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课题 空间向量运算的坐标表示
内容和内容解析
1.内容 空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示；平行向量、垂直向量坐标之间的关系；向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式. 2.内容解析 引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础.
目标和目标解析
1.目标 (1) 掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示，体现了数学抽象的学科素养. (2) 会根据空间向量的坐标，判断两个向量共线或垂直，展现了逻辑推理的学科素养. (3) 掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题，体现数学运算的学科素养. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算具有类似的运算法则.因此，教材中通过问题“有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？”来引出空间向量运算的坐标表示. 平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切联系，空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同，在概念、运算及其几何意义、坐标表示等方面具有一致性. 会通过类比平面向量的坐标运算，发现和提出需要研究的问题；引导学生经历由平面推广到空间的过程，得到空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示，能够根据坐标判断两个向量共线或垂直.在具备了向量的长度公式、夹角公式、空间两点间距离公式的知识的基础上解决简单的立体几何中的所成角问题、度量问题、位置关系证明的问题.
教学目标
1.掌握空间向量的线性运算和数量积运算的坐标表示； 2.能借助空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题； 3.掌握空间向量的长度、夹角公式和空间两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的立体几何问题； 4.通过本节学习提升数学运算和逻辑推理素养.
教学重点： 熟练掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示； 理解空间向量垂直与平行的条件； 掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式. 教学难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体中长度、夹角、共线垂直等问题.
教学过程
环节 师生活动 设计意图
新课 引入 问题1：上一节我们学习了空间直角坐标系的概念，能够利用空间直角坐标系，借助空间向量基本定理写出空间向量的坐标。那么在此基础上能否借助已经学过的平面向量的相关知识得出空间向量运算的坐标表示，并给出证明呢？ 师生活动：学生独立思考、讨论交流． 教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，前面我们已经学面向量的坐标运算，大家是否还记得呢？ 平面向量坐标运算 已知，写出下列向量的坐标表示. ，，， 当时，， ， 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么 (平面内两点间的距离公式) 引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法.通过类比平面向量中的坐标运算，提出要研究的问题，思考要研究的对象．
新知 探究 问题2： 通过上面对平面向量坐标运算的复习，大家对照的空间向量的坐标能够得到对应的结论吗？ 师生活动：学生独立思考、讨论交流． 追问：向量在平面上可用有序实数对表示，在空间则可用有序实数组表示。类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示. 空间向量运算的坐标表示： 若，，则： ， ， ，， 问题3：面对空间向量坐标运算的数量积表达式，我们该如何证明呢？可以一起回忆平面向量坐标运算的数量积表达式的证明推导过程.引导学生动手共同来证明一下： 设为空间的一个单位正交基底，则：， 所以 利用向量数量积的分配律以及， 得到： 结合上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的，因此我们可以得到：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 即：，则： 类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到空间向量中平行向量、垂直向量满足的坐标关系式 空间向量中平行、垂直满足的坐标关系式 若，，则： 当时，， ． 空间向量的模长公式： 若，， ， 空间向量两向量夹角公式： 利用这个公式，我们可以求出两个非零向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系： 当时，与共线同向； 当时，与共线反向； 当时，⊥． 空间中两点间距离公式 利用空间向量运算的坐标表示能够推导出空间中两点间的距离公式：，，则 ， 如图建立空间直角坐标系， 设是空间中任意两点，则： ，于是： 所以 对于难度不算太大的内容，通过阅读，类比已经掌握的平面向量运算的知识，提出自己的大胆猜想，深入理解概念；通过具体演算证明，来验证抽象的概念，从而更深入理解概念． 通过以上的学习，让学生熟悉和掌握空间向量运算的坐标表示，发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养.
典例 讲解 例1.如图，正方体中，点分别是的中点，求证：. 证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系, 则 所以 又 所以所以 所以 ,即 帮助学生总结归纳用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题的基本步骤： 建立恰当坐标系 用向量表示元素 进行向量坐标运算 得到所需结论 过程中恰当选择合适的坐标系成为将几何问题转化为代数问题的关系，通过题目的讲解，引导学生认识长方体的建系模型. 师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范． 例2.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱上， （1）求的长. （2）求与所成角的余弦值. 解：（1）建立如图的空间直角坐标系,则点的坐标为，点的坐标为. 于是 （2）由已知，得 所以，, , 所以， 所以， 所以，与所成角的余弦值是. 师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范． 巩固利用空间向量运算的坐标表示证明简单的立体几何中位置关系的问题，提升推理论证的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. 巩固利用空间向量运算的坐标表示来解决简单的立体几何中的长度、夹角及距离问题，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养.
课堂 小结 教师引导学生回顾本节知识： 1.空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示； 2.空间向量中平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 3.空间中两点间的距离公式和空间向量两向量夹角的余弦值的计算公式； 4.利用空间向量坐标的运算解决简单的立体几何问题. 从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结.
课后 作业 教科书第22页 练习 第1-5题 教科书第22页 习题1.3第4-8题 通过练习巩固本节所学知识，发展学生的数学运算、逻辑推理的核心素养.

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