8-an,所以Sn+an=8.D正确.故选AD.
10.(5分)(2025黑龙江哈尔滨高三联考)互素是指两个自然数a和b的最大公因数为1.欧拉函数φ(n)表示不大于n(n∈N*)且与n互素的正整数个数,若数列{an}满足an=φ(2n),且数列{an}的前n项和为Sn,则满足Sn<2 025的n的最大值为　　　　.
答案10
解析因为正偶数与2n不互素,正奇数与2n互素,所以不大于2n且与2n互素的正整数为所有不超过2n的正奇数,所以an=2n-1,则Sn==2n-1,
令2n-1<2 025,解得n≤10(n∈N*),所以n的最大值为10.
11.(5分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,S11=11,b5b7=3,则log3=　　　　.
答案-1
解析因为{an}是等差数列,且Sn是数列{an}的前n项和,所以S11==11a6=11,解得a6=1,因为{bn}是等比数列,所以b5b7==3,则log3=log3=-1.
12.(5分)对于数列{an},定义Hn=为{an}的“优值”,现已知某数列{an}的“优值”Hn=2n,记数列{}的前n项和为Sn,则S2 025=　　　　　.
答案
解析因为Hn==2n,
则a1+2a2+…+2n-1an=n·2n, ①
当n=1时,a1=2;
当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1, ②
①②两式相减可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)2n-1,即an=n+1,n≥2;
a1=2也满足上式,所以an=n+1,n∈N*.
可得,所以S2 025=+…+.
13.(5分)(2023北京,14)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=　　　　　　　;数列{an}所有项的和为　　　　　　　.
答案48　384
解析设前3项的公差为d,后7项的公比为q,q>0,则q4==16,且q>0,可得q=2,又a3=a1+2d=,即1+2d=3,得d=1,所以a3=3,a7=a3q4=48,
a1+a2+…+a9=1+2+3+3×2+…+3×26=3+=384.
关键能力提升练
14.(2025黑龙江哈尔滨高三一模)已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=2·3n+1-6(n∈N*),若bn=,则数列{bn}的前15项和为(　　)
A.-1 B.-3
C.-1 D.-3
答案A
解析a1+a2+a3+…+an=2·3n+1-6(n∈N*)①,
当n=1时,a1=2×32-6=12,
当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=2·3n-6②,
①-②得an=2·3n+1-6-(2·3n-6)=4·3n,所以an=4n·3n,
显然a1也满足上式,所以an=4n·3n,
所以bn=.
记数列{bn}的前n项和为Sn,则S15=()+()+()+…+()=-1=-1.
故选A.
15.(多选题)将n2个数排成n行n列的数阵,如图所示,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=3,a13=a51+1,记这n2个数的和为S,下面叙述正确的是(　　)
a11　a12　a13　…　a1n
a21　a22　a23　…　a2n
a31　a32　a33　…　a3n
……
an1　an2　an3　…　ann
A.m=2
B.a78=15×28
C.aij=(2i+1)·2j-1
D.S=n(n+2)(2n-1)
答案ACD
解析由题意a13=a11·m2=3m2,a51=a11+4m=3+4m,由a13=a51+1,
则3m2=3+4m+1,
整理可得(3m+2)(m-2)=0,
又m>0,所以m=2,故A正确;
对于B,a71=a11+6×2=15,a78=a71·27=15×27≠15×28,故B错误;
对于C,ai1=a11+(i-1)×2=1+2i,aij=ai1·2j-1=(1+2i)·2j-1,故C正确;
对于D,S=a11+a21+a31+…+an1(3+5+7+…+2n+1)=(2n-1)·=n(2+n)(2n-1),故D正确.故选ACD.
16.(多选题)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S10A.当n=8时,Sn最大
B.使得Sn<0成立的最小自然数为n=18
C.|a8+a9|>|a10+a11|
D.{}中最小项为
答案BD
解析由题得所以
即
两式相加,得
由a9>0,a10<0,所以当n=9时,Sn最大,故A错误;
由S10两式相加,得a10+a11+a8+a9<0,所以|a8+a9|<|a10+a11|,故C错误;
由以上可得:a1>a2>a3>…>a9>0>a10>a11>…,
S17==17a9>0,而S18==9(a9+a10)<0,
当n≤17时,Sn>0,当n≥18时,Sn<0,所以使得Sn<0成立的最小自然数为n=18,故B正确;
当n≤9,或n≥18时,>0,当9由0>a10>a11>…>a17,S10>S11>S12>…>S17>0,
所以{}中最小项为,故D正确.故选BD.
17.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的n∈N*,均有S8≤Sn成立,则的取值范围为　　　　　　.
答案[]
解析由题意知S8是等差数列{an}的前n项和中的最小值,则必有a1<0,公差d>0,
若a8=0,此时S7=S8,S7,S8是等差数列{an}的前n项和中的最小值,
此时a8=a1+7d=0,即a1=-7d,
则;
若a8<0,a9≥0,此时S8是等差数列{an}的前n项和中的最小值,
此时a8=a1+7d<0,a9=a1+8d≥0,即-8≤<-7,
则=1+=1+∈(],综上,的取值范围是[].
核心素养创新练
18.(多选题)小华玩一种跳棋游戏,一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1~10的10个小球,每次随机抽取一个小球并放回,规定:若每次抽取号码小于或等于5的小球,则前进1步,若每次抽取号码大于5的小球,则前进2步.每次抽取小球互不影响,记小华一共前进n步的概率为Pn,则下列说法正确的是(　　)
A.P2=
B.Pn=Pn-1+Pn-2(n≥3)
C.Pn=1-Pn-1(n≥2)
D.小华一共前进3步的概率最大
答案BC
解析根据题意,小华前进1步的概率和前进2步的概率都是,所以P1=,P2=,故选项A错误;
当n≥3时,一共前进n步是由两部分组成:先前进n-1步,再前进1步,其概率为Pn-1,或者先前进n-2步,再前进2步,其概率为Pn-2,所以Pn=Pn-1+Pn-2(n≥3),故选项B正确;
因为Pn=Pn-1+Pn-2(n≥3),
所以2Pn+Pn-1=2Pn-1+Pn-2(n≥3),
而2P2+P1=2×=2,所以2Pn+Pn-1=2(n≥2),即Pn=1-Pn-1(n≥2),故选项C正确;
因为当n≥2时,Pn=1-Pn-1,
所以Pn-=-(Pn-1-),
又P1-=-,所以数列{Pn-}是首项为-,公比为-的等比数列.
所以Pn-=-,
所以Pn=.
当n为奇数时,n-1为偶数,则Pn=,此时数列{Pn}单调递增,所以Pn<;
当n为偶数时,n-1为奇数,则Pn=,此时数列{Pn}单调递减,所以Pn≤P2=.
综上,当n=2时,概率最大,即小华一共前进2步的概率最大,故选项D错误.
故选BC.
9

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