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2026年期末核心考点集训专题讲义
专题06：数与代数《比和比例》
考点01 比的概念
考点02 比的基本性质
考点03按比例分配问题
考点04 按比例分配问题
考点05比例的基本性质
考点06比例尺
考点07正比例和反比例
考点01 比的概念
知识点一：用字母代表数：
比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。例如:5÷6 可记作 5:6.比值的概念
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如，5:6=就是5:6的比值
知识点二：比与除法和分数的关系
a :b = a÷b = (b≠0)
比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；
比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；
比值相当于分数的分数值和除式中的商
知识点三：比、除法和分数的关系
知识点四：比值的意义：
同类数量的比值:表示倍数关系或几分之几。不能加单位
不同类数量的比值:--产生新的量。能加单位
【例题1】
在含盐5％的盐水中，盐与水的质量比写成最简整数比是（ ）。
分析：在5％的盐水中盐与盐水的比是5：100，盐与水的比是5：（100-5）＝5：95＝1：19。
解答：1：19。
三个数的平均数是13，这三个数的比是1/2：2/3：1，这三个数中最大的是（ ）。
考点02 比的基本性质
知识点一：比的基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。
利用商不变性质，我们可以进行除法的简算，也可以把小数除法变为整数除法计算。根据分数的基本性质，我们可以把分数约分成最简分数。
应用比的基本性质，我们可以把比化成最简整数比。
知识点二：求比值和化简比的区别
知识点三：归纳化简比的方法
【例题1】
1.求比值：32 : 16；48 : 40
=(32÷16) : (16÷16）=2 : 1
48 : 40
=(48÷8) : (40÷8)=6 : 5
解析：怎样化简整数比？
比的前、后项都除以它们的最大公因数→最简比。
2.化简比：0.15 : 0.3
=(0.15×100) : (0.3×100)
=15 : 30
=(15÷15) : (30÷15)
=1 : 2
化简比
考点03 按比例分配问题
知识点一：按比例分配
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
特点：
已知总量和部分量的比，求各部分量是多少。
解题方法：
先求总份数，再求个部分量占总量的几分之几，最后用总量乘以这个几分之几，求出个部分量。
将这两种浓缩液混在一起制成新的清洁液，那么这种新的清洁液中浓缩液是清洁液的百分之几？（百分号前保留一位小数）
3克的蚂蚁能搬动45克的物体；3吨的大象能拉动4.5吨的物体，蚂蚁和大象谁的力气大？（要求：用学过的知识说明你的观点，回答要全面）
考点04 比例的意义
知识点一：比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例：将上题中的平行四边形按照一定比例缩小，画在平面图上，量得图上平行四边形的底是3厘米，高是2厘米。那么图上平行四边形的底与实际底的比是（ 1:40 ），我们把这个比叫做（ 比例尺 ）；这个比还和（ 图上的高 ）和（ 实际的高 ）的比相等，组成的比例是（ 3:120=2:80 ）。
两个长方形重叠在一起，（如右图），重叠部分的面积是大长方形面积的 ，是小长方形面积的 ，那么大长方形的面积S1和小长方形面积S2的比是（ ）
考点05 比例的意义
知识点一：比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
用字母表示为：
如果a:b=c:d，那么ad=bc。
【例】甲、乙两数的比是3:7,如果甲数加上6,要使比值不变，乙数应加上多少
【解析】甲、乙两数的比是3:7,如果甲数加上6后，甲数为6+3=9,可知甲数由原来的3到现在的9,扩大到原来的3倍，要使比值不变，根据比的基本性质，比的后项也应扩大到原来的3倍，所以乙数也应扩大到原来的3倍，即7×3=21,因此乙数应加上21-7=14。
【解答】 (3+6)÷3=33×7-7=14
在一个比例里，两个外项为互倒数，其中
一个内项是 ，另一个内项是（ ）。
当x=(　　)时,0.9∶x和3∶2能组成比例。
考点06 比例尺
比例尺：实质上是一种比，是图上距离与实际距离的比。
【例】在一幅图上距离3cm代表实际距离360km的地图上,量得A,B两地相距8cm,A、B两地的实际距离是多少千米
【解析】本题考查求比例尺及根据比例尺和图上距离求实际距离。先求出这幅地图的比例尺,再求出A,B两地的实际距离。
【解答】
3cm:360km
=3cm:36000000cm
=1:12000000
在一幅比例尺为1:500的地图上,量得一间教室的长是3cm,宽是2cm,求这间教室的实际占地面积。
考点07 正比例和反比例
正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。
如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，那么上面这种数量关系式可以用 (一定) 来表示。
反比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化 ，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们 的乘积，那么上面这种数量关系式可以用xy=k (一定)来表示
【例】判断(对的画“√”,错的画“×”)
(1)如果y=8x,那么x和y成反比例。 ( )
(2)一本书,已经看的页数和未看的页数成正比例。( )
(3)圆的半径和面积不成比例。 ( )
【解析】本题考查正比例和反比例的意义。
(l)将y=8X变成 =8可以看出,y和 的比值一定,而不是积一定,所以 X 和y是成正比例而不是成反比例。
(2)一本书,已看的页数和未看的页数的和一定,不是积一定也不是比值一定,所以不成比例。
(3)虽然圆的半径和面积是两个相关联的量,但它们的积不一定。比值也不一定,所以不成比例。
【解答】(1)× (2)× (3)√
下面两种量,是否成比例 如果成比例,成什么比例 并说明理由。
(1)汽车的速度一定,它行驶的路程和时间。
(2)三角形的面积一定,三角形的底和高。
(3)长方形的周长一定,它的长和宽。
1.判断(对的画“√”,错的画“×”)
1.化简比的依据是比例的基本性质。 ( )
2.比值是2的比有无数个。 ( )
3.比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变， ( )
4.如果a:b=8:5,那么a=8,b=5。 ( )
5.甲数的 等于乙数的 (甲数、乙数均不为0),则甲数与乙数的比是9:7。( )
2.小龙今年5岁，小龙的爸爸今年38岁，6年后小龙与爸爸的年龄的最简整数比是多少
3.运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表。
1.写出几组这两个量中对应的两个数的积，并比较积的大小。
2.这个积表示什么
3.表中相关联的两个量成反比例吗 为什么
4.芳芳家新买了一辆家用小轿车,其油箱可以装40L油,小轿车行驶一段路程后，油箱中的剩余油量与行驶时间的关系如右图：
(1)小轿车行驶2小时用去了( )L油。
(2)一箱油够连续行驶( )h。
5学校将200粒太空种子按2:3:5分配给四、五,六年级同学种植,四、五、六年级各分到太空种子多少粒
6.在比例尺是1:2500000的地图上,量得甲、乙两城之间的距离是7.2cm。一辆汽车从甲城到乙城,平均每小时行80km,需要多少小时
参考答案
跟踪练习一
分析：三个数的比是1/2：2/3：1，化简为3：4：6，则最大的数占总数的 6/3+4+6，三个数的总数是13x3＝39，所以三个数中最大的数是39x6/ 3+4+6 =18。
解答：18
跟踪练习二
跟踪练习三
3：45 =1:15 或 45:3=15
3:4.5 =1:1.5 4.5:3=1.5
跟踪练习四
跟踪练习五
6
跟踪练习六
跟踪练习七
(1) 成正比例 (2) 成反比例 (3)不成比例
考点综合练习
1.
【解答】 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√
2.
【解答】
(6+5):(38+6)=1:4
答:6年后小龙与爸爸的年龄的最简整数比是1:4。
3.
【解答】
1. 300×1=300 150×2=300 100×3=300 积相等
2.答:积表示这批货物的总吨数。
3.答:成反比例。因为对应两个量的积一定。
4.
【解答】(1)10 (2)8
5.
6.
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