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课题 1.3.1空间直角坐标系
教学目标
1.在平面直角坐标系的基础上，理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性。 2.借助空间直角坐标系掌握空间中点的坐标和向量的坐标的概念并能在空间直角坐标系中表示出点的坐标和向量的坐标。
教学重点：空间直角坐标系的建立。
教学难点：空间中向量的坐标表示。
教学过程
创设情境，课题引入: 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……对于集合,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法……”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.前面内容中基底概念的学习，也为几何问题代数化奠定了基础。 授新课： 问题1：我们是如何建立平面向量的坐标表示的 你能类比平面直角坐标系与平面向量单位正交基底的关系，利用空间向量单位正交基底概念构建空间直角坐标系吗 师生活动：学生通过观察图1.3-1，思考并回答下列问题。 追问：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？ 学生甲回答，乙补充。（平面直角坐标系：坐标原点，相互垂直的两条坐标轴，单位长度。类比得出空间直角坐标系的三要素。） 追问：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？ 平面直角坐标系空间直角坐标系在平面内选定一点和一个单位正交基底在空间选定一点和一个单位正交基底以为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：轴、轴 以点为原点，分别以的方向为正方向、以的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系
空间直角坐标系定义：在空间选定一点和一个单位正交基底, , . 以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分。 追问：空间直角坐标系如何画呢？ 先回想平面直角坐标系的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量，方向相同的数轴轴和轴，它们互相垂直、原点重合。 与画平面直角坐标系相比，画空间直角坐标系只是多画一个与轴、轴都垂直的轴而已，所以我们不妨借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系时，让轴与轴所成的角为（或），即（或），画轴与轴垂直，即。 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 设计意图：启发学生通过类比，建立空间直角坐标系。 问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？` 师生活动：教师分“点”和“向量”两种情况与学生一起回顾:在平面直角坐标系中，点的位置由向量 唯一确定，类比到空间直角坐标系中，我们可知点的坐标与从原点出发的坐标相同. 由空间向量基本定理知道存在唯一的有序数组使得 =xi+yj+zk 由此，确定空间直角坐标系中点的坐标，可以从确定与之对应的，以原点为起点，该点为终点的向量的坐标入手。 在单位正交基底，，下与向量对应的有序实数组，，，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记做，，，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标。 追问:那么对于给定的空间向量又该如何定义它的坐标呢？ 因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系中可以作= 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，，，使,有序实数组，，叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记为 ，， 这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.但要注意（x,y,z）的双重意义。 设计意图：通过类比推导，让学生明白在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示。 问题3：在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标，，吗？ 师生活动：小组讨论，同学发言，老师帮助归纳总结。（类比在平面直角坐标系中是过点做坐标轴的垂线）。 过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴、轴和轴于点，和. 可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为，，，由向量加法的意义可知. 设点在轴、轴和轴上的坐标分别是，和，那么，即点或者向量的坐标就是，，。 设计意图：明确了在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示之后，就要研究对于具体的点和向量，如何确定横、纵、竖坐标.此探究就是帮助学生掌握求点和向量的坐标的方法。 问题4：如图，在长方体中，，，， 以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出，，，四点的坐标； （2）写出向量,,,的坐标。 师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考 。 追问： （1）点分别在轴和轴上，它们的坐标分别有什么特点？你能总结出轴、轴、轴上点的坐标的特点吗？ （2）点在平面内，它的坐标有什么特点？你能总结出平面、平面、平面内点的坐标的特点吗？ （3）向量分别与轴和轴平行，它们的坐标分别有什么特点？你能总结出与轴、轴、轴平行的向量的坐标的特点吗？ （4）向量与平面平行，它的坐标有什么特点？你能总结出与平面、平面、平面平行的向量的坐标的特点吗？ 师生活动：学生小组讨论，老师引导归纳 设计意图：通过具体实例研究给定点和向量的坐标的求解过程，掌握求点和向量的坐标的一般方法；总结特殊的点和向量的坐标特点，为快速写出或判断满足相应条件的点和向量的坐标打基础． 课堂练习：课本第18页练习3 （学生自主完成）。 设计意图：及时巩固，升华概念。 课堂小结： 老师引导，学生自主总结。 1. 回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和空间向量的坐标的？ （1）类比平面直角坐标系，构建了空间直角坐标系。 （2）根据空间向量基本定理，在单位正交基底，，下，得到空间直角坐标系中的每一个点和向量都存在唯一的有序实数组，，与之对应，从而得到空间点和空间向量的坐标表示。 （3）由几何直观，过点作垂直于轴、轴和轴的平面，依次确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标。 设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结。 作业布置：课本18页练习1，2，4。 课本第22 页习题2，3。

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