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课题 指数函数的图象和性质
教学目标
1. 能用描述法作出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的图象及性质。 2. 能运用指数函数的图象与性质解决与之相关的数学问题。 3. 经历从具体函数到一般函数的研究过程，深刻体会研究数学问题的方法与思想，提升数学推理、数学抽象等核心素养。
教学重点： 掌握指数函数的图象和性质。
教学难点： 运用数形结合的思想体会从具体到一般的研究指数函数的方法。 运用指数函数的图像和性质解决与之相关的数学问题。
教学过程
教学环节 教学活动 设计意图
回顾旧识 同学们，在之前的学习当中，我们已经学习过了指数的定义、运算性质以及指数函数的定义，那这节课我们将继续研究指数函数的相关内容——指数函数的图象和性质。在研究学习新内容之前，我们先回顾一下之前所学的内容。大家还记得指数函数的定义是什么吗？ 一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中指数是自变量，定义域是. 学习了一个全新的函数定义之后，我们就要继续研究该函数的性质了，那么同学们还记得前一章学习幂函数时是如何研究幂函数的性质的吗？那么这节课将继续沿用研究幂函数的方法来研究学习指数函数。 回顾上一节课所学习的指数函数的定义及研究幂函数的方法，并引导学生沿用同样的方法研究指数函数的图象和性质。用旧的知识引发新的知识，可以培养学生新旧知识相结合的意识和探索知识的能力，同时可以激发学生的学习动机。
探求新知 问题1： 类比于幂函数的研究方法，我们通过绘制函数的图象来观察、归纳总结指数函数的性质。请同学们自己动手：在同一平面直角坐标系中绘制指数函数和的图象。那问题来了，在平面直角坐标系中该如何绘制函数的图象呢？ 绘制函数图象的方法——描点法： 步骤一：列表。在指数函数和的定义域范围内取几个特殊的数值并计算得出两个指数函数所对应的函数值。 步骤二：描点。根据步骤一中的表格，在平面直角坐标系中描绘出相对应的点。 步骤三：连线。用平滑的曲线将步骤二所描绘出的点顺次连结起来。 观察绘制出的指数函数的图象，你发现这两个指数函数之间有什么关系呢？通过和的函数图象，我们发现它们的函数图象关于轴对称。而它们作为指数函数的两个特殊例子，且它们的底数与是互为倒数的，因此我们可以将该结论进行引申得出：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称。 问题2： 为了研究指数函数的图象和性质，仅仅有这两个指数函数的图象是远远不够的，因此，我们利用几何画板绘制大量的指数函数的图象，进而观察发现指数函数的性质。 通过观察几何画板绘制出的底数不断变化的指数函数的图象，我们发现将整个的取值范围大致分为了两部分，即和两种情况，因此我们在研究学习指数函数的性质时也从这两部分依次考虑。 当时，观察指数函数的图象，完成指数函数的性质研究： 通过观察底数大于1时的指数函数的图象变化，发现：指数函数的底数越大，函数图象在轴右侧部分越靠近轴，简记为“底大图高”。 当时，观察指数函数的图象，完成指数函数的性质研究： 通过观察底数大于0且小于1时的指数函数的图象变化，发现：指数函数的底数越小，函数图象在轴左侧部分越靠近轴，简记为“底大图低”。 将上述两种情况的指数函数性质整理汇总，得出指数函数的性质： 通过类比幂函数的研究方法，先运用描点法绘制出指数函数的图象，然后观察指数函数的图象归纳总结出指数函数的图象和性质。这可以帮助学生更加直观地掌握指数函数的图象和性质，培养学生类比、数形结合的数学思想，进一步培养学生自我探究的意识与能力。
巩固提升 研究学习了指数函数的图象和性质之后，我们便可以运用指数函数的图象和性质的相关知识解决一些问题。 接下来，请同学们完成下面的例题。 例1：比较下列各题中两个值的大小： （1），； （2），； （3），. 解：（1）和可看作函数当分别取和时所对应的两个函数值. 因为底数，所以指数函数是增函数. 因为，所以. （2）可看作函数当取时所对应的函数值； 可看作函数当取时所对应的函数值； 因为底数，所以根据底数不同的指数函数的图象的变化规律知：当取时，的函数值比的小； 所以. （3）由指数函数的性质知： , , 所以. 通过对上述三个题目的分析，总结归纳出比较两个数值大小的方法：对于底数相同、指数不同的数值，利用函数的单调性比较大小；对于底数不同、指数相同的数值，利用底数不同的指数函数的变化规律来比较大小；对于底数不同、指数不同的数值，通过中间量比较大小。 例2：如图所示，某城市人口呈指数增长. （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 解：（1）观察图象，发现该城市人口经过20年约10万人，经过40年约20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年。 （2）由（1）知，倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人。 利用指数函数的图象和性质不仅仅可以解决一些数学问题，而且还可以帮助人们解决一些生活实际问题。由此可见，数学来源于生活，又应用于生活。 这两个例题是对指数函数的图象和性质的利用，使得学生可以更加熟练地掌握指数函数的图象和性质，从而让学生明白数学来源于生活，又运用于生活，同时培养学生用数学的眼光观察世界。
课 堂 小 结 同学们，让我们一起总结回顾一下本节课的内容： 这节课收获了什么？ 这节课中你印象最深刻的是什么呢？ （3）这节课还有什么困惑吗？ 回顾本节课所学的知识，让学生对本节课的知识有整体性的认识。
课 后 作 业 （1）完成教科书第118页练习第1—3题； （2）完成教科书第118页习题4.2的第1—4题。 课后进行相应的练习以巩固本节课所学习的指数函数的图象和性质。

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