资源简介

课题 全概率公式
教学目标
1. 经历从特殊到一般的公式探究过程，能结合概率加法公式和乘法公式，从具体问题中抽象归纳出全概率公式和贝叶斯公式，体会化难为易、化整为零的转化思想，提高分析复杂问题、寻找解决方法的能力，发展数学抽象和逻辑推理的核心素养； 2. 经历从一般到特殊的公式应用过程，在问题、变式、编写变式的过程中，不断提高公式的运用能力，体会数学在实际生活中的应用，提高用数学的眼光观察世界、数学的思维思考世界、数学的语言表达世界的能力，发展逻辑推理和数学运算的核心素养.
教学重点：全概率公式的推导及其应用.
教学难点：运用全概率公式求概率.
内容解析
1.课程标准 位于《普通高中数学课程标准（2017年版）》概率与统计主线的概率部分. 课标对全概率公式的要求是结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 2.知识联系 本节课是人教A版《普通高中教科书 数学 选择性必修 第三册》（以下统称“教材”）的第七章第一单元的内容. 全概率公式是概率论的重要概念之一，它是由概率加法和概率乘法公式共同生成的，用于计算较复杂事件的概率. 它是概率学习的深入和提高，也是后面三个单元的计算基础，具有承上启下的作用. 3.思想方法 在面对复杂事件的概率问题时，直接计算概率较为困难，但如果附加一个条件后变得容易计算. 因此，我们可以将事件表示为所有能够发生该事件的互斥子事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率. 将这种思想一般化，就得到全概率公式．利用全概率公式求事件的概率，充分体现了分解综合、化难为易、化整为零的转化思想． 4.育人价值 本节课的学习可以培养学生用概率的一般概念解释具体现象的能力，提高通过条件概率和概率乘法等数学概念分析复杂问题，寻找解决方法的能力，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
学情分析
1.认知与能力基础 学生在必修二及前一节课已经学习了解决简单概率问题的相关知识，具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，这为本节课研究复杂事件的概率问题提供了必要的知识储备和能力保障. 2.可能面临的困难 （1）已有知识的遗忘 由于本节课涉及到了必修二的知识，如事件表示、古典概率、互斥事件、概率性质、概率加法等，学生会存在知识的遗忘、表达的生疏、思维的障碍等问题. 此外，本节课所涉公式较为丰富，如条件概率、概率乘法、概率加法等，学生会出现使用混乱，张冠李戴的情况. （2）直觉相悖的困惑 由于有的概率问题中，概率的结果与学生的直觉相悖，因此学生往往很难迅速得到正确的答案，这也是概率问题不同于其他数学问题之处．因此，学生在学习过程中可能会产生困惑，心理上不自觉地拒绝接受公式，对公式的理解会存在偏差． （3）事件划分的困难 学生可能会因为有些实际问题比较复杂，而无法正确划分样本空间为互斥事件之和，从而导致全概率公式使用错误. （4）语言表达的失范 由于事件的符号表示相对抽象，学生可能无法从特殊到一般，准确归纳出公式，不善于从一般到特殊，规范应用公式，尤其是在用符号表达事件、用符号计算概率的过程.
策略分析
本节课采用问题驱动、引导发现的启发式教学方法. 本节课以问题1为情景，激发学生探索热情，以问题2为中心，引导学生归纳公式，以变式为突破，启发学生发散应用. 让学生经历发现问题、情景抽象，分析问题、逻辑推理，解决问题、合作探究，变化问题、归纳总结，创造问题、灵活应用的过程，并借助树状图和Venn图更直观地帮助学生分析实际问题，挖掘内在联系，探索解决方案，归纳一般公式. 1.旨在激发兴趣的反直觉问题 概率与统计的研究对象大多来源于生活，因而在教学中自然也不能脱离生活实际.本节课从游戏情境引入，利用与直觉相悖的现实问题产生认知冲突，激发学生对问题的探索热情，让学生能够积极地参与教学活动，看到数学知识在生活中的应用价值. 2.引导公式生成的教学环节 为实现由特殊到一般归纳形成公式的教学目标，本节课设计了符合学生认知规律的教学活动，如小组合作、变式编题等，环节层层递进，学生参与归纳，有利于加深学生对公式的理解，激发学生对学科的兴趣，提升学生的逻辑思维、批判思维、创新思维和问题解决的能力，培养学生的团队合作能力，让学生知其然，知其所以然，更知何由以知其所以然. 3.助于启发思考的变式训练 通过对比不同版本的教材，参考不同地市的高考模拟试题，考虑到学生解决复杂事件的困难，本节课没有选用人教A版教材中的例题，而是设计了问题1（选自人教A版教材阅读与思考）和问题2（变式选自北师大版教材选择性必修一问题5），并在此基础上，灵活多次变式，挖掘内在联系，经历启发公式、探索公式、归纳公式、精研公式、领悟公式、使用公式、延伸公式、练习公式的全过程，层层递进，环环相扣. 变式训练让学生学会识别问题的本质，并将学到的知识应用到不同的情境中，从而提高他们解决问题的灵活性和适应性；鼓励学生从不同的角度和层面去理解问题，有助于他们更深入地掌握概念和原理，培养学生的批判性和创造性思维能力，促进学习的广泛迁移. 4.基于学生表达的问题系列 针对学生划分错误、表达困难等问题，本节课采用层层问题、步步追问的方式，引导学生正确划分事件、强调规范书写、深入挖掘原理、特殊归纳一般.
教学过程
环节一 提出三门问题，情景“启”公式 引导语 法国数学家拉普拉斯曾说过，“生活中绝大多数的问题，实质上都只是概率问题.” 那么当你面对选择的时候，你会如何做出决策的呢？我们来看这样一个游戏. 问题1 “三门问题”，又称蒙提霍尔问题，这是一个源自博弈论的数学游戏问题，一档美国的电视节目使它广为人知，而这个问题的名字正是来自该节目的主持人蒙提霍尔. 【播放视频】假设在你面前有三扇门，有一扇门后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊，主持人让你选择其中的一扇门抽取大奖.当你选定了一扇门，这时主持人并不会立即打开这扇门，而会好心地开启剩下两扇门的其中一扇告诉你里面是山羊，并给你一次机会改变最初的选择，这时候你会选择换门吗？假设你选择了1号门，主持人打开了2号门后面是山羊，你会选择换成3号门吗？ 学生群答：不换，换 学生1：三个门得奖的概率都是，不必换门，要坚持自己的选择. 学生2：既然2号门是山羊，那么剩余两个门得奖的概率都是，不必换门. 学生3：不对，一开始1号门中奖是三个门选一个，所以概率是，后来是3号门中奖是从两个门选，所以概率是. 学生4：我不同意前一个人的观点，中奖结果要么是1号门，要么是3号门，中奖概率和应该是1呀. 我觉得奖品在1号门的概率是，当知道了2号门是山羊，那么3号门中奖的概率为，应该改选3号门. 教师：同学们众说纷纭，哪种观点是正确的呢？这一问题与以往的研究不同，直接计算概率比较困难，但我们发现换门后中奖受选门是否中奖的影响，因此我们可以分析“全部”的情况，进而求解概率，这就是我们今天要学的全概率公式. 设计意图 概率与统计的研究对象大多来源于生活，因而在教学中自然也不能脱离生活实际.情景引入从游戏开始，将教学内容巧妙地融入现实情景.教师提出问题，学生众说纷纭，激发了学生对问题的探索热情，让学生能够积极地参与教学活动中，让学生看到数学知识在生活中的应用价值. 环节二 研究摸球规律，理解“探”公式 引导语 数学中有许多问题与直觉相悖，不能仅凭感觉来做判断，而要进行严格的数学计算. 让我们带着这个问题继续学习，先从相对简单的摸球问题出发，研究概率的运算规律. 问题2 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率.（选自苏教版教材选择性必修三 问题情景） 学生5：先从两盒中任取一盒，概率均为，第一个盒子取得白球的概率为，第二个盒子取得白球的概率为，所以取得白球的概率为. 教师：可是为什么能这么计算呢？根据他的分析，我们知道问题2同样是个复杂事件，也同样受到相关事件的影响，这与问题1是一致的. 那为什么问题1犹豫不决，而问题2却能干脆利落地计算呢？我们只有分析事件关系，明确算理，才能解决更为复杂的同类问题。 学生活动：请同学们借助树状图或Venn图分析事件关系，解释取得白球概率的计算过程. 任务1.树状图分析事件关系 学生6：用表示事件“选择了号盒（），用表示事件“取得白球”，用表示事件“取得黑球”. 我绘制的树状图包括两层，第一层取盒子，分别是取1号盒和2号盒，第二层取球，分为五个球. 学生7：我将第二步只分为黑球和白球，由于两者不同个数，所以需要在树杈上标注对应的概率. 教师：前者将黑球和白球标号，试验结果等可能. 后者是高中阶段绘制树状图的优化，通过在树杈上标注概率，简化了绘制.你能用事件表示树杈上的概率吗？ 学生8：分别是 教师：这里用到了条件概率，根据图形我们知道 任务2.Venn图分析事件关系 学生9：首先画出样本空间，之后绘制，两者相互对立.发生的条件下都会发生事件，所以. 任务3.计算白球概率 学生10：因为，且与为互斥事件，又因为，所以根据概率的加法公式和乘法公式得到如下式子： . 设计意图：虽然学生能够很自然地给出问题2的计算公式，但是并不明确其中的算理. 教师需要引导学生分析取得白球的来源，体会先取盒再取球的分步原理，将复杂事件分解为简单事件，体会化整为零的转化思想，并借助了直观的图形语言和规范的符号语言，感受复杂问题处理方法的共性，为全概率公式的引入做好铺垫. 环节三 二元推广三元，归纳“得”公式 问题2变式 有编号为1、2、3的三个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒和3号盒均装有2个白球，3个黑球.这些球除颜色外完全相同．先从三盒中任取一盒，再从该盒子任取一球，求取得白球的概率.（选自北师大版教材选择性必修一 问题5） 学生活动：从2盒推广为3盒，请同学们类比问题2的书写过程完成变式，学生代表上黑板板演. 任务1.树状图或Venn图分析事件关系 任务2. 计算白球概率 学生11：因为. 且、和为互斥事件，又因为， 所以根据概率的加法公式和乘法公式得到如下式子： 设计意图：从两个箱子推广到三个箱子，让学生经历简单到复杂，领悟多箱中抽出白球的分析思路和解决问题的方法，促进学生对有多种可能原因导致某一事件发生的全面认识和理解，继续感受原因之间的互斥关系，体会各原因覆盖了所有可能的情况，进而突破公式存在的必要性和公式的本质，为构建全概率公式奠定认知基础，突破难点. 追问：比较问题2及其变式，你能归纳出问题的共性，推广到一般吗？ 学生活动：请同学们用符号语言、图形语言和文字语言进行表示. 符号语言： 图形语言： 文字语言：利用一组两两互斥的事件，将复杂事情划分为全部发生该事件的互斥子事件的并，并通过概率加法和概率乘法公式计算概率. 教师：这一式子我们称之为全概率公式，这一公式适用于任何事件吗？所涉及到的事件要满足怎样的条件？ 学生12：因为涉及到了概率的加法公式，所以事件，是一组两两互斥的事件. 从Venn图中可以看出，. 此外，因为后续用到了概率的乘法公式，所以. 全概率公式：一般地,设是一组两两互斥的事件，，且,则对任意的事件，有. 教师：全概率公式能够解决怎样的概率问题，我们又该如何识别并使用它呢？如果事件是由多个原因所引起的，事件发生的概率是所有可能原因的概率和该条件下发生的该事件的条件概率之积，即条件概率的加权平均数，因此可以简记为“多因导果”.全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 设计意图 通过数学抽象得出一般性的数学结论，是培养学生数学抽象素养的重要途径． 此外，这里帮助学生厘清全概率公式的本质是综合应用加法公式和乘法公式解决“多因导果”的概率问题，有利于学生深入理解全概率公式的内涵，充分体会全概率公式的形成过程，全面掌握全概率公式，为准确应用全概率公式搭好梯子. 教师：根据问题2，你能否归纳出全概率公式的一般步骤？ 学生群答：1.表示随机事件：设出结果事件以及产生该结果的原因事件； 2.划分样本空间：利用树状图或Venn图分析事件关系，并将样本空间划分为，即，且两两互斥. 3.分别计算概率：写出每一原因发生的概率及每一原因发生条件下结果事件发生的概率. 4. 代入公式求解. 教师：笛卡尔在《方法论》一书中指出对于复杂的问题，尽量分解为多个小问题来研究，一个一个解决，直至解决复杂问题，这就是“化整为零”的转化思想.全概率公式正是将复杂的事件转化为若干简单已知的事件之和，化难为简、化繁为易，这在我们学习中常常用到. 设计意图 教师引导学生共同总结用全概率公式求概率的基本步骤，全面提升对公式的认识和理解，为准确应用全概率公式搭好梯子. 环节四 编写变式题目，灵活“精”公式 教师：我们在问题2的基础上改变了盒子的个数推广为一般，你能继续为问题2编写变式，得到更一般的问题情景吗？你会从哪些方面改编题目？请在需要改编处划线，并在下方书写改编内容. 学生活动：小组讨论改编方向，并举出例子. 如改变盒的个数、改变球的个数、改变取盒规则、改变取球规则…… 变式1：改变球的个数. 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，4个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从两盒中任取一盒，再从该盒中任取一球，求取得白球的概率. 简答：.. 变式2：改变取盒规则 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．投掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从1号盒子中随机摸出1个球；如果点数为3,4,5,6，从2号盒子中随机摸出1个球，求取得白球的概率. （选自人教A版教材选择性必修三 习题7.1第4题） 简答： 变式3：改变取球规则 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从1号盒里取一个球放入2号盒，再从2号盒里取一个球，求取得白球的概率. （选自2024湖南省长沙市一模） 简答：. 变式4：改变取球规则 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从1号盒里取2个球放入2号盒，再从2号盒里取2个球，求2号盒取得2个白球的概率. （选自苏教版教材选择性必修三例4、选自2024江西省南昌市一模） 简答： 变式5：改变取球规则 有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从1号盒里取一个球放入2号盒，再从2号盒里取一个球放入1号盒，最后从1号盒里取出一个球，求最后取得白球的概率. 高考真题 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．（第三问学生暂时不能解决） （选自2023年新课标1卷21题） 设计意图 变式训练让学生学会识别问题的本质，并将学到的知识应用到不同的情境中，从而提高学生解决问题的灵活性和适应性；鼓励学生从不同的角度和层面去理解问题，有助于他们更深入地掌握概念和原理；引导学生批判性和创造性思考，有助于培养学生的思维能力，促进学生学习的广泛迁移. 环节五 回归三门问题，迁移“用”公式 问题1：假设你选择了1号门，主持人打开了2号门后面是山羊，你会选择换成3号门吗？请同学们用全概率公式计算“换门后中奖”的概率. 学生13：设“首次选中车”，“首次没有选中车”，事件“换门后中奖”.因为，且与互斥，所以 ，所以应该换门. 教师：明确了正确解答，我们还要分析错因，为什么一开始有近8成的同学得出了错误的结论呢？ 学生14：两个观点解决的不是同一个问题，前者是已知2号门是山羊的条件下去选门，两个门等概率1/2，而后者是先选了1号门，才知道2号门是山羊，之后再去换门，错因是前者忽略了选门、开门、换门三者前后顺序所导致的因果关系. 教师：说的非常对，前者应该用古典概型，而后者是典型的由因导果问题，应该用全概率公式解决，我们要学会用数学的眼光观察世界、数学的思维思考世界、数学的语言表达世界. 设计意图 解决课初提出的三门问题，让学生感受在复杂情境问题中，数学知识方法的强大，让学生体会到公式的应用价值，提升学生的理性思维，让学生学会用数学的眼光观察世界、数学的思维思考世界、数学的语言表达世界. 环节六 引申执果索因，类比“推”公式 教师：刚刚同学们编写的变式中，我注意到了这样的一个特别的问题.若已经取到了白球，分别求它来自于1号盒和2号盒的概率. 我们看看该组的同学是如何解决这一问题的. 问题2变式：有编号为1、2的两个盒子．1号盒装有1个白球，4个黑球．2号盒装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同. 若已经取到了白球，分别求它来自于1号盒和2号盒的概率. 学生15： 因为取到红球已经发生了，所以，因此 教师：是试验之前就已知的概率,它是取到号箱的比例,称为先验概率。当已知抽到了白球(发生),那么是这一白球来自号箱的可能性大小,通常称为后验概率。实际生活中，后验概率用于“执果索因”，判断事件发生后各个原因承担的相应责任.比如制造业制造出次品寻找操作员的责任，患者得病寻找不同毒株致病的占比等. 追问：类比全概率公式的一般化，你能写出变式的一般化结论吗？ 贝叶斯公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且,则对任意的事件，，有 我们称上面的公式为贝叶斯公式，整体是条件概率，分子是概率乘法公式，分母是全概率公式．它是求在"结果"发生条件下，某"原因"发生的概率，是后验概率，我们简称为"执果寻因". 它可以修正先验概率．在实际生产生活中，利用后验概率修正先验概率，调整自己的选择，可以提高成功的概率. 数学史：贝叶斯公式最早是英国的数学家贝叶斯（Thomas Bayes ,1702~1761）于1763年首先提出来的，它用来描述两个条件概率之间的关系。他所发表的有关贝叶斯公式的文章很长一段时间内在学术界都没有引起什么反响。但是后来人们慢慢发现了贝叶斯公式在统计推断中的意义，开始广泛使用。一直到今天，在疾病诊断、经济预测、刑侦决策、质量控制、人工智能（比如阿尔法狗、Chat GPT）等凡是用到概率预测的地方，都会用到贝叶斯公式. 设计意图：再次用特殊到一般，归纳抽象概括出贝叶斯公式，帮助学生理解贝叶斯公式的本质，是在全概率公式的基础上，再次综合应用条件概率和乘法公式解决"执果寻因"的概率问题，深入理解贝叶斯公式的内涵．这一过程提升学生的数学抽象能力，使学生认识到事物之间都存在广泛的联系，而这种联系需要有敏锐的数学眼光才能发现。 环节七 小结归纳提升，建构“悟”公式 问题3 回顾本节课的内容，回答下列问题： (1）全概率公式和贝叶斯公式分别是什么？两者有什么联系？ (2）全概率公式将样本空间分拆成若干个两两互斥的事件的并集的作用是什么？ (3）应用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的步骤是什么？ (4）你能画出本章所学的知识结构图吗？请你试一试． (5）结合本单元的学习，谈一谈如何从数学特例中归纳出一般性的结论？你有什么体会？ 设计意图：通过问题组，形成思维导图，从而梳理全概率公式的学习过程，让学生对公式有完整的理解和认识，有助于学生把握数学思想方法，提升学生的数学素养. 环节八 分层布置作业，应用“练”公式 1.回归教材：教科书第52页例题及练习，习题7.1第5,7,8题 2.开放探究：为教科书第52页例题设计变式，并解决该问题. 3.分层练习：A组回归教材、B组基础过关、C组能力提升 4.小组合作：请以小组为单位，阅读课本53页阅读与思考，尝试用贝叶斯公式解释三门问题. 5.应用探索 全概率公式是概率统计中的重要内容，与实际生活紧密联系，请你通过查找资料的方式，了解它在生活中的应用还有哪些，然后分享． 设计意图：作业1强调学生深入学习教科书内容，体会全概率公式的真实且多样、简单又典型的问题情景，有利于学生巩固基础知识，更好地理解课堂上讲解的内容，帮助学生养成良好的学习习惯，理解知识的应用价值. 作业2为开放探究作业，引导学生运用所学知识，自主编写题目、设计解决方案并实施，有利于促进学生主动学习，提高学生学习的积极性和主动性，培养学生实际问题解决能力，发展学生的批判思维能力，培养学生的创新思维和创造力. 作业3是根据学生的个体差异设计的个性化分层作业，由于学生的基础不同，可根据学生的理解水平分层级布置作业，关注层次化差异和兴趣化导向，注重作业设计的多样性、分层性、适切性，满足学生的个别需求，提高学生的学习效果，有助于培养学习积极性和自主学习能力. 作业4为问题1三门问题的延伸，从贝叶斯的角度进一步解释三门问题，一方面能够提高学生对于公式的理解和应用，另一方面通过阅读课本53页阅读与思考，提高学生的小组合作能力、阅读理解能力和自主学习能力. 作业5查阅实际生活相关资料，可以让学生将课堂上学到的知识与现实世界的问题和情境联系起来. 此外，学生需要评估信息的可靠性、相关性和准确性，这会锻炼学生的信息检索能力，有助于培养批判性思维能力.

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