资源简介

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专题23.3 菱形和正方形综合 优等生讲义
(7大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 菱形的定义、性质（四条边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角、轴对称性）和判定方法。
掌握 正方形的定义、性质（四条边相等、四个角为90°、对角线相等且垂直平分）和判定方法。
能熟练运用 菱形、正方形的性质进行线段长、角度、面积的计算，并能灵活选择判定方法证明四边形是菱形或正方形。
掌握 菱形与正方形之间的包含关系（正方形是特殊的菱形），以及矩形、菱形、正方形之间的转化条件。
理解并运用 常见几何模型（如“一线三等角”、“半角模型”、“K型全等”等）解决综合问题。
体会 转化思想、数形结合、分类讨论在解决菱形、正方形问题中的应用。
核心思想：边角关系 · 对角线特征 · 模型识别
知识梳理 · 核心知识点
☆ 菱形的定义与性质
定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
性质： ①四条边都相等；②对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；③是中心对称图形，也是轴对称图形（两条对角线所在直线为对称轴）。
面积公式： ，也可用底×高。
☆ 菱形的判定
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形；④对角线平分一组内角的平行四边形是菱形。
☆ 正方形的定义与性质
定义： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（或既是矩形又是菱形的四边形）。
性质： ①四条边相等，四个角都是90°；②对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形（有四条对称轴）。
☆ 正方形的判定
①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
☆ 菱形与正方形的关系
正方形是特殊的菱形（也是特殊的矩形）。菱形加上一个直角（或对角线相等）即为正方形；矩形加上一组邻边相等（或对角线垂直）即为正方形。
☆ 常见几何模型
“一线三等角”/“K型全等”： 过等腰直角三角形顶点作直线，构造全等三角形。
“半角模型”： 正方形内角为45°时，通过旋转构造全等，得到线段关系（如 ）。
菱形中的折叠、对称： 利用菱形对角线垂直平分、角平分线等性质进行翻折、旋转。
菱形与正方形核心知识速查表
图形 性质 判定条件 面积公式
菱形 四条边相等；对角线垂直平分且平分内角；轴对称 ①邻边相等的平行四边形；②对角线垂直的平行四边形；③四边相等的四边形 或
正方形 四边相等，四角90°；对角线相等且垂直平分 ①邻边相等的矩形；②有一个角是直角的菱形；③对角线相等的菱形；④对角线垂直的矩形 或
核心考点 ·7类题型精讲
【考点1】菱形的性质（1-8题）
方法总结
利用菱形四边相等、对角线垂直平分等性质求边长、对角线长、角度或面积。
常结合勾股定理、三角函数求解，注意菱形面积公式 的灵活运用。
垂直平分线性质、30°角直角三角形边角关系常用。
1．（2024秋 闵行区校级月考）菱形ABCD的边长为1，AE垂直平分BC于点E，则BD的长为（　　）
A． B．
C． D．以上均不对
2．（2025春 虹口区校级月考）面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 崇明区模拟）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（2024春 宝山区期末）已知菱形的边长是8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积是（　　）
A．64 B．32 C． D．
5．（2025春 浦东新区校级期中）菱形的边长为5cm，两条对角线之比为3：4，则菱形一边上的高的长度为　 　 cm．
6．（2025春 奉贤区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，若∠DCB＝80°，那么∠FAC的大小为　 　 ．
7．（2025秋 上海校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，那么AF的长等于 　 　 ．
8．（2025春 闵行区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长为 　 　 ．
【考点2】菱形的判定（9-12题）
方法总结
判断一个四边形是菱形，常用思路：先证平行四边形，再证一组邻边相等或对角线垂直；或直接证四边相等。
注意对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但仅垂直或仅平分不足。
在特殊图形（如平行四边形、梯形）中结合角平分线、中位线等条件证明。
9．（2025春 长宁区校级期中）下列条件中不能确定一个四边形一定是菱形的是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线平分一组内角的平行四边形
D．对角线垂直且互相平分的四边形
10．（2025春 黄浦区期末）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，再添加一个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不正确的是（　　）
A．AB＝AD B．AB∥CD C．OB＝OD D．AD＝CD
11．（2024秋 闵行区校级月考）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
12．（2025春 长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
【考点3】菱形性质与判定综合（13-16题）
方法总结
综合运用菱形的性质（对角线垂直平分、角平分线）与判定，常需先证明平行四边形再证菱形。
涉及面积、线段长度计算时，常结合勾股定理和等积法。
注意直角梯形、矩形等背景下的菱形构造。
13．（2025秋 浦东新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积．
14．（2024秋 徐汇区校级月考）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形．
15．（2024春 徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，点E是AD的中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，联结CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）如果AC＝6，四边形ADCF的面积是30，求AB的长．
16．（2024秋 上海校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，在图中作点D，使AD∥BE，且∠ADC＝90°，在AD上取点F，使FD＝BE，分别连接EF、ED、BD．试判断EF与BD之间具有怎样的位置关系．
【考点4】正方形的性质（17-21题）
方法总结
正方形具有矩形和菱形的所有性质：四边相等、四角90°、对角线相等且垂直平分、轴对称性。
在正方形中，常利用旋转、全等三角形转移线段；边长、对角线关系可用勾股定理（对角线 边长）。
正方形内存在许多等腰直角三角形，可灵活运用45°角。
17．（2025秋 杨浦区期末）如图，正方形ABCD中，点E是DC边上一点，DE＝2a，EC＝a，△ADE经过某一种图形的运动得到△ABF，点E落在直线BC上的点F处，则CF的长度是 　 　 ．（用含a的代数式表示）
18．（2025秋 嘉定区期末）如图，点P是正方形ABCD边BC上一点，且，点Q是边DC的中点，那么的值为 　 　 ．
19．（2025秋 杨浦区校级月考）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧（面积较大）与客卧都为正方形，它们的面积之和比其余面积（阴影部分）多15m2，则主卧与客卧的周长差　 　 m．
20．（2025春 青浦区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F在边DC上，FH垂直平分线段AE，垂足为点H，求DF的长．
21．（2025秋 嘉定区校级期中）情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板．
操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边BC与长方形边重合）的面积为27cm2，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为75cm2，AB＝2cm．
（1）求CD的长．
探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④．
（2）求剩余部分（阴影）的面积S．
【考点5】正方形的判定（22-26题）
方法总结
判定正方形时，可从矩形或菱形出发加一个条件：矩形+邻边相等（或对角线垂直）；菱形+一个直角（或对角线相等）。
也可直接证：对角线相等且垂直且互相平分的四边形是正方形。
注意题中隐含条件，如直角三角形斜边中线等于斜边一半、平行线等。
22．（2025春 徐汇区校级月考）已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（　　）
A．OA＝OC B．OA＝OB C．AB⊥BC D．OA⊥OB
23．（2025春 长宁区校级期中）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列条件能判断菱形ABCD是正方形的是（　　）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
24．（2025春 嘉定区期末）已知四边形ABCD中，∠A＝90°，AB∥CD，∠B＝∠D，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．BC＝CD D．AC＝BD
25．（2024春 普陀区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
26．（2024秋 杨浦区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形（说明理由）．
【考点6】正方形的判定与性质综合（27-31题）
方法总结
综合应用正方形的性质和判定，常与全等三角形、旋转、折叠结合。
常考“手拉手”模型、半角模型（）、十字架模型等。
计算时注意利用特殊角（45°、90°）和勾股定理。
27．（2025春 奉贤区月考）符号“ ”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“ ”表示的推出过程正确的是（　　）
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．③ ① ②
28．（2024春 虹口区期末）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B． C． D．
29．（2025秋 乌兰察布校级期末）如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．若AB＝4，CE：AE＝3：1，则CG＝　 　 ．
30．（2025秋 揭西县期末）【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F．
【猜想证明】
（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明．
31．（2025秋 即墨区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且 BE＝DF，AC＝EF，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若，OB＝3，求AE的长．
【考点7】创新及压轴题（32-33题）
方法总结
涉及“一线三等角”模型（K型全等）、半角模型、面积等积转化。
需通过旋转、构造全等将分散条件集中，然后利用菱形、正方形性质求解。
探究性问题要善于猜想、验证，并总结一般规律。
32．（2024春 红河州期末）【方法感悟】在解决几何问题中，我们会接触很多典型的基本图形，例如“一线三等角．K形全等”，我们把它称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决一些复杂的几何数学题．
今天，我们就来认识它：（1）如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E，那么我们可以得到结论△ABD≌△CAE．请你用所学习过的数学知识证明该结论，
【方法迁移】（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A、F在同一条直线上，BD⊥DF，，．求菱形AEFC的面积．
【问题拓展】（3）如图③，分别以Rt△ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，连接EG，AH是△ABC的高，延长HA交EG于点I，若S正方形ACDE＝12，S正方形ABFG＝8，求AI的长度．
33．（2025秋 江津区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段EF，BE，DF，之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解决了这个问题．
（1）请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系；
（2）如图3，等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，AB＝AD，点E，F在边BD上，且∠EAF＝45°，请写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由；
（3）如图4，点E在正方形ABCD的对角线BD上，∠BAD＝90°，△AEF是直角三角形，斜边AF交BD于G点，且∠BAD＝2∠EAF，，BG＝3，求EG的值．
课后巩固 · 针对性练习
题1 中点四边形：顺次连接四边形中点得菱形，原四边形可能是矩形（对角线相等）或其他。
题2 平行四边形添加条件成矩形（对角线相等或直角）。
题3 长方形拼接中的面积关系与比例问题（利用正方形、长方形面积列方程）。
题4 三角形中角平分线与平行线形成的四边形（矩形、菱形的判定）。
题5 矩形内剪等腰三角形，求底边长（分类讨论：AP=AE，EP=EA，PA=PE）。
题6 平行四边形面积等分线，利用平行四边形对角线性质及勾股定理求线段长。
题7 新定义“友好点”，结合矩形相似、位似求点到点的距离范围。
题8 菱形中垂线、中点、勾股定理求线段长。
题9 平行四边形中过对角线中点作垂线，证菱形并求线段长（矩形背景下）。
题10 平行四边形中中点、菱形判定及特殊四边形（矩形）的证明。
题11 平行四边形中点与对角线交点，证线段相等、菱形（垂直条件下的判定）。
题12 正方形中点连线求中点间距离（中位线、勾股定理）。
题13 菱形中垂足、角相等，证线段相等及角度关系（含30°角）。
题14 正方形中全等、中点、求线段长（旋转全等、勾股定理）。
※ 复习建议 本专题重点在于菱形、正方形的性质与判定，以及它们的综合应用。建议熟练掌握菱形的对角线垂直平分及面积公式，正方形的对角线相等垂直且平分。对于综合题，要善于识别“一线三等角”、“半角模型”等基本图形，并灵活运用旋转、构造全等的方法解决问题。
1．（2025春 长宁区校级期中）顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（　　）
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．梯形
2．（2025春 虹口区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　）
A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD
3．（2025秋 徐汇区校级期中）如图，长方形ABCD是由两个长为a，宽为b的长方形BPEQ和DMGN（a＞b），两个相同的大正方形APHN和FQCM，以及小正方形EFGH无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形EFGH面积的4倍，则的值是（　　）
A．2 B． C． D．3
4．（2025春 嘉定区校级月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G，连接AF，AG．则下列结论错误的是（　　）
A．当AF∥BG时，则四边形AGBF为矩形
B．当AD＝BD时，则四边形AGBF为矩形
C．当AB＝FG时，则四边形AGBF为矩形
D．当BF＝BG时，则四边形AGBF为菱形
5．（2025秋 浦东新区校级期末）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝9，AD＝7，E为AB上一点，AE＝6，现要剪下一张以AE为一边的等腰三角形纸片（△AEP），且使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　 　 ．
6．（2025春 普陀区月考）如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2°，点E在边CD上，且CE＝5，过点E的面积等分线与平行四边形的另一边交于点F，那么线段EF的长为　 　 ．
7．（2025秋 金山区期中）阅读：对于线段AB与点O（点O与AB不在同一直线上），如果同一平面内点Q满足射线OQ与线段AB交于点P，且，那么称点Q为点O关于线段AB的“友好点”．
问题：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝AF＝1，连结EF，设点M是点A关于线段EF的“友好点”，如果点C与点M之间距离为d，那么d的取值范围为 　 　 ．
8．（2025 崇明区三模）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MC的长为 　 　 ．
9．（2025春 宝山区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB、CD于点E、F，联结AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，求EF的长．
10．（2025春 上海校级期中）已知：如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
11．（2025春 青浦区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H，联结EG、FH．
（1）求证：AG＝CH；
（2）当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形．
12．（2025春 闵行区校级月考）如图所示，正方形ABCD中，，点E、F分别为边AB，BC的中点，联结AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，联结MN，求MN的长度．
13．（2025春 闵行区期末）已知：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F．
（1）如图①，如果∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE；
（2）如图②，如果对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN，求证：∠EAF＝2∠BAE．
14．（2026 建邺区一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由．
（2）若AE＝DF＝1，AB＝4，求OP的长．
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(7大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 菱形的定义、性质（四条边相等、对角线互相垂直平分、对角线平分一组对角、轴对称性）和判定方法。
掌握 正方形的定义、性质（四条边相等、四个角为90°、对角线相等且垂直平分）和判定方法。
能熟练运用 菱形、正方形的性质进行线段长、角度、面积的计算，并能灵活选择判定方法证明四边形是菱形或正方形。
掌握 菱形与正方形之间的包含关系（正方形是特殊的菱形），以及矩形、菱形、正方形之间的转化条件。
理解并运用 常见几何模型（如“一线三等角”、“半角模型”、“K型全等”等）解决综合问题。
体会 转化思想、数形结合、分类讨论在解决菱形、正方形问题中的应用。
核心思想：边角关系 · 对角线特征 · 模型识别
知识梳理 · 核心知识点
☆ 菱形的定义与性质
定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
性质： ①四条边都相等；②对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；③是中心对称图形，也是轴对称图形（两条对角线所在直线为对称轴）。
面积公式： ，也可用底×高。
☆ 菱形的判定
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形；④对角线平分一组内角的平行四边形是菱形。
☆ 正方形的定义与性质
定义： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（或既是矩形又是菱形的四边形）。
性质： ①四条边相等，四个角都是90°；②对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形（有四条对称轴）。
☆ 正方形的判定
①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
☆ 菱形与正方形的关系
正方形是特殊的菱形（也是特殊的矩形）。菱形加上一个直角（或对角线相等）即为正方形；矩形加上一组邻边相等（或对角线垂直）即为正方形。
☆ 常见几何模型
“一线三等角”/“K型全等”： 过等腰直角三角形顶点作直线，构造全等三角形。
“半角模型”： 正方形内角为45°时，通过旋转构造全等，得到线段关系（如 ）。
菱形中的折叠、对称： 利用菱形对角线垂直平分、角平分线等性质进行翻折、旋转。
菱形与正方形核心知识速查表
图形 性质 判定条件 面积公式
菱形 四条边相等；对角线垂直平分且平分内角；轴对称 ①邻边相等的平行四边形；②对角线垂直的平行四边形；③四边相等的四边形 或
正方形 四边相等，四角90°；对角线相等且垂直平分 ①邻边相等的矩形；②有一个角是直角的菱形；③对角线相等的菱形；④对角线垂直的矩形 或
核心考点 ·7类题型精讲
【考点1】菱形的性质（1-8题）
方法总结
利用菱形四边相等、对角线垂直平分等性质求边长、对角线长、角度或面积。
常结合勾股定理、三角函数求解，注意菱形面积公式 的灵活运用。
垂直平分线性质、30°角直角三角形边角关系常用。
1．（2024秋 闵行区校级月考）菱形ABCD的边长为1，AE垂直平分BC于点E，则BD的长为（　　）
A． B．
C． D．以上均不对
【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，BD平分∠ABC，AC⊥BD，可证△ABC是等边三角形，可求∠ABD＝∠CBD＝30°，即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，BD平分∠ABC，AC⊥BD，
∵AE垂直平分BC于E，
∴AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AOAB，BOAO，
∴BD＝2BO，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2．（2025春 虹口区校级月考）面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】菱形的性质．
【分析】设菱形的一条对角线长为a，则另一条对角线长为2a，根据菱形的两条对角线互相垂直平分结合勾股定理即可求解．
【解答】解：设菱形的一条对角线长为a，则另一条对角线长为2a，
∵菱形的面积为S，
∴，
∴a，2a＝2，
∵菱形的两条对角线互相垂直平分，
∴其边长，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．
3．（2024 崇明区模拟）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】菱形的性质．
【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数．
【解答】解：如图，
∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，
∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出∠BAD的度数是解题关键．
4．（2024春 宝山区期末）已知菱形的边长是8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积是（　　）
A．64 B．32 C． D．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】连接AC，过点A作AE⊥CD交于点E，由菱形的性质推出AD＝CD＝8，判定△ADC是等边三角形，由等边三角形的性质得到DECD＝4，由勾股定理求出AE4，即可得到菱形的面积＝CD AE＝32．
【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，
连接AC，过点A作AE⊥CD于E，
∵四边形菱形的边长是8，一个内角是60°，
∴AD＝CD＝8，∠D＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴DECD＝4，
∴AE4，
∴菱形的面积＝CD AE＝8×432．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由菱形的性质判定△ADC是等边三角形．
5．（2025春 浦东新区校级期中）菱形的边长为5cm，两条对角线之比为3：4，则菱形一边上的高的长度为　　 cm．
【考点】菱形的性质．
【分析】如图，令BD＝6xcm，则AC＝8xcm，先利用菱形的性质及勾股定理求出BD＝6cm，AC＝8cm，设菱形ABCD一边上的高的长度为hcm，再根据菱形的面积公式和平行四边形的面积公式求出h即可．
【解答】解：如图：菱形ABCD中，BD：AC＝3：4，
令BD＝6xcm，则AC＝8xcm，
∴OB＝ODBD＝3xcm，OA＝OCAC＝4xcm，
∵ABCD为菱形，边长为5cm，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD＝5cm，
∴在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，
∴52＝（4x）2+（3x）2，
解得x＝1或x＝﹣1（负值舍去），
∴AC＝8cm，BD＝6cm，
设菱形ABCD一边上的高的长度为hcm，
∴菱形ABCD的面积，
∴，
解得，
即菱形一边上的高的长度为，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
6．（2025春 奉贤区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，若∠DCB＝80°，那么∠FAC的大小为　10°　 ．
【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．
【分析】由EF是线段AB的垂直平分线得到AF＝BF，继而证明∠FAB＝∠FBA，由菱形的性质结合等腰三角形的性质解得∠BAC＝∠BCA＝40°，最后由∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC解答．
【解答】解：由线段垂直平分线可知，AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝80°，
∴，
∴∠BAC＝∠BCA＝40°，
∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°，
∴∠FAB＝50°，
∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝50°﹣40°＝10°，
故答案为：10°．
【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
7．（2025秋 上海校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，那么AF的长等于 　　 ．
【考点】菱形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理；等边三角形的判定与性质．
【分析】连接BD，连接BF并延长交CD于点H，依题意得△BCD是等边三角形，AE＝BEAB＝1，CF＝EF，证明△FCH和△FEH全等得CH＝BE＝1，FH＝FBBH，则CH＝DH＝1，再根据等边三角形性质得BH⊥CD，则△BCH和△ABF都是直角三角形，在Rt△BCH中，由勾股定理得BH，则FH＝FBBH，然后在Rt△ABF中，由勾股定理得AF，据此即可得出答案．
【解答】解：连接BD，连接BF并延长交CD于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∠DAB＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝∠DAB＝60°，CD∥AB，
∴△BCD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BEAB＝1，
∵点F为CE的中点，
∴CF＝EF，
∵CD∥AB，
∴∠FHC＝∠FBE，∠FCH＝∠FEB，
在△FCH和△FEB中，
，
∴△FCH≌△FEB（AAS），
∴CH＝BE＝1，FH＝FBBH，
∴DH＝CD﹣CH＝2﹣1＝1，
∴CH＝DH＝1，
∵△BCD是等边三角形，
∴BH⊥CD，
∴∠FHC＝∠FBE＝90°，
∴△BCH和△ABF都是直角三角形，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH，
∴FH＝FBBH，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
8．（2025春 闵行区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长为 　　 ．
【考点】菱形的性质．
【分析】首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边AB上的高DE的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，OB＝ODBD＝3，
∴在直角三角形AOB中，，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
【考点2】菱形的判定（9-12题）
方法总结
判断一个四边形是菱形，常用思路：先证平行四边形，再证一组邻边相等或对角线垂直；或直接证四边相等。
注意对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但仅垂直或仅平分不足。
在特殊图形（如平行四边形、梯形）中结合角平分线、中位线等条件证明。
9．（2025春 长宁区校级期中）下列条件中不能确定一个四边形一定是菱形的是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线平分一组内角的平行四边形
D．对角线垂直且互相平分的四边形
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可．
【解答】解：A．一组邻边相等的平行四边形是菱形，能确定一个四边形一定是菱形，故不符合题意；
B．对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故符合题意；
C．对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，能确定一个四边形一定是菱形，故不符合题意；
D．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，能确定一个四边形一定是菱形，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是菱形的判定，熟记菱形的判定方法是关键．
10．（2025春 黄浦区期末）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，再添加一个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不正确的是（　　）
A．AB＝AD B．AB∥CD C．OB＝OD D．AD＝CD
【考点】菱形的判定．
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、AB＝AD，∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COB＝90°，
∵∠ABO＝∠CBO，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝AC，AO＝OC，
∴DA＝DB，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意；
B、AB∥CD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB＝∠CBD，
∴CB＝CD，
∵AC⊥BD，
∴OD＝OB，
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意；
C、OB＝OD，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COB＝90°，
∵∠ABO＝∠CBO，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝AC，AO＝OC，
∴四边形ABC都是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意；
D、由AD＝CD，无法判断四边形ABCD是菱形．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法．
11．（2024秋 闵行区校级月考）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】菱形的判定．
【分析】由AB∥DC，证明∠ABO＝∠CDO，由CE⊥AB交AB的延长线于点E，得∠AEC＝90°，由OC＝OE，得∠OCE＝∠OEC，推导出∠OAE＝∠OEA，则OA＝OE，所以OA＝OC，再证明△AOB≌△COD，得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，由∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CDB，证明∠ADB＝∠ABD，则AB＝AD，即可证明四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵CE⊥AB交AB的延长线于点E，
∴∠AEC＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠OAE+∠OCE＝90°，∠OEA+∠OEC＝90°，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴OA＝OE，
∴OA＝OC，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】此题重点考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，推导出OA＝OC，进而证明△AOB≌△COD是解题的关键．
12．（2025春 长宁区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H，联结EH、FG．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．
【考点】菱形的判定；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）利用平行四边形性质及中点性质可证得四边形AECF是平行四边形，进而证得△DFH≌△BEG（ASA），得出FH＝EG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BEG＝∠DCE，∠FDH＝∠EBG，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴DF＝FC＝AE＝EB，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠DFH＝∠DCE，
∴∠DFH＝∠BEG，
∴△DFH≌△BEG（ASA），
∴FH＝EG，
∵FH∥EG，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）证明：由（1）知，四边形EGFH是平行四边形．
∵点E、O分别是AB、BD的中点，
∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，
∴EF⊥GH．
∴ HEGF是菱形．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及菱形的判定，正确理解定理是解决本题的关键．
【考点3】菱形性质与判定综合（13-16题）
方法总结
综合运用菱形的性质（对角线垂直平分、角平分线）与判定，常需先证明平行四边形再证菱形。
涉及面积、线段长度计算时，常结合勾股定理和等积法。
注意直角梯形、矩形等背景下的菱形构造。
13．（2025秋 浦东新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）先证三角形全等得到对角线互相平分，再结合对角线垂直判定菱形；
（2）利用直角三角形锐角互余和等边对等角知识得到BE的长度，进而求出菱形的对角线长度得到面积．
【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO．
∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°．
在△EOD和△FOB中，
，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴OE＝OF．
又OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；
（2）∠ABD＝90°，AB＝6，AD＝8，
．
∴BE＝DE，．
∴∠EBD＝∠EDB．
∵∠ABD＝90°，
∴∠EBD+∠ABE＝90°，∠BAD+∠EDB＝90°，
∴∠ABE＝∠BAD，
∴AE＝BE＝DE，即E是AD的中点，
∴．
∵BE＝4，，
∴，
∴EF＝2OE＝2×3＝6，
∴．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及菱形面积计算等知识，正确进行计算是解题关键．
14．（2024秋 徐汇区校级月考）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形．
【考点】菱形的判定与性质；矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由AD∥BC，得到∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA，结合BO＝DO，证明△AOD≌△EOB（AAS），推出AO＝EO，易证四边形ABED是平行四边形，再根据∠ABD＝∠CBD，推出∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，即可证明；
（2）由（1）知四边形ABED是菱形，可得∠BOF＝∠DOF＝90°，由CF⊥AE，推出∠CFE＝90°，结合BE＝CE，证明△ECF≌△EOB（AAS），推出OB＝CF，进而得到CF＝DO，由∠BOF＝∠CFE＝90°证明BD∥CF，易证四边形ODCF是平行四边形，结合∠CFE＝90°，即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA，
∵BO＝DO，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴AO＝EO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）由（1）知四边形ABED是菱形，
∴BD⊥AE，
∴∠BOF＝∠DOF＝90°，
∵CF⊥AE，
∴∠CFE＝90°，即∠CFE＝∠BOF，
∵BE＝CE，∠CEF＝∠BEO，
∴△ECF≌△EOB（AAS），
∴OB＝CF，
∴CF＝DO，
∵∠BOF＝∠CFE＝90°，
∴BD∥CF，
∴四边形ODCF是平行四边形，
∵∠CFE＝90°，
∴四边形ODCF是矩形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
15．（2024春 徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，点E是AD的中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，联结CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）如果AC＝6，四边形ADCF的面积是30，求AB的长．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）由AF∥BC，得∠AFE＝∠DBE，而∠AEF＝∠DEB，AE＝DE，即可证明△AFE≌△DBE，则AF＝DB，因为AD是斜边BC上的中线，所以AD＝DB＝DCBC，由AF∥DC，且AF＝DC，证明四边形ADCF是平行四边形，而AD＝DC，则四边形ADCF是菱形；
（2）联结DF，由菱形的性质得AC⊥DF，则S菱形ADCF6DF＝30，求得DF＝10，再证明四边形ABDF是平行四边形，则AB＝DF＝10．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝DB，
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝DB＝DCBC，
∴AF∥DC，且AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：联结DF，
∵四边形ADCF是菱形，且AC＝6，S菱形ADCF＝30，
∴AC⊥DF，
∴6DF＝30，
∴DF＝10，
∵AF∥DB，AF＝DB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AB＝DF＝10，
∴AB的长为10．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的面积公式等知识，证明△AFE≌△DBE是解题的关键．
16．（2024秋 上海校级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，在图中作点D，使AD∥BE，且∠ADC＝90°，在AD上取点F，使FD＝BE，分别连接EF、ED、BD．试判断EF与BD之间具有怎样的位置关系．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】连接BF，证明四边形BEDF是菱形，由菱形的性质可得出结论．
【解答】解：EF⊥BD．
连接BF，
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，E为AC的中点，
∴BE＝DEAC，
∴四边形BEDF是菱形，
∴EF与BD互相垂直平分．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【考点4】正方形的性质（17-21题）
方法总结
正方形具有矩形和菱形的所有性质：四边相等、四角90°、对角线相等且垂直平分、轴对称性。
在正方形中，常利用旋转、全等三角形转移线段；边长、对角线关系可用勾股定理（对角线 边长）。
正方形内存在许多等腰直角三角形，可灵活运用45°角。
17．（2025秋 杨浦区期末）如图，正方形ABCD中，点E是DC边上一点，DE＝2a，EC＝a，△ADE经过某一种图形的运动得到△ABF，点E落在直线BC上的点F处，则CF的长度是 a或5a ．（用含a的代数式表示）
【考点】正方形的性质；列代数式；勾股定理．
【分析】根据题意分两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵△ADE经过某一种图形的运动得到△ABF，点E落在直线BC上的点F处，
∴有两种情况，
当△ADE经过翻折得到△ABF时，如图，
此时，CF＝CE＝a，
而是当△ADE经过旋转得到△ABF，如图，
此时，CF＝BC+BF，BF＝DE＝2a，
E＝2a，EC＝a，
∴BC＝DC＝3a，
∴CF＝5a，
故答案为：a或5a．
【点评】本题考查旋转，翻折的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
18．（2025秋 嘉定区期末）如图，点P是正方形ABCD边BC上一点，且，点Q是边DC的中点，那么的值为 　2　 ．
【考点】正方形的性质；勾股定理．
【分析】依题意得AD＝CD＝BC，∠C＝∠D＝90°，进而得CQ＝DQCD，在Rt△PCQ中，由勾股定理得QP，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AQ，由此即可得出的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠C＝∠D＝90°，
∴△PCQ和△ADQ都是直角三角形，
∵点P是正方形ABCD边BC上一点，且BP，PC，
∴BC＝BP+PC，
∴AD＝CD＝BC，
∵点Q是边DC的中点，
∴CQ＝DQCD，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：QP，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：AQ，
∴2，
∴的值为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
19．（2025秋 杨浦区校级月考）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧（面积较大）与客卧都为正方形，它们的面积之和比其余面积（阴影部分）多15m2，则主卧与客卧的周长差　　 m．
【考点】正方形的性质；有理数的混合运算．
【分析】假设主卧的边长为xm，客卧的边长为ym，且x＞y，根据面积列出方程求解即可．
【解答】解：假设主卧的边长为xm，客卧的边长为ym，且x＞y，
根据题意得（x+y）2＝2（x2+y2）﹣15，
解得：（负值已舍），
∴主卧与客卧的周长差为，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用问题，完全平方公式，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
20．（2025春 青浦区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F在边DC上，FH垂直平分线段AE，垂足为点H，求DF的长．
【考点】正方形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】连接AF，EF，根据正方形性质得AD＝CD＝BC＝2，EC＝1，设DF＝a，则CF＝2﹣a，根据线段垂直平分性质得，FA＝FE，然后由勾股定理构造关于a方程即可得出DF的长．
【解答】解：连接AF，EF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴AD＝CD＝BC＝2，∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴ECBC＝1，
设DF＝a，则CF＝CD﹣DF＝2﹣a，
∵FH垂直平分线段AE，
∴FA＝FE，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：FA2＝AD2+DF2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：FE2＝EC2+CF2，
∴AD2+DF2＝EC2+CF2，
∴22+a2＝12+（2﹣a）2，
解得：a，
∴DF＝a．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握正方形的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
21．（2025秋 嘉定区校级期中）情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板．
操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边BC与长方形边重合）的面积为27cm2，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为75cm2，AB＝2cm．
（1）求CD的长．
探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④．
（2）求剩余部分（阴影）的面积S．
【考点】正方形的性质；矩形的性质．
【分析】（1）根据小正方形的面积，可求出边长，然后计算线段的和差即可得解；
（2）先求出大长方形的长面积，再求出小正方形的面积，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵小正方形①（一边BC与长方形边重合）的面积为27cm2，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为75cm2，
∴小正方形①的边长，小正方形②的边长，
∵AB＝2cm，
∴，
∴CD的长为；
（2）由（1）知大长方形的长为，宽为，
∴大长方形的面积为，
∵从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④，
∴切下两块完全相同的最大的正方形边长为，
∴切下两块完全相同的最大的正方形面积为，
∴剩余部分（阴影）的面积S＝120﹣96＝24（cm2）．
【点评】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则并能正确根据图形，得出数量关系是解决此题的关键．
【考点5】正方形的判定（22-26题）
方法总结
判定正方形时，可从矩形或菱形出发加一个条件：矩形+邻边相等（或对角线垂直）；菱形+一个直角（或对角线相等）。
也可直接证：对角线相等且垂直且互相平分的四边形是正方形。
注意题中隐含条件，如直角三角形斜边中线等于斜边一半、平行线等。
22．（2025春 徐汇区校级月考）已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（　　）
A．OA＝OC B．OA＝OB C．AB⊥BC D．OA⊥OB
【考点】正方形的判定；矩形的性质．
【分析】根据正方形的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AB⊥BC，根据正方形的判定定理逐项判断如下：
A，OA＝OC，不能判定四边形ABCD是正方形；
B，OA＝OB，不能判定四边形ABCD是正方形；
C，AB⊥BC，不能判定四边形ABCD是正方形；
D，OA⊥OB，由对角线互相垂直的矩形为正方形，能判定四边形ABCD是正方形．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．
23．（2025春 长宁区校级期中）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列条件能判断菱形ABCD是正方形的是（　　）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
【考点】正方形的判定；菱形的性质．
【分析】对角线相等的菱形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，据此结合菱形的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、∠DAO+∠ADO＝90°，则∠AOD＝90°，此时并不能证明菱形ABCD是正方形；
B、∠DAC＝∠ACD，可得AD＝CD，此时并不能证明菱形ABCD是正方形；
C、∠DAC＝∠BAC，本身是菱形具有的性质，此时并不能证明菱形ABCD是正方形；
D、∠DAB＝∠ABC，由菱形的性质可得AD∥BC，则∠DAB+∠ABC＝180°，则∠DAB＝∠ABC＝90°，能证明菱形ABCD是正方形；
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24．（2025春 嘉定区期末）已知四边形ABCD中，∠A＝90°，AB∥CD，∠B＝∠D，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．BC＝CD D．AC＝BD
【考点】正方形的判定．
【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠C，根据平行四边形的判定，矩形的判定以及正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴添加BC＝CD，
∴四边形ABCD是正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
25．（2024春 普陀区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出BO＝DO，根据线段垂直平分线性质得出BC＝CD，求出BC＝CE＝CD即可；
（2）根据邻补角互补求出∠ACE＝90°，求出四边形ACED是平行四边形，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
∴BE＝2CD；
（2）∵AC⊥BC，如图，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝2OA＝2CO，
∵CE＝2CO，
∴AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，正方形的判定等知识点，解此题的关键是掌握有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
26．（2024秋 杨浦区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形（说明理由）．
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
（2）先根据第一问的结论结合D是中点，由CE和DB平行且相等得到平行四边形，然后根据对角线垂直，得到菱形，最后再根据菱形得到正方形的条件随便写一个即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即 CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：当∠A＝45°，△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB＝90°，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
又由（1）得CE＝AD，
∴BD＝CE．
∴四边形CDBE是平行四边形．
∵DE⊥BC，
∴平行四边形CDBE是菱形．
∴∠CDB＝90°时，菱形CDBE是正方形．
此时，△ABC是等腰直角三角形，则∠A＝45°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
【考点6】正方形的判定与性质综合（27-31题）
方法总结
综合应用正方形的性质和判定，常与全等三角形、旋转、折叠结合。
常考“手拉手”模型、半角模型（）、十字架模型等。
计算时注意利用特殊角（45°、90°）和勾股定理。
27．（2025春 奉贤区月考）符号“ ”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“ ”表示的推出过程正确的是（　　）
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．③ ① ②
【考点】正方形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】对于选项A，根据四边形对角线互相垂直平分且相等时，则该四边形是正方形，由此可对选项A进行判断；
对于选项B，根据四边形对角线互相垂直平分时，则该四边形是菱形，由此可对选项B进行判断；
对于选项C，根据正方形是特殊的菱形，菱形的对角线互相垂直即可对选项C进行判断；
对于选项D，根据菱形对角线相等时，则该菱形为正方形，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵四边形的对角线互相垂直平分且相等时，则该四边形是正方形，
∴根据四边形的对角线互相垂直不能推出该四边形是正方形，
故选项A不正确，不符合题意；
对于选项B，
∵四边形的对角线互相垂直平分时，则该四边形是菱形
∴根据四边形对角线互相垂直不能推出该四边形是菱形，
故选项B不正确，不符合题意；
∵正方形是特殊的菱形，菱形的对角线互相垂直，
∴当四边形是正方形时可以推出该四边形是菱形，可以推出该四边形的对角线互相垂直，
故选项C正确，符合题意；
对于选项D，
∵对角线相等（或有一个角是直角）的菱形是正方形，
∴当四边形是菱形时不能推出该四边形是正方形，
故选项D不正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，菱形的判定，理解正方形是特殊的菱形，熟练掌握正方形的判定与性质，菱形的判定是解决问题的关键，
28．（2024春 虹口区期末）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B． C． D．
【考点】正方形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】先利用正方形的性质得到AB＝AD＝10cm，在图2中，连接BD交AC于O，证明△ABD是等边三角形得BD＝10cm，再根据菱形的性质和勾股定理求得AO的长即可求．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AC＝10cm，
∴AB＝ADAC＝10cm，
在图2中，连接BD交AC于O，
∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm，
∴△ABD是等边三角形，则BD＝10cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO5cm，AO＝CO，AC⊥BD，
∴AO5（cm），
∴AC＝2AO＝10（cm），
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．
29．（2025秋 乌兰察布校级期末）如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．若AB＝4，CE：AE＝3：1，则CG＝　　 ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，∠ADE＝∠CDG，如图所示，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，可证矩形EMCN是正方形，矩形EFGD是正方形，从而得到△ADE≌△CDG（SAS），由此即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠BCA＝∠DCA＝45°，
∴，
∵CE：AE＝3：1，
∴，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠FED＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∴∠EMC＝∠MCN＝∠CNE＝90°，
∴四边形EMCN是矩形，则∠MEN＝90°＝∠MEF+∠FEN，
∵∠FED＝∠FEN+∠NED＝90°，
∴∠MEF＝∠NED，
∵∠BCA＝45°，∠EMC＝90°，
∴∠MEC＝45°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴EM＝MC，
∴矩形EMCN是正方形，
∴EM＝EN，
∴△EMF≌△END（AAS），
∴EF＝ED，
∴矩形EFGD是正方形，
∴DE＝DG，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明△ADE≌△CDG是解题的关键．
30．（2025秋 揭西县期末）【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F．
【猜想证明】
（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）先证明四边形BE′FE是矩形，即可证明结论；
（2）过点D作DH⊥AE于H，结合正方形性质证明△ADH≌△BAE，得出，根据BE＝E′F即可证明结论．
【解答】解：（1）四边形BE′FE是正方形，理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE′B＝∠EBE′＝90°，BE＝BE′．
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE′FE是矩形．
又∵BE＝BE′，
∴四边形BE′FE是正方形．
（2）CF＝E'F；理由如下：
如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∵∠ADH+∠DAH＝90°，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB．
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴．
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE′，
∵四边形BE′FE是正方形，
∴BE＝E′F，
∴，
∴CF＝E'F．
【点评】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
31．（2025秋 即墨区期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且 BE＝DF，AC＝EF，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若，OB＝3，求AE的长．
【考点】正方形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．
【分析】（1）利用菱形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，AC⊥EF，再利用BE＝DF，得出EO＝FO，得出四边形AECF是平行四边形，再由AC＝EF，AC⊥BD，即可得证；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出AO＝OE＝2，再利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形，
又∵AC＝EF，
∴四边形AECF是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形．
由勾股定理得：．
又∵四边形AECF是正方形，AC＝EF，且AC、EF互相平分，
∴OE＝OA＝2，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2．
【点评】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键．
【考点7】创新及压轴题（32-33题）
方法总结
涉及“一线三等角”模型（K型全等）、半角模型、面积等积转化。
需通过旋转、构造全等将分散条件集中，然后利用菱形、正方形性质求解。
探究性问题要善于猜想、验证，并总结一般规律。
32．（2024春 红河州期末）【方法感悟】在解决几何问题中，我们会接触很多典型的基本图形，例如“一线三等角．K形全等”，我们把它称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决一些复杂的几何数学题．
今天，我们就来认识它：（1）如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E，那么我们可以得到结论△ABD≌△CAE．请你用所学习过的数学知识证明该结论，
【方法迁移】（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A、F在同一条直线上，BD⊥DF，，．求菱形AEFC的面积．
【问题拓展】（3）如图③，分别以Rt△ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，连接EG，AH是△ABC的高，延长HA交EG于点I，若S正方形ACDE＝12，S正方形ABFG＝8，求AI的长度．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）证∠BDA＝∠CEA＝90°，∠CAE＝∠ABD，由AAS证明△ABD≌△CAE即可；
（2）根据勾股定理求出AD，BD，连接CE，交AF于O，由菱形的性质得∠COA＝∠ADB＝90°，同（1）得△ABD≌△CAO（AAS），得OC＝AD，OA＝BD，由菱形的面积公式求出即可得出答案；
（3）过E作EM⊥HI的延长线于M，过点G作GN⊥HI于N，同（1）得△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），得EM＝AH＝GN，证△EMI≌△GNI（AAS），得EI＝GI，证∠EAG＝90°，由勾股定理求出EG，再由直角三角形斜边中线的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）解：连接CE，交AF于O，如图②所示：
在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝2，AB2+AC2＝BC2，
∴2AB2＝（2）2，
∴AB2＝6，
∵AD：BD＝1：，
∴BDAD，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+（AD）2＝6，
∴AD，
∴BD＝2，
∵四边形AEFC是菱形，
∴CE⊥AF，AF＝2OA，CE＝2CO，
∴∠COA＝∠ADB＝90°，
同（1）得：△ABD≌△CAO（AAS），
∴OC＝AD，OA＝BD＝2，
∴AF＝4，CE＝2，
∴S菱形AEFCAF CE4×24；
（3）解：过E作EM⊥HI的延长线于M，过点G作GN⊥HI于N，如图③所示：
∴∠EMI＝∠GNI＝90°，
∵S正方形ACDE＝AE2＝12，S正方形ABFG＝AG2＝8，
∴AE＝2，AG＝2，∠CAE＝∠BAG＝90°，
同（1）得：△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），
∴EM＝AH＝GN，
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点，
∵∠CAE＝∠BAG＝∠BAC＝90°，
∴∠EAG＝90°，
在Rt△EAG中，由勾股定理得：EG2，
∵I是EG的中点，
∴AIEG．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
33．（2025秋 江津区期中）如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段EF，BE，DF，之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解决了这个问题．
（1）请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系；
（2）如图3，等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，AB＝AD，点E，F在边BD上，且∠EAF＝45°，请写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由；
（3）如图4，点E在正方形ABCD的对角线BD上，∠BAD＝90°，△AEF是直角三角形，斜边AF交BD于G点，且∠BAD＝2∠EAF，，BG＝3，求EG的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由旋转的性质可得BG＝DF，∠BAG＝∠DAF，∠ABG＝∠ADF＝90°＝∠FAG，FA＝GA，然后可得△AGE≌△AFE（SAS），进而问题可求证；
（2）把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，由旋转的性质可知BE′＝DF，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠FAE′＝90°，然后可证△AEE′≌△AEF（SAS），进而问题可求解；
（3）把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接GH，同理（2）可得：DE2+BG2＝EG2，设EG＝x，则有DE＝BD﹣BG﹣EG＝12﹣3﹣x＝9﹣x，进而可建立方程进行求解．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF；理由如下：
由旋转可得BG＝DF，∠BAG＝∠DAF，∠ABG＝∠ADF＝90°＝∠FAG，FA＝GA，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠ABC＝180°，
∴E，B，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAG＝∠FAG﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）BE2+DF2＝EF2；理由如下：
把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，如图3，
∴BE′＝DF，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠FAE′＝90°，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠D＝45°＝∠ABE′，
∴∠ABD+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BE2＝EE′2，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠EAE′＝∠E′AF﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
在△AEE'与△AEF中，
，
∴△AEE′≌△AEF（SAS），
∴EE′＝EF，
∴BE2+DF2＝EF2；
（3）∵四边形ABCD是正方形，，
∴，
∵∠BAD＝90°，且∠BAD＝2∠EAF，
∴∠EAF＝45°，
把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接GH，如图所示：
同理（2）可得：DE2+BG2＝EG2，
设EG＝x，则有DE＝BD﹣BG﹣EG＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
∴（9﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝5，
即EG＝5．
【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
题1 中点四边形：顺次连接四边形中点得菱形，原四边形可能是矩形（对角线相等）或其他。
题2 平行四边形添加条件成矩形（对角线相等或直角）。
题3 长方形拼接中的面积关系与比例问题（利用正方形、长方形面积列方程）。
题4 三角形中角平分线与平行线形成的四边形（矩形、菱形的判定）。
题5 矩形内剪等腰三角形，求底边长（分类讨论：AP=AE，EP=EA，PA=PE）。
题6 平行四边形面积等分线，利用平行四边形对角线性质及勾股定理求线段长。
题7 新定义“友好点”，结合矩形相似、位似求点到点的距离范围。
题8 菱形中垂线、中点、勾股定理求线段长。
题9 平行四边形中过对角线中点作垂线，证菱形并求线段长（矩形背景下）。
题10 平行四边形中中点、菱形判定及特殊四边形（矩形）的证明。
题11 平行四边形中点与对角线交点，证线段相等、菱形（垂直条件下的判定）。
题12 正方形中点连线求中点间距离（中位线、勾股定理）。
题13 菱形中垂足、角相等，证线段相等及角度关系（含30°角）。
题14 正方形中全等、中点、求线段长（旋转全等、勾股定理）。
※ 复习建议 本专题重点在于菱形、正方形的性质与判定，以及它们的综合应用。建议熟练掌握菱形的对角线垂直平分及面积公式，正方形的对角线相等垂直且平分。对于综合题，要善于识别“一线三等角”、“半角模型”等基本图形，并灵活运用旋转、构造全等的方法解决问题。
1．（2025春 长宁区校级期中）顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（　　）
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．梯形
【考点】菱形的判定与性质；矩形的判定．
【分析】根据三角形中位线定理以及菱形的性质，可得原四边形的对角线相等，即可求解．
【解答】解：如图，四边形ABCD的四边AB，BC，CD，AD中点分别为E，F，G，H，且四边形EFGH为菱形，连接四边形对角线AC、BD，
∵AB，BC，CD，AD中点分别为E，F，G，H，
∴AC＝2EF＝2HG，BD＝2EH＝2FG，
∵四边形EFGH为菱形，
∴AC＝BD，
即原四边形的对角线相等，
故顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是矩形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形和矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．（2025春 虹口区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　）
A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，
∵DE＝AD，
∴BC＝DE，
∵BC∥AD，
∴BC∥DE，
∴四边形DBCE是平行四边形
A、∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝BE时，AB＝CD，
∴BE＝CD，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；
C、∵BE＝CD，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵BE⊥CD，
∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
3．（2025秋 徐汇区校级期中）如图，长方形ABCD是由两个长为a，宽为b的长方形BPEQ和DMGN（a＞b），两个相同的大正方形APHN和FQCM，以及小正方形EFGH无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形EFGH面积的4倍，则的值是（　　）
A．2 B． C． D．3
【考点】正方形的性质；矩形的性质．
【分析】设小正方形的边长是x，由SAS推出△PEF≌△MGH，△NHE≌△QFG，得到△PEF的面积＝△MGH的面积，△NHE的面积＝△QFG的面积，求出△NEH的面积（a﹣x）x，△MGH的面积bx，得到阴影的面积＝（a+b）x﹣x2，由阴影部分的面积是正方形EFGH面积的4倍，得到（a+b）x﹣x2＝x2，求出x（a+b），得到PH（a+b）+b，FQ＝a（a+b），因此（a+b）+b＝a（a+b），即可求出．
【解答】解：设小正方形的边长是x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝HG，
∵MG＝PE＝b，∠PEF＝∠MGH＝90°，
∴△PEF≌△MGH（SAS），
同理：△NHE≌△QFG（SAS），
∴△PEF的面积＝△MGH的面积，△NHE的面积＝△QFG的面积，
∵NH＝NG﹣HG＝a﹣x，HE＝x，
∴△NEH的面积（a﹣x）x，
∵HG＝x，MG＝b，
∴△MGH的面积bx，
∴阴影的面积（a﹣x）x×2bx×2＝（a+b）x﹣x2，
∵阴影部分的面积是正方形EFGH面积的4倍，
∴（a+b）x﹣x2＝x2，
∴x（a+b），
∵PH＝PE+HE（a+b）+b，FQ＝EQ﹣EF＝a（a+b），
∴（a+b）+b＝a（a+b），
∴．
故选：C．
【点评】本题考查正方形、矩形的性质，关键是由阴影部分的面积是正方形EFGH面积的4倍，得到（a+b）x﹣x2＝x2，求出x的值，得到PH、FQ的长，即可解决问题．
4．（2025春 嘉定区校级月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G，连接AF，AG．则下列结论错误的是（　　）
A．当AF∥BG时，则四边形AGBF为矩形
B．当AD＝BD时，则四边形AGBF为矩形
C．当AB＝FG时，则四边形AGBF为矩形
D．当BF＝BG时，则四边形AGBF为菱形
【考点】矩形的判定；菱形的判定．
【分析】根据角平分线的定义得到∠DBG，求得∠DBG+∠DBF（∠ABM+∠ABC）∠MBC，得到∠GBF＝90°，推出DG＝DB＝DF，当AF∥BG时，∠FAD＝∠DBG，根据全等三角形的性质得到AF＝BG，推出四边形AGBF为矩形，故A不符合题意；当AD＝BD时，由DG＝DF，得到四边形AGBF为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形AGBF为矩形；故B不符合题意；当AB＝FG时，由BD＝DG＝DFFG，得到BD，求得AD＝BD，得到四边形AGBF为矩形；故C不符合题意；当BF＝BG时，则△GBF是等腰直角三角形，得到AB⊥FG，但不能证得四边形AGBF是平行四边形，当BF＝BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故D符合题意．
【解答】解：如图，∵∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G，
∴∠DBG，
∴∠DBG+∠DBF（∠ABM+∠ABC）∠MBC，
∵∠MBC＝180°，
∴∠GBF＝90°，
∵GE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠DGB＝∠GBM，
∴∠DGB＝∠DBG，∠DFB＝∠DBF，
∴DG＝DB＝DF，
当AF∥BG时，∠FAD＝∠DBG，
∵∠ADF＝∠BDG，
∴△ADF≌△BDG（AAS），
∴AF＝BG，
∴四边形AGBF为矩形，故A不符合题意；
当AD＝BD时，∵DG＝DF，
∴四边形AGBF为平行四边形，
∵∠GBF＝90°，
∴四边形AGBF为矩形；故B不符合题意；
当AB＝FG时，∵BD＝DG＝DFFG，
∴BD，
∴AD＝BD，
∴四边形AGBF为矩形；故C不符合题意；
当BF＝BG时，则△GBF是等腰直角三角形，
∴AB⊥FG，
但不能证得四边形AGBF是平行四边形，
∴当BF＝BG时，四边形AGBF不一定为菱形，故符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
5．（2025秋 浦东新区校级期末）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝9，AD＝7，E为AB上一点，AE＝6，现要剪下一张以AE为一边的等腰三角形纸片（△AEP），且使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　6或或　 ．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】由矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，结合等腰三角形的性质分三种情况计算即可得解．
【解答】解：由矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，结合等腰三角形的性质分三种情况讨论如下：
如图，AE的垂直平分线交CD于点P，
，
此时△AEP为等腰三角形，底边为AE＝6；
如图，以点A为圆心，以6为半径画弧交AD于点P，
此时△AEP为等腰三角形，底边为；
如图，以点E为圆心，以6为半径画弧交BC于点P，
此时△AEP为等腰三角形，PE＝AE＝6，BE＝AB﹣AE＝3，
∴，
∴底边；
综上所述：等腰三角形AEP的底边长是6或或，
故答案为：6或或．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
6．（2025春 普陀区月考）如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2°，点E在边CD上，且CE＝5，过点E的面积等分线与平行四边形的另一边交于点F，那么线段EF的长为　　 ．
【考点】矩形的判定与性质；勾股定理．
【分析】先作出平行四边形的高，即是梯形的高，根据梯形面积公式算出AF的长，进而算出GF的长度，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2°，CE＝5，如图，过点D作DO⊥AB于点O，过点E作EG⊥AB于G，
∴AO＝DO＝2，CD＝AB＝6，
∴DE＝CD﹣CE＝6﹣5＝1，
∴，
解得：AF＝5，
由作图可知，四边形DOGE是矩形，
∴OG＝1，
∴GF＝5﹣2﹣1＝2，
在直角三角形GEF中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点．
7．（2025秋 金山区期中）阅读：对于线段AB与点O（点O与AB不在同一直线上），如果同一平面内点Q满足射线OQ与线段AB交于点P，且，那么称点Q为点O关于线段AB的“友好点”．
问题：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝AF＝1，连结EF，设点M是点A关于线段EF的“友好点”，如果点C与点M之间距离为d，那么d的取值范围为 　2d≤4　 ．
【考点】矩形的性质；勾股定理．
【分析】如图，设AM交EF于点P，根据新定义可得，过点B作BG∥FE交AD于点G，根据平行线分线段成比例定理可知：点M在线段BG上，连接CG，过点C作CM1⊥BG于点M1，最后由勾股定理和三角形的面积即可解答．
【解答】解：如图，设AM交EF于点P，
∵点M是点A关于线段EF的“友好点”，
∴，
∵AE＝AF＝1，AB＝3，AD＝4，
∴，即当M与B重合时，CM有最大值，此时CM'＝4，
过点B作BG∥FE交AD于点G，
∴AG＝AB＝3，
∴点M在线段BG上，DG＝4﹣3＝1，
连接CG，过点C作CM1⊥BG于点M1，
由勾股定理得：BG3，
∵S△BCG3×43CM1，
∴CM1＝2，
∵点C与点M之间距离为d，
∴d的取值范围为：2d≤4．
故答案为：2d≤4．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，新定义“友好点”，三角形面积等知识，解决本题的关键是理解和运用“友好点”．
8．（2025 崇明区三模）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MC的长为 　　 ．
【考点】菱形的性质．
【分析】连接AC，由菱形的性质得到OA＝OC，由直角三角形斜边中线的性质推出OM＝OC＝2，由勾股定理求出BC＝2，由菱形的面积公式得到BC AMAC BD，求出AM，由勾股定理即可求出MC的长．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC过BD的中点O，
∴OA＝OC，
∵AM⊥BC，
∴∠AMC＝90°，
∴OMAC，
∵OM＝OC＝2，
∴AC＝4，
∵OBBD8＝4，
∴BC2，
∵菱形ABCD的面积＝BC AMAC BD，
∴2AM8×4，
∴AM，
∴MC．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由菱形的面积公式得到BC AMAC BD．
9．（2025春 宝山区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB、CD于点E、F，联结AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，求EF的长．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【分析】（1）由矩形的性质可CF∥AE，进而得出∠FCO＝∠EAO，结合O为对角线AC的中点得出△AOE≌△COF，即CF＝AE，即可得出四边形AECF是平行四边形，结合EF⊥AC即可得出四边形AECF是菱形；
（2）根据勾股定理求出AC，然后根据菱形的性质和勾股定理求出OF，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CF∥AE，
∴∠FCO＝∠EAO，
∵O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，
∴∠D＝90°，
∴AC8，
∴OAAC＝4，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF，
∴DF＝CD﹣CF＝16﹣AF，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴82+（16﹣AF）2＝AF2，
∴AF＝10，
∴OF2，
∴EF＝2OF＝4．
【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
10．（2025春 上海校级期中）已知：如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，B＝CD，然后证明出四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE＝BF；
（2）首先证明出四边形AGBD是平行四边形，如图所示，连接DG，由菱形得到DE＝BE，然后证明出AB＝DG，即可得到平行四边形AGBD是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF；
（2）解：矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AG∥DB，
∴四边形AGBD是平行四边形，
如图所示，连接DG
∵E为边AB的中点，
∴点E在DG上，
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE，
∵AE＝BE，DE＝EG，
∴AB＝DG，
∴平行四边形AGBD是矩形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，解题的关键是相关性质的熟练掌握．
11．（2025春 青浦区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H，联结EG、FH．
（1）求证：AG＝CH；
（2）当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB＝CD，求得AE，CF，得到AE＝CF，根据全等三角形的性质得到EH＝FG，得到AG＝CH；
（2）连接EF，由（1）知，EH＝FG，EH∥FG，得到四边形EHFG是平行四边形，求得AD∥EF，根据菱形的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB＝CD，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE，CF，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，AF∥CE，
∴∠AFD＝∠FCH，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠FCE，∠EBH＝∠FDG，
∴∠DFG＝∠BEH，
∵BE，
∴BE＝DF，
∴△BEH≌△DFG（ASA），
∴EH＝FG，
∴AG＝CH；
（2）连接EF，
由（1）知，EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE＝DF，
∵AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四边形EHFG是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
12．（2025春 闵行区校级月考）如图所示，正方形ABCD中，，点E、F分别为边AB，BC的中点，联结AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，联结MN，求MN的长度．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】连接AM，并延长交CD于点H，连接HF，依题意得AE＝CF，证明△MHD和△MAE全等得DH＝AD，HM＝AM，进而得CH，MN是△AFH的中位线，则MNHF，然后利用勾股定理求出HF即可得出MN的长．
【解答】解：连接AM，并延长交CD于点H，连接HF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，∠C＝90°，
∵点E，F分别是AB，BC的中点，
∵AEAB，CFBC，
∵点M是DE的中点，
∴DM＝EM，
∴AB∥CD，
∴∠MDH＝∠MEA，∠MHD＝∠MAE，
在△MHD和△MAE中，
，
∴△MHD≌△MAE（AAS），
∴DH＝AD，HM＝AM，
∴CH＝CD﹣DH，
在Rt△CHF中，由勾股定理得：HF2，
∵HM＝AM，点N是AF的中点，
∴MN是△AFH的中位线，
∴MNHF＝1．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
13．（2025春 闵行区期末）已知：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F．
（1）如图①，如果∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE；
（2）如图②，如果对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN，求证：∠EAF＝2∠BAE．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证AE＝BE，可以通过证明∠B＝45°＝∠BAE，根据等腰直角三角形的性质得出；
（2）根据菱形的性质，由AAS证明△ABE≌△ADF，由于∠BAN＝90°，通过证明△AMN是等边三角形，得出∠MAN＝60°，则有∠MAB＝30°，从而证明∠EAF＝2∠BAE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
又∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
又∵∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝45°，∠AEB＝90°，
∴∠B＝45°＝∠BAE，
∴AE＝BE．
（2）∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，
∴∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN，
又∵∠BAN＝90°，BM＝MN，
∴AM＝MN＝AN，
∴∠MAN＝60°，
∴∠MAB＝30°，
∴∠EAF＝2∠BAE．
【点评】本题主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．（2026 建邺区一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由．
（2）若AE＝DF＝1，AB＝4，求OP的长．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，再根据三角形全等的判定定理证出△ABE≌△DAF，然后根据全等三角形的性质可得BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，最后根据角的和差可得∠AOB＝90°，由此即可得证；
（2）先根据正方形的性质可得∠C＝90°，BC＝CD＝AB＝4，再根据线段的和差可得CF＝3，然后利用勾股定理可得BF＝5，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【解答】解：（1）AF与BE的关系是垂直且相等，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，
∴∠AOB＝90°，即AF⊥BE，
综上，AF与BE的关系是垂直且相等；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝AB＝4，
∵AE＝1，AE＝DF，
∴DF＝1，
∴CF＝CD﹣DF＝3，
在Rt△BCF中，，
∵点P是Rt△BOF斜边BF的中点，
∴．
【点评】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
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