资源简介

19.1多边形
《多边形的内角和》教学设计
教材分析
本节课是沪科版八年级下册第19章《四边形》的第1节内容。它是在学生已经掌握了三角形内角和知识的基础上，对平面几何图形的进一步深入探索，同时也是后续学习平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形的基础。教材通过从三角形到多边形的自然过渡，引导学生运用已知知识解决新问题，深刻体现了转化这一重要的数学思想方法。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了以下基础：
知识基础：牢固掌握三角形内角和为180°，并具备一定的几何推理能力。
能力基础：拥有初步的观察、猜想和验证能力，但将复杂图形转化为基本图形的能力以及系统化归纳的能力仍需加强。
思维特点：思维活跃，开始具备抽象逻辑思维能力，但对分类讨论、数形结合等数学思想的深入理解仍需教师引导。
三、教学目标
1、理解多边形、正多边形、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和公式，并能够运用公式进行相关计算。
2、经历探索多边形内角和的过程，通过将多边形分割成三角形，体会转化思想。通过一题多解的训练，发展发散思维和求异思维能力。
3、在探究活动中体验数学活动的探索性和创造性，感受数学证明的严谨性，获得成功的体验。通过将所学知识应用于解决实际问题，体会数学的应用价值。
四、教学重难点
教学重点：多边形内角和公式的探索与应用。
教学难点：如何将多边形转化为三角形，从而推导出内角和公式。
五、教学过程
（一）创设情境，导入新课
你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗？
【教学说明】
通过观察图片，引起学生的探究兴趣，同时培养学生的观察能力。
(二) 合作探究，探索新知
1.多边形的相关概念
我们学过三角形.类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形(pdygon).
(1)多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
(2)多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.图①中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.图②中的∠1是五边形ABCDE的一个外角.
【教学说明】
多边形相关概念的得出，可以先让学生通过看书进行了解，然后教师再结合图形进行总结，形成相应的概念.
2.多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线(diagonal).图③中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线.
思考：n边形从一个顶点可引出几条对角线？把n边形分割成几个三角形？共有几条对角线？
小结：n边形(n≥3)从一个顶点可引出(n－3)条对角线，把n边形分割成(n－2)个三角形，共有对角线条.
【教学说明】
对角线是一个新的知识点，教师要强调对角线的特征，然后引导学生探究相关的问题，为后面的探究奠定基础.
3.凸多边形
如图④，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形.而图⑤中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.本节只讨论凸多边形.
【教学说明】
教师要结合图形让学生理解凸多边形的概念，教师可以画几个图形让学生辨别.
4.正多边形
(1)我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
(2)特别提醒：正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等.例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形.再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形.
【教学说明】
正多边形的概念必须同时满足各内角相等，各边都相等这两个条件，有些学生可能认为只要各边相等就是正多边形，这是错误的，教师可以举例说明.
5.多边形的内角和
填表发现规律图形…
图形 … n边形
多边形的边数 3 4 5 6 …
分成三角形的个数 1 2 3 4 …
多边形内角的和 180° 360° 540° 720° …
小结：由此得出：n边形的内角和为(n－2)×180°.
【教学说明】
多边形内角和的探究是本节课的重点，教师要引导学生通过画图分割，将多边形的问题转化为三角形来进行解决，最后总结出多边形的内角和公式.
6.多边形的外角和
(1)你能利用多边形的内角和计算多边形的外角和吗？
学生思考回答：多边形的外角和＝180°n－180°(n－2)＝360°
(2)小结：n边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数)
【教学说明】
多边形的外角和可以通过内角和公式推导出来，体现了转化的数学思想，这里要强调多边形的外角和是不变的.
(三) 示例讲解，掌握新知
【例1】如果一个多边形的边数增加到原来的2倍，它的内角和是2 160°，求原来多边形的边数.
【分析】本题可以利用多边形的内角和公式来求解，设多边形边数为n，则变化后的多边形边数为2n.
解：设原多边形边数为n，得(2n－2)×180°＝2 160°，
解得n＝7，∴原多边形的边数为7.
【教学说明】
这里可以设原多边形的边数为n，通过列方程来解决.在这里教师要向学生渗透方程的数学思想.
【例2】如果一个多边形的每个外角都为40°，求这个多边形的边数.
【分析】多边形的边数为n，则这个多边形有n个外角，而多边形的外角和是360°，从而可以构建方程求解.
解：设多边形的边数为n，得40n＝360°，
n＝9，答：这个多边形的边数是9.
【教学说明】
教师要引导学生回顾多边形的外角和是360°，然后利用外角和解决问题比较简单.同时教师也可以适时总结利用多边形的外角和解决问题.
(四) 随堂练习，当堂反馈
1. 七边形的内角和是______度。
2. 一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是______边形。
3. 正五边形的每个内角是______度。
4. （拓展）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形内角和为1800°，求原多边形的边数。
（通过练习及时巩固，教师巡视，对学困生进行个别指导）
(五) 课堂小结，梳理提升
提问：通过这节课的学习，你有什么收获？
· 知识方面：学会了多边形的内角和公式(n-2)×180°。
· 方法方面：学会了将未知的多边形问题转化为已知的三角形问题来解决（转化思想）；在探究过程中用到了从特殊到一般、类比、归纳等数学方法。
· 情感方面：感受到了数学探究的乐趣和严谨性。
(六) 布置作业，分层落实
必做题：课本习题19.1 第1、5题。巩固多边形内角和的基本计算。
选做题：
1. 一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为1000°，求这个内角的度数和多边形的边数。
2. 探究n边形共有多少条对角线。
（体现“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念）
六、板书设计
19.1 多边形的内角和
一、相关概念
多边形、对角线、正多边形
二、内角和公式
四边形： 2 × 180° = 360°
五边形： 3 × 180° = 540°
n边形： (n-2) × 180°
三、例题
例1：八边形内角和...
例2：设边数为n...
四、思想方法
转化思想：多边形 → 三角形
七、课后反思

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