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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 下册第3章
课标要求 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。 8.体会一次函数与二元一次方程的关系。 9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级下册第3章《一次函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”。本章以函数概念为起点，依次展开常量与变量、函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），再深入正比例函数和一次函数的图象与性质，通过待定系数法确定一次函数表达式，衔接一次函数与二元一次方程的关系，最终落脚于一次函数的实际应用。教材遵循“概念—性质—方法—应用”的逻辑主线，层层递进，既注重知识的系统性，又强化数形结合思想与建模能力的培养，为后续二次函数、反比例函数等复杂函数的学习奠定重要基础。
学情分析 八年级学生已具备初步的变量意识和方程运算能力，能够理解简单的数量关系，但对“函数”这一抽象概念的认知仍较零散，在将实际问题转化为函数模型、结合图象分析性质时存在困难。学生已学习正比例函数的相关知识，可通过类比迁移学习一次函数，但对一次函数与二元一次方程的内在联系、分段函数的应用等内容理解较浅，需要通过系统梳理和实例探究，逐步构建完整的函数知识体系，提升数形结合与解决实际问题的能力。
单元目标 （一）教学目标 1.理解函数、常量、变量、自变量、函数值等核心概念，掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能根据实际情境选择合适的表示法刻画变量关系。 2.掌握正比例函数和一次函数的图象与性质，能熟练画出函数图象，理解k、b对图象位置与增减性的影响，明确一次函数与正比例函数图象的平移关系。 3.熟练运用待定系数法确定一次函数的表达式，能结合两点坐标或实际情境建立函数模型，解决简单的实际问题。 4.理解一次函数与二元一次方程的对应关系，能实现两者的相互转化，体会数形结合思想在方程与函数问题中的应用。 5.能运用一次函数模型解决行程、计费、测量等实际问题，提升数学建模能力与应用意识，感受函数在生活中的价值。 （二）教学重点、难点 重点 1.函数的概念与三种表示法，一次函数的图象与性质。 2.用待定系数法确定一次函数的表达式，建立一次函数模型解决实际问题。 难点 1.理解函数概念的抽象性，以及一次函数与二元一次方程的内在联系。 2.从实际情境中提取变量关系，建立合理的一次函数模型，并结合图象分析解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1函数的概念和表示法23.2一次函数13.3一次函数的图象23.4用待定系数法确定一次函数表达式13.5一次函数与二元一次方程的关系13.6一次函数的应用2第3章小结与复习1综合与实践生活节水1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1 变量与函数1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.理解函数的核心定义，能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。任务一：情境导入，初步接触函数。 任务二：探究新知，理解函数及相关概念。 任务三：独立思考，探究自变量和因变量。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.1.2 函数的表示法1.掌握函数的三种表示法（图象法、列表法、公式法），能说出各自的优点。 2.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 3.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。1.能根据具体情境选择合适的方法表示函数关系，完成不同表示法之间的转换。 2.能从函数图象中提取关键信息，解决简单的实际问题。任务一：复习回顾 任务二：探究新知，探究函数的三种表示法。 任务三：例题精讲，学习从函数图象中提取关键信息。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.2 一次函数1.理解一次函数与正比例函数的概念，能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题，体会函数建模的思想。1.能准确判断给定函数是否属于一次函数或正比例函数。 2.能从实际情境中提取数量关系，列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3.能运用一次函数解决简单的实际问题。任务一：情境导入，列代数式。 任务二：探究新知，探究一次函数与正比例函数. 任务三：例题精讲，列出一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（1）1.理解正比例函数的图象是过原点的直线，掌握其图象画法，发展数学抽象素养。 2.掌握k的符号对正比例函数图象、增减性的影响，提升逻辑推理能力。 3.能运用正比例函数解决实际问题，增强数学建模与应用意识。1.能正确作出正比例函数的图象。 2.能运用正比例函数解决实际问题。任务一：情境导入，列函数。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象. 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.3 一次函数的图象（2）1.理解一次函数的图象是一条直线，掌握它与正比例函数图象的平移关系。 2.能熟练运用两点法画出一次函数的图象，理解对函数图象位置和增减性的影响。 3.能结合实际情境分析一次函数图象的意义，体会数形结合思想在解决实际问题中的应用。能熟练运用两点法画出一次函数的图象任务一：复习巩固。 任务二：探究新知，探究一次函数的图象。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结3.4 用待定系数法确定一次函数表达式1.理解待定系数法的基本思路，能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。 3.掌握正比例函数表达式的确定方法，体会函数与方程的联系。 4.提升分析问题、规范解题的能力，感受数学建模的实用价值。1.能根据一次函数图象上两点的坐标求出函数表达式。 2.能从实际情境中提取信息，建立一次函数模型并求解。任务一：复习巩固，回顾一次函数的相关概念。 任务二：探究新知，探究待定系数法。 任务三：例题精讲，用待定系数法确定一次函数表达式。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.5 一次函数与二元一次方程的关系1.理解二元一次方程与一次函数的对应关系，能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 3.掌握一次函数图象与x轴交点坐标的求法，提升代数与几何的转化能力。 4.感受方程与函数的内在联系，发展逻辑思维。1.能将二元一次方程转化为一次函数形式。 2.能根据一次函数图象写出对应的二元一次方程，体会数形结合思想。 任务一：复习巩固，合作交流。 任务二：探究新知，探究一次函数与二元一次方程的关系。 任务三：例题精讲，作图。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（1）1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题，理解自变量取值范围的意义。 3.能结合函数图象分析实际问题，体会数形结合思想。 4.提升数学建模能力，感受函数在生活中的应用价值。1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。 2.会利用一次函数表达式解决实际问题。 3.能结合函数图象分析实际问题。任务一：情境导入。 任务二：探究新知，一次函数的应用。 任务三：例题精讲，结合函数图象分析解决实际问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。3.6 一次函数的应用（2）1.能根据实际数据建立一次函数模型，了解模型的适用范围与预测局限性。 2.理解分段一次函数的意义，能写出阶梯类问题的函数表达式。 3.会利用分段函数解决实际计费问题，提升数据分析与建模能力。 4.体会数学模型与现实生活的联系，培养严谨的数据分析意识。1.能根据实际数据建立一次函数模型。 2.会利用分段函数解决实际计费问题。任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。 任务二：探究新知，探究分段函数。 任务三：例题精讲，利用分段函数解决实际计费问题。 任务四：巩固练习，课堂小结。第3章 小结与评价1.梳理一次函数全章知识脉络，构建完整知识体系。 2.巩固函数概念、表示法，熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。 3.深化一次函数与二元一次方程的联系，提升建模解决实际问题的能力。 4.培养反思与自评意识，提升数形结合与逻辑思维能力。能熟练掌握一次函数的图象、性质与待定系数法。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：生活节水1.了解地球水资源分布及我国水资源紧缺现状，认识生活节水的重要性，树立节水责任意识。 2.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 3.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 4.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。1.能设计调查问卷收集家庭节水方法与节水量数据，运用统计方法分析节水效果。 2.能结合一次函数知识设计自来水阶梯收费方案，用函数表达式与图象表示收费规律。 3.能撰写公开信呼吁节水，提升综合实践与表达能力，体会数学在生活中的应用价值。任务一：情境导入，认识生活节水的重要性。 任务二：认真思考, 合作探究。 任务三：合作交流，设计方案。
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第3章 一次函数
3.1.1 变量与函数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。
01
理解函数的核心定义，能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。
02
会用函数描述实际问题，增强数学应用意识。
03
02
新知导入
想一想
1. 早上从家到学校，时间变了，你走的路程变不变？
2. 买文具时，笔记本单价固定，买的数量变了，总钱数变不变？
3. 看天气预报，一天里时刻变了，气温变不变？
同一个数学规律：当一个量变化时，另一个量也跟着变化。
03
新知探究
思考：（1）下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，当天的气温T随时间t的变化而变化吗？
由图可知，当天的气温T随着时间t的变化而变化.
03
新知探究
思考：（2）研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值：
由上表可知，声速y随气温x的变化而变化.
由上表可以发现，声速随气温的变化而变化吗？
03
新知探究
思考：（3）某型无人机以120km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程(km)与飞行时间(h)之间的关系式为. 该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？
由可知，飞行的路程随飞行时间的变化而变化.
（4） 上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
问题(1)中时间t、气温T，问题(2)中气温、声速，问题(3)中飞行时间、飞行的路程等都是会发生变化的量 . 问题(3)中无人机匀速飞行的速度是固定不变的量.
03
新知探究
取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）.
注意：(1)常量和变量是相对的,一个量在一个过程中是常量,在另一个过程中可能是变量.
(2)判断一个量是不是变量,关键是看在变化过程中,这个量是否可以取不同的数值.
可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系.
03
新知探究
议一议
如图，△ABC底边BC(设BC=)上的高是h. 当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗？若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量？
S=ah
在上述变化过程中，高h是常量，底边长a和面积S都是变量，并且面积随底边长的变化而变化.
不要误认为常量必须为具体的数，表示不变量的字母，也可以作为常量 .
03
新知探究
做一做
请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量.
正方形的面积公式中C=4a，4是常量，C，a是变量。
圆面积公式中S=πr2，π是常量，S，r是变量。
03
新知探究
对于时间t的每一个取值，气温T都有唯一的一个值与它对应.
对于实验中气温x的每一个取值，声速y都有唯一的一个值与它对应.
03
新知探究
一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x). 其中，x叫作自变量，y叫作因变量.
最早提出“函数”一词的是德国数学家莱布尼茨 .
瑞士数0学家约翰·伯努利首次使用“变量”一词.
对于自变量x的每一个取值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a)
03
新知探究
“思考”问题1中，t是自变量，T是因变量.
“思考”问题2中，x是自变量，y是因变量.
“思考”问题3中，x是自变量，y是因变量.
“思考”问题中，气温T是时间t的函数，声速y是气温x的函数，飞行路程y是飞行时间x的函数，在变化过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？
在考虑两个变量间的函数关系时，还应注意自变量的取值范围 .
如问题(1)中的函数，自变量t的取值范围是0≤t≤24.
03
新知探究
说一说
下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数.
（1）y：正方形的周长；x：这个正方形的边长.
（2）y：矩形的面积；x：这个矩形的宽.
（3）y：一个正数的平方根；x：这个正数.
（4）y：一个正数的算术平方根；x：这个正数.
√
×
×
√
矩形的长不确定
03
新知探究
判断一个关系是否是函数关系的方法：
1.看是否在一个变化过程中；
2.看是否存在两个变量；
3.看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应 .
以上三者(简称“三要素” )缺一不可 .
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　）
A．速度、时间
B．路程、时间
C．速度、路程
D．速度、路程、时间
B
04
课堂练习
2.函数中，自变量x的取值范围是 (　　)
A．x>2
B．x<2
C．x≠2
D．x≠2
C
04
课堂练习
3.你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．化学物质
B．温度
C．电池
D．电瓶车
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.函数，当函数值=18时，自变量的值是　 　。
5.在函数=中，自变量x的取值范围是　 　 ．
6.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是　 　.
8
因变量
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.设A，B两城市的铁路路程为s(km)，列车行驶的平均速度为v(km/h)，驶完这段路所需的时间为t(h)(不包括中途停车的时间)，则 = 。其中哪些量是常量 哪些量是变量 如果v=220呢
解：∵A，B两城市间的铁路路程为s，
∴行驶时间t随平均速度为v的变化而变化，因此速度v，t是变量，s是常量.
若v=220km/h，
04
课堂练习
∵A，B两城市间的铁路路程为s，
也是一个定值，
t，s是常量
05
课堂小结
取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）.
一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x). 其中，x叫作自变量，y叫作因变量.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为ycm，腰长为xcm，y与x的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是(　　)
A．x>0 B．02.若，则等于（　　）
A．1 B．5 C． D．
3.一架雪橇沿一斜坡滑下，滑下的路程s(m)与经过的时间t(s)之间存在函数关系：s=2t2+10t.假如雪橇从坡顶滑到坡底的时间为8s，则坡长为
　 　 m.
D
A
208
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.某小区临时停车收费规则如下：半小时内(含半小时)收费5元；超过半小时，每小时收费10元(不足1小时按1小时计)；每天不超过40元。如果停车时间为x(h)，停车费为y(元)。
（1）y是关于x的函数吗 为什么
（2）分别求当x=0.5，1，3.4，6时的函数值，并说明它们的实际意义。
（1）解：是。
因为对于每一个停车时间x，根据收费规则都能唯一确定对应的费用y，符合函数的定义.
06
作业布置
（2）解：当x=0.5时，y=5元，表示停车半小时收费5元；
当x=1时，y=15元，表示停车1小时收费15元；
当x=3.4时，y=35元，表示停车3.4小时收费35元；
当x=6时，y=40元，表示停车6小时收费40元(达到每日最高限额)
07
板书设计
变量与常量：
函数的概念：
函数值：
3.1.1 变量与函数
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
第一课时《3.1.1 变量与函数》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《变量与函数》是湘教版版八年级下册第3章《一次函数》的第一节第一课时的内容。本节选自八年级下册“函数的概念和表示法”，以气温曲线、声速表格、匀速飞行等生活实例为载体，引导学生感知变量与常量，逐步抽象出函数定义，同时呈现图象、列表、关系式三种变量关系表达形式，为后续一次函数学习铺垫，体现“从具象到抽象”的数学认知逻辑。
学习者分析 八年级学生已掌握代数式、方程等知识，具备初步变量意识，对生活中的变化现象兴趣浓厚，但对“变量依赖关系”“唯一对应”等抽象概念理解薄弱，易混淆变量与常量，判断函数关系时易出错，需通过实例辨析强化认知。
教学目标 1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。 2.理解函数的核心定义，能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。 3.会用函数描述实际问题，增强数学应用意识。
教学重点 理解变量与常量的概念，掌握函数的定义及判断方法。
教学难点 理解函数定义中“自变量与因变量的唯一对应关系”。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师展示动画：生成变量与函数教学动画.html 教师讲授：同学们，我们每天都在经历“变化”：早上7点出门上学，路上用了20分钟；中午12点吃饭，食堂的温度比教室高；下午放学骑车回家，速度越快，到家时间越短。 今天我们就从这些“变化”里，学一个新的数学工具——变量与函数。 想一想：1.早上从家到学校，时间变了，你走的路程变不变？ 2.买文具时，笔记本单价固定，买的数量变了，总钱数变不变？ 3.看天气预报，一天里时刻变了，气温变不变？ 教师讲授：当一个量变化时，另一个量也跟着变化。学生活动1： 认真思考 快问快答，举手回答问题 活动意图说明：通过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识.环节二：新知探究教师活动2： 探究一：变量与常量 思考：（1）下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，当天的气温T随时间t的变化而变化吗？ （2）研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值： 由上表可以发现，声速随气温的变化而变化吗？ （3）某型无人机以120km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程(km)与飞行时间(h)之间的关系式为. 该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？ （4）上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？ 【定义】取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）. 教师讲授： 注意：(1)常量和变量是相对的,一个量在一个过程中是常量,在另一个过程中可能是变量. (2)判断一个量是不是变量,关键是看在变化过程中,这个量是否可以取不同的数值. 教师讲授：可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系. 【说一说】如图，△ABC底边BC(设BC=)上的高是h. 当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗？若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量？ 教师讲授：不要误认为常量必须为具体的数，表示不变量的字母，也可以作为常量 . 【做一做】请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量.学生活动2： 认真思考，初步感知函数中变量之间的关系 认真思考 认真思考，举手回答问题 认真听讲，了解什么是变量和常量 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲 学生认真思考活动意图说明：本设计以气温曲线、声速表格、无人机行程等真实情境为载体，引导学生观察变与不变，抽象变量与常量概念，渗透数形结合与建模思想，发展数学抽象素养。环节三：再探新知教师活动3： 探究二：函数的概念 教师讲授：对于时间t的每一个取值，气温T都有唯一的一个值与它对应. 对于实验中气温x的每一个取值，声速y都有唯一的一个值与它对应. 【定义】一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x).其中，x叫作自变量，y叫作因变量. 对于自变量x的每一个取值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a). 想一想：“思考”问题中，气温T是时间t的函数，声速y是气温x的函数，飞行路程y是飞行时间x的函数，在变化过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？ 教师讲授：在考虑两个变量间的函数关系时，还应注意自变量的取值范围. 【说一说】下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数. （1）y：正方形的周长；x：这个正方形的边长. （2）y：矩形的面积；x：这个矩形的宽. （3）y：一个正数的平方根；x：这个正数. （4）y：一个正数的算术平方根；x：这个正数. 教师讲授： 判断一个关系是否是函数关系的方法： 1.看是否在一个变化过程中； 2.看是否存在两个变量； 3.看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应 . 以上三者(简称“三要素”)缺一不可.学生活动3： 认真听讲，了解什么是函数、自变量、因变量和函数值 学生认真思考，举手回答问题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：本环节依托前序变量实例，抽象函数概念，结合正方形、矩形等例题，引导学生掌握函数三要素，提升数学抽象与逻辑推理素养。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授：取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）. 判断一个量是不是变量,关键是看在变化过程中,这个量是否可以取不同的数值. 判断一个关系是否是函数关系的方法： 1.看是否在一个变化过程中； 2.看是否存在两个变量； 3.看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应 . 以上三者(简称“三要素”)缺一不可.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 2.函数中，自变量x的取值范围是 (　　) A．x>2　　　　B．x<2　　　　C．x≠2　　　　D．x≠2 3.你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　） A．化学物质　　　　B．温度　　　　C．电池　　　　D．电瓶车 选做题： 4.函数，当函数值=18时，自变量的值是　 　。 5.在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ． 6.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是　 　. 【综合拓展类作业】 7.设A，B两城市的铁路路程为s(km)，列车行驶的平均速度为v(km/h)，驶完这段路所需的时间为t(h)(不包括中途停车的时间)，则 其中哪些量是常量 哪些量是变量 如果v=220呢
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为ycm，腰长为xcm，y与x的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是(　　) A．x>0　　　　B．0教学反思 本节课以生活实例导入，有效激发了学生兴趣，多数学生能区分变量与常量，但在辨析“正数的平方根是否为函数”时，对“唯一对应”的理解仍有偏差，说明抽象概念需更多分层辨析练习。后续可补充生活化案例，强化函数本质理解，同时关注学困生对变量关系的感知，通过小组互助降低认知难度。
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第3章 一次函数
3.1.1 变量与函数
学习目标与重难点
学习目标：
1.能准确识别生活与数学情境中的变量与常量，掌握两者的本质区别。
2.理解函数的核心定义，能根据“自变量每取一个值，因变量有唯一对应值”判断两个变量是否构成函数关系。
3.会用函数描述实际问题，增强数学应用意识。
学习重点：
理解变量与常量的概念，掌握函数的定义及判断方法。
学习难点：
理解函数定义中“自变量与因变量的唯一对应关系”。
学习过程
一、独立思考
想一想：1.早上从家到学校，时间变了，你走的路程变不变？
2.买文具时，笔记本单价固定，买的数量变了，总钱数变不变？
3.看天气预报，一天里时刻变了，气温变不变？
二、新知探究
探究一：变量与常量
教材第83页
【思考】（1）下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，当天的气温T随时间t的变化而变化吗？
（2）研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值：
由上表可以发现，声速随气温的变化而变化吗？
（3）某型无人机以120km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程(km)与飞行时间(h)之间的关系式为. 该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？
（4）上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？
【定义】取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）.
【说一说】如图，△ABC底边BC(设BC=)上的高是h. 当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积S会发生变化吗？若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量？
【做一做】请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量.
三、再探新知
探究二：函数的概念
教材第84页
【定义】一般地，如果变量y随变量x而变化，并且对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x). 其中，x叫作自变量，y叫作因变量.
对于自变量x的每一个取值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).
想一想：“思考”问题中，气温T是时间t的函数，声速y是气温x的函数，飞行路程y是飞行时间x的函数，在变化过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？
【说一说】下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数.
（1）y：正方形的周长；x：这个正方形的边长.
（2）y：矩形的面积；x：这个矩形的宽.
（3）y：一个正数的平方根；x：这个正数.
（4）y：一个正数的算术平方根；x：这个正数.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　）
A．速度、时间 B．路程、时间
C．速度、路程 D．速度、路程、时间
2.函数中，自变量x的取值范围是 (　　)
A．x>2 B．x<2 C．x≠2 D．x≠2
3.你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车
选做题
4.函数，当函数值=18时，自变量的值是　 　。
5.在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
6.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是　 　.
【综合拓展类作业】
7.设A，B两城市的铁路路程为s(km)，列车行驶的平均速度为v(km/h)，驶完这段路所需的时间为t(h)(不包括中途停车的时间)，则 其中哪些量是常量 哪些量是变量 如果v=220呢
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么
六、作业布置
1.已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为ycm，腰长为xcm，y与x的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是(　　)
A．x>0 B．02.若，则等于（　　）
A．1 B．5 C． D．
3.一架雪橇沿一斜坡滑下，滑下的路程s(m)与经过的时间t(s)之间存在函数关系：.s=2t2+10t.假如雪橇从坡顶滑到坡底的时间为8s，则坡长为　 　m.
4.某小区临时停车收费规则如下：半小时内(含半小时)收费5元；超过半小时，每小时收费10元(不足1小时按1小时计)；每天不超过40元。如果停车时间为x(h)，停车费为y(元)。
（1）y是关于x的函数吗 为什么
（2）分别求当x=0.5，1，3.4，6时的函数值，并说明它们的实际意义。
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．
在此变化过程中，变量是路程、时间，
故答案为：B．
2.【答案】C
【解析】解：依题意
解得
故答案为：C
3.【答案】B
【解析】解：由题意可知，在这个变化过程中，自变量是温度，
故答案为：B．
4.【答案】8
【解析】解： 把y=18 代入 y=3x-6 得：3x-6=18
解得：x=8
故答案为：8
5.【答案】．
【解析】解：x-2＞0，
∴x＞2.
故答案为：x＞2.
6.【答案】因变量
【解析】解：s随t的变化而变化，s是因变量.
故答案为：因变量.
7.【答案】解：∵A，B两城市间的铁路路程为s，
∴行驶时间t随平均速度为v的变化而变化，因此速度v，t是变量，s是常量.
若v=220km/h，
∵A，B两城市间的铁路路程为s，
也是一个定值，
t，s是常量
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：根据三角形的三边关系，得0<20-2x<2x，由20-2x>0，解得x<10，由20-2x<2x，解得x>5，则5故答案为： D.
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得：，
解得：x＝2，
故y＝-3，
∴.
故答案为：A.
3.【答案】208
【解析】解：当t=8时， s=2t2+10t=2×82+10×8=128+80=208.
故填：208.
4．【答案】（1）解：是。
因为对于每一个停车时间x，根据收费规则都能唯一确定对应的费用y，符合函数的定义
（2）解：当x=0.5时，y=5元，表示停车半小时收费5元；
当x=1时，y=15元，表示停车1小时收费15元；
当x=3.4时，y=35元，表示停车3.4小时收费35元；
当x=6时，y=40元，表示停车6小时收费40元(达到每日最高限额)
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