资源简介

课题 4.2.1指数函数的概念
教学目标
1. 结合问题1和问题2的具体情境，研究变化规律满足增长（衰减）率为常数的实例， 并从中抽象出相应的函数模型——指数函数，了解指数函数的实际意义,提升数学抽象素养. 通过对问题3及例1的研究，理解指数函数的概念，掌握指数函数解析式的特点，明 确指数函数的定义域及底数的取值范围. 通过对例2的研究，学会用指数函数解决简单的实际问题，体会指数函数是解决指数 增长或指数衰减问题的重要模型，提升数学应用意识,渗透数学建模素养.
教学重点：指数函数概念的抽象过程，指数函数变化规律特征的理解. 教学难点：通过运算发现数的变化规律，利用增长率和衰减率抽象出指数函数的概念.
教学过程
思路引导，明确方向 上一章我们学习了幂函数，明确了研究函数的一般路径，即从实际背景中抽象出函数的概念，进而研究它的图象和性质，然后利用它们解决一些相关问题。今天，我们依然沿用这个路径来研究一类新的函数。 设计意图：回顾旧知识，建立新旧知识间的联系，为新知识学习做准备. 二、实例抽象，铺垫概念 问题1：游客人数增长模型 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起釆取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表1中给出了 A，B两地景区2001年至2015年的游客人次. 表1 A，B两地景区2001年至2015年的游客人次统计表 时间（年）A地景区B地景区人次（万次）人次（万次）200160027820026093092003620344200463138320056414272006650475200766152820086715882009681655201069172920117028112012711903201372110052014732111820157431244
问题1：观察表格，你发现A，B两景区游客人次有怎样的变化情况？ A，B两景区游客人次都是逐年增加的. 追问1: 观察图象，你发现A，B两景区游客人次有怎样的增长方式？ A景区游客人次近似于直线增长，B景区游客人次越增越快. 追问2: 根据A景区游客人次的图象，对表格中相邻数据依次做减法运算，你能发现什么规律？ 发现年增加量大致相等，约为10，得到经过x年后，A景区游客人次y=10x+600. 追问3：你能通过其他运算找到B景区数据中这个不变的量吗？ 做除法可以得到游客人次的年增长率； 设计意图：借助信息技术的应用，通过问题串，启发学生思维.首先，学生直观感知表格中数据的变化规律，建立初步认识.教师在学生回答的基础上追问，引导学生经历从表格到图象，从图象再到数，回归数与数之间的运算，最后到解析式的研究过程，分析游客人次与年份之间的关系，体验函数模型的抽象过程，体会函数模型的发生发展过程，学会研究问题的一类方法. 追问4：如何刻画B景区游客人次的指数增长规律？ 从2001年开始， 1年后，游客人次是2001年的 1.111 倍； 2年后，游客人次是2001年的 1.112 倍； 3年后，游客人次是2001年的 1.113 倍； …… x年后，游客人次是2001年的 1.11x 倍； 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍， 那么 y=1.11x, 设计意图：通过具体实例抽象出指数增长的函数模型，为指数函数概念的抽象做铺垫. 问题2：碳14衰减模型 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 解：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p, 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位. 1年后， 生物体内碳14含量=刚死亡的生物体内碳14含量×（1-p）. 死亡1年后，生物体内碳14含量为(1- p)1； 死亡2年后，生物体内碳14含量为(1-p)2； 死亡3年后，生物体内碳14含量为(1-p)3； …… 死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730； …… 那么死亡x年后，生物体内碳14含量为(1-p)x， 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y. 那么 y =(1- p )x， 追问：根据半衰期的概念，你能求出衰减率p的值吗？ 根据已知条件，(1-p)5730=形如 即 设计意图：从已有的科学结果出发，引导学生进行数学表达，把实际问题转化成数学问题，在数学化的过程中，归纳推理出指数函数模型. 三、归纳概括，生成概念 问题3：试从解析式的角度，分析它们有什么共同特征？ y=1.11x, 特征：（1）幂的形式；（2）指数是自变量；（3）底数是常数； 一般地，函数y=ax (a>0,且a≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R. 设计意图：通过不同的函数模型，抽象出指数函数的概念.经历从特殊到一般、具体到抽象的过程,从中体验抽象一类函数概念的方法，提升数学抽象素养.教师引导学生分析结构特征，理解概念，并通过追问，引发学生思考，完善底数的取值范围.抓住指数是自变量这一基本特征，理解底数取值的合理性. 典例分析，应用概念 例1 已知指数函数 y=ax (a>0,且a≠1) ,且 f (3)=π，求 f (0)，f (1)，f (-3)的值. 分析：要求 f (0)，f (1)，f (-3)的值，应先求出 f (x)=ax的解析式，即先求出a的值. 解：因为 f (x)= ax，且 f (3)= π，则 a3= π，解得 于是 设计意图：让学生熟悉指数函数的解析式和对应关系，利用函数解析式列方程求底数a的值. 例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况. 分析：经过 x 年，A地游客人次 B地游客人次 解：设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)（万元）和g(x)（万元），则 利用计算工具可得， 当x=0时，f(0)－g(0)=412000． 当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)． 结合右图可知： 当x＜10.22时，f(x)>g(x)， 当x＞10.22时，f(x)g(x)，但 g(x) 的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有 f(x)=g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)

展开更多......

收起↑