资源简介

《8.1.3三角形的三边关系》教学设计
课标要求
证明三角形的任意两边之和大于第三边，了解三角形的稳定性。
教材解析
华东师范大学出版社七年级数学下册第8章三角形第1节与三角形有关的边和角第3课时三角形的三边关系。
三角形是最简单的多边形，首先研究三角形的有关概念和三角形的内角、外角和与外角性质，本节课研究的内容在小学学习的基础上，创设学生自主探索的活动空间，让学生通过尺规作图发现结论；同时通过“云图”提示学生说理的依据，引导学生尝试写出推理过程。这一课时的探索活动也为以后学习全等三角形的内容积累了一定的数学活动经验，最后，通过果子沟大桥实例，让学生了解三角形的稳定性。
随后在研究多边形问题时，常常将多边形问题转化成三角形问题研究。
学情分析
学生在小学阶段学生已经建立了对三角形的直观认识，知道三角形的分类、三角形的两边之和大于第三边、三角形的内角和为180°等知识。进入初中阶段，学生又学习了角、相交线、平行线等内容，这些都为后续“三角形”的学习做了铺垫。在本节课中P89的“做一做”，教师利用尺规作出三角形，给学生做了示范，为学生完成P90的“试一试”做好画图的铺垫。学生通过“试一试”的活动，发现“三角形的任意两边之和大于第三边”这个结论，此处是重点，学生突破之后，进而利用线段的基本事实说明三角形的任意两边之和大于第三边。接着，由此拓展出三角形的两边之差小于第三边。最后，学生通过实验得到三角形的稳定性，并找出它在生活中的应用。
教学目标
1.通过操作验证掌握三角形的任意两边之和大于第三边，再根据不等式的基本性质，推出三角形两边之差小于第三边，会利用三角形的三边关系解决简单的数学问题。
2.了解三角形的稳定性，提升学习数学的兴趣，发展应用意识。
教学重点与难点
教学重点：操作验证三角形的三边关系。
教学难点：灵活运用三角形的三边关系，解决简单问题。
教学方法
课堂以学生的自主探究，小组合作，教师适当引导的形式展开，借助视频展台、课件及班级优化大师随机点名软件，提高学生的课堂参与度，增加课堂趣味性。
教学过程
一、情境引入，梳理已学知识网络
教师出示河南省南阳市知名地点图片(南阳世界月季大观园、淯阳桥、府衙和武侯祠等)，学生欣赏美景的同时，不知不觉和几何图形（三角形）邂逅了。
教师带领学生复习三角形的定义、表示、分类、内角和、外角和、外角性质、组成元素（三条边、三个内角）和相关元素（外角、中线、角平分线、高线等）。根据研究几何图形的性质就是研究该图形的组成元素和相关元素间的关系，教师引导学生回忆上节课学习了三角形内角和、外角和及外角性质（这些性质都是关于角的关系），进而猜测本节课要研究的内容是《三角形的三边关系》，出示学习目标。
【设计意图】本地景点引入，让学生形成生活中处处有数学的意识。把已学知识用知识网络呈现出来，分析猜测出本节课要研究的内容，潜移默化培养学生构建知识体系的能力。
激活旧知，示证新知
1.回忆旧知，动手操作
（四年级下册）学生通过观察和拼一拼的方式，了解了“三角形的任意两边之和大于第三边”，（七年级下册）我们学习用尺规作图作一个等边三角形（习题3.5第6题），现在让我们通过作三角形的过程，再次体会这一结论。
作一个三角形，使它的三条边长分别为4 cm、3 cm、2.5 cm。（作图步骤略）
师生活动：学生读作图步骤，教师示范作图。
【设计意图】回忆旧知，学生读，教师画，给学生呈现尺规作三角形的全过程，为下一环节学生任选三条线段用尺规作三角形作铺垫。
2.合情推理，归纳性质
现有 12 条已知长度的线段：三条长2cm、三条长3cm、两条长4cm、两条长5cm、两条长6cm，任意选择三条线段作三角形。
师生活动：教师先提问学生想选哪三条线段，生作答（分三类：三条线段相等、两条线段相等和三条线段都不等）。然后教师出示所有分类情况，分小组作图，各小组展示交流（有能画成三角形和不能画出三角形的情况），其他小组评价，归纳出性质1：三角形的任意两边之和大于第三边。
【设计意图】学生通过充分的动手操作、交流展示评价，语言表达能力得到提升，动手能力得到增强，更加深刻地理解组成三角形的条件是三角形的两边之和大于第三边，学生的空间观念和几何直观得到了发展。
3.演绎推理，证明性质
追问1：上述结论的根本依据是什么？（两点之间线段最短）
追问2：如何利用这一基本事实证明三角形的三边关系？
证明：如图，把△ABC的两个顶点B、C看成定点，根据”两点之间线段最短”
∴（ ）+（ ）>( )
同理可得
（ ）+（ ）>( )
（ ）+（ ）>( )
∴三角形的任意两边之和大于第三边。
【设计意图】在合情推理的基础上，教师引导学生用演绎推理加以证明，加深学生对三边之间关系的认识，培养学生的逻辑思维和推理能力，也为后续学习平行四边形、矩形等的性质提供了研究思路（合情推理+演绎推理）。
4.例题讲解，运用性质
例：已知两条线段AB=8cm,BC=5cm,
（1）第三条线段长为4cm，能否与它们首尾顺次连结组成三角形？为什么？
（2）第三条线段长为3cm，能否与它们首尾顺次连结组成三角形？为什么？
师生活动：（1）学生独立思考，小组讨论，选取2组展示。经过展示分析，发现：判断两条较短线段之和是否大于最长的线段即可。利用（1）的发现，直接判断（2）。
【设计意图】检测学生对三角形任意两边之和大于第三边的掌握情况，并分析概括出判断三条线段能否围成三角形的简便方法。
5.深入思考，拓展性质
AB+AC＞BC （移项） AB＞_______ （不等式对称性） _____________＜ ______
BC+AB＞AC BC＞_______ _____________＜ ______
AC+BC＞AB（不等式性质1） AC＞_______ _____________＜ ______
性质2：三角形的任意两边之差_________第三边。
针对练习：已知三角形的三边长分别为 3，8，x，则 x 的取值范围是______________.
【设计意图】根据不等式的基本性质，把性质1中的不等式变形得到性质2，解决已知三角形两边长求第三边长或周长的取值范围的问题。
6.走进生活，实践应用
新疆维吾尔自治区的果子沟大桥（简介：地理环境山高谷深，最初交通不便。这座桥建成之后，当地农产品外运，带动旅游业发展，增加就业与居民收入，促进当地经济飞速发展，给新疆人民带来了幸福生活。同时也展现了我国工程师攻克技术难题的智慧。），其拉索就是三角形结构，为什么不用四边形或其他图形呢？这里还蕴含着三角形的什么性质呢？
用三根木条钉一个三角形，用四根木条钉一个四边形，你发现这两个图形的形状和大小确定吗？
师生活动：教师准备教具（若干木条），各小组通过动手操作，表达观点：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
（在八年级上册三角形全等判定（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。可进一步解释三角形的稳定性）
你能举出一些应用三角形的稳定性的例子吗？
【设计意图】数学源于生活，最终用于生活。通过果子沟大桥的引例，产生质疑，学生动手操作，合情推理发现三角形的稳定性，演绎推理在八上全等三角形判定（SSS）可解释，这里不作详细说明。
三、课堂练习，巩固理解
1. 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
（1）15 cm、10 cm、7 cm；
（2）4 cm、5 cm、10 cm；
（3）3 cm、8 cm、5 cm；
（4）4 cm、5 cm、6 cm.
2.一木工有两根长分别为 40 cm 和 60 cm 的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架.问：第三根木条的长度应在什么范围内？
3.如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF、EG 固定门框 ABCD，使其不变形，这种做法的根据是什么？
师生活动：学生独立完成，随机抽取学生回答。
【设计意图】及时巩固学生对本节课内容的掌握情况，学以致用，培养学生解决问题的能力，体会数学的应用价值。
四、回顾反思，归纳提升
1.补充完整思维导图，回顾本节课学习内容，回答下列问题：
（1）三角形的三边有什么关系？
（2）由三角形的两边长，如何判定第三边或其周长的取值范围？
（3）三角形和四边形，哪个具有稳定性？
（4）三角形的研究内容和思路，对后续学习四边形有何启发？你还有哪些收获或困惑？
2.评选本节课的“五星一组”
【设计意图】通过小结，加深理解三角形的三边关系，体会三角形的稳定性的应用价值，增强反思意识。学生绘制关于三角形的思维导图，把分散的知识点联系起来，形成完整的知识体系，明确学习几何图形上的一般路径，培养学生构建知识体系的能力。
五、布置作业，巩固提高
必做题：1.课本第92页习题8.1A组第1题。
2.课本第93页习题8.1B组第7题（1）。
选做题：1.已知 a，b，c 分别是三角形三边的长，
化简：|a-b+c|+|b-a-c| -|a+b+c|
2.上网查阅生活中运用三角形知识的资料，与同学分享。
【设计意图】分层作业，让不同能力的学生在数学上都得到发展。
教师寄语
同学们，人生前行的路很长，当你没有捷径可走、山重水复疑无路时，不妨转个弯，也许柳暗花明又一村！
【设计意图】结合本节内容，最后寄语中赋予哲理性的语言，给学生以引导和激励，使课堂得到升华。
板书设计
认识三角形
三角形 三角形的内角和与外角和
1.三角形的任意两边之和大于第三边（判断：取最短两边之和）
三角形的三边关系 2.三角形的任意两边之差小于第三边
3.三角形具有稳定性
多边形（类比三角形的研究思路）
教学反思
本节课的课标要求是证明三角形的任意两边之和大于第三边，了解三角形的稳定性。
本节课教师从当地景点导入，让学生感受生活中处处有数学的影子，从建筑物的部分结构抽象出数学图形-三角形。通过对三角形已学知识的回忆（定义、表示、分类、内角和、外角和及外角性质），根据研究几何图形的性质就是研究该图形的组成元素和相关元素间的关系，学生可以猜测出本节的研究内容是《三角形的三边关系》。在小学阶段，学生通过观察或度量，了解到三角形的两边之和大于第三边，本节课学生主要借助尺规作图再次验证这一结论。在七年级下册习题3.5第6题，学生初步会用尺规作图作一个等边三角形，在P89“做一做”环节，教师亲自作图，给学生做一个示范，为学生做好P90“试一试”的画图做铺垫。
在“试一试”环节，从12条线段中任选3条作三角形，教师在学生列举出部分线段组合后，呈现出全部线段组合情况，避免学生产生疑问会不会有新的情况出现，每个小组画4个，共8组。在画的过程中出现的问题：6cm 2cm 2cm ，部分学生先画2cm的线段,然后以其中一个端点为圆心，以6cm为半径，另一个端点不知道落在哪里。教师当时在课堂上给学生强调先画最长的线段，以此线段的两个端点为圆心，再画另外两条线段。在学生动手画图讨论，小组展示评价后，发现三角形的任意两边之和大于第三边。在合情推理的基础上，借助线段的基本事实证明此结论。通过例题的讲解，学生会判断三条线段能否组成三角形的技巧：只检查较短的两条边的和是否大于第三边。在进一步思考下，学生获得三角形的任意两边之差小于第三边。数学源于生活终将用于生活，三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用，体现学科育人的特点。在小结环节，学生补充完善思维导图并从知识，研究过程、思想方法和对后续知识的启发等方面谈收获，让数学知识思维前后衔接。针对本节课所学，上升到人生哲理：人生前行的路很长，当你没有捷径可走、山重水复疑无路时，不妨转个弯，也许柳暗花明又一村！使数学课堂得到升华！
对于这节课，整体相对顺畅，达到了教师的基本预期效果。出现的不足：一是对学生下达的任务必须清晰明了，不能出现模棱两可的问题；二是教师对学生的评价过于笼统单调；三是师生互动的氛围不太高涨。

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