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专题23.1多边形精讲精练优等生讲义
(12类题型精讲+压轴题+课后巩固)
课程导入
本节课主要针对第23.1四边形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了多边形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
知识梳理 · 核心概念与定理
多边形的概念及定理
多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。
分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3）
内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180°
外角和定理：任意多边形的外角和 = 360°
常考题型方法总结
题型分类 典型例题 解题思路
求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440°
已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14
正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72°
内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14
常用必记公式与结论
类别 公式 / 结论
对角线总数 n(n-3)/2
一个顶点出发对角线 n-3
一个顶点对角线分割三角形数 n-2
内角和 (n-2)×180°
外角和 360°
正多边形每个内角 (n-2)×180°/n
正多边形每个外角 360°/n
截一角边数变化 n → n-1, n, n+1
皮克公式（格点多边形） S = L/2 + N - 1
缺角/多角问题不等式 0 < (n-2)·180° - T < 180°
解题思想小结：分类讨论（截角、对角线位置）、转化思想（复杂角→多边形内角和）、方程建模（握手/对角线/边数）、特殊到一般（找规律）、数形结合（格点与面积）。
易错提醒
1. 外角和恒为360°，与边数无关
2. 求边数时方程要列正确，注意是(n-2)不是n
3. 多边形边数增加1，内角和增加180°
精讲提升 · 13类题型深度剖析
【题型1】多边形的概念与分类
定义 多边形：在同一平面，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
凸多边形 画出任意一边所在直线，整个图形都在这条直线同一侧；否则为凹多边形。
正多边形 各边相等，各内角相等。（缺一不可：菱形边相等但角不等，不是正多边形）
多边形元素：边、顶点、内角、对角线（连接不相邻顶点的线段）。
命名：按边数称为四边形、五边形……
常见反例：各边相等不一定正（菱形）；各角相等不一定正（矩形）。
【例题1】（下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．

【变式2】对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
【变式3】如图，在多边形中， 是多边形的边； 是多边形的顶点； 是多边形的对角线； 是多边形的内角．
【题型2】多边形截角后的边数问题
一个多边形截去一个角，新多边形边数可能：① 增加1 ② 不变 ③ 减少1
截角方式取决于切口位置（过顶点、过两边、过一边和另一顶点）。
例：原多边形为五边形，截角后可能得到四边形、五边形或六边形。
记忆模型
若新多边形边数为 k，则原多边形边数可能是 k-1，k，k+1（需满足凸性）。
例如新多边形为十五边形 原多边形可能为14、15或16边形。
【例题1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为 ．
【变式1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6
【例题2】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
【变式】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形
A．4或5 B．3或4
C．3或4或5 D．4或5或6
【题型3】多边形的周长
简单拼接：剪去小正方形（如四角各剪去小正方形）周长不变（平移性质）。
复杂图形利用勾股定理求斜边，再求和。
三角形三边关系：判断截角前后周长变化（两点之间线段最短 裁去角后周长变小）。
行程问题与周长结合：正五边形边长 = 总周长 ÷ 5，追及问题利用速度差求共边时刻。
【例题1】如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（ ）
A．10 B．22 C．24 D．32
【变式1】一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（ ）
A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变
【变式2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 ．（填“大”或“小”）
【变式3】在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上．
【题型4】网格中多边形面积比较
平移作图：对应点连线平行且相等，扫过区域常为平行四边形（或梯形），面积用割补或公式计算。
皮克定理（方格法）：S = L/2 + N - 1，其中L为边界格点数，N为内部格点数（方格边长为1）。
轴对称、平移变换中，利用面积和差求不规则图形面积。
示例
四边形边界格点 L=8，内部 N=18 S = 8/2 + 18 - 1 = 21。
【例题1】如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点．
(1)画出平移后的三角形；
(2)连接，那么与的数量和位置关系是___________；线段扫过的图形面积为__________________．
【变式1】如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上．
(1)与关于直线l对称，请画出；
(2)连接，，求四边形的面积．
【变式2】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，已知的顶点和点D都在格点上（小正方形的顶点称为格点），在方格纸内将经过一次平移后得到，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．
(1)请直接写出平移的方向，平移距离；
(2)画出平移后的；
(3)求线段平移至时扫过的图形面积．
【变式3】计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积．
【题型5】多边形对角线的条数问题
从 n 边形一个顶点出发的对角线有 (n-3) 条。
n 边形总对角线数 = n(n-3)/2。
正多边形顶点对角线问题：顶点数 n = 对角线条数 + 3。
实际问题（如传感器连接）转化为计算所有顶点对减去相邻边，即 n(n-1)/2 - n = n(n-3)/2。
【例题1】过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是 条．
【变式1】若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】过正多边形的一个顶点有4条对角线，若这个正多边形的周长为，则它的边长为 ．
【变式3】某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为 条．
【变式4】如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）
A．9条 B．10条 C．11条 D．12条
【题型6】对角线分成的三角形个数问题
过一个顶点作所有对角线：将 n 边形分成 (n-2) 个三角形。
多边形内一点与顶点连接：分成 n 个三角形。
一边上一点（非顶点）与其余顶点连接：分成 (n-1) 个三角形。（即作业13总结）
该规律广泛应用于三角剖分计数。
【例题1】过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【变式1】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【变式2】如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（ ）
A．个 B．个 C．n个 D．2n个
【变式3】如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【变式4】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是 ．
【题型7】多边形内角和问题
n 边形内角和 = (n-2) × 180°
已知内角度数（正多边形），可求边数：(n-2)·180°/n = 内角度数。
利用内角和列方程，可求多边形的边数或某个内角。
剪去一角（折线）求剩余部分内角和，常结合三角形内角和与四边形内角和转化。
【例题1】已知边形的每个内角都等于140°，则它的内角和是 ．
【变式1】如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形．
【变式1】如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】小红要用一块大三角形纸板制作拼图，制作方式如下：用剪刀沿一条不经过该图形任何顶点的直线将这块大三角形纸板剪成两块；再从分割得到的两块纸板中任选一块，沿一条不经过该图形任何顶点的直线将其剪成了两块，这样共有3块纸板：从这3块纸板中任选一块，重复上述操作，得到4块纸板；…，如此下去，她数了数共有8块纸板，其中三角形纸板有5块，四边形纸板有1块，五边形纸板有1块，那么剩下的1块纸板的边数是 ．
【题型8】多(少)算一个角问题
设多边形边数为 n，少算一个内角 x（0(n-2)·180° - x = 已知和；或内角和加上重复角。
常用不等式：0 < (n-2)·180° - 已知和 < 180° 确定 n。
然后计算缺失（或多加）的角 = 真实内角和 - 已知和（或反之）。
【例题1】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ．
【变式1】看下图解答问题．
(1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？
(2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？
【变式2】小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时：
(1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
(2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
【题型9】截角后的内角和问题
截去一个角，新多边形边数可能为 n-1, n, n+1，因此内角和相应为：
(n-3)·180°，(n-2)·180°，(n-1)·180°。
长方形锯掉一个角 三角形/四边形/五边形 内角和可能是 180°, 360°, 540°。
【例题1】如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为 ．
【变式1】将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
【变式2】如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影）
(1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了．
(2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
(3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了
(4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形．
【变式3】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度．
【题型10】复杂图形的内角和
常用技巧：连接两点构造三角形或四边形，利用“8字型”或“对顶角”转换角度，将多个角的和转化为已知多边形的内角和。
例如：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 常通过连接BF等，化为五边形内角和 540°。
【例题1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ．
【题型11】多边形外角和的实际应用
任意多边形外角和 = 360° （与边数无关）
可求正多边形每个外角 = 360°/n 内角 = 180° 外角。
行走转体问题：回到原方向转过的角度之和等于360°（相当于外角和）。
常与内角、邻补角结合，求几个外角的和。
【例题1】如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．无法比较
【变式1】某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °．
【变式3】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则 ．
【题型12】多边形内角和与外角和综合
常见等量关系：内角和 = k × 360° + 补偿角；或内角和 = 倍数 × 外角和 ± 某个角。
例如：内角和是外角和的 3 倍少 180° (n-2)·180 = 3×360 180。
也常求边数及总对角线数。
【例题1】已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为 ．
【变式1】若一个多边形的内角和是外角和的四倍，则这个多边形是 边形．
【变式2】如图，，是五边形的三个外角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数．
【变式4】下图为某公司的产品标志图案，求的度数和．
【题型13】创新及压轴题
握手问题与对角线类比
聚会握手：x人，次数 = x(x-1)/2。多边形对角线：n(n-3)/2。可类比列方程。
完美五边形 & 新定义“整数四边形”
整数四边形：边长及面积均为整数。处理方法：构造直角三角形，利用勾股及面积分割求整数面积。
三角剖分计数
在确定某条对角线的前提下，求剖分方式种数 —— 常转化为分类计数（类似卡特兰数思想，但本题限于枚举）。
正多边形内角与外轮廓拼接
如以角平分线为边作正多边形，周长表达式含整数约束，通过枚举内角取值求最值。
【例题1】某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人．
(1)填空：根据题意，可列方程： ；
(2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由．
【例题2】如图，求的度数．
【例题3】如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②．
(1)图②的外轮廓周长是_____．
(2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长．
【例题4】综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：
【观察发现】
①如图1，当时，线段，的数量关系为___________；___________°；
【类比探究】
②如图2，当时，和都是等边三角形，此时试探究线段与是什么位置关系？
【拓展延伸】
（2）如图3，四边形中，，连接，若，则四边形的面积为___________．
【例题5】数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究．
(1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由；
(2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积．
【例题6】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是 ．
随堂检测 · 5道精练
【练习1】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是 条．
【练习2】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是 ．
【练习3】已知一个多边形的边数为，若该多边形的内角和的比外角和多90°，求的值．
【练习4】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【练习5】下列命题：①算术平方根等于本身的数是0；②多边形的外角和是；③两点之间垂线段最短；④有理数与无理数的积是无理数．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
课后巩固 · 16道作业精编
【作业1】“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【作业2】已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　）
A．9条 B．8条 C．7条 D．6条
【作业3】一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【作业4】从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成8个三角形，则这是 边形．
【作业5】已知一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形的边数是 ．
【作业6】从七边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将七边形分成个三角形，则 ．
【作业7】从七边形的一个顶点出发，可以画出所有对角线的条数是 条．
【作业8】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 边形，该多边形有 条对角线．
【作业9】如图，等于（ ）
A． B． C． D．
【作业10】如图，的度数为 ．
【作业11】如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数．
【作业12】如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和．
(1)求四边形和五边形的内角和；
(2)如果一个n边形的内角和为，求n的值．
【作业13】多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了．
图①被分割成2个小三角形；
图②被分割成3个小三角形；
图③被分割成4个小三角形．
(1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数．
(2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图）
【作业14】已知正x边形的内角和为，边长为2．
(1)求正x边形的周长；
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值．
【作业15】如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．
(1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形；
(2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数；
(3)求边形的对角线条数．
【作业16】【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．
【规律总结】（1）填写下表：
五边形内点的个数 1 2 3 4 …
分割成的三角形的个数 5 7 9 …
【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由．专题23.1多边形精讲精练优等生讲义
(12类题型精讲+压轴题+课后巩固)
（答案详解版）
课程导入
本节课主要针对第23.1四边形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了多边形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
知识梳理 · 核心概念与定理
多边形的概念及定理
多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。
分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3）
内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180°
外角和定理：任意多边形的外角和 = 360°
常考题型方法总结
题型分类 典型例题 解题思路
求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440°
已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14
正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72°
内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14
常用必记公式与结论
类别 公式 / 结论
对角线总数 n(n-3)/2
一个顶点出发对角线 n-3
一个顶点对角线分割三角形数 n-2
内角和 (n-2)×180°
外角和 360°
正多边形每个内角 (n-2)×180°/n
正多边形每个外角 360°/n
截一角边数变化 n → n-1, n, n+1
皮克公式（格点多边形） S = L/2 + N - 1
缺角/多角问题不等式 0 < (n-2)·180° - T < 180°
解题思想小结：分类讨论（截角、对角线位置）、转化思想（复杂角→多边形内角和）、方程建模（握手/对角线/边数）、特殊到一般（找规律）、数形结合（格点与面积）。
易错提醒
1. 外角和恒为360°，与边数无关
2. 求边数时方程要列正确，注意是(n-2)不是n
3. 多边形边数增加1，内角和增加180°
精讲提升 · 13类题型深度剖析
【题型1】多边形的概念与分类
定义 多边形：在同一平面，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
凸多边形 画出任意一边所在直线，整个图形都在这条直线同一侧；否则为凹多边形。
正多边形 各边相等，各内角相等。（缺一不可：菱形边相等但角不等，不是正多边形）
多边形元素：边、顶点、内角、对角线（连接不相邻顶点的线段）。
命名：按边数称为四边形、五边形……
常见反例：各边相等不一定正（菱形）；各角相等不一定正（矩形）。
【例题1】（下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】本题考查凸多边形的定义，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形．根据凸多边形的定义进行判断即可．
【详解】解：选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，
只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．
故选：B．
【变式1】如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．

【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解．
【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形；
故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形．
【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形．
【变式2】对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
【答案】A
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】A. 由正多边形的性质可得
B. 举反例判断即可
C. 举反例判断即可
D. 举反例判断即可
【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确
B. 菱形不是正方形，错误
C. 矩形不是正方形，错误
D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键．
【变式3】如图，在多边形中， 是多边形的边； 是多边形的顶点； 是多边形的对角线； 是多边形的内角．
【答案】 ，，，， 点 ，，，，
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可．
【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边；
点是多边形的顶点；
是多边形的对角线；
，，，，是多边形的内角．
故答案为：，，，，；点；； ，，，，．
【题型2】多边形截角后的边数问题
一个多边形截去一个角，新多边形边数可能：① 增加1 ② 不变 ③ 减少1
截角方式取决于切口位置（过顶点、过两边、过一边和另一顶点）。
例：原多边形为五边形，截角后可能得到四边形、五边形或六边形。
记忆模型
若新多边形边数为 k，则原多边形边数可能是 k-1，k，k+1（需满足凸性）。
例如新多边形为十五边形 原多边形可能为14、15或16边形。
【例题1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为 ．
【答案】3
【知识点】多边形截角后的边数问题
【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3．
【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为；
已知新多边形为五边形，即新边数为5；
因此，，解得；或；或，解得；
所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3；
故答案为：3
【变式1】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】D
【知识点】多边形截角后的边数问题
【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题．
【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
则多边形的边数是4或5或6，
故选：D．
【例题2】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
【答案】14或15或16
【知识点】多边形截角后的边数问题
【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．
【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，
∴此时原多边形的边数为15；
如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．
故答案为：14或15或16．
【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
【变式】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形
A．4或5 B．3或4
C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】C
【知识点】多边形截角后的边数问题
【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．
【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形．
故选：C．
【题型3】多边形的周长
简单拼接：剪去小正方形（如四角各剪去小正方形）周长不变（平移性质）。
复杂图形利用勾股定理求斜边，再求和。
三角形三边关系：判断截角前后周长变化（两点之间线段最短 裁去角后周长变小）。
行程问题与周长结合：正五边形边长 = 总周长 ÷ 5，追及问题利用速度差求共边时刻。
【例题1】如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（ ）
A．10 B．22 C．24 D．32
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、多边形的周长
【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形．
根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：根据长方形的性质得，
，，，
根据勾股定理得，
∴梯形的周长为，
故选：D．
【变式1】一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（ ）
A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变
【答案】D
【知识点】多边形的周长
【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案．
【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变．
故选D．
【变式2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 ．（填“大”或“小”）
【答案】小
【知识点】三角形三边关系的应用、多边形的周长
【分析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可．
本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为，
故
，
由，得，
得，
该六边形的周长一定比原五边形的周长小．
故答案为：小．
【变式3】在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上．
【答案】分钟
【知识点】多边形的周长、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进．
根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案．
【详解】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米，
设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，
根据题意得：，
解得：，
从出发开始计时，经过分钟，小李行进，
小张行进，
，
，
如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处，
此时，点、分别是边、的中点，
小李从到用时 ，
小张从N到E用时，
，
小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上，
小李和小张首次处于同一段步道上，用时，
故答案为：分钟．
【题型4】网格中多边形面积比较
平移作图：对应点连线平行且相等，扫过区域常为平行四边形（或梯形），面积用割补或公式计算。
皮克定理（方格法）：S = L/2 + N - 1，其中L为边界格点数，N为内部格点数（方格边长为1）。
轴对称、平移变换中，利用面积和差求不规则图形面积。
示例
四边形边界格点 L=8，内部 N=18 S = 8/2 + 18 - 1 = 21。
【例题1】如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点．
(1)画出平移后的三角形；
(2)连接，那么与的数量和位置关系是___________；线段扫过的图形面积为__________________．
【答案】(1)见解析
(2)，；10
【知识点】网格中多边形面积比较、平移(作图)、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移作图、平移的性质等知识点，正确作出图形是解答本题的关键．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点，然后顺次连接即可解答；
（2）利用平移变换的性质以及平行四边形的面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：由平移的性质可得：与的数量和位置关系是、．
∵线段扫过的图形的面积即为四边形的面积，
∴四边形的面积．
【变式1】如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上．
(1)与关于直线l对称，请画出；
(2)连接，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)18
【知识点】画轴对称图形、网格中多边形面积比较
【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是作出对称点的位置．
（1）先作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，然后再顺次连接即可；
（2）根据梯形面积公式求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：．
【变式2】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，已知的顶点和点D都在格点上（小正方形的顶点称为格点），在方格纸内将经过一次平移后得到，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．
(1)请直接写出平移的方向，平移距离；
(2)画出平移后的；
(3)求线段平移至时扫过的图形面积．
【答案】(1)平移的方向：点A到点D的方向；平移的距离是线段的长度：
(2)见解析
(3)12
【知识点】网格中多边形面积比较、图形的平移、平移(作图)、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查平移变换、利用网格面积等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由点A的对应点为点D可得平移方向，再根据勾股定理求出的长即为平移距离；
（2）先根据平移的性质确定点E、F，然后顺次连接即可；
（3）直接利用平行四边形的面积公式即可．
【详解】（1）解：∵点A的对应点为点D，
∴平移的方向：点A到点D的方向，
∵
∴平移的距离是线段的长度．
综上，平移的方向：点A到点D的方向；平移的距离是线段的长度：．
（2）解：如图：即为所求．
（3）解：线段平移至时扫过的图形面积为．
【变式3】计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积．
【答案】
【知识点】网格中多边形面积比较
【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可．
【详解】解：由图形可知，，
．
【题型5】多边形对角线的条数问题
从 n 边形一个顶点出发的对角线有 (n-3) 条。
n 边形总对角线数 = n(n-3)/2。
正多边形顶点对角线问题：顶点数 n = 对角线条数 + 3。
实际问题（如传感器连接）转化为计算所有顶点对减去相邻边，即 n(n-1)/2 - n = n(n-3)/2。
【例题1】过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是 条．
【答案】
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题关键．根据“边形从一个顶点出发可引出条对角线”列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
过多边形的一个顶点能引出条对角线，
，
解得，
故答案为：．
【变式1】若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理，
利用多边形外角和恒为的性质，结合内角和公式建立方程求边数n，再计算从一个顶点引出的对角线条数．
【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得
，
解得，
从一个顶点引出的对角线条数为．
故选：A．
【变式2】过正多边形的一个顶点有4条对角线，若这个正多边形的周长为，则它的边长为 ．
【答案】9
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据正多边形从一个顶点出发的对角线数为，建立方程求出边数，再利用周长公式计算边长即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得，
解得．
∵正多边形的周长为，
∴边长为．
故答案为：9
【变式3】某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为 条．
【答案】
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键．
【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道，
∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）．
故答案为：．
【变式4】如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）
A．9条 B．10条 C．11条 D．12条
【答案】A
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
五边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
六边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
…，
∴n边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
故选：A．
【题型6】对角线分成的三角形个数问题
过一个顶点作所有对角线：将 n 边形分成 (n-2) 个三角形。
多边形内一点与顶点连接：分成 n 个三角形。
一边上一点（非顶点）与其余顶点连接：分成 (n-1) 个三角形。（即作业13总结）
该规律广泛应用于三角剖分计数。
【例题1】过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【答案】B
【知识点】对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题主要考查了多边形对角线的条数，
根据多边形对角线性质，从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形．
【详解】解：
∵从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，且题目中分成5个三角形，
∴，
解得，
∴这个多边形是七边形.
故选：B．
【变式1】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【答案】B
【知识点】对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可．
【详解】解：如下图，共有10种，
故选：B．
【变式2】如图，将四边形、五边形、六边形的纸片沿对角线剪成若干个三角形纸片，照此方法，将一个n边形纸片剪开，所得三角形纸片共有（ ）
A．个 B．个 C．n个 D．2n个
【答案】A
【知识点】对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题主要考查了多边形的对角线分割成三角形的规律，熟练掌握从n边形一个顶点出发作对角线可将n边形分成个三角形是解题的关键．
先观察四边形、五边形、六边形被分割成三角形的数量，找出规律，再推导出n边形的一般结论．
【详解】解：四边形：（个），
五边形：（个），
六边形：（个），
，
∴n边形：（个），
故选：A．
【变式3】如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】A
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式．
找出图形规律的代数式，然后求解即可．
【详解】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；
过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；
过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，
……
过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形，
∴，
解得，
故选：A．
【变式4】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是 ．
【答案】2028
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题主要考查了多边形的对角线、一元一次方程的应用等知识点，掌握从n边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形是解题的关键．
设多边形的边数为n，再根据多边形对角线的特点列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据多边形性质，从一个顶点出发作对角线，最多分成个三角形．
由题意可得，，解得：．
故答案为：2028．
【题型7】多边形内角和问题
n 边形内角和 = (n-2) × 180°
已知内角度数（正多边形），可求边数：(n-2)·180°/n = 内角度数。
利用内角和列方程，可求多边形的边数或某个内角。
剪去一角（折线）求剩余部分内角和，常结合三角形内角和与四边形内角和转化。
【例题1】已知边形的每个内角都等于140°，则它的内角和是 ．
【答案】
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；
根据多边形每个内角等于，利用内角和公式求出边数n，再计算内角和．
【详解】解：设多边形的边数为n，
则每个内角为，
解得，
内角和为．
故答案为：．
【变式1】如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题
【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
则，
故选：B．
【例题2】一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形．
【答案】六/6
【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
设多边形的边数为n，利用内角和公式和外角和定理建立方程，求解n的值.
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意，内角和是外角和的2倍，得，
解得．
故答案为：六.
【变式1】如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题主要考查了多边形内角和的知识，首先确定五边形的内角和为，然后根据求解即可．
【详解】解：根据题意，图中建筑可近似地看成一个五边形，
则其内角和为，
∵，，
∴
．
故选：C．
【变式2】小红要用一块大三角形纸板制作拼图，制作方式如下：用剪刀沿一条不经过该图形任何顶点的直线将这块大三角形纸板剪成两块；再从分割得到的两块纸板中任选一块，沿一条不经过该图形任何顶点的直线将其剪成了两块，这样共有3块纸板：从这3块纸板中任选一块，重复上述操作，得到4块纸板；…，如此下去，她数了数共有8块纸板，其中三角形纸板有5块，四边形纸板有1块，五边形纸板有1块，那么剩下的1块纸板的边数是 ．
【答案】7
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形及多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式及每剪一次增加的度数．
设未知纸板边数为m，则内角和为，求出其它图形的内角和，然后根据内角和列出方程求解即可．
【详解】解：初始为1块三角形纸板，内角和，8块纸板图形总内角和为，
5块三角形内角和为，
1块四边形的内角和为，
1块五边形的内角和为，
设未知纸板边数为m，则内角和为，根据题意得，
，
解得，
∴剩下的1块纸板的边数是7，
故答案为：7．
【题型8】多(少)算一个角问题
设多边形边数为 n，少算一个内角 x（0(n-2)·180° - x = 已知和；或内角和加上重复角。
常用不等式：0 < (n-2)·180° - 已知和 < 180° 确定 n。
然后计算缺失（或多加）的角 = 真实内角和 已知和（或反之）。
【例题1】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ．
【答案】/度
【知识点】多（少）算一个角问题
【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数．
【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为．
由于少算一个内角，得，其任一内角满足．
解不等式，
得．
内角和为，
故．
故答案为：．
【变式1】看下图解答问题．
(1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？
(2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？
【答案】(1)见解析
(2)十三边形，内角和，外角
【知识点】多边形内角和问题、多（少）算一个角问题
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：．
（1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能；
（2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和．
【详解】（1）解：∵边形的内角和是，
∴多边形的内角和一定是的整数倍．
∵，
∴小明说多边形的内角和不可能是．
（2）解：．
，
．
故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是．
【变式2】小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时：
(1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
(2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
【答案】(1)；
(2)
【知识点】多（少）算一个角问题、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键．
(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解；
(2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解．
【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件，
得．
因为n为自然数，，且，
故取，
得．
方法二：由条件，得，
且n为自然数，
故．
（2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为，
则由条件，得．
因为n为自然数，，且，
故取，得．
方法二：由条件，得，
且n为自然数，
故．
【题型9】截角后的内角和问题
截去一个角，新多边形边数可能为 n-1, n, n+1，因此内角和相应为：
(n-3)·180°，(n-2)·180°，(n-1)·180°。
长方形锯掉一个角 三角形/四边形/五边形 内角和可能是 180°, 360°, 540°。
【例题1】如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为 ．
【答案】
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数．
【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式，
解得．
因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了，
所以原多边形边数为．
故答案为：．
【变式1】将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
【答案】D
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键．
长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决．
【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，
则剩下的多边形木板的内角和是或或．
故选：D．
【变式2】如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影）
(1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了．
(2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
(3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了
(4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)11或12或13
【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题
【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可；
（1）使得原多边形增加一条边，即可求解；
（2）不改变原多边形的边数，即可求解；
（3）使得原多边形减少一条边，即可求解；
（4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
（2）解：由题意得
（3）解：由题意得
（4）解：设新多边形的边数为n，
则，
解得：，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为，
故答案为：11或12或13．
【变式3】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度．
【答案】180
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
根据n边形的内角和公式求解作差即可．
【详解】解：五边形的内角和为
将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6，
则，
∴内角和增加
故答案为：180．
【题型10】复杂图形的内角和
常用技巧：连接两点构造三角形或四边形，利用“8字型”或“对顶角”转换角度，将多个角的和转化为已知多边形的内角和。
例如：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 常通过连接BF等，化为五边形内角和 540°。
【例题1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复杂图形的内角和
【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答．
【详解】解：如图，连接，记与交于点，
，，
，
又，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式1】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ．
【答案】
【知识点】复杂图形的内角和
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得；
（2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得．
【详解】解：（1）∵在中，，
在中，，
∴，
故答案为；
（2）如图，∵， ，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
【变式2】如图，，则 ．
【答案】240°
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握任意多边形的外角和都是．
根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可．
【详解】解：如图：
∵四边形的外角和是，
∴，
∵，
，
∴，
故答案为：．
【题型11】多边形外角和的实际应用
任意多边形外角和 = 360° （与边数无关）
可求正多边形每个外角 = 360°/n 内角 = 180° 外角。
行走转体问题：回到原方向转过的角度之和等于360°（相当于外角和）。
常与内角、邻补角结合，求几个外角的和。
【例题1】如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．无法比较
【答案】A
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键．
多边形的外角和为，与四边形的外角和均为，即可作答．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴与四边形的外角和与均为，
∴，
故选：A．
【变式1】某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键．
根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可．
【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了，
由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了，
则他在A处转过的度数为
故选：D．
【变式2】如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °．
【答案】
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可．
【详解】解：由多边形的外角和等于可知，，
故答案为：．
【变式3】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则 ．
【答案】/340度
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案．
【详解】解：由条件可知，
∵，
∴；
故答案为：．
【题型12】多边形内角和与外角和综合
常见等量关系：内角和 = k × 360° + 补偿角；或内角和 = 倍数 × 外角和 ± 某个角。
例如：内角和是外角和的 3 倍少 180° (n-2)·180 = 3×360 180。
也常求边数及总对角线数。
【例题1】已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，利用正多边形的外角和为360°，每个外角相等，计算边数即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵正多边形的外角和为，每个外角为，
∴边数为：，
故答案为：．
【变式1】若一个多边形的内角和是外角和的四倍，则这个多边形是 边形．
【答案】十
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题主要考查了多边形内角和公式和外角和．设多边形的边数为n，利用多边形内角和公式和外角和定理列方程求解．
【详解】解：设多边形的边数为n，则内角和为，
∵一个多边形的内角和是外角和的四倍，
∴，
解得：，
即这个多边形是十边形．
故答案为：十
【变式2】如图，，是五边形的三个外角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题.
先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：，
∵
，
∵，
∴；
故选：A．
【变式3】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数．
【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式 是解题的关键．
先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数．
【详解】解：设这个多边形的边数为．
由题意，得，
解得，即这个多边形的边数为．
总对角线条数为．
【变式4】下图为某公司的产品标志图案，求的度数和．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题
【分析】根据三角形外角的性质可得，，再根据五边形内角和解答即可．
【详解】解：如图所示．，，
．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和五边形内角和．解决问题的关键是利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到五边形中，利用五边形的内角和定理解答．
【题型13】创新及压轴题
握手问题与对角线类比
聚会握手：x人，次数 = x(x-1)/2。多边形对角线：n(n-3)/2。可类比列方程。
完美五边形 & 新定义“整数四边形”
整数四边形：边长及面积均为整数。处理方法：构造直角三角形，利用勾股及面积分割求整数面积。
三角剖分计数
在确定某条对角线的前提下，求剖分方式种数 —— 常转化为分类计数（类似卡特兰数思想，但本题限于枚举）。
正多边形内角与外轮廓拼接
如以角平分线为边作正多边形，周长表达式含整数约束，通过枚举内角取值求最值。
【例题1】某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人．
(1)填空：根据题意，可列方程： ；
(2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由．
【答案】(1)
(2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、多边形对角线的条数问题、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可．
（2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，
列出方程为：，
故答案为：．
（2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27
依题意可以得到方程
化简为
解得或
因为为正整数，所以
答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9．
【例题2】如图，求的度数．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题
【分析】连接，由三角形内角和定理得，从而所求角的和转化为求五边形的内角和问题解决．
本题主要考查多边形内角和、三角形内角和定理，将所求角度和转化为多边形内角和是解题的关键．
【详解】解：连接，如图．
，
．
即．
【例题3】如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②．
(1)图②的外轮廓周长是_____．
(2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长．
【答案】(1)14
(2)21
【知识点】多边形的周长、多边形内角和与外角和综合
【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长．
（2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长．
【详解】（1）解：图②中，，因此： 以 为内角的正多边形是正方形，
以为内角的正多边形是正八边形，
两个正八边形各贡献条边，共，
正方形贡献条边，
总周长：．
（2）解：设，
以为内角的正多边形的边数为，
以，为内角的正多边形的边数均为，
会标的外轮廓周长是．
根据题意可知与均为整数，
的值只能为，，，．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键．
【例题4】综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：
【观察发现】
①如图1，当时，线段，的数量关系为___________；___________°；
【类比探究】
②如图2，当时，和都是等边三角形，此时试探究线段与是什么位置关系？
【拓展延伸】
（2）如图3，四边形中，，连接，若，则四边形的面积为___________．
【答案】（1）①，；②；（2）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）①由题意可得，证明，得出，，由等腰直角三角形的性质可得，从而即可得出结果；②由题意可得，由等边三角形的性质可得,再证明，得出，从而得出，即可得出结果；
（2）过点作交的延长线于点，证明，得出，，再根据，计算即可得出结果．
【详解】解：（1）①由题意可得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴；
②由题意可得，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴,
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点作交的延长线于点，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
．
【例题5】数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形，围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究．
(1)如图，四边形中，，，，，．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由；
(2)创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积．
【答案】(1)正确，理由如下
(2)72；54；作图见详解
【知识点】用勾股定理解三角形、多边形的周长
【分析】本题考查了学生的探究能力，对于新的定义“整数四边形”的理解与应用，同时考查了勾股定理，三角形面积计算，图形分割，本题的关键在于对新定义的理解和对面积的分割．
（1）利用直角，连接，将四边形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，利用已知数据将两个三角形面积面积计算得出面积，判断四边为整数，面积为整数，即为整数四边形．
（2）根据整数四边形满足的条件去整理思路，原整数四边形周长为18，现要求为36，不妨将边长都扩大两倍进行尝试，四边分别为，验证面积，符合题意；另外一组设计也可利用常见勾股数先构造直角三角形，另外的两边可根据周长慢慢推测，组合满足面积为整数，边长为整数，周长为36的四边形．
【详解】（1）连接，过点作于点
在中
∵
∴三角形为等腰三角形．
又∵
∴
∴在中
∴四边形四边为整数，面积为整数，是整数四边形．
（2）如图①：面积为72．
面积求解如下：
易证：
如图②：面积为54．
面积求解如下：
连接，过点作于，
设
【例题6】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是 ．
【答案】
【知识点】对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为．
【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质，
故答案为：．
随堂检测 · 5道精练
【练习1】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是 条．
【答案】27
【知识点】对角线分成的三角形个数问题、多边形对角线的条数问题
【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式．
根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算．
【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个，
已知分成7个三角形，得，
解得，
n边形的对角线条数公式为，代入，得，
故答案为：27．
【练习2】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是 ．
【答案】3或4或5
【知识点】多边形截角后的边数问题
【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．
【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5．
故答案为：3或4或5．
【练习3】已知一个多边形的边数为，若该多边形的内角和的比外角和多90°，求的值．
【答案】
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，解一元一次方程，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．
根据多边形内角和公式及多边形外角和为，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得．
【练习4】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【答案】B
【知识点】对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可．
【详解】解：如下图，共有10种，
故选：B．
【练习5】下列命题：①算术平方根等于本身的数是0；②多边形的外角和是；③两点之间垂线段最短；④有理数与无理数的积是无理数．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】判断命题真假、求一个数的算术平方根、无理数、多边形内角和与外角和综合
【分析】根据算术平方根的性质，多边形外角和的性质，两点之间线段最短的性质及有理数与无理数的乘法，依次判断即可．
【详解】解：算术平方根等于本身的数是0和1，命题①是假命题．
任意多边形的外角和都为，命题②是真命题．
两点之间线段最短，垂线段最短是点到直线的距离性质，命题③是假命题．
有理数0与无理数的积是0，0是有理数，命题④是假命题．
综上，真命题只有1个，
故选A．
课后巩固 · 16道作业精编
【作业1】“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和公式为(为多边形的边数，且是大于等于3的整数)是解题的关键，本题据此求解即可．
【详解】解：由多边形内角和公式可知，
五边形的内角和为，
故选：C．
【作业2】已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　）
A．9条 B．8条 C．7条 D．6条
【答案】B
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可．
【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（）
又∵该多边形是十一边形，即
∴过其一个顶点的对角线数量为条
故选：B
【作业3】一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查多边形对角线的计算，利用n边形从一个顶点出发引出对角线的条数公式，代入计算即可得出结果．
【详解】解：∵对于n边形，从一个顶点出发可引出的对角线条数为，
又∵该多边形为七边形，即，
∴代入得．
故选：C．
【作业4】从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成8个三角形，则这是 边形．
【答案】十/10
【知识点】对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题主要考查了多边形对角线的性质，熟练掌握从边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形这一规律是解题的关键．利用多边形从一个顶点出发的对角线分成三角形个数的公式，建立方程求解多边形的边数．
【详解】解：设多边形为n边形，
则，
，
，
故答案为：十．
【作业5】已知一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形的边数是 ．
【答案】
【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形内角和问题
【分析】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键，根据内角和是外角和的倍列出方程，进而求出多边形的边数．
【详解】解：多边形的外角和为，内角和为，
由题意，内角和是外角和的倍，得，
化简得，
两边除以，得，
解得．
故答案为：．
【作业6】从七边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将七边形分成个三角形，则 ．
【答案】9
【知识点】对角线分成的三角形个数问题、多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查多边形的性质，根据从多边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，将多边形分为个三角形，求出，，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴．
故答案为：9．
【作业7】从七边形的一个顶点出发，可以画出所有对角线的条数是 条．
【答案】4
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】此题考查了多边形的对角线，根据多边形对角线的性质，从n边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为条，其中n为多边形的边数，据此求解即可．
【详解】解：七边形有7个顶点，从一个顶点出发，除去自身和两个相邻顶点，剩余4个顶点，每个顶点连接一条对角线，
因此可以画出4条对角线．
故答案为：4．
【作业8】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 边形，该多边形有 条对角线．
【答案】 七 14
【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点得出，求出n的值，再代入，计算即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，
解得，
所以．
即这个多边形是七边形，该多边形有14条对角线．
故答案为：七；14．
【作业9】如图，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复杂图形的内角和
【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【作业10】如图，的度数为 ．
【答案】/360度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、复杂图形的内角和
【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴，
∴．
故答案为：．
【作业11】如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数．
【答案】
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和是是解题的关键．
先根据多边形的外角和定理求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数．
【详解】解：，
，
．
【作业12】如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和．
(1)求四边形和五边形的内角和；
(2)如果一个n边形的内角和为，求n的值．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握边形内角和公式为．
（1）直接根据多边形内角和公式求解即可；
（2）由多边形内角和公式得到方程，即可求解．
【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为；
（2）解：由题意得，，
解得．
【作业13】多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了．
图①被分割成2个小三角形；
图②被分割成3个小三角形；
图③被分割成4个小三角形．
(1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数．
(2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图）
【答案】(1)三角形的个数分别是4个，5个，6个，见解析
(2)第一种分割法把边形分割成了个小三角形；第二种分割法把边形分割成了个小三角形；第三种分割法把边形分割成了个小三角形．
【知识点】对角线分成的三角形个数问题、图形类规律探索
【分析】本题是一道按照已知的分割方法将多边形分割成三角形的题目，根据分割成的三角形的个数找到规律．
从已知分割图中，图①是从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割．
（1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个．
（2）根据这样的两个特殊图形，发现：第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数．
【详解】（1）解：仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图，
分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个；
（2）解：结合两个特殊图形，可以发现：
第一种分割法把边形分割成了个小三角形；
第二种分割法把边形分割成了个小三角形；
第三种分割法把边形分割成了个小三角形．
【作业14】已知正x边形的内角和为，边长为2．
(1)求正x边形的周长；
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值．
【答案】(1)
(2)5
【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题主要考查多边形内角和外角和，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键．
（1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数．
（2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得．
正x边形的周长为；
故答案为：．
（2）解：正x边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
故答案为：5．
【作业15】如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．
(1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形；
(2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数；
(3)求边形的对角线条数．
【答案】(1)
(2)122
(3)
【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据找到的规律即可解题；
（2）由（1）中的结论解题；
（3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题．
【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形，
五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形，
六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形，
∴边形可以分割成个三角形，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，，
∴；
（3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线，
∴对角线的总数为条．
【作业16】【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．
【规律总结】（1）填写下表：
五边形内点的个数 1 2 3 4 …
分割成的三角形的个数 5 7 9 …
【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）11
（2）能，此时五边形内部有1011个点
【知识点】对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键；
（1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式；
（2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值．
【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：；
点的个数为2时：三角形的个数为：；
点的个数为3时：三角形的个数为：；
则点的个数为4时：三角形的个数为：；
点的个数为n时：三角形的个数为：．
（2）原五边形能被分割成2025个三角形．
由题意，得，
解得（符合题意），
∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点．

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