资源简介

8.4乘法公式强化提升专练
一、知识点核心定义
乘法公式是整式乘法的特殊形式，是多项式乘多项式的简便运算工具，核心包含平方差公式和完全平方公式。其本质是多项式乘多项式的特例，通过总结规律简化运算，避免繁琐的逐项相乘，同时保证运算准确率，是后续因式分解、代数式化简的基础。
关键关联：乘法公式源于多项式乘多项式，需熟练掌握多项式乘多项式法则，理解公式的推导过程，避免死记硬背，灵活运用公式进行简便运算。
二、核心公式及法则
（一）平方差公式
1. 公式表达
2. 文字表述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。
3. 公式推导（源于多项式乘多项式）：
（注：中间两项 与 互为相反数，合并后为0，简化得到平方差公式）
4. 记忆口诀：和乘差，平方差，首平方，尾平方，中间符号不用慌（互为相反数消去）。
（二）完全平方公式
完全平方公式分为“和的完全平方”和“差的完全平方”，两个公式形式相似，注意符号区别。
1. 和的完全平方公式
公式表达：
文字表述：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍。
2. 差的完全平方公式
公式表达：
文字表述：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数积的2倍。
3. 公式推导（以差的完全平方为例）：
4. 记忆口诀：完全平方有规律，首平方，尾平方，首尾两倍在中央；和平方，加两倍，差平方，减两倍。
三、公式适用条件
平方差公式适用条件：两个多项式相乘，必须是“两个数的和”与“这两个数的差”相乘（即一项完全相同，另一项互为相反数），缺一不可。
完全平方公式适用条件：两个相同的多项式相乘（即“两个数的和”或“两个数的差”的平方），注意区分“和”与“差”，避免符号出错。
补充说明：公式中的 、 可以是单独的字母、数字，也可以是单项式、多项式（整体代入思想），如 、 均适用公式。
强化提升训练
一、单选题
1．的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果，则括号内的多项式为（ ）
A． B． C． D．
4．下列等式能够成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则代数式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
6．如果，那么b的值一定是（ ）
A．21 B．21或 C．42 D．42或
7．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（ ）
A．97 B．95 C．64 D．65
8．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　）
A．10 B． C．11 D．
二、填空题
9．计算：______．
10．已知，，则__________
11．若是完全平方式，则________________．
12．用简便方法计算： ____．
13．已知实数满足，代数式的值为__________；
14．已知，求____．
15．若，则的值是_______．
16．如图是一个可折叠式的餐桌，其桌面由一个大正方形和四个全等的小正方形构成．当桌角全部打开时（如图①，桌面的最大长度为；当桌角全部收起时（如图②，桌面未被桌角覆盖部分的长度为．那么，当桌角全部收起时（图②中），桌面未被桌角覆盖的阴影部分面积是________（用含、的代数式表示）．

17．下列说法正确的有 __．（选序号）
①若，则满足条件的值有3个．
②若，，则用含的代数式表示为．
③已知，则的值是34．
④1，2，3，，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．
18．阅读材料：计算：
运用上述方法求__________．
三、解答题
19．计算．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
20．先化简，再求值
(1)，其中，；
(2)其中，．
21．先化简，再比较大小：已知，，试比较A与B的大小．
22．张老师在黑板上布置了一道题：计算：，求当和时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由．
23．一个底面是正方形的长方体，高为，底面正方形边长为，如果它的高不变，底面正方形边长增加了，那么它的体积增加了多少？
24．阅读以下材料：若，求的值．
思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出．
解：，
，
，
又
．
请你根据上述阅读材料解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)当分别取何值时，代数式有最小值？并求其最小值．
25．【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式：　 　；由图3可得等式：　 　；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则　 　；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
②　 　；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 　 　．
试卷第4页，共5页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B C D D D B
1．D
【详解】解：，
故选D
2．B
【详解】解：A、，故能够用平方差公式计算；
B、不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算；
C、，故能够用平方差公式计算；
D、，故能够用平方差公式计算；
故选：B．
3．B
【详解】解：；
故选B．
4．C
【详解】解：A、，原等式不成立，不符合题意；
B、，原等式不成立，不符合题意；
C、，原等式成立，符合题意；
D、，原等式不成立，不符合题意；
故选C．
5．D
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
6．D
【详解】，
，，
解得：，或，，
故选：D．
7．D
【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“杨梅数”，对于大于1的奇正整数，有
所以大于1的奇正整数都是“杨梅数”，
对于被4整除的偶数，有，
即大于4的被4整除的数都是“杨梅数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“杨梅数”，
对于被4除余2的数，
设，其中，为正整数，
当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除；
当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾，
所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“杨梅数”，
因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“杨梅数”，
此后，每连续四个数中有三个“杨梅数”．
，，
64是第46个“杨梅数”，
65是第47个“杨梅数”．
故选∶D．
8．B
【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9，
，
（负值舍去），
，
，
（负值舍去），
由图可得，，，
，
故选B．
9．
【详解】解：原式=
=
=
=，
故答案：．
10．4
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：4．
11．
【详解】∵是完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：12
12．
【详解】解：
，
故答案为：．
13．
【详解】解：，
，
故答案为：．
14．1
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
15．201
【详解】解：原式
．
故答案为：201．
16．
【详解】解：由题意得，小正方形的边长为，
∴大正方形的边长为，
∴桌面未被桌角覆盖的阴影部分面积是，
故答案为：．
17．②③/③②
【详解】解：①若，
，则，不合题意
，则，
，则，不合题意，
满足条件的值有1个，
故①不符合题意；
②，
，
，
，
，
即用含的代数式表示为，
故②符合题意；
③，
，
，
，
，
故③符合题意；
④设两个自然数的平方差，
与同奇同偶，
这个数是奇数或是4的倍数，
在1，2，3，，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的有14个，
不能表示成某两个自然数的平方差的数共有：个，
故④不符合题意；
故答案为：②③．
18．
【详解】解：
．
故答案为：2．
19．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：原式
当，时
原式
；
（2）原式
当，时
原式
．
21．
【详解】解：
，
，
．
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以．
22．
，
当时，原式
时，原式，
∴当和时的值相同，
∴小亮说法正确．
23．增加了
【详解】解：，
，
，
答：它的体积增加了．
24．(1)；
(2)代数式有最小值，最小值为．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，又，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵
，
又，，，
∴代数式有最小值，最小值为．
25．
【详解】（1）解：由图2知，∵大长方形的面积，
大长方形的面积3个小正方形的面积+3个小长方形的面积，
∴；
由图3知，∵大正方形的面积，
大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积，
∴；
故答案为：，．
（2）∵由（1）知：，
∴，
，
把代入，
．
故答案为：155．
（3）①∵，
可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
如图：

②由①知：，
∴．
故答案为：9．
（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为，4张边长分别为的长方形纸片的面积为，5张边长为b的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
∴拼成的正方形的边长最长为．
故答案为：．

展开更多......

收起↑