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第四章 三角形 北师大版(2024)
4.1认识三角形(课时1)
一、教学目标
1.理解三角形概念及其基本要素；
2.探索并掌握三角形内角和是180°，并会用三角形内角和进行角度的计算；
3.掌握锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念，并会按角将三角形进行分类；
4.能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形进行判定；
5.通过观察、推理、交流等研究，激发好奇心和求知欲，发展推理能力，养成独立思考、合作交流等学习习惯.
二、教学重点及难点
重点：掌握三角形内角和是180°，并会用三角形内角和进行角度的计算.
难点：掌握直角三角形的判定方法——有两个角互余的三角形是直角三角.
三、教学过程
【新知导入】
观察下列图片，你能找到下列图片中蕴含的三角形吗？
教师引导学生观察并找到每个图片中蕴含的三角形.
设计意图：通过展示生活中含有三角形的实物图片，引导学生观察、发现并抽象出三角形，让学生感受三角形在生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系；激发学生学习兴趣，自然引入本节课三角形相关知识的学习，同时培养学生的观察能力与几何直观素养.
【探究新知】
教师提出：观察下图，你能从图中找出几个不同的三角形吗？
学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答，通过ppt给出几个答案.
教师提出：这些三角形有什么共同的特点？
学生同桌之间进行讨论，形成共识后，教师选取学生代表进行回答，教师根据回答进行反馈，得出结论，学生做笔记.
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
设计意图：通过让学生在图形中识别不同的三角形，引导学生观察归纳三角形的共同特征，进而自主提炼出三角形的定义，经历“直观感知—抽象特征—形成概念”的认知过程；既加深对三角形本质属性的理解，又培养观察、归纳和数学语言表达能力，同时帮助学生建立几何概念的严谨认知.
教师提出：下面三根小棒摆成的图形，是否构成了三角形？
师生活动：学生积极回答，教师根据回答给出反馈，及时检测学生对定义的掌握情况.
设计意图：及时检验学生对三角形概念的理解与掌握情况，帮助学生抓住定义本质、纠正认知误区，进一步夯实三角形概念基础.
教师提出：如图，三角形由哪几个元素构成？
学生观察图片得出答案：三角形由边、角、顶点构成.三角形有三条边、三个内角和三个顶点.
教师提出问题，学生观察图片思考并积极发言，教师整理、填空，并讲述相关知识.
组成三角形的线段叫作三角形的边： .
相邻两边所组成的角叫作三角形的内角（角）： .
相邻两边的公共端点是三角形的顶点： .
设计意图：引导学生通过观察图形，自主发现三角形的边、内角、顶点三大基本构成要素，结合定义逐一明确各元素的概念，帮助学生构建完整的三角形概念体系；培养学生的观察归纳能力，为后续学习三角形的表示、分类及性质打下坚实基础.
教师提出：你知道如何表示三角形吗？
教师对三角形的表示进行阐述：“三角形”可以用符号“△”表示.如图中顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC.
【注意】①字母没有先后顺序；②通常情况下按逆时针的顺序写，△BCA、△CAB.
设计意图：通过教师规范讲解三角形的符号表示与记法，明确三角形的书写规范与注意事项，让学生掌握三角形的标准化数学符号表示，建立几何语言规范.
教师提出：我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形三个内角的和为180°.你知道其中的原理吗？
教师引导学生得出答案：三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角，为180°.
教师追问：小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论.
小明的做法如下：(1)剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3，如图所示；
(2)将∠1撕下，按照下图所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，∠1的一条边与∠2的一条边重合.
教师提出：你知道他这么做的原理吗？
利用下图，小明说明了三角形三个内角的和为180°，你知道他是如何说明的吗？
教师引导学生进行说明.
因为∠1＝∠4，所以a∥b；(内错角相等，两直线平行)，
所以∠1+∠2+∠3=180°；(两直线平行，同旁内角互补)，
所以∠4＋∠2＋∠3＝180°；
所以三角形三个内角的和为180°.
通过上述探究，得出三角形内角和定理，学生做笔记.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
符号表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
设计意图：通过撕角拼图的动手操作与平行线性质的逻辑推理相结合，引导学生从“直观拼合”上升到“严谨说理”，深刻理解三角形内角和为180°的本质；在探究中归纳得出三角形内角和定理及其符号表示，既培养学生动手实践、几何直观能力，又发展初步的逻辑推理与规范表达能力，为后续角度计算与几何证明奠定重要基础.
教师提出：猜猜图中三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
学生回答：因为露出的角分别是直角和钝角，根据三角形的三个内角和等于180°，所以另外两个内角都是锐角.
教师追问：下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？
学生回答：因为露出的角是锐角，所以另外两个内角可能是两个锐角、或是一锐角一直角、或是一钝角一锐角.
教师提出：对比上述两个问题的结果，你能发现什么？
学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答.
对于任意一个三角形，三个内角可能：①都是锐角—锐角三角形；
②一个直角两个锐角—直角三角形；③一个钝角两个锐角—钝角三角形.
通过探究，进行归纳总结，学生做笔记.
按照三角形内角的大小把三角形分为三类：
设计意图：通过“猜被遮住的内角”这一趣味探究活动，引导学生结合三角形内角和定理进行推理分析，在讨论中自然得出三角形按角分类的依据；自主归纳出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义，既加深对内角和定理的应用，又培养逻辑推理与归纳概括能力，实现知识的自然生成.
教师对直角三角形的相关知识进行阐述：通常用符号“Rt△ABC”表示直角三角形ABC.
如图，直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边.
教师提出问题：直角三角形两个锐角之间有什么关系呢？
学生猜测：直角三角形两个锐角的和为90°.
教师引导学生对猜测进行说明.
通过上述探究，归纳总结，学生做笔记.
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．
设计意图：通过引入直角三角形的符号表示、斜边与直角边的概念，引导学生利用三角形内角和定理探究两个锐角的关系，让学生经历猜想、推理、归纳的过程，自主得出“直角三角形的两个锐角互余”这一性质，并掌握规范的几何语言；既巩固了内角和定理，又提升了逻辑推理与几何表达能力，为后续直角三角形相关计算与证明奠定基础.
教师提出：直角三角形的两个锐角互余，反之，有两个角互余的三角形一定是直角三角形吗？
教师引导学生进行证明.
证明：在三角形ABC中，∠A+∠B=90°，
由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，
即90°+∠C=180°，
所以∠C=90°．
也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形.
设计意图：从“直角三角形两锐角互余”的性质出发，逆向探究其判定方法，引导学生运用三角形内角和定理进行严谨证明，让学生理解性质与判定的互逆关系；通过推理得出“有两个角互余的三角形是直角三角形”，既深化对直角三角形特征的认识，又培养逆向思维与逻辑推理能力，完善直角三角形的知识体系.
四、随堂练习
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
设计意图：通过练习，进一步巩固所学新知．
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.三角形及其相关概念；
2.三角形三个内角的和等于180°；
3.三角形按角的大小分类；
4.直角三角形的两个锐角互余.
4.六、板书设计
认识三角形(课时1)

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