资源简介

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专题23.3.3正方形的性质及判定 优等生讲义
(15大考点精讲+压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标
理解并掌握 正方形的定义、性质与判定方法
熟练运用 正方形的边、角、对角线性质解决几何问题
掌握 正方形与折叠、旋转、动点问题的综合应用
灵活运用 勾股定理、全等三角形、方程思想求解线段长度
体会 分类讨论、转化思想在正方形综合题中的应用
核心思想：正方形既是矩形又是菱形，具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
知识梳理 · 核心概念与定理
☆正方形定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
☆正方形性质
具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
四条边都相等，四个角都是直角（90°）
对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形是轴对称图形（四条对称轴），也是中心对称图形
正方形面积 = 边长 = 对角线乘积的一半
☆正方形判定
对角线相等的菱形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
☆常用结论与公式
正方形边长与对角线的关系：对角线 = 边长 × √2
正方形内接等腰直角三角形、全等三角形常见
正方形中常构造弦图、赵爽弦图证明勾股定理
核心考点 · 15类题型精讲
【考点1】正方形的判定定理理解
知识点/方法
判定方法：从矩形、菱形、平行四边形角度出发，掌握正方形判定的几种等价条件。
常见反例：对角线相等但不垂直的四边形不一定是正方形（需先证平行四边形）。
中点四边形：顺次连接矩形各边中点得到菱形，不是正方形。
1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形
D．平行四边形是轴对称图形
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么：
①；
②四边形是平行四边形；
③当时，四边形是菱形；
④当分别是中点时，四边形是正方形．
则下列结论中正确的有 ．
3．（12-13九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________．
【考点2】证明四边形是正方形
知识点/方法
判定方法1：先证矩形，再证一组邻边相等或对角线垂直。
判定方法2：先证菱形，再证一个角是直角或对角线相等。
判定方法3：对角线相等且垂直的平行四边形是正方形。
常见辅助线：连接对角线，利用中点构造平行四边形。
5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．
(3)当时，求证：四边形是正方形．
6．（2024八年级下·上海·专题练习）已知，如图，四边形是菱形，是锐角，于点，于点，在边上取点，使得，在边上取点，使得．连接、、、．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若度，求证：四边形是正方形．
7．（22-23八年级下·上海黄浦·月考）如图，四边形是矩形，E是对角线上一点，且．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)若F是对角线上一点，且，求证： ．
【考点3】添一个条件使四边形是正方形
知识点/方法
从矩形的角度：添加一组邻边相等或对角线垂直。
从菱形的角度：添加一个直角或对角线相等。
从对角线的角度：添加对角线相等且垂直。
常见错误：只加对角线相等而忽略其他条件。
8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ）

A．且 B．且和互相平分
C．且 D．且
9．（24-25九年级下·上海·月考）如图，在四边形中，，，交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的有（ ）个．
①添加“”，则四边形是菱形
②添加“”，则四边形是矩形
③添加“”，则四边形是菱形
④添加“”，则四边形是正方形
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（24-25九年级上·上海·月考）在△中，，边上的高，沿图中线段、将△剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形，如图1所示．请你解决如下问题：
已知：如图2，在△中，边上的高．请你设计两种不同的分割方法，将△沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形，并说明分割线的做法与拼接方法．
【考点4】正方形性质理解
知识点/方法
对角线性质：对角线相等、垂直、平分，构造等腰直角三角形。
边角性质：四边相等，四角90°，常用于证明三角形全等。
对称性：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形。
中点四边形：顺次连接正方形各边中点得到正方形（面积减半）。
11．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在正方形中，、分别为边、的中点，以点为圆心、的长为半径画弧交线段于点，直线交于点，如果，那么正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为 ．

13．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想
小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；
小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；
请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由．
【考点5】根据正方形的性质求角度
知识点/方法
等腰直角三角形：正方形对角线分出的三角形是等腰直角三角形。
等边对等角：由边相等推出角相等。
三角形内角和：结合内角和定理求角度。
全等三角形：通过全等得到对应角相等。
旋转性质：旋转前后对应角相等。
14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知是以正方形的对角线为一边的等边三角形，，垂足为点，那么的度数是 ．
15．（23-24八年级下·上海·期末）如果把正方形 绕点 旋转得到正方形，点落在对角线上，点落在 的延长线上，那么 度．
16．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．

(1)如图，当点在边上时，求证：；
(2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域；
(3)若，求BM的长．
【考点6】根据正方形的性质求线段长
知识点/方法
勾股定理：在直角三角形中利用两边求第三边。
对角线公式：对角线 = 边长 × √2。
方程思想：设未知数，利用勾股或面积列方程。
全等三角形：通过全等转化线段相等。
中点性质：中点连线是中位线，等于底边一半。
垂线段最短：求最值时考虑垂线段。
17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ．
18．（25-26八年级上·上海崇明·期末）将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是 ．
19．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
20．（22-23九年级下·上海·期中）如图，正方形的边长等于，是正三角形，则 ．
21．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）正方形的边长是，点在边上，且，P是正方形边上的一个动点，连接，当时，的长是 ．
22．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形和正方形有公共顶点O，，连接．

(1)如图1，线段与线段有交点H，求证：；
(2)如图2，点E在的延长线上，求的长；
(3)边与交于点G，当C，F，E三点共线时，请直接写出的值．
【考点7】根据正方形的性质求面积
知识点/方法
面积公式：S = 边长 = 对角线乘积的一半。
等积变形：利用同底等高转化面积。
面积和差：整体减部分求阴影面积。
比例法：面积比等于对应线段比。
弦图面积关系：赵爽弦图内外正方形面积关系。
23．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为 ．
24．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如图是一个正方形，甲和乙分别是等腰三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲的面积是乙的面积 ．（填最简分数）
25．（14-15九年级上·黑龙江绥化·期末）将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ．
26．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．

(1)求证：；
(2)连接、，如果的面积为，求的长．
【考点8】正方形折叠问题
知识点/方法
折叠性质：对应边相等，对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。
勾股定理：在直角三角形中列方程求线段长。
全等三角形：折叠前后图形全等，可证三角形全等。
等腰三角形：折叠常产生等腰三角形。
27．（21-22九年级下·上海·自主招生）边长为2的正方形中，M是的中点，以为折痕将翻折，使B落在E处，延长交于F，求的长为（ ）
A． B． C．1 D．
28．（23-24九年级下·上海静安·月考）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，连接，点F在边上，连接，把沿翻折，点A恰好落在上的点G处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是 ．（填序号）
29．（23-24九年级下·上海·月考）如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，，F是边上一点，将沿翻折，使点E的对应点G落在边上，连接交折痕于点H，则的长为 ．
【考点9】求正方形重叠部分面积
知识点/方法
全等三角形：证明三角形全等，将重叠部分面积转化为规则图形面积。
正方形性质：利用对角线互相垂直平分，构造全等三角形。
旋转不变性：旋转过程中重叠部分面积为定值。
30．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．1
31．（16-17九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ．
【考点10】根据正方形的性质证明
知识点/方法
全等三角形：利用边角边、角边角等证明三角形全等。
线段相等：通过全等转化线段相等。
垂直证明：利用对角线垂直或勾股逆定理。
中点性质：中点连线是中位线，等于底边一半。
32．（22-23九年级下·上海·期中）如图，是边长为4的正方形，对角线、交于点O，点E是的中点，点F是上一点且，求的长．
33．（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形；
34．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）．
(1)如果四边形是平行四边形，求证：；
(2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系．
【考点11】根据正方形的性质与判定求角度
知识点/方法
等腰三角形性质：等边对等角。
三角形内角和：结合内角和定理求角度。
全等三角形：通过全等得到对应角相等。
分类讨论：存在两种情况时分别求解。
35．（2023八年级下·上海·专题练习）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °．
36．（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=AD，求∠ADE的度数．
37．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【考点12】根据正方形的性质与判定求线段长
知识点/方法
勾股定理：在直角三角形中求解。
方程思想：设未知数，利用勾股或面积列方程。
全等三角形：通过全等转化线段相等。
折叠性质：折叠前后对应边相等。
分类讨论：点在不同位置时分别求解。
38．（17-18八年级下·全国·期末）如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ．
39．（24-25八年级下·上海·期末）如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 ．
40．（22-23八年级下·上海浦东新·月考）在直角梯形中，（），，，是上一点，且，，，那么直角梯形的面积是 ．

41．（20-21八年级下·上海杨浦·期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．
(1)求证：CG＝CE；
(2)联结CF，求证：∠BFC＝45°；
(3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．
【考点13】根据正方形的性质与判定求面积
知识点/方法
面积公式：S = 边长 = 对角线乘积的一半。
等积变形：利用同底等高转化面积。
面积和差：整体减部分求阴影面积。
比例法：面积比等于对应线段比。
42．（25-26九年级上·全国·期末）如图，分别为正方形的边上的点，且 ，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
43．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为
44．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，的平分线交于点D，，
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，且，求四边形的面积．
【考点14】根据正方形的性质与判定证明
知识点/方法
全等三角形：利用边角边、角边角等证明三角形全等。
垂直证明：利用对角线垂直或勾股逆定理。
中点性质：中点连线是中位线，等于底边一半。
旋转性质：旋转前后图形全等。
45．（2019·上海金山·二模）已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若
(1)求证：四边形是正方形；
(2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：．
46．（21-22八年级上·上海静安·期末）如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点H.
(1)求证：∠PBH=∠PCG；
(2)如果∠BAC=90°，求证：点E在AP的垂直平分线上.
47．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G．
(1)证明四边形为正方形；
(2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)当为等腰三角形时，直接写出的长度．
【考点15】创新与压轴题
知识点/方法
新定义问题：理解新定义，转化为熟悉模型。
旋转+全等：通过旋转构造全等三角形，转移线段。
弦图与勾股定理：利用赵爽弦图证明勾股定理。
存在性问题：分类讨论，列方程求解。
最值问题：利用几何性质求最值。
1．（25-26八年级上·上海·期末）在课本综合与实践活动《“勾股定理”证明中的中国智慧》中，介绍了我国数学家刘徽用“出入相补原理”证明勾股定理的图形割补方法（如图1和图2）．
活动1：刘徽（约225—约295）的证明
交流学习体会时，小明同学认为：此方法的难点在于确定图2中的点D的位置．根据图中的示意，只要点D的位置确定，就相应确定了切割两个小正方形的方法，即确定了裁切线和．
现给定两个边长分别为a和b的正方形和（），其中正方形的边和共线（如图3）．根据刘徽的方法，请用尺规在线段上作出点P的位置（用于确定裁切线和），再写出你的作法并证明（即证明这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为的大正方形）．
2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）综合与探究
问题情境：已知正方形和正方形有公共顶点C，点G在边的右侧，且，连结，．
猜想证明：
(1)如图1，若点E在上，B，C，G三点在同一直线上，判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
深入探究：
(2)如图2，将正方形绕着点C逆时针旋转，使得边，分别位于正方形的边的两侧，若点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，将正方形绕着点C顺时针旋转，已知正方形的边长为2，正方形的边长为，当点E恰好落在线段上时，直接写出的面积．
3．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点．
(1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
(2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长；
(3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长．
4．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是人类重大科学发现之一．请你运用学到的知识，方法和思想探究以下问题．
【数学经验】分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图1），三个正方形的面积，，之间满足的等量关系是__________；
【迁移应用】（1）如图2，若为直角三角形，，，则正方形和正方形的面积差为__________；
（2）如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形的边长为，求图3中所有正方形的面积的和；
【动手操作】在图4中再画出一个正方形，使所画正方形的面积等于已知的两个正方形的面积之和．
5．（2025·山东泰安·二模）综合与实践
在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究：
【动手实践】
用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现．
【提出猜想】
兴趣小组提出猜想：
有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角．
【验证猜想】
兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路．
思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分．
思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分．
请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想．
【拓展应用】
在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，．
（1）请直接写出________度；
（2）经测量，求四边形的面积．
随堂检测 · 精选练习
练习1 正方形旋转+全等+等边三角形求角度
练习2 正方形面积+直角三角形面积求线段长
练习3 两个正方形组合+矩形判定+勾股求线段长
练习4 正方形对角线+全等三角形求面积
练习5 两个正方形旋转+勾股求线段长
1．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为 ．
2．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图，在面积为正方形中，点在上，且直角三角形的面积为，则的长为 ．（用含有的代数式表示）
3．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是 ．
4．（22-23八年级下·上海·月考）正方形的对角线长为8，O是的中点，点E、F分别在、边上，且，那么四边形的面积为 ．
5．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知正方形和正方形顶点重合，点、、分别在边、、上，，将正方形绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点、、在同一直线上时，那么线段的长为 ．
课后巩固 · 核心作业
作业1-3 正方形的判定与性质基础（命题判断、矩形变正方形）
作业4-5 正方形性质求角度、求线段长（等腰三角形、勾股）
作业6 正方形对角线+线段求值
作业7 矩形+角平分线+正方形判定+勾股
作业8 旋转+正方形+勾股求面积
作业9 正方形+平行线+等腰三角形证明
作业10 正方形+垂直平分线+勾股求线段长
作业11 正方形+等腰三角形+勾股求线段长
作业12 两个正方形组合+面积比较
※复习建议 熟练掌握正方形的性质与判定，灵活运用勾股定理和全等三角形，折叠问题注意找等量关系，动点问题设未知数列方程，压轴题需构造辅助线。
1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）下列命题中，不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形；
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形．
2．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知四边形中，，下列条件能使四边形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 ．
4．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度．
5．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，连结、，已知，那么的值是 ．
6．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ．
7．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求和的长．
6．（20-21七年级上·上海黄浦·期末）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点．
（1）将△ADE绕点D旋转，使DA与DC重合，点E落在点F处，画出△DCF；
（2）联结EF，若AE＝a，BE＝b，用含a、b的代数式表示下列三角形的面积并化简：
①△EFB的面积是 　　．
②△DEF的面积是 　　．
9．（24-25八年级下·上海·期末）如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：．
10．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长．
11．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知正方形，边长，是的中点，点在边上，且，点在线段上，连接、、．

(1)若为等腰三角形，求的长度；
(2)若平分，求的长度．
12．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图，已知正方形的边长为，正方形的边长为，点在边上，点在边的延长线上，交边于点连接、．
(1)填空：用，表示的面积______（写出化简后结果）；
(2)用，表示的面积，并化简；
(3)如图，若点是线段的中点，连接、、，试比较的面积和的面积的大小（写出过程）．
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专题23.3.3正方形的性质及判定 优等生讲义
(15大考点精讲+压轴题+课后巩固)
思维导图·课程内容总览
课程目标
理解并掌握 正方形的定义、性质与判定方法
熟练运用 正方形的边、角、对角线性质解决几何问题
掌握 正方形与折叠、旋转、动点问题的综合应用
灵活运用 勾股定理、全等三角形、方程思想求解线段长度
体会 分类讨论、转化思想在正方形综合题中的应用
核心思想：正方形既是矩形又是菱形，具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
知识梳理 · 核心概念与定理
☆正方形定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
☆正方形性质
具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质
四条边都相等，四个角都是直角（90°）
对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形是轴对称图形（四条对称轴），也是中心对称图形
正方形面积 = 边长 = 对角线乘积的一半
☆正方形判定
对角线相等的菱形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
☆常用结论与公式
正方形边长与对角线的关系：对角线 = 边长 × √2
正方形内接等腰直角三角形、全等三角形常见
正方形中常构造弦图、赵爽弦图证明勾股定理
核心考点 · 15类题型精讲
【考点1】正方形的判定定理理解
知识点/方法
判定方法：从矩形、菱形、平行四边形角度出发，掌握正方形判定的几种等价条件。
常见反例：对角线相等但不垂直的四边形不一定是正方形（需先证平行四边形）。
中点四边形：顺次连接矩形各边中点得到菱形，不是正方形。
1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】B
【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、轴对称图形的识别
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
根据矩形的判定方法对A进行判断；根据正方形的判定方法对B进行判断；根据矩形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定方法对C进行判断；根据轴对称图形的定义对D进行判断．
【详解】解：A． 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但非矩形．矩形的定义需满足平行四边形且对角线相等，故A错误．
B． 矩形若对角线互相垂直，则其四边相等且四个角为直角，符合正方形的定义，故B正确．
C． 顺次连接矩形各边中点，所得四边形各边平行于原矩形对角线且长度为对角线的一半．因矩形对角线相等，故中点四边形四边相等，为菱形而非正方形，故C错误．
D． 平行四边形一般不是轴对称图形（除特殊情形如矩形、菱形），故D错误．
故选：B．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么：
①；
②四边形是平行四边形；
③当时，四边形是菱形；
④当分别是中点时，四边形是正方形．
则下列结论中正确的有 ．
【答案】①②③
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解
【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故②正确；
连接，如图所示：
当时，四边形是菱形，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示：
故④错误；
综上所述，结论正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质．
3．（12-13九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【答案】D
【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形、正方形的判定定理理解
【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________．
【答案】(1)见解析
(2)7，3
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、正方形的判定定理理解
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解；
（2）根据题意，当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，再代入方程求解即可；
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，
∴无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，
∵当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根，
∴，
解得，，
当时，一元二次方程为：，
∴，
解得，，
即，
故答案为：，；
【考点2】证明四边形是正方形
知识点/方法
判定方法1：先证矩形，再证一组邻边相等或对角线垂直。
判定方法2：先证菱形，再证一个角是直角或对角线相等。
判定方法3：对角线相等且垂直的平行四边形是正方形。
常见辅助线：连接对角线，利用中点构造平行四边形。
5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．
(3)当时，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、全等的性质和SAS综合（SAS）、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出；
（2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，；
（2）证明：∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）证明：∵，，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键．
6．（2024八年级下·上海·专题练习）已知，如图，四边形是菱形，是锐角，于点，于点，在边上取点，使得，在边上取点，使得．连接、、、．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若度，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】证明四边形是正方形、利用菱形的性质证明、证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）连接，，可证得四边形为矩形，再证明，，可得四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形；
（2）作辅助线，构建三角形全等，证明，得，可证得四边形是正方形．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
四边形是菱形，
，，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
同理得，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形；
（2）证明：如图2，由（1）知：四边形是矩形，
，
过点作于，交的延长线于，则四边形是矩形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及正方形的判定方法，第2问有难度，正确作辅助线构建三角形全等是关键．
7．（22-23八年级下·上海黄浦·月考）如图，四边形是矩形，E是对角线上一点，且．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)若F是对角线上一点，且，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】根据等角对等边证明边相等、根据正方形的性质证明、证明四边形是正方形
【分析】（1）连接，由，则，然后证明，即可得到结论成立；
（2）先证明，然后证明，即可得到结论成立．
【详解】（1）证明：连接，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
（2）证明：∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行证明．
【考点3】添一个条件使四边形是正方形
知识点/方法
从矩形的角度：添加一组邻边相等或对角线垂直。
从菱形的角度：添加一个直角或对角线相等。
从对角线的角度：添加对角线相等且垂直。
常见错误：只加对角线相等而忽略其他条件。
8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ）

A．且 B．且和互相平分
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】添一个条件使四边形是正方形
【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
不能证明四边形是正方形，不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴和互相平分，
∵，
∴四边形是菱形，
不能证明四边形是正方形，不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
不能证明四边形是正方形，不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键．
9．（24-25九年级下·上海·月考）如图，在四边形中，，，交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的有（ ）个．
①添加“”，则四边形是菱形
②添加“”，则四边形是矩形
③添加“”，则四边形是菱形
④添加“”，则四边形是正方形
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】添一个条件成为平行四边形、添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形
【分析】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，
先说明是的垂直平分线，可得，再证明，可得判断①；当时，无法证明四边形是矩形，说明②即可；然后证明四边形是平行四边形，再根据，可得四边形是菱形，判断③；接下来结合已知说明，可得四边形是菱形，进而得出菱形是正方形，判断④ 即可．
【详解】解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴．
当时，．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．故①正确；
当时，无法证明四边形是矩形，所以②不正确；
当时 ，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．所以③正确；
当时，，
∴，
由①得四边形是菱形，
∵，
∴菱形是正方形．所以④正确．
综上所述，错误的有1个．
故选：B．
10．（24-25九年级上·上海·月考）在△中，，边上的高，沿图中线段、将△剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形，如图1所示．请你解决如下问题：
已知：如图2，在△中，边上的高．请你设计两种不同的分割方法，将△沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形，并说明分割线的做法与拼接方法．
【答案】见解析
【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、添一个条件使四边形是正方形
【分析】本题考查学生的动手操作能力，注意剪拼过程中图形的面积和保持不变，注意结合所需拼合图形的特点．
正方形的四条边都相等，四个角都是直角，注意应把所给三角形分为三块．
【详解】解：如图2，过、的中点、作的垂线段、，沿图中线段、将△剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形，
如图3，过的中点作，交于，作的垂线段，沿图中线段、将△剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形．
【考点4】正方形性质理解
知识点/方法
对角线性质：对角线相等、垂直、平分，构造等腰直角三角形。
边角性质：四边相等，四角90°，常用于证明三角形全等。
对称性：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形。
中点四边形：顺次连接正方形各边中点得到正方形（面积减半）。
11．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在正方形中，、分别为边、的中点，以点为圆心、的长为半径画弧交线段于点，直线交于点，如果，那么正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、正方形性质理解
【分析】过点作于点，设的中点为，连接，，过点作于点，证明四边形，四边形是矩形，则，根据直角三角形斜边中线性质得，则，由此得是等边三角形，进而得，，，继而得是等边三角形，由此得，则，，再求出得是等腰直角三角形，则，进而得，由此即可得出正方形的边长．
【详解】解：如图，过点作于点，设的中点为，连接，，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵点、分别为边、的中点，
∴，，
∴，
∵AD∥BC，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由作图可知：，
∴，
在中，点是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长为．
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含角的直角三角形的性质及勾股定理等知识点，通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键．
12．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为 ．

【答案】48
【知识点】正方形性质理解
【分析】本题主要考查了正方形的拼接，根据面积相等可得正方形的面积，进而得出正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：正方形的面积为，
∴正方形的边长为12，
∴周长为．
故答案为：48．
13．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想
小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；
小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；
请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由．
【答案】小明的说法是正确的，小亮的说法是错误的，理由见解析
【知识点】全等三角形综合问题、正方形性质理解、根据正方形的性质证明
【分析】
如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，可通过证明△HFN≌△EGM，可证得小明的说法；通过作辅助线，找到与EG相等但不垂直的HF，即可证得小亮的说法．
【详解】证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AB，
∵EM⊥CD，
∴四边形BCME是矩形，
∴EM＝BC，
同理HN＝AB，
∴EM＝HN，
由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN，
∴∠FHN+∠HOG＝∠MEG+∠EON＝90°，
∵∠EON＝∠HOG，
∴∠FHN＝∠MEG，
∴△HFN≌△EGM，
∴EG＝HF，
小明的说法是正确的；
如图，在BC上找两个点F和F'，使BF'＝CF，取AD的中点H，连接FH和F'H，
过点作的垂线段于，
，
，
又BF'＝CF，
KF＝KF'，
HF＝HF'，
作EG⊥HF'，其中点E在AB上，点G在CD上，
由上题可知EG＝F'H＝FH，
但HF和EG不互相垂直，
小亮的猜想是错误的．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，可有助于提高解题速度和准确率．
【考点5】根据正方形的性质求角度
知识点/方法
等腰直角三角形：正方形对角线分出的三角形是等腰直角三角形。
等边对等角：由边相等推出角相等。
三角形内角和：结合内角和定理求角度。
全等三角形：通过全等得到对应角相等。
旋转性质：旋转前后对应角相等。
14．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知是以正方形的对角线为一边的等边三角形，，垂足为点，那么的度数是 ．
【答案】/45度
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度
【分析】根据正方形性质得，，根据等边三角形性质得，由此可依据“”判定和全等得，进而得，则，然后根据即可得出的度数．
此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．（23-24八年级下·上海·期末）如果把正方形 绕点 旋转得到正方形，点落在对角线上，点落在 的延长线上，那么 度．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；根据旋转的性质以及正方形的性质可得，进而得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵
∴，
∴
故答案为：．
16．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．

(1)如图，当点在边上时，求证：；
(2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域；
(3)若，求BM的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求角度、根据正方形的性质证明
【分析】（1）过点作于点，于点，通过正方形性质可得，通过证明，可得出最后结论；
（2）过点作于点，交于点，可证得四边形为矩形，通过矩形性质可得，在中，，由勾股定理可得，可得出，进一步证明，所以，，可求出；
（3）当点在边上时，连接，交于，过作于，由正方形性质得到，由等腰三角形的性质可求得，由三角形面积关系得到，可证明，所以，当点在的延长线上时，同理可得．
【详解】（1）过点作于点，于点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）过点作于点，交于点．
，
在正方形中，，，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）当点在边上时，连接，交于，过作于，

在正方形中，，，
，
在中，，则，
，，且，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
当点在的延长线上时，同理可得．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键．
【考点6】根据正方形的性质求线段长
知识点/方法
勾股定理：在直角三角形中利用两边求第三边。
对角线公式：对角线 = 边长 × √2。
方程思想：设未知数，利用勾股或面积列方程。
全等三角形：通过全等转化线段相等。
中点性质：中点连线是中位线，等于底边一半。
垂线段最短：求最值时考虑垂线段。
17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ．
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，可求出的长度，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形
∴
∵
∴，
在和中：
∴，
∴，
∴，即，
解得， (舍去)，
∴．
故答案为：．
18．（25-26八年级上·上海崇明·期末）将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据四边形的面积等于四边形面积的2倍，构建方程求解．
【详解】解：由题意得，
解得：（舍去）．
故答案为：．
19．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键；设，则可以用x表示出，又由于，，所以可以得到m与x的关系式，在中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可.
【详解】解：如图所示，设，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
20．（22-23九年级下·上海·期中）如图，正方形的边长等于，是正三角形，则 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，勾股定理．
作于，于，由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，，由勾股定理可得，从而可得，根据含角的直角三角形的直角边与斜边的关系可得，从而可得，由即可得．
【详解】解：作于，于，
∵正方形的边长等于，
∴，，
∴，
∵是正三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
21．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）正方形的边长是，点在边上，且，P是正方形边上的一个动点，连接，当时，的长是 ．
【答案】或
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到在以为圆心，为半径的圆上．
根据题意可得在以为圆心，为半径的圆上，分两种情况讨论：如图中的和，①证明四边形是矩形，即可求出结果；②根据勾股定理可得结果．
【详解】解：根据题意画图如下：
，，
，
，
，
在以为圆心，为半径的圆上，如图中的和，
①，，
，
平行且等于，
四边形是矩形，
，
；
②，，
，
综上所述：的长是或．
故答案为：或．
22．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形和正方形有公共顶点O，，连接．

(1)如图1，线段与线段有交点H，求证：；
(2)如图2，点E在的延长线上，求的长；
(3)边与交于点G，当C，F，E三点共线时，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)的值为2
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】（1）证明，推出，利用三角形的外角性质得到，即可证明结论成立；
（2）连接与交于点J，利用正方形的性质求得，，再利用勾股定理求解即可；
（3）证明，推出，得到的值等于，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵正方形和正方形，

∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
（2）解：连接与交于点J，

∵正方形中，，
∴，，，
∴；
（3）解：如图，

同理，，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题的关键．
【考点7】根据正方形的性质求面积
知识点/方法
面积公式：S = 边长 = 对角线乘积的一半。
等积变形：利用同底等高转化面积。
面积和差：整体减部分求阴影面积。
比例法：面积比等于对应线段比。
弦图面积关系：赵爽弦图内外正方形面积关系。
23．（25-26七年级上·上海闵行·期末）如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据正方形的性质求面积
【分析】根据, ，，即可求得答案．
【详解】解： ∵正方形和正方形的边长分别为a、b，
∴，
∴
，
∵．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握正方形边角性质，正方形面积公式，梯形面积公式，三角形面积公式．
24．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如图是一个正方形，甲和乙分别是等腰三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲的面积是乙的面积 ．（填最简分数）
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求面积、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查的是正方形内接图形的面积比例，灵活运用等腰三角形与正方形的边长关系、相似三角形的性质是解题的关键．通过设定等腰三角形的面积或边长，分别推导甲、乙两个内接正方形的面积与原三角形的关系，进而求出甲、乙的面积比．
【详解】解：将图形分割如图，
由图可知，等腰直角三角形、的面积都是小正方形乙的，等腰直角三角形的面积是小正方形乙的，
设小正方形乙的面积为，
则大三角形的面积为，
小正方形乙的面积占大三角形面积的；
又等腰直角三角形、的面积都是小正方形甲的，
小正方形甲的面积占大三角形面积的，
则图中甲的面积是乙的面积的．
故答案为：．
25．（14-15九年级上·黑龙江绥化·期末）将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ．
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、图形类规律探索
【分析】本题考查正方形的性质与三角形全等的性质与判定，解题的关键是得到．连接，，根据正方形性质可得，，，即可得到，即可得到，即可得到一个图形重叠的面积，即可得到答案；
【详解】解：连接，，
∵正方形的边上为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为：，
故答案为：．
26．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．

(1)求证：；
(2)连接、，如果的面积为，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)或，详见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积
【分析】（1）先证得，很容易证明全等，由此得出，进而可得结论；
（2）根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据（1）中即可得出结论；
【详解】（1）∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
（2）∵，
∴设，
∴，
∴的面积
，
∴，
解得，，，
∴或，

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系．
【考点8】正方形折叠问题
知识点/方法
折叠性质：对应边相等，对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。
勾股定理：在直角三角形中列方程求线段长。
全等三角形：折叠前后图形全等，可证三角形全等。
等腰三角形：折叠常产生等腰三角形。
27．（21-22九年级下·上海·自主招生）边长为2的正方形中，M是的中点，以为折痕将翻折，使B落在E处，延长交于F，求的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、勾股定理与折叠问题、根据正方形的性质求线段长、正方形折叠问题
【分析】本题考查了对折叠性质、勾股定理、三角形的全等判定和性质，熟练掌握对折的性质是解题的关键；
根据翻折的性质，及正方形的性质得，在证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论．
【详解】解：四边形是边长为2的正方形，
，，
以为折痕将翻折得，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
M是的中点，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
故选：D．
28．（23-24九年级下·上海静安·月考）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，连接，点F在边上，连接，把沿翻折，点A恰好落在上的点G处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是 ．（填序号）
【答案】①④
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题
【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，正方形的性质．根据翻折的性质证，得出，，即可判断①正确；根据 ，即可判断②错误；在中，，由，得到，推出，，则，判定③错误；根据，推出，即可判断④正确，进而得出答案．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
由折叠的性质可得，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，，故①正确；
，
，故②错误；
∵在中，，
又，
，
，
，
，
，故③错误；
，
，故④正确；
综上所述：正确的是①④．
故答案为：①④．
29．（23-24九年级下·上海·月考）如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，，F是边上一点，将沿翻折，使点E的对应点G落在边上，连接交折痕于点H，则的长为 ．
【答案】/
【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题
【分析】本题考查正方形与折叠，勾股定理与折叠，正确求出和的长度是解题关键．根据正方形和折叠的性质结合勾股定理可求出，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴，，
∴．
由翻折可知，，，，
∴，
∴．
设，则，．　
在中，，即，
解得：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点9】求正方形重叠部分面积
知识点/方法
全等三角形：证明三角形全等，将重叠部分面积转化为规则图形面积。
正方形性质：利用对角线互相垂直平分，构造全等三角形。
旋转不变性：旋转过程中重叠部分面积为定值。
30．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．1
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、求正方形重叠部分面积
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解．
【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为，
，
四边形和是正方形，
，，，
四边形是矩形，
，，，，
，，
四边形是正方形，
，，
，即，
又，，
，
，
两个正方形重叠部分的面积，
故选：C．
31．（16-17九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ．
【答案】1
【知识点】全等三角形综合问题、求正方形重叠部分面积、根据正方形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答．
【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∵正方形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴
∵
∴，
∴，
则，
故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积，
∴，
那么两个正方形重叠的部分的面积等于，
故答案为：．
【考点10】根据正方形的性质证明
知识点/方法
全等三角形：利用边角边、角边角等证明三角形全等。
线段相等：通过全等转化线段相等。
垂直证明：利用对角线垂直或勾股逆定理。
中点性质：中点连线是中位线，等于底边一半。
32．（22-23九年级下·上海·期中）如图，是边长为4的正方形，对角线、交于点O，点E是的中点，点F是上一点且，求的长．
【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判断和性质和勾股定理运用．先由勾股定理求出的长，再由，可得出．
【详解】解：设于M，
是边长为4的正方形，对角线、交于点O，
，，．
，
．
点E是的中点，
．
．
，
．
， ， ，
．
在和中
,
．
．
33．（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形；
【答案】见解析
【知识点】根据正方形的性质证明、证明四边形是菱形、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，菱形的判定是解决问题的关键．连接交于点，先依据“”判定和全等得，进而依据“”判定和全等得，由此得，然后再根据，即可判定四边形是菱形．
【详解】证明：连接交于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，，
四边形是菱形．
34．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）．
(1)如果四边形是平行四边形，求证：；
(2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，
对于（1），连接，根据正方形的性质和平行四边形的性质得，，进而得，再根据“角角边”证明，可得答案；
对于（2），先根据正方形的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案.
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
【考点11】根据正方形的性质与判定求角度
知识点/方法
等腰三角形性质：等边对等角。
三角形内角和：结合内角和定理求角度。
全等三角形：通过全等得到对应角相等。
分类讨论：存在两种情况时分别求解。
35．（2023八年级下·上海·专题练习）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °．
【答案】或
【知识点】根据正方形的性质与判定求角度、利用矩形的性质求角度、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形
【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数．
【详解】解：是四边形的美丽线，
是等腰三角形．
，
如图，当时，
，，
是正三角形，
．
，
，
，
．
如图，当时，
．
，
四边形是正方形，
，
综上，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用．
36．（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=AD，求∠ADE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)135°
【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质与判定求角度
【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形；
（2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，
∴OD=OC．
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BDC=∠ACD=．
∵DE∥AC，
∴∠EDC=∠ACD=45°，
∴∠ADE=90°+45°=135°．
【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键．
37．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、三线合一、根据正方形的性质与判定求角度
【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得；
（2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，．
在和中，
，
∴（），
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，．
在和中，
，
∴（），
∴．
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
过点作于，交于，
∴（等腰三角形三线合一）．
∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵是菱形对角线，
∴，
又∵，，
∴（），
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴菱形是正方形，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键．
【考点12】根据正方形的性质与判定求线段长
知识点/方法
勾股定理：在直角三角形中求解。
方程思想：设未知数，利用勾股或面积列方程。
全等三角形：通过全等转化线段相等。
折叠性质：折叠前后对应边相等。
分类讨论：点在不同位置时分别求解。
38．（17-18八年级下·全国·期末）如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查翻折变换，正方形的判断与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形．
根据题意分两种情况： 在上，，四边形是正方形，； 在上，，用勾股定理，解，即可得的长．
【详解】解：根据题意分以下两种情况：
如图，在上，，
∵四边形是长方形，
∴，
由翻折的性质，可得，，
∴四边形是正方形，
∴；
如图，在上，，
∵四边形是长方形，
∴，
由翻折的性质，可得，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：或．
39．（24-25八年级下·上海·期末）如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 ．
【答案】36
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、折叠问题
【分析】由，，，，得，，由翻折得，，，，，，则，求得，则四边形是矩形，而，所以四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，由勾股定理得，求得符合题意的m值为6，所，于是得到问题的答案．
【详解】解：中，，，，，
，，
由翻折得，，，，，，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，，
，
∴四边形是正方形，
设正方形的边长为m，则，，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
，
故答案为：36．
【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是正方形是解题的关键．
40．（22-23八年级下·上海浦东新·月考）在直角梯形中，（），，，是上一点，且，，，那么直角梯形的面积是 ．

【答案】27
【知识点】因式分解法解一元二次方程、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】过作，交延长线于，延长至，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，，，从而证明，则有，进一步推出，即可求得的长，设，在中，由勾股定理，可得方程，解方程即可求得的长，继而求得直角梯形的面积．
【详解】解：过作，交延长线于，延长至，使，连接．

在直角梯形中，，
，
又，，
四边形为正方形．
，，
∴，
∴，，，
，
∴，即，即，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
即，
设，则，，
在中，
，即，
解得：或（舍去），
，
．
故答案为：27．
【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
41．（20-21八年级下·上海杨浦·期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．
(1)求证：CG＝CE；
(2)联结CF，求证：∠BFC＝45°；
(3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）把CG和CE分别放在Rt△BCG和Rt△DCE中，说明它们全等即可得证；
（2）联结CF，过点C作MC⊥CF交BG于M，说明△MCF为等腰三角形即可得证；
（3）过点C作CN⊥BF于N，构造△CNG≌△DFG，即可求出DF＝NC，再利用线段和差即可求出EF的长．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE，
∵BF⊥DE，
∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC，
∴∠CBG＝∠EDC，
在Rt△BCG与Rt△DCE中，
∴Rt△BCG≌Rt△DCE（ASA），
∴CG＝CE．
（2）作CM⊥CF交BF于点M，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠E＝∠BGC，
∵∠MCG+∠FCG＝∠ECF+∠FCG＝90°，
∴∠MCG＝∠FCE，
在△MCG和△FCE中，
∴△MCG≌△FCE（ASA），
∴MG＝FE，MC＝FC，
∴△MCF为等腰直角三角形，
∴∠BFC＝45°．
（3）作CN⊥BF于点N，
∴△CNF为等腰直角三角形，CN＝NF，
∵G为CD中点，正方形ABCD的边长为2，
∴CG＝DG＝CE＝1，
∴BG＝DE＝＝，
∴BC CG＝BG CN，
∴CN＝＝＝，
在△CNG和△DFG中，
∴△CNG≌△DFG（AAS），
∴DF＝CN＝，
∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造特殊三角形和三角形全等是解题的关键．
【考点13】根据正方形的性质与判定求面积
知识点/方法
面积公式：S = 边长 = 对角线乘积的一半。
等积变形：利用同底等高转化面积。
面积和差：整体减部分求阴影面积。
比例法：面积比等于对应线段比。
42．（25-26九年级上·全国·期末）如图，分别为正方形的边上的点，且 ，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
又∵，，
∴，
∴，
，
同理可知：，
∴阴影部分是矩形，
在中，由勾股定理得，
由面积公式得，即，
得，
同理可得：，
在中，由勾股定理得，
则，
同理可得：，
∴阴影部分是正方形，
图中阴影部分的面积与正方形的面积之比．
故选：D．
43．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为
【答案】//
【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．
由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答．
【详解】解：由旋转得，，，，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
故答案为：．
44．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，的平分线交于点D，，
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，且，求四边形的面积．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)
【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质与判定求面积、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论；
（2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形．
平分
．
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：如图所示，连接，
由（1）可知，四边形是菱形．
，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
【考点14】根据正方形的性质与判定证明
知识点/方法
全等三角形：利用边角边、角边角等证明三角形全等。
垂直证明：利用对角线垂直或勾股逆定理。
中点性质：中点连线是中位线，等于底边一半。
旋转性质：旋转前后图形全等。
45．（2019·上海金山·二模）已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若
(1)求证：四边形是正方形；
(2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明
【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据菱形的性质可知，，，可得，再结合即可变换为，得到即可证得四边形是正方形；
（2）根据正方形的性质易得，，再根据，可得，结合即可得到，证得，从而得到．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，对角线与相交于点O，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是正方形；
（2）证明：四边形是正方形 ；
，，，，
，，
，垂足为，
，，
，
，
在和，
，
，
．
46．（21-22八年级上·上海静安·期末）如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点H.
(1)求证：∠PBH=∠PCG；
(2)如果∠BAC=90°，求证：点E在AP的垂直平分线上.
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】用HL证全等（HL）、线段垂直平分线的判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）根据角平分线的性质可得PG=PH，再根据垂直平分线的性质可得PB=PC，即可证明Rt△PHB≌Rt△PGC，即结论得证；
（2）连接AE，先证明四边形PGAH是正方形，结合（1）的结论可得∠BPC是直角，则可得△BPC是直角三角形，根据E点为BC中点，即有PE=BC，再在Rt△ABC中，同理有，AE=BC即有PE=AE，即结论得证．
【详解】（1）∵AP平分∠BAD，PG⊥AD，PH⊥AB，
∴PH=PG，∠PHB=∠PGC=90°，
∵PE垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴Rt△PHB≌Rt△PGC，
∴∠PBH=∠PGC；
（2）连接AE，如图，
∵PE垂直平分BC，
∴BE=EC，即E点为BC中点，
在（1）已有∠PHB=∠PGC=90°，PG=PH，
∵∠BAC=90°，
∴∠HAG=90°，
∴四边形PGAH是正方形，
∴∠HPG=90°，
∴∠GPC+∠HPC=90°，
∵在（1）中已证明Rt△PHB≌Rt△PGC，
∴∠BPH=∠CPG，
∴∠BPH+∠HPC=90°=∠BPC，
∴△BPC是直角三角形，
∵E点为BC中点，
∴在Rt△BPC中，PE=BC，
∵∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵E点为BC中点，
∴AE=BC，
∴AE=PE，
∴E点在AP的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、正方形的判定与性质等知识，证明Rt△PHB≌Rt△PGC是解答本题的关键．
47．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G．
(1)证明四边形为正方形；
(2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(3)当为等腰三角形时，直接写出的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）先证明四边形是矩形，过F作于M，于N，证明四边形是矩形得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论；
（2）根据正方形的性质和勾股定理求得，证明得到，进而可求解；
（3）先根据全等三角形的性质得到，，则，当为等腰三角形时，，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推导出，利用等角对等边可得，进而求得．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
过F作于M，于N，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，则，
又，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形为正方形；
（2）解：∵四边形为正方形和四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，点E不与点B，点C重合，
∴；
（3）解：∵，
∴，，又，
∴，
∴当为等腰三角形时，，
∴，又，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、角平分线的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、函数解析式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
【考点15】创新与压轴题
知识点/方法
新定义问题：理解新定义，转化为熟悉模型。
旋转+全等：通过旋转构造全等三角形，转移线段。
弦图与勾股定理：利用赵爽弦图证明勾股定理。
存在性问题：分类讨论，列方程求解。
最值问题：利用几何性质求最值。
1．（25-26八年级上·上海·期末）在课本综合与实践活动《“勾股定理”证明中的中国智慧》中，介绍了我国数学家刘徽用“出入相补原理”证明勾股定理的图形割补方法（如图1和图2）．
活动1：刘徽（约225—约295）的证明
交流学习体会时，小明同学认为：此方法的难点在于确定图2中的点D的位置．根据图中的示意，只要点D的位置确定，就相应确定了切割两个小正方形的方法，即确定了裁切线和．
现给定两个边长分别为a和b的正方形和（），其中正方形的边和共线（如图3）．根据刘徽的方法，请用尺规在线段上作出点P的位置（用于确定裁切线和），再写出你的作法并证明（即证明这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为的大正方形）．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、勾股定理的证明方法、根据正方形的性质证明
【分析】．本题考查作垂直平分线，圆的基本知识，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形全等的判定和性质，正方形的性质；
作图：先连接，作的垂直平分线交于O， 再以O为圆心，为半径画圆，交于点即可；
证明：由作图可知，，，证，得，，，即可解答．
【详解】解：如图，点P即为所求，
作法：1、连接，作的垂直平分线交于O，
2、以O为圆心，为半径画圆，交于点；
证明：由作图可知是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵和都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴这两个正方形按此方法分割并重新拼接后能构成一个边长为的大正方形．
2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）综合与探究
问题情境：已知正方形和正方形有公共顶点C，点G在边的右侧，且，连结，．
猜想证明：
(1)如图1，若点E在上，B，C，G三点在同一直线上，判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
深入探究：
(2)如图2，将正方形绕着点C逆时针旋转，使得边，分别位于正方形的边的两侧，若点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，将正方形绕着点C顺时针旋转，已知正方形的边长为2，正方形的边长为，当点E恰好落在线段上时，直接写出的面积．
【答案】(1)，
(2)，见解析
(3)
【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解
【分析】（1）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质即可得．
（2）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质可得，再根据边的关系即可得．
（3）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质可得，通过作辅助线，求解出和的边长即可求解面积．
【详解】（1）解：，．
理由：如图，延长BE交DG于点H．
∵四边形和都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，∴，即．
（2）解：．
理由：∵四边形和四边形是正方形，
点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上，
∴，，，
在和中，
，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
（3）解：．
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，，，
∴，
∴．
如图，连结CF交EG于点O，则有，，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与证明，三角形的面积公式．由边角边的证明方法可证明三角形全等，再结合全等三角形的性质可得边相等，角相等，再通过作辅助线，求解出和的边长的是解决本题的关键．
3．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点．
(1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
(2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长；
(3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)的长为或
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解；
（2）由正方形的性质可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解；
（3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可．
【详解】（1）解：，证明如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
如图，作于，于，
，
则，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形边长为1，
∴，，
∴，
∵点在边的延长线上，
∴如图所示，为钝角，
，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，当点在线段上时，作于，于，
，
由（1）可得，四边形为矩形，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵以、、、为顶点的四边形的面积为，
∴，即，
∴，
由（2）可得：，
∴；
当点在的延长线上时，作于，延长交于，
，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵以、、、为顶点的四边形的面积为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
4．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是人类重大科学发现之一．请你运用学到的知识，方法和思想探究以下问题．
【数学经验】分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图1），三个正方形的面积，，之间满足的等量关系是__________；
【迁移应用】（1）如图2，若为直角三角形，，，则正方形和正方形的面积差为__________；
（2）如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形的边长为，求图3中所有正方形的面积的和；
【动手操作】在图4中再画出一个正方形，使所画正方形的面积等于已知的两个正方形的面积之和．
【答案】数学经验：；迁移应用：（1）25；（2）；动手操作：见解析
【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、以直角三角形三边为边长的图形面积、全等三角形综合问题
【分析】数学经验：根据勾股定理求出结果即可；
迁移应用：（1）根据勾股定理得出：，即可得出答案；
（2）根据勾股定理得出答案即可；
动手操作：延长到点H，使，连接，，过点F作，交于点K，连接，则正方形即为所求．
【详解】解：数学经验：根据勾股定理得：；
迁移应用：（1）∵为直角三角形，，
∴，
∵，，
∴正方形和正方形的面积差为；
（2）根据图形可知：，
，
，
∴，
∵最大的正方形的边长为，
∴，
∴所有正方形的面积的和为：
；
动手操作：延长到点H，使，连接，，过点F作，交于点K，连接，如图所示：
∵正方形中，，，在正方形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形即为所求作正方形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．
5．（2025·山东泰安·二模）综合与实践
在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究：
【动手实践】
用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现．
【提出猜想】
兴趣小组提出猜想：
有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角．
【验证猜想】
兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路．
思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分．
思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分．
请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想．
【拓展应用】
在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，．
（1）请直接写出________度；
（2）经测量，求四边形的面积．
【答案】验证猜想：见解析；拓展应用：（1）45；（2）450平方厘米
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、根据正方形的性质与判定求面积
【分析】[验证猜想] 思路一证明：如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，证明，则，根据角平分线判定得到点在平分线上，则平分；思路二证明：如图，延长到点，使得，连接，证明，则，那么，则，故，则平分；
[拓展应用]（）直接利用[验证猜想]即可求解；（）过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点，由猜想可知平分，然后根据角平分线性质可得，证明，则有，然后得出四边形是正方形，故有，最后代入求解即可．
【详解】[验证猜想]思路一证明：
如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，
证明：由题意得
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在平分线上，
∴平分；
思路二证明：如图，延长到点，使得，连接，
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴ ，，
∴ ，
∴，
∴ 平分；
[拓展应用]（）∵，，
∴由猜想可知：平分，
∴，
故答案为：；
（）解：如图：过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点，
∵在四边形中，，，
由猜想可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴ 四边形是正方形，
∴
设，则由勾股定理得，，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1 正方形旋转+全等+等边三角形求角度
练习2 正方形面积+直角三角形面积求线段长
练习3 两个正方形组合+矩形判定+勾股求线段长
练习4 正方形对角线+全等三角形求面积
练习5 两个正方形旋转+勾股求线段长
1．（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为 ．
【答案】/30度
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解
【分析】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，等腰三角形的性质，根据旋转变换构造出图形是解题的关键．
把绕点顺时针旋转得到，使得与重合，从而可得、、三点在同一条直线上，然后可以证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，所以为等边三角形，根据等边三角形的性质以及正方形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，把绕点顺时针旋转使得与重合，得到，连接．连接，则，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
根据旋转，
，
∴，
，，在一条直线上，
，
在与中，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
又，
，
∵在正方形中，，
∴，
故答案为：．
2．（25-26八年级上·上海青浦·期中）如图，在面积为正方形中，点在上，且直角三角形的面积为，则的长为 ．（用含有的代数式表示）
【答案】
【知识点】化为最简二次根式、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形面积的计算、二次根式的化简，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
先由正方形的面积算出边长，再由直角三角形的面积公式列出等量关系式，即可求得正确答案．
【详解】解：正方形的面积为，
，
的面积：，
即：，
．
故答案为：．
3．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是 ．
【答案】2
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的性质是解题的关键．
延长、相交于M，先证明四边形是矩形，得到，，再对运用勾股定理求解即可．
【详解】解：延长、相交于M，
∵正方形和正方形中，，，
∴，，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（22-23八年级下·上海·月考）正方形的对角线长为8，O是的中点，点E、F分别在、边上，且，那么四边形的面积为 ．
【答案】8
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求面积
【分析】证明，得到，从而将四边形的面积转化为的面积，即可求解．
【详解】解：在正方形中，
，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是利用正方形的性质证明全等，将所求面积进行转化．
5．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知正方形和正方形顶点重合，点、、分别在边、、上，，将正方形绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点、、在同一直线上时，那么线段的长为 ．
【答案】或
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．分点在D、之间和点在D、之间两种情况，画出图形求解即可．
【详解】∵正方形和正方形顶点重合，，
∴，，
∴，．
如图，当点在D、之间时，连接，则，
由旋转的性质得四边形是正方形，，
∴
∴
∴．
如图，当点在D、之间时，连接，则，
同理可求，．
综上可知，线段的长为或．
故答案为：或．
课后巩固 · 核心作业
作业1-3 正方形的判定与性质基础（命题判断、矩形变正方形）
作业4-5 正方形性质求角度、求线段长（等腰三角形、勾股）
作业6 正方形对角线+线段求值
作业7 矩形+角平分线+正方形判定+勾股
作业8 旋转+正方形+勾股求面积
作业9 正方形+平行线+等腰三角形证明
作业10 正方形+垂直平分线+勾股求线段长
作业11 正方形+等腰三角形+勾股求线段长
作业12 两个正方形组合+面积比较
※复习建议 熟练掌握正方形的性质与判定，灵活运用勾股定理和全等三角形，折叠问题注意找等量关系，动点问题设未知数列方程，压轴题需构造辅助线。
1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）下列命题中，不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形；
C．对角线相等的矩形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形．
【答案】C
【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解
【分析】本题考查矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，掌握知识点是解题的关键．
根据特殊四边形的判定方法逐一分析选项的正误．
【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．平行四边形的对角线互相平分，若对角线还互相垂直，则符合菱形的判定定理，故A正确．
B． 对角线相等的平行四边形是矩形．平行四边形的对角线相等时，四个角均为直角，符合矩形的定义，故B正确．
C． 对角线相等的矩形是正方形．矩形的对角线本身相等，但正方形还需满足邻边相等或对角线垂直．仅对角线相等无法直接判定为正方形，故C错误．
D． 对角线相等的菱形是正方形．菱形的对角线互相垂直，若再满足相等，则符合正方形的对角线特性（相等且垂直），故D正确．
故选C．
2．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知四边形中，，下列条件能使四边形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定定理理解
【分析】本题考查了正方形的判定， 根据已知条件可以判断四边形是矩形，则邻边相等的矩形是正方形或者对角线互相垂直的矩形是正方形；解答本题的关键是需要掌握矩形与正方形间的区别与联系．
【详解】解：已知四边形中，
，
四边形是矩形．
A、当时，只能判定四边形是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误，不符合题意；
B、矩形的四个角都是直角，则，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误，不符合题意；
C、矩形的对边，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误，不符合题意；
D、当矩形的对角线相互垂直，即时，该矩形是正方形，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、正方形性质理解
【分析】根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m＝，即可求得A2的坐标为．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为，
∴A3所在的正方形的边长为1，
∴A3（1，1），
设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），
∴m（m+1）＝1，
解得m＝（负数舍去），
∴A2的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，正方形的性质，一元二次方程的计算，准确计算是解题的关键．
4．（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度．
【答案】
【知识点】等边对等角、根据正方形的性质求角度
【分析】本题考查利用正方形的性质求角度，涉及对角线平分对角、等腰三角形的性质，熟记这些基本的几何图形判定及性质是解决问题的关键．
根据正方形的性质得，由，得，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
故答案为：．
5．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，且，点为边上一点，连结、，已知，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，由正方形的性质可得，证明，得到，证明，得到；证明，得到，，则可证明，再证明，得到，由勾股定理得，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
故答案为：．
6．（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ．
【答案】/
【知识点】根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质，求出长是解题的关键．
由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解．
【详解】解：正方形的边长为，
，
，
，
，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求和的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论；
（2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；由（1）知，四边形是正方形，得出．由，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
．
，
四边形是矩形．
平分，
，
四边形是正方形．
（2）解：平分，
．
在和中，
，
，
．
∵四边形是正方形，
．
∵，
，
，，
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键．
8．（20-21七年级上·上海黄浦·期末）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点．
（1）将△ADE绕点D旋转，使DA与DC重合，点E落在点F处，画出△DCF；
（2）联结EF，若AE＝a，BE＝b，用含a、b的代数式表示下列三角形的面积并化简：
①△EFB的面积是 　　．
②△DEF的面积是 　　．
【答案】（1）见解析；（2）①ab+ ；②+ab+
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到AD＝AB＝BC＝a+b，根据旋转的性质得到CF＝AE＝a，∠DCF＝90°，DE＝DF，∠CDF＝∠ADE，推出B，C，F三点共线，①根据三角形的面积公式即可得到△EFB的面积；②根据勾股定理得到DE＝＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）如图所示，
则△DCF即为所求；
（2）∵AE＝a，BE＝b，
∴AB＝a+b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝a+b，
∵将△ADE绕点D旋转得到△DCF，
∴CF＝AE＝a，∠DCF＝90°，DE＝DF，∠CDF＝∠ADE，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCF＝180°，
∴B，C，F三点共线，
①△EFB的面积是BF BE
＝（a+b+a） b
＝ab+ ；
②∵∠ADC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∵DE＝＝，
∴△DEF的面积是 DE DF＝××，
＝+ab+ ；
故答案为：ab+ ；+ab+ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
9．（24-25八年级下·上海·期末）如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：．
【答案】见解析
【知识点】根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、三角函数、等腰三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．连接，作于，根据正方形的性质证出正方形，求出，求出，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出，求出的度数即可．
【详解】证明：连接，作于，
在正方形中，
，，
，
四边形是正方形．
由，
在中，
，
在正方形中，
．
10．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长．
【答案】的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
由正方形的性质，得出线段的长度，根据勾股定理可得线段之间的数量关系，再由线段垂直平分线的性质建立等量关系，即可求得的长．
【详解】解：∵在边长为的正方形中，点为边的中点，
∴，，，
如图，连接，，设，则，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
答：的长为．
11．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知正方形，边长，是的中点，点在边上，且，点在线段上，连接、、．

(1)若为等腰三角形，求的长度；
(2)若平分，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】（1）根据矩形性质可得，设，所以，过点作于点，得矩形，若为等腰三角形分3种情况：①，②，③，然后利用勾股定理即可解决问题；
（2）过点作于点，证明，可得，设，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：正方形中，
，是的中点，
，
，
，，
，
设，
，

如图，过点作于点，得矩形，
，
，
，
为等腰三角形，
分3种情况：
①，
，
解得（负值舍去）；
②，
，
解得此方程无解；
③，
，
解得，
，点在线段的延长线上，不符合题意，舍去．
综上所述：的长度为；
（2）解：如图，过点作于点，
平分，
，
在和中
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得．
的长度为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是分类讨论思想的灵活运用．
12．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图，已知正方形的边长为，正方形的边长为，点在边上，点在边的延长线上，交边于点连接、．
(1)填空：用，表示的面积______（写出化简后结果）；
(2)用，表示的面积，并化简；
(3)如图，若点是线段的中点，连接、、，试比较的面积和的面积的大小（写出过程）．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【知识点】根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）直接根据三角形的面积公式计算即可；（2）延长DC交EF延长线于Q，先由正方形的性质得，，再由，即可得出答案；（3）延长DC交EF延长线于Q，先由正方形的性质得，，，，则，再由矩形面积、三角形面积和梯形面积公式进行解答即可，由，，即可得出结论．．
【详解】解：，
故答案为：；
延长交延长线于，如图所示：
则四边形、四边形都为长方形，
正方形的边长为，正方形的边长为，
，，
；
延长交延长线于，如图所示：
则四边形、四边形、四边形都为长方形，
正方形的边长为，正方形的边长为，
，，
，，
点是线段的中点，
，
四边形是正方形，
四边形是直角梯形，
；
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、长方形的性质、三角形面积以及梯形面积公式等知识；熟练掌握正方形和长方形的性质，熟记三角形面积公式和梯形面积公式是解题的关键．
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