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课题 1.3.2空间向量运算的坐标表示
教学目标
1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示； 2.掌握空间向量运算的坐标表示； 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用； 4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.
教学重点： 理解空间向量的坐标表示及其运算. 教学难点： 运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题.
教学过程
新课讲授 问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 【追问（1）】平面向量的运算都有哪些？在前面的学习中我们已经学面向量的加减、数乘、和数量积运算.那么我们是如何对平面向量进行坐标运算的呢？ 设 则 【追问（2）】你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算坐标表示的猜想？ 类似地，我们设空间向量 猜想 【追问（3）】你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？ 结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明： 第一步：由空间向量基本定理，设为空间的一个单位正交基底， 由向量的坐标为，则可将向量唯一分解为， 同理可将向量表示为. 第二步： 利用向量数量积的分配律以及 得 其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们课下自主完成. 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的. 类似地，我们还可以得到：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.即：设 则向量. 问题2：在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？ 【追问（1）】如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？ 设 当时，的充要条件是 得到方程组 消去，得到平面向量平行充要条件的 类比平面向量平行的坐标表示，我们可以得到：设空间向量 当时，的充要条件是 得到方程组，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示. 【追问（2）】这个充要条件能否表示为？ 显然，空间向量平行的充要条件不等价于， 因为的含义是的坐标分量至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零. 例如，当与坐标平面平行时，此时无意义. 因此只有在与三个坐标平面均不平行， 即均不为零时才能有. 特殊地，当时，.此时与任意向量都平行. 本节课我们从坐标运算的角度得到了数量积运算的坐标表达为， 因此在空间中的充要条件可以表示为. 【追问（3）】除了上述对空间向量位置关系的研究，类比平面向量运算的应用，能否总结出空间向量的度量关系，如空间向量长度和夹角的坐标表示？ 平面向量的长度和夹角公式 设 . . 设, ，则 类比平面向量的结论，我们继续猜想空间向量的长度和夹角公式： 空间向量的长度和夹角公式 设 . . 设, ，则 【追问（4）】得到上面的猜想后，同学们能利用空间向量运算的坐标表示证明空间两点间的距离公式吗？ 首先，建立空间直角坐标系，设, 是空间中任意两点， 则向量 于是 带入坐标，. 所以. 这就是空间两点间的距离公式. 因此，空间向量的模可以理解为点到原点的距离，这是空间两点间距离公式的特殊化. 至此，类比着平面向量的坐标运算，我们得到了空间向量运算的坐标表示.将空间向量的运算与向量的坐标结合后，可以使立体几何中的很多问题变得简单. 知识应用 接下来，我们通过典型例题，加深对所学知识的理解． 例2如图，在正方体中，,分别是, 的中点.求证； 证明：分析：两条直线的垂直关系可以用向量刻画吗？ 要证明，只需证明，在前面的学习中，我们已经得到了两个向量垂直的充要条件为数量积为零，即通过本节课学习的内容，可以将空间向量垂直的充要条件用坐标形式表达，因此在应用向量法求解本题时，我们需要利用题目中的空间直角坐标系，从而建立立体图形与空间向量的联系. 追问：向量的坐标怎么求？ 不妨设正方体的棱长为2，因为 , ， 所以. 得到向量的坐标后，同理， 又因为点, 所以. 所以. 所以, 即. 例3 如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，,分别在棱，上，, . （1）求AM的长。 （2）求与所成角的余弦值. 分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A,M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出AM的长。（2）因为空间向量的数量积和夹角有关，此我们经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题。 解(1):建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为. 于是. 【追问】两条直线夹角与两向量夹角有区别吗？ 这二者是有区别的，它们的取值范围不同. 具体来说，两条直线夹角的范围是,而向量夹角的范围是. 当向量所成的角为锐角或直角时，直线所成的角和向量的夹角相等. 当向量所成的角为钝角时，直线所成的角为向量夹角的补角. (2) 由已知，得，，， 所以 ， 所以 所以 所以，与所成角的余弦值是. (三)方法提炼： 在空间直角坐标系中，先写出相关点、相关向量的坐标，把几何问题代数化，然后再利用向量的坐标运算解决位置关系与几何度量等问题，其中要关注空间两条直线所成角与对应向量夹角的取值范围是不同的.需要注意的是，有些问题往往需要我们观察几何体的结构特征，找寻三条两两垂直的线段，先建立空间直角坐标系，再应用向量运算解决几何问题. （四）小结归纳： 回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？ 1. 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 （1）空间向量运算的坐标表示 空间向量加法减法的坐标运算只需将其相应的坐标相加或相减； 空间向量数乘的坐标运算等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标； 空间向量数量积的坐标运算是其对应坐标乘积的和. （2）空间向量运算坐标表示的应用 我们得到了空间向量平行和垂直这两种特殊位置关系的坐标表示 同时，我们证明了空间向量长度和夹角的公式，这些公式可以帮助我们解决立体几何中的度量问题 2.关注空间向量与立体几何知识间的联系 空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决. 因此，我们说空间向量与立体几何有着天然的联系.空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具. 一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”，步骤一：建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标；步骤二：进行空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；步骤三：求出答案后，翻译成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决．

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