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课题 数系的扩充与复数的概念
教学目标
了解引入复数的必要性。 了解数系扩充的一般规则，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养。 理解复数的代数表示式，复数的有关概念，复数相等的含义。
教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念及代数表示。 教学难点：数系扩充的基本思想，复数的代数表示。
教学过程
环节一：创设情境，提出问题 在数学的历史发展中，“数系”的扩张反映了人类对数学对象 认识的不断深化和扩大的过程，它是一部恢弘壮阔的史诗。 1545年，意大利数学家卡尔达诺在《大术》中提出这样一个问题：“将10分成两部分，使得它们的乘积为40，这两部分分别是多少？” 师生分析：我们来尝试解决这个问题，不妨设其中一个数是，则另一个数是，列出方程，整理得到。它等价于，这个问题的实质是对负数开平方，解方程。从方程的角度看，负实数不能开平方，也就是说，在现有的实数集范围内，方程无解。因此要解决上述问题，我们现在的实数系是不够用的。 华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。”我们不妨大胆猜想，能不能拓展一个新的数集，满足负数开平方根。 环节二：复习回顾，再现“规则” 问题一：我们把一个数集 连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系。回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？ 师生分析：从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生产生活实践的需要，计数的需要产生了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意义的量，我国数学名著《九章算术》首次引入了负整数，填补了数系的空白，将自然数系扩充到了整数系，加快了人类文明前进的步伐；整数系中不能解决测量中的一些等分问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决边长为1的正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系. 从数学角度来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要，引入负整数后，方程 在整数有解；引入分数后，方程在有理数集内便有解；引入无理数后，方程在实数集内便有解. 问题二：数集的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有运算，数集中的数只是一个个孤立的符号. 梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的“性质”有一致性吗 由此你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗 师生分析：引入负整数后，相比自然数集，不变的是加法和乘法运算，变的是可以进行小数减大数运算；引入分数后，相比整数集，不变的是加、减，乘法运算，变的是当不是的约数时可以进行运算；引入无理数后，相比有理数集，不变的是加、减、乘法和除法运算，变得是增加了开方运算，每一次扩充后，加法和乘法满足的运算性质始终保持不变。 因此，数系扩充的基本规则是:数集扩充后，在新的数集中规定的加法和乘法运算，与原来数集中的加法和乘法运算保持一致，且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。 环节三：依据规则，引入复数 问题三：类比从自然数系到实数系的扩充过程，思考能否引入一种新的数，使得方程有解。 1637年法国数学家笛卡尔，在《几何学》中第一次将“负数的平方根”命名为“虚数”，1777年，数学家欧拉引入(“imaginary想象的，假想的”的词头)，使，这一举动不仅解决了数学难题，更展示了人类思维突破现实束缚的惊人能力，开启了复数的新纪元。 问题四：为了使新引进的数更合理，我们可以按照前面梳理的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充。那么实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成？ 师生分析：依照规则，把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作。 因此，我们把形如的数叫做复数(complex number)，其中叫做虚数单位(imaginary unit)。 全体复数构成的集合叫做复数集(set of complex number). 复数通常用字母z表示，即，其中叫做复数的实部(real part)，叫做复数的虚部(imaginary part)。注意，复数的实部和虚部都是实数。 复数的分类，对于复数，当且仅当时，它是实数； 当时，它叫做虚数， 当且时，它叫做纯虚数。当且时，它叫做非纯虚数。 对于复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间的关系， 实数集是复数集的真子集，虚数集是复数集的真子集，纯虚数集是虚数集的真子集。 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等当且当且.一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数都是实数时才能比较大小。 环节四：例题练习，巩固所学 练习：指出下列复数的实部、虚部，并指出哪些是虚数，哪些是纯虚数 实部是， 虚部是， 虚数有， 纯虚数有 例1：当实数取什么值时，复数是下列数？ （1）实数（2）虚数（3）纯虚数 分析：我们根据复数的分类，当虚部为0时为实数，当虚部不为0时为虚数。当虚部不为零0并且实部为0时，为纯虚数。 当，即时，复数是实数。 当，即时，复数是虚数。 当且时，即，复数是纯虚数。 课堂练习 1.下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 2.求满足下列条件的实数x,y的值。 (1)(x+y)+(x y)i=(2x+3y)+(2y+1)i (2)(x+y 3)+(x 2)i=0 环节五：课堂小结，形成结构 本节课我们从在实数系中，方程无解，提出问题：解决负数开平方问题。通过复习回顾，梳理规则，依据规则，扩展数系，感受数系发展的理性思维。引入复数系，在复数系中，理解复数的代数表示式，复数的有关概念，复数相等的含义。 课后作业： 课本73页，习题7.1第1.2.3题

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