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第二十一章 四边形
21.2.2 平行四边形的判定
（第2课时）
1．掌握“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形的判定定理；
2．能综合运用多种判定方法解决问题；
3．能区分平行四边形的性质与判定，避免混淆．
说一说平行四边形的判定方法？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
想一想：1．一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
不是，如等腰梯形的一组对边相等，但不是平行四边形.
2．一组对边平行的四边形是平行四边形吗？
不是，如梯形的上下底平行，但不是平行四边形.
思考：对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明这个猜想吗？
可以通过证明四边形的另一组对边平行或相等来完成证明．
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
证明：连接AC．
∵AB//CD，
∴∠1＝∠2．
又AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA．
∴BC＝DA．
又AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
“ ”表示平行且相等．
平行四边形判定定理4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
在四边形 ABCD 中，
∵AB//CD，AB=CD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例1：如图所示，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：DE BF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD．
又EB＝AB，DF＝CD，
∴EB DF．
∴四边形EBFD是平行四边形．
∴DE BF．
平行四边形判定方法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【知识技能类练习】必做题：
D
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
A
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练行四边形的判定
平行四边形的性质与判定的综合运用
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【知识技能类作业】必做题：
D
【知识技能类作业】必做题：
①②④
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
或
【综合拓展类作业】
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同步探究学案
课题 21.2.2 平行四边形的判定 （第2课时） 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形的判定定理； 2．能综合运用多种判定方法解决问题； 3．能区分平行四边形的性质与判定，避免混淆．
重点 掌握“一组对边平行且相等”的平行四边形判定定理，能综合运用多种判定方法解决几何问题．
难点 区分平行四边形的性质与判定，灵活选择合适的判定方法解决复杂几何证明问题，规避常见判定误区．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说平行四边形的判定方法？
新知探究 本节课来研究： 本节我们继续研究平行四边形的判定方法。 根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？ 想一想： 1．一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 2．一组对边平行的四边形是平行四边形吗？ 思考：对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？ 猜想：一组对边________________的四边形是平行四边形. 问题：请证明这个猜想. 分析：可以通过证明四边形的另一组对边平行或相等来完成证明． 已知：如图所示，在四边形ABCD中，ABCD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． （“”表示平行且相等．) 归纳：平行四边形判定定理4： 一组对边______________的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵AB//____，AB=____， ∴四边形ABCD是平行四边形. 例1：如图所示，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证DEBF． 归纳：平行四边形判定方法 两组对边分别________的四边形是平行四边形． 两组对边分别________的四边形是平行四边形. 两组对角分别________的四边形是平行四边形. 对角线_________的四边形是平行四边形. 一组对边___________的四边形是平行四边形. 例2：如图，的对角线、交于点，在、的延长线上分别取、两点，使． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列命题中，是假命题的是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 2．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 3．如图，在四边形中，已知，求证． (1)； (2)． 选做题： 4．在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（ ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【综合拓展类练习】 5．如图，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边，已知，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)四边形是平行四边形吗？请说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明它是平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 2．在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是___（填上所有符合要求的条件的序号）． 3．如图，平行四边形的顶点O、A、C的坐标分别是，E，F分别是上的点． (1)点B的坐标是 ； (2)若，求证：四边形是平行四边形． 选做题： 4．如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【综合拓展类作业】 5．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长．
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分课时教学设计
第七课时《21.2.2 平行四边形的判定（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是平行四边形判定的延伸与综合应用课时，承接前一课时的判定定理，聚焦“一组对边平行且相等”这一核心判定方法，是平行四边形判定体系的重要补充与完善．本节课从一组对边的位置与数量关系切入，通过猜想、证明推导新判定定理，既是对全等三角形、平行线性质等知识的综合运用，也是对平行四边形判定方法的系统梳理，为后续特殊平行四边形的学习奠定坚实基础．通过本节课的学习，学生能进一步完善平行四边形的判定知识体系，掌握从不同维度（边、角、对角线）判定平行四边形的方法，提升几何推理与综合应用能力，体会转化、类比的数学思想，在平面几何知识体系中起到承上启下、巩固提升的关键作用，同时为解决实际几何问题提供更灵活的工具．
学习者分析 学生已掌握平行四边形的定义、性质及前三种判定定理，具备一定的几何推理、逻辑证明能力，对“性质—逆命题—判定”的探究方法有初步认知．但学生对“一组对边平行且相等”的判定定理理解不够深入，易与“一组对边平行、另一组对边相等”的错误判定混淆，在综合运用多种判定方法解决问题时，难以快速选择最优方法，且对性质与判定的区别与联系把握不够清晰，部分学生证明步骤不规范，需要教师通过对比辨析、例题引导，帮助学生深化理解，提升知识的综合应用能力．
教学目标 1．掌握“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形的判定定理； 2．能综合运用多种判定方法解决问题； 3．能区分平行四边形的性质与判定，避免混淆．
教学重点 掌握“一组对边平行且相等”的平行四边形判定定理，能综合运用多种判定方法解决几何问题．
教学难点 区分平行四边形的性质与判定，灵活选择合适的判定方法解决复杂几何证明问题，规避常见判定误区．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形的判定定理； 2．能综合运用多种判定方法解决问题； 3．能区分平行四边形的性质与判定，避免混淆．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说平行四边形的判定方法？ 预设：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 导言：根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？ 想一想：1．一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 预设：不是，如等腰梯形的一组对边相等，但不是平行四边形. 2．一组对边平行的四边形是平行四边形吗？ 预设：不是，如梯形的上下底平行，但不是平行四边形.学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习平行四边形的四种判定方法为学习新的判定平行四边形的方法做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考：对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？ 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 追问：你能证明这个猜想吗？ 预设：可以通过证明四边形的另一组对边平行或相等来完成证明． 已知：如图所示，在四边形ABCD中，ABCD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 指出：“”表示平行且相等． 证明：连接AC． ∵AB//CD， ∴∠1＝∠2． 又AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA． ∴BC＝DA． 又AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 归纳：平行四边形判定定理4： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵AB//CD，AB=CD ， ∴四边形ABCD是平行四边形. 例1：如图所示，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证DEBF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD． 又EB＝AB，DF＝CD， ∴EBDF． ∴四边形EBFD是平行四边形． ∴DEBF． 归纳：平行四边形判定方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 例2：如图，的对角线、交于点，在、的延长线上分别取、两点，使． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 证明：（1）四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ； （2）四边形是平行四边形， ，， 由（1）可知，， ， ＋＋， 即， 四边形是平行四边形．学生活动3： 学生小组合作探究、班内交流，最后听老师的点评与讲解活动意图说明： 引导学生从平行四边形性质出发，猜想并证明 “一组对边平行且相等” 的判定定理，完善判定体系，渗透类比思想，提升逻辑推理能力，通过典型例题，强化新判定定理的应用，训练学生综合运用多种判定方法的能力，厘清性质与判定的区别，规范证明书写，落实核心素养.环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.2.2平行四边形的判定（第2课时）一、平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 二、平行四边形的性质与判定的综合运用 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列命题中，是假命题的是（ ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 答案：D 2．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 答案： 3．如图，在四边形中，已知，求证． (1)； (2)． 证明：（1）在与中， ， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 选做题： 4．在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（ ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 答案：A 【综合拓展类练习】 5．如图，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边，已知，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)四边形是平行四边形吗？请说明理由． 证明：（1）∵在中，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明它是平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是___（填上所有符合要求的条件的序号）． 答案：①②④ 3．如图，平行四边形的顶点O、A、C的坐标分别是，E，F分别是上的点． (1)点B的坐标是 ； (2)若，求证：四边形是平行四边形． 解：（1）∵， ∴， ∵平行四边形， ∴，，即轴， ∵， ∴，即； （2）∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选做题： 4．如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_____秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 答案：或 【综合拓展类作业】 5．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴．
教学反思 本节课通过猜想证明、例题应用与对比辨析，多数学生能掌握“一组对边平行且相等”的判定定理．但部分学生易混淆“一组对边平行且相等”与“一组对边平行、另一组对边相等”的情况，综合运用多种判定方法时思路不清晰，性质与判定的区分不够明确．后续需加强易错点辨析，增加变式练习，强化定理应用的引导，规范证明书写，提升学生的逻辑推理与知识迁移能力．
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