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专题24.1 平面直角坐标系及距离公式 优等生讲义
(13大考点精讲+压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标
理解并掌握 平面直角坐标系的基本概念与点的坐标表示
熟练运用 点的坐标特征判断点所在的象限、到坐标轴的距离
掌握 中点坐标公式、两点间距离公式及其应用
能根据 实际情境用有序数对、方位角和距离确定位置
体会 数形结合思想在坐标系中的应用
核心公式：中点坐标 ；
两点距离
知识梳理 · 核心概念与定理
☆ 平面直角坐标系
x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点
象限：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、
第四象限（+，-）
坐标轴上的点：x轴上纵坐标为0，y轴上横坐标为0
☆ 点的坐标特征
点到x轴的距离 = |纵坐标|
点到y轴的距离 = |横坐标|
平行于x轴的直线上的点纵坐标相等
平行于y轴的直线上的点横坐标相等
☆ 中点坐标公式
若 ，则中点坐标为
☆ 两点间距离公式
特别地，当两点连线平行于坐标轴时，则距离(d = ||)
或 (d = ||)
☆ 方位与距离确定位置
用有序数对 (a,b) 表示位置（如网格中先左右再上下）
用方向角（如北偏东45°）和距离描述位置
核心考点 · 13类题型精讲
【考点1】用有序数对表示位置与路线
知识点/方法
有序数对：(a,b) 第一个数表示左右移动（右正左负），第二个数表示上下移动（上正下负）。
路线描述：依次给出每一步的移动向量，可确定终点位置。
路程计算：将每一步移动的绝对值相加，得到总路程。
规律探索：按行或列排列的数，用有序数对定位（如第几行第几列）。
1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．
(1)图中（ ， ）， （， ）；
(2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程．
(3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置．
【答案】(1)，，B，
(2)10
(3)见解析
【知识点】用有序数对表示路线、用有序数对表示位置
【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键.
（1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格；
（2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可；
（3）根据题意，画出路线图即可.
【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线，
故答案为：，，B，；
（2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为，
∴路程为；
（3）解：如图：
2．（25-26八年级上·上海·月考）将一组数，2，，…，按下面的方式进行排列：，2，，，，，，4，，，…．若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为________．
【答案】
【知识点】用有序数对表示位置、利用二次根式的性质化简、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，准确计算是解题的关键．
根据题意可得每行五个数，且根号里面的数都是2的倍数，从而可以得到这组数中最大的有理数是，并得出它所在的位置即可．
【详解】解：∵的位置记为，的位置记为，
∴这组数的排列方式为每行五个数，
∴这组数排列为，2，，，，
，，4，，，…．
将题干中的数统一为根号形式，得到数列为 ，，，，
，，，，，，…．
∴根号里面的数都是2的倍数，
∵这组数中最大的，由大到小依次为，，，，…，，，，…，，，．
∴这组数中最大的有理数是，
∵，，
∴是第七行第二个数，位置记为 ．
故答案为： ．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．
(1)填空：（（__________，________），_______（，________）．
(2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置．
【答案】(1)，，D，
(2)见解析
【知识点】用有序数对表示路线、用有序数对表示位置
【分析】（1）根据方格中两点的位置关系，确定左右和上下移动的格数，从而得到相应的表示数.
（2）根据给定的一系列数，在方格中描出爬行路线并确定最终位置..
【详解】（1）解：：先向右移动3个单位，所以左右方向的数是+3，
再向下移动2个单位，所以上下方向的数是
：先向右移动1个单位，所以左右方向的数是+1
再向下移动个单位，所以上下方向的数是
故答案为：，，D，.
（2）解：甲虫从点开始，第一个爬行路线为：先向右1个单位，再向上3个单位；
接着( 1,+1)：先向左1个单位，再向上1个单位；
然后(+3, 5)：先向右移动3个单位，再向下移动5个单位；
最后：先向左4个单位，再向上2个单位，从而确定点P的位置.
【考点2】写出直角坐标系中点的坐标
知识点/方法
坐标确定：过点作x轴、y轴的垂线，垂足对应的数即为横、纵坐标。
特殊位置：点在x轴上纵坐标为0；点在y轴上横坐标为0；平行于坐标轴的直线上的点坐标特征。
平移与对称：平移时横坐标左减右加，纵坐标下减上加；关于原点对称时横纵坐标均变为相反数。
新定义运算：按给定规则计算新坐标（如“倍减点”）。
4．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，点在直线上且到轴的距离为2，那么点坐标为__________．
【答案】或
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离
【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律．
点A和点B的横坐标相同，直线垂直于x轴，点在直线上，故横坐标为2；点C到x轴的距离为2，故纵坐标为2或，即可得到答案．
【详解】解：由点和点可知，在直线上的横坐标相同都为，
∵点在直线上，
∴点的横坐标为2；
∵点到x轴的距离为2，即点C的纵坐标的绝对值为2，所以纵坐标为2或，
∴点C的坐标为或．
故答案为或．
5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)将向右平移4个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标；
(2)与关于原点O成中心对称，请画出，并写出点的坐标．
【答案】(1)见解析，点的坐标为
(2)见解析，点的坐标为
【知识点】平移(作图)、写出直角坐标系中点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查作图平移变换、中心对称变换，熟练掌握平移、中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）将三个顶点向右平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接，然后写出坐标即可；
（2）作出、、关于原点对称的对应点、、，顺次连接，然后写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴点的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求；
∴点的坐标为．
6．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）定义：在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为，若点N的坐标为，其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”．
(1)已知点的“2级倍减点”是点，则点的坐标为______；
(2)已知点的“-3级倍减点”位于轴上，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若第二象限存在点，使轴，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查坐标系中点的坐标，对新定义的理解；
（1）根据题目给出的定义直接计算出的坐标即可；
（2）先根据定义求出Q点的坐标，再根据Q点在轴上，利用轴上的点横坐标为0，即可求解；
（3）先求出P点坐标，由轴得K点纵坐标与P点纵坐标相同，可设出K点坐标，利用建立方程再结合K点所在象限可求出K点坐标.
【详解】（1）解：∵，
∴“2级倍减点”点横坐标为：，纵坐标为：，
∴坐标为.
故答案为：.
（2）解：∵点的“-3级倍减点”为，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
即，
又∵位于轴上，
∴，
解得
∴，
∴.
故答案为：.
（3）解：由（2）得
∴，
∵轴，且，
∴K点纵坐标与P点纵坐标相同，
∴设，
∴，
即或
解得或
∵点在第二象限，
∴，
∴舍去，
∴．
【考点3】求点到坐标轴的距离
知识点/方法
点到x轴距离：(|y|)
点到y轴距离：(|x|)
绝对值方程：根据距离关系列方程 \(|x-a| = b\) 或 \(|y-c| = d\) 求解。
结合象限：由点所在象限确定坐标的正负，进而化简绝对值。
7．（2025八年级上·上海·专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则点到轴、轴的距离相等
B．已知点，，则轴
C．若满足，则点在轴上
D．点一定在第二象限
【答案】C
【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，包括点到坐标轴的距离、点与点的位置关系、坐标轴上点的特征以及象限内点的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：
A、∵点到轴的距离为，到轴的距离为，
若，则，
∴，即距离相等，此选项正确，故不符合题意；
B、∴点，的纵坐标相同，
∴轴，此选项正确，故不符合题意；
C、∵若，则或，点在轴或轴上，
∴不一定在轴上，此选项不正确，故符合题意；
D、∵，，
∴点A在第二象限，此选项正确，故不符合题意；
故选：C．
8．（24-25八年级上·江西九江·月考）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标．
(1)点的坐标为，且直线轴；
(2)点到轴的距离与到轴的距离相等．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或
【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特点．
（1）平行于x轴的直线，纵坐标都相等，由此即可求解；
（2）点到x轴的距离是，点到y轴的距离是，则有，根据绝对值的性质即可求解．
【详解】（1）解：点，点Q的坐标为，且直线轴，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：点，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴，
∴或，
解得或，
当时，；
当时，．
综上所述，点P的坐标为或．
9．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如 和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点 和点 互为“等差点”，则的值为（　　）
A． 或 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键．
【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，
∴，
，
∴或，
解得或
故选：
10．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）设点在第四象限，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第四象限，可得出a、b的符号，即可得出点到轴的距离．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，，
∴，
∴在第三象限，
∴点到轴的距离，
故选：B．
【考点4】判断点所在的象限
知识点/方法
象限符号：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)。
参数范围：根据点所在象限列出不等式组，求出参数取值范围。
坐标轴上的点：不属于任何象限（x轴、y轴）。
分类讨论：当坐标含参数时，需讨论不同情况确定象限。
11．（25-26八年级上·上海·期末）若点在轴上，则点在第___________象限．
【答案】四
【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征，解题的关键是掌握数形结合的思想．
根据y轴上点的横坐标为0，求出m的值，再代入点B的坐标，判断其所在象限即可．
【详解】点A在y轴上，
，解得，
，故点B在第四象限．
故答案为：四．
12．（22-23九年级下·上海·期中）不论实数m取什么值，点一定不在第_______象限．
【答案】三
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据直角坐标系中点的特征并分类讨论即可得到答案．
【详解】解：当时，解得：，
此时点在第一象限；
当时，解得：，
此时点在第二象限；
当时，无解，
此时点不可能在第三象限；
当时，解得：，
此时点在第四象限；
故答案为：三．
13．（23-24七年级下·上海青浦·期末）若点在y轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．根据点在y轴上得到，即可求出，再根据点的横纵坐标符号判断所在象限即可．
【详解】解： 点在y轴上，
，即，
，，即点，
点在第四象限．
故选：D．
【考点5】已知点所在的象限求参数
知识点/方法
列不等式组：根据象限符号特征列出关于参数的不等式组。
化简求值：结合不等式组求解参数范围，再代入化简代数式。
结合二次根式：化简时注意 及去绝对值符号的讨论。
14．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】此题考查第二象限内点的坐标特点，根据第二象限点的横坐标为负求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴．
故选：B．
15．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________．
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，由直线经过第二象限，则，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，∵直线经过第二象限，
∴．
∴．
故答案为：．
16．（21-22七年级下·上海闵行·期末）若点在第一象限， 则______．
【答案】/
【知识点】已知点所在的象限求参数、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题
【分析】根据点所在的象限的坐标特征得到的范围，结合二次根式性质及去绝对值运算即可得到答案．
【详解】解：点在第一象限，
，解得，
，
当时，，则原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式化简，涉及二次根式性质、去绝对值运算，不同象限中点的坐标特征等知识，熟练掌握二次根式性质、去绝对值运算是解决问题的关键．
17．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知：点，根据下列条件，解答下列各题．
(1)当时，写出点的坐标为___________，点在第___________象限；
(2)若点在轴上，求点坐标；
(3)若的坐标是，且轴，求点坐标．
【答案】(1)；四
(2)
(3)
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限
【分析】本题主要考查点与坐标轴的特点，掌握点在坐标轴上点的横纵坐标的特点以及两直线平行的性质是解题的关键．
（1）把代入，即可求解．
（2）根据点在轴上，横坐标为零，即可求解；
（3）根据平行与轴，则纵坐标相等，可求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴ 点的坐标为，
∵，
∴点在第四象限；
故答案为：；四
（2）解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
此时，
∴点的坐标为；
（3）解：∵点，的坐标是，且轴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【考点6】坐标系中描点
知识点/方法
描点步骤：根据横坐标找竖直位置，纵坐标找水平位置，交点即点。
坐标系画法：两条互相垂直、有公共原点、标有正方向的数轴。
连接图形：顺次连接各点得多边形，可利用坐标求边长、面积。
面积计算：将不规则图形分割成规则图形（梯形、三角形等）求和。
18．（25-26八年级·上海·假期作业）在平面直角坐标系中描出以下各点：
、、、．
（1）顺次连接、、、得到四边形；
（2）计算四边形的面积．
【答案】描点见解析；（1）图见解析；（2）
【知识点】坐标系中描点
【分析】本题考查了坐标与图形；
（1）根据坐标系描点、连线，即可求解．
（2）根据点的坐标求出梯形的上底，下底，高后求面积．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）．
19．（25-26八年级·上海·假期作业）下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】坐标系中描点
【分析】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可．
【详解】解：A、两条数轴不互相垂直，故此选项不符合题意；
B、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，故此选项不符合题意；
C、两条数轴都没有正方向，故此选项不符合题意；
D、符合平面直角坐标系的定义，故此选项符合题意；
故选：D．
20．（20-21七年级下·上海黄浦·期末）在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣1，4），点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到x轴的距离是2，到y轴的距离是4
（1）写出图中点B的坐标　　；
（2）在图中描出点C，并写出图中点C的坐标：　　；
（3）画出△ABO关于y轴的对称图形△A′B′O；
（4）联结A′B、BB′、B′C、A′C．那么四边形A′BB′C的面积等于　　
【答案】（1）（﹣4，﹣2），（2）描点见解析，（4，2）（3）画图见解析，（4）30
【知识点】画轴对称图形、坐标系中描点
【分析】（1）根据B的位置写出坐标即可；
（2）描出点C，根据C的位置写出坐标即可；
（3）作出A、B关于y轴的对称点A′、B′即可;
（4）根据S四边形A′BB′C＝S△A′BB′+S△CA′B′计算即可；
【详解】解：（1）观察可知点B的坐标为：B（﹣4，﹣2）；
故答案为（﹣4，﹣2），
（2）点C的位置如图所示，坐标为C（4，2），
故答案为（4，2）．
（3）△A′B′O如图所示，
（4）S四边形A′BB′C＝S△A′BB′+S△CA′B′＝×4×3+ ×8×6＝30．
故答案为30．
【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的坐标变化规律，会用分割法求四边形面积．
【考点7】中点坐标
知识点/方法
中点公式：
应用：已知中点及一点求另一点；旋转180°后对应点关于旋转中心对称
（中点关系）。
倍长中线：延长中线使延长部分等于原中线，构造平行四边形或全等三角形。
21．（25-26八年级上·上海·月考）已知点和点，则线段的中点坐标为________．
【答案】
【知识点】中点坐标、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查的是中点坐标计算，解题的关键在于准确代入数值并注意正负号的运算．已知两点和，要求线段的中点坐标．根据中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半，直接代入计算即可得出结果．
【详解】解：点坐标为，点坐标为，
则中点横坐标为，纵坐标为，
故中点坐标为．
22．（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中点坐标、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了坐标系中的旋转，掌握旋转的性质和中点坐标公式是解题的关键；
根据旋转的性质可得：点C是的中点，设点B的坐标为，然后根据中点坐标公式求解即可．
【详解】解：根据旋转的性质可得：点C是的中点，
设点B的坐标为，
则，
解得：，
∴点B的坐标为；
故选：D．
23．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中点坐标
【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知两点坐标，，则中点坐标为，直接求解即可．
【详解】解：∵，
∴点D为的中点，
∵点，，
∴点E的坐标为，即，
故选：A．
【考点8】点坐标规律探索
知识点/方法
周期规律：观察点的坐标变化，找出循环周期（如每4个点一循环）。
等差数列：横坐标或纵坐标按一定规律递增或递减。
图形与坐标：正方形、螺旋形等特殊图形中点的坐标规律。
新定义运算：根据给定运算规则推导坐标关系。
24．（23-24九年级下·上海·自主招生）如图，有一系列正方形，则的坐标为_______．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了图形的坐标规律变化类问题，根据图形可得，，，，即得圆心的序号为偶数时，横坐标为，纵坐标为，据此即可求解，根据图形找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：由图得到，，，，，
即圆心的序号为偶数时，横坐标为，纵坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：．
25．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，…，顶点依次用，，，，…，表示，则顶点的坐标为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了规律型，点的坐标，掌握通过已知点的坐标找出规律是解答本题的关键．
通过观察图形，各点坐标的规律：横纵坐标绝对值相等，其绝对值等于循环次数，坐标的正负按照，，，依次循环，由此选出答案．
【详解】解：由图形可知：
，，，，，，，，，，，…
由各点坐标可知，每个点一循环，横纵坐标绝对值相同，坐标的绝对值等于循环的次数，坐标正负按照，，，依次循环，
，
，
故选：．
26．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为______．

【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】根据坐标得出规律第列：共个点，前列总点数为：，当时，，当时，，第1000个数位于第45列，由图可知，奇数列各点是从上往下排列，纵坐标为，即可得到答案．
【详解】解：由图可知：
第1列：共1个点，
第2列：共2个点，
第3列：共3个点，
第4列：共4个点，
第5列：共5个点，
……
第列：共个点，
前列总点数为：，
当时，，
当时，，
第1000个数位于第45列，
由图可知，奇数列各点排序是从上往下排列，
第1000个点位于第45列从上到下：个位置上，其横坐标为45，纵坐标为，
第1000个点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的找规律，根据图观察得出规律，是解题的关键．
27．（2022七年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，任两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
规定运算：①A⊙B＝（x1+x2，y1+y2）；
②当x1＝x2，y1＝y2时，有A＝B成立．
设点C（x3，y3），若A⊙B＝B⊙C，试说明A＝C．
【答案】见解析
【知识点】点坐标规律探索
【分析】根据新的运算定义解答即可．
【详解】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
∴A⊙B＝（x1+x2，y1+y2），B⊙C＝（x2+x3，y2+y3），
∵A⊙B＝B⊙C，
∴x1+x2＝x2+x3，y1+y2＝y2+y3，
∴x1＝x3，y1＝y3，
∴A＝C．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是能够正确理解新的运算定义．
【考点9】实际问题中用坐标表示位置
知识点/方法
建立坐标系：根据已知点的坐标确定原点和坐标轴方向。
根据坐标描点：在坐标系中找出对应位置。
根据描述确定坐标：结合方向、距离等信息写出点的坐标。
28．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），那么棋子“炮”的坐标为（　　）
A．（3，0） B．（3，1） C．（3，2） D．（2，2）
【答案】C
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】根据“车”的位置，向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到坐标原点，建立平面直角坐标系，再根据“炮”的位置解答．
【详解】解：由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3），
建立如图平面直角坐标系，原点为底边正中间的点，以底边为x轴，向右为正方向，以左右正中间的线为y轴，向上为正方向；
根据建立的坐标系可知，棋子“炮”的坐标为（3，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查坐标确定位置，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
29．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）小舟同学去北京游玩时绘制了北京景点示意图，并以天安门广场为原点建立平面直角坐标系，著名景点“卢沟桥”在坐标系中的位置可以表示为________，1937年中国军队在此地打响了全面抗战的第一枪．
【答案】
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键；因此此题可根据题中所给平面直角坐标系进行求解即可．
【详解】解：由坐标系可知：著名景点“卢沟桥”在坐标系中的位置可以表示为；
故答案为．
【考点10】根据方位描述确定物体的位置
知识点/方法
方位角：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西，角度从正北或正南方向开始。
位置确定：需要方向角和距离两个量才能唯一确定位置。
相对方位：若A在B的北偏东α°，则B在A的南偏西α°。
30．（25-26八年级上·全国·期末）如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为．
(1)根据上述条件建立平面直角坐标系；
(2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置；
(3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)图见解析，
【知识点】根据方位描述确定物体的位置、实际问题中用坐标表示位置、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中找出点的位置，根据点的位置写出点的坐标，解题的关键是数形结合，建立正确的平面直角坐标系．
（1）根据大门的坐标为，花坛的坐标为，找出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可；
（2）在平面直角坐标系中根据点A的坐标找出建筑物A的位置即可；
（3）根据建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向处找出点B的位置，得出点B的坐标即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示；
（2）解：点A如图所示；
（3）解：点B如图所示，点．
31．（24-25八年级下·河北唐山·月考）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（ ）
A．距淇淇家1200米处
B．南偏西方向上
C．北偏东方向上的1200米处
D．南偏西方向上的1200米处
【答案】C
【知识点】根据方位描述确定物体的位置
【分析】本题考查了根据方位描述确定物体的位置，熟练掌握坐标的应用是解题关键．先求出学校相对于淇淇家的所在位置的方向角，再根据图形确定距离，由此即可得．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处，
故选：C．
【考点11】已知两点坐标求两点距离
知识点/方法
距离公式：
构造直角三角形：利用坐标差作为直角边，用勾股定理求距离。
等腰三角形存在性：设未知点坐标，利用距离相等列方程求解。
判断三角形形状：用距离公式求三边长，结合勾股逆定理判断直角三角形。
32．（25-26八年级·上海·假期作业）如果点与点的距离等于，那么的值等于___．
【答案】0或
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题主要考查两点间的距离公式，掌握已知，则是解题的关键．
根据两点间距离公式列出方程，平方后化简求解即可．
【详解】由点和点的距离为，
得，
两边平方，得，
展开并整理：，
，
，
，
解得或，经检验均符合题意．
故答案为：或．
33．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标为______．
【答案】/
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，勾股定理等知识点，解题的关键是利用两点间距离公式求出的长度，再结合圆的半径相等确定点的坐标．
先通过两点间距离公式计算的长度，由得到的长度，再结合点的坐标求出点的横坐标．
【详解】解：由点、，根据两点间距离公式：
以为圆心,为半径画弧交轴负半轴于，
．
设点的坐标为，则，
在轴负半轴，，
，解得．
故答案为：．
34．（20-21八年级上·上海黄浦·期末）平面上三个点的坐标分别是，，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了两点间的距离公式：也考查了三角形形状的判定．先根据两点间的距离公式计算出三边长，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：∵，，
∴，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
故选：A．
35．（24-25八年级下·上海·月考）平面直角坐标系内有点、，点在轴上，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标．
【答案】
【知识点】已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的定义．
设，根据两点之间距离公式得出，，根据等腰三角形的性质，列出方程求解即可．
【详解】解：∵点P在y轴上，
∴点P的横坐标为0，
设，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
36．（23-24八年级上·上海静安·期末）在直角坐标系中，已知点为线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，则线段长为______．
【答案】
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理的应用．利用勾股定理求得，进一步即可求得的长．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
点为线段的中点，
，
故答案为：．
【考点12】用方向角和距离确定物体的位置
知识点/方法
方位描述：“北偏东30°”表示从正北方向向东转30°的方向。
距离标注：必须同时给出距离才能唯一确定位置。
画图：按给定方向和距离在图中标出位置，可测量或计算坐标。
37．（25-26六年级上·上海宝山·月考）海中有、、三个小岛，岛在岛正西方距离400海里处（如下图所示），岛在岛的北偏东方向500海里处．
(1)用1厘米代表200海里，请根据题意在图中画出岛的位置，并量出图中的长度为 厘米，（四舍五入到个位）；那么、两地的实际距离约为 海里．
(2)甲、乙两货轮同时从岛出发，甲沿方向，乙沿方向，10小时相遇，此时甲货轮比乙货轮多行驶了100海里，求甲乙两货轮的速度．
(3)若岛需要大米和玉米共30吨，岛需要大米和玉米共50吨，现从岛运输20吨大米与60吨玉米到岛和岛，运输费用共为10600元（每吨的运输费用如下表所示），那么运到岛的大米与玉米各是多少吨？
到岛的运费（元/吨） 到岛的运费（元/吨）
大米 100 200
玉米 80 150
【答案】(1)4；800；
(2)甲乙两货轮的速度分别为90海里/小时，80海里/小时；
(3)运到岛的大米10吨，玉米吨
【知识点】用方向角和距离确定物体的位置、行程问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】题目主要考查二元一次方程和一元一次方程的应用，理解题意，列出方程和方程组是解题关键．
（1）根据题意画出图形求解即可；
（2）设甲乙两货轮的速度分别为x海里/小时，y海里/小时，根据题意列出方程组求解即可；
（3）设运到岛的大米a吨，玉米吨，运到C岛的大米吨，玉米吨，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示点C的位置，量出图中的长度为厘米，
实际距离约为：海里，
故答案为：4；800；
（2）设甲乙两货轮的速度分别为x海里/小时，y海里/小时，
根据题意得：，
解得：，
∴甲乙两货轮的速度分别为90海里/小时，80海里/小时；
（3）设运到岛的大米a吨，玉米吨，运到C岛的大米吨，玉米吨，
根据题意得：，
解得：，
∴，
∴运到岛的大米10吨，玉米吨．
38．（25-26六年级上·上海青浦·期末）如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（ ）
A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处
C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处
【答案】B
【知识点】用方向角和距离确定物体的位置
【分析】本题主要考查的是方向角，根据方向角的概念即可解答．
【详解】解：根据图形可知：在港口的南偏东方向，相距30海里处．
故选：B．
39．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为_______．
【答案】
【知识点】用方向角和距离确定物体的位置
【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可．
【详解】解： A，B的位置分别记为，
坐标中第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，
由图可知，在第三个圈，从位置逆时针旋转的位置上，
目标的位置记为．
故答案为：．
【考点13】创新与压轴题
知识点/方法
新定义问题：理解新定义（如“完美点”“T变换点”），转化为坐标计算。
最值问题：利用两点间线段最短、轴对称、垂线段最短求最值。
勾股定理应用：构造直角三角形，用勾股定理列方程求解。
全等三角形：通过坐标差证明三角形全等，转移线段。
分类讨论：等腰三角形、直角三角形存在性讨论，列方程求解。
1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，将一个台球桌面分成网格图，小球起始时位于处，击球使球沿图中箭头所指方向运动，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是______．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查坐标位置，根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2026次碰到球桌边时小球的位置．解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，小球起始时位于处，
小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，
小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是，
小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是，
小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是，
小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是，
小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是，
……
∵，
∴小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是，
故答案为：．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为．
(1)点的T变换点为______；
(2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、点坐标规律探索
【分析】（1）根据“T变换点”的定义解答即可；
（2）设点的T变换点为，根据“T变换点”的定义可得，，再由变换点在第四象限，可得到m的取值范围，即可．
【详解】（1）解：点的T变换点为，即；
（2）解：设点的T变换点为，
∴，，
∵变换点在第四象限，
∴，．
即，，
解得．
∴．
3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”．
(1)点______（填“是”或“否”）“完美点”；
(2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”；
(3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”．
【答案】(1)是
(2)，点B是“完美点”；
(3)见解析
【知识点】求点到坐标轴的距离、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握新定义是解题的关键：
（1）根据新定义进行判断即可；
（2）根据勾股定理求出的值，再根据新定义进行判断即可；
（3）根据新定义进行证明即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点到轴的距离为3，到轴的距离为4，
∴点到原点的距离为，
∴点分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数，
∴点是“完美点”；
（2）解：由题意，，
解得，
∴，，
∴点到轴的距离为12，到轴的距离为5，到原点的距离为13，均为整数，
∴点B是“完美点”；
（3）证明：∵，
∴点到原点的距离为，
∵为整数，
∴，均为整数，
∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，均为整数，
∴点C为“完美点”．
4．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰．
(1)如图1，若、满足，求点的坐标
(2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为或或
(3)见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用算术平方根的非负性解题、已知两点坐标求两点距离
【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识，
（1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案；
（2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可；
（3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图：过点作轴于．
∵，
∴，
，，
，，
，，
∵是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
；
（2）存在；
设点P的坐标为，则，
∵，，
∴，
当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去）
∴此时点P的坐标为；
当时，得到，解得或
∴此时点P的坐标为或；
综上可知，点P的坐标为或或；
（3）过点作，使，连接、．
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
．
5．（25-26八年级上·江西南昌·期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题.
已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：.
例如：已知、，则这两点间的距离．特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知、，求、两点间的距离；
(2)已知、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为8，点的纵坐标为2，求、两点间的距离；
(3)已知的顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗 请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是直角三角形．理由见解析
【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题为阅读理解题，仔细阅读题中内容，掌握题中给出解决问题的方法，熟练运用题目中所给的两点间距离公式是解决问题的关键 ．
（1）根据两点间的距离公式求解即可；
（2）由A、B在平行于轴的同一条直线上，可得点A、B的横坐标相等，由于横坐标相同，所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；
（3）利用两点间的距离公式求得、、的值，再利用勾股定理的逆定理判断的形状即可．
【详解】（1）解：、，
；
（2）、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为8，点的纵坐标为2，
；
（3）是直角三角形．
理由：、、，
，
，
，
，
∴是直角三角形．
6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【思考与尝试】
在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：
如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？
【合作与交流】
坪坪和山山进行了合作讨论学习．
首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？
坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！
山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是……
(1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____．
(2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？
坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和……
而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小．
请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．

(3)求出代数式的最小值．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【知识点】已知两点坐标求两点距离、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】（1）过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，利用点的坐标的特征和勾股定理解答即可；
（2）构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可；
（3）在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，如图，
则，，
∴．
故答案为：5；
（2）解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴当取得最小值时，的最小值的最小值．
作点E关于直线的对称点，连接，交于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图，
则，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图，
则，，，，
∴，，
∴代数式的最小值的最小值，
作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图，
∴
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴代数式的最小值为．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关于x轴对称的点的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1 中点坐标计算
练习2 点到坐标轴的距离
练习3 象限内点的坐标特征
练习4 已知距离求点坐标
练习5 两点间距离公式应用
1．（25-26八年级·上海·假期作业）点和点的中点坐标为________．
【答案】
【知识点】中点坐标
【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键．
根据中点坐标公式直接求解即可．
【详解】点和点，
则中点横坐标为，纵坐标为，
则中点坐标为．
故答案为：．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，则点A到x轴的距离为________，到y轴的距离为________．
【答案】 6 3
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值．
根据平面直角坐标系中点的坐标几何意义进行解答即可．
【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为，到轴的距离为．
故答案为：，．
3．（22-23七年级下·上海·期末）已知点是直角坐标平面中第二象限内的一点，如果点到轴的距离为1，到轴的距离为2，那么点的坐标为________．
【答案】
【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查坐标系中点的坐标的特征，熟练掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键．
根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，再根据坐标轴中第二象限点的横坐标和纵坐标的正负进行确定即可．
【详解】解：∵第二象限内有一点M，点到轴的距离为1，到轴的距离为2，
∴，
故答案为：．
4．（24-25八年级下·上海金山·月考）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是______．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式．
设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：∵点在轴上，
∴设，
∵点到点的距离是它到点距离的倍，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
5．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为__________．
【答案】，
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中两点之间的距离，
设，根据题意得到，进而求解即可．
【详解】∵点在轴上
∴设
∵点的坐标为，
∴
∴
∴
∴点的坐标为，．
故答案为：，．
课后巩固 · 核心作业
作业1-3 方位角、全等三角形与坐标、平移对称
作业4-6 距离公式、中点坐标、新定义运算
作业7-8 等腰三角形存在性、规律探索
作业9-10 点到坐标轴距离、勾股定理
作业11-12 正方形与坐标、路线表示
作业13-16 等腰三角形分类讨论、新定义最值问题
※复习建议 熟练掌握中点坐标和距离公式，灵活运用坐标特征，动点问题设未知数列方程，最值问题利用对称和垂线段最短求解。
1．（25-26六年级上·上海·期末）点A在点B的南偏东方向上，则点B在点A的（ ）
A．东偏北方向上 B．北偏西方向上
C．北偏西方向上 D．西偏北方向上
【答案】B
【知识点】用方向角和距离确定物体的位置
【分析】本题考查方位角的相对性，利用两点相对位置的方向相反、角度相等的性质求解，正确理解方位角定义是关键.
【详解】解：∵点A在点B的南偏东方向上，
∴根据方位角的相对性，观测点互换后，方向相反，角度相等，
∴点B在点A的北偏西方向上．
故选：B．
2．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，且，点、分别在、轴正半轴上，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的性质定理及点P的坐标，过点P分别作轴、轴，垂足分别为D、E，证明即可．
【详解】解：如图所示，过点P分别作轴、轴，垂足分别为D、E，
点在第一象限的角平分线上，
，
,
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
,，
，
，
，
故选：C．
3．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（ ）．
A．点在第四象限，点在第二象限
B．点和点关于原点对称
C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点
D．两点间的距离是10
【答案】C
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、判断点所在的象限、坐标系中的平移、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键．
根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用勾股定理，可判断选项D．
【详解】解：∵，，
∴点在第四象限，
∵，，
∴点在第二象限，故A正确；
∵，，
∴点和点关于原点对称，故B正确；
点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度后，坐标为，故C错误；
由勾股定理可得，，故D正确．
故选：C．
4．（25-26八年级上·上海·月考）在直角坐标平面上，到点，和原点的距离相等的点的坐标是，那么下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，以及根据等量关系列方程、解方程组的能力；解题的关键是利用点到点的距离公式建立等式，再通过化简和验证判断各选项是否成立；易错点是在运用距离公式时可能出现的计算错误，或在化简过程中符号处理不当．
根据题意，点到点和原点的距离相等，即；分别利用两点间距离公式列出和的方程，并进行化简；将化简得到的方程与选项中的方程逐一对比，判断其是否成立．
【详解】解：设点到的距离相等
，，
由得：
两边平方得：，
化简得：，
即，
∴
选项A正确，不符合题意；
由得：
两边平方得：，
展开：，
化简得：，即
选项B正确，不符合题意；
联立方程：
解得
选项C错误，符合题意；
选项D正确，不符合题意；
故选C．
5．（24-25八年级上·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“已知两点的坐标求两点之间的距离”的求解方法是解本题的关键．
根据平面直角坐标系中两点间距离公式，计算点到原点的距离即可．
【详解】解：根据题意得，点到原点的距离是．
故选：C．
6．（25-26八年级上·上海·月考）已知点，，则线段的长为________
【答案】
【知识点】已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了两点之间的距离公式：已知在平面直角坐标系中有两点，则这两点间的距离公式为，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可得．
【详解】解：∵点，，
∴．
故答案为：．
7．（24-25八年级下·江西宜春·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为______．
【答案】或或
【知识点】已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义、中点坐标
【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的定义，勾股定理等知识， 根据中点坐标公式求出点D的坐标，设，分三种情况讨论∶；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可．
【详解】解∶∵，，为的中点，
∴，即，
∵是轴正半轴上一个动点，
∴设，
当时，
，
∴点的坐标为；
当时，
，
解得，
∴点的坐标为；
当时，
，
解得或
∴点的坐标为；
综上， 点的坐标为或或，
故答案为∶ 或或．
8．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）如图在平面直角坐标系中，，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为______．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标．
根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第二象限，再根据第二象限点的规律即可得出结论．
【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，
∵，
∴点在第二象限，
∵第二象限的点，点，点，……，，
∴点，
故答案为：．
9．（24-25八年级下·吉林长春·月考）已知点P的坐标为，则P点到y轴距离为______．
【答案】1
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了求点到坐标轴的距离，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得答案．
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴P点到y轴距离为，
故答案为：1．
10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）点A的坐标为，点P在x轴上，且．则点P的坐标为 _____．
【答案】或
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形
【分析】此题考查了坐标系中点的坐标，熟练掌握x轴上点的纵坐标为0，两点间的距离公式，是解题的关键．
设，再根据两点间的距离公式求出x的值即可．
【详解】解：∵点P在x轴上，
∴设，
∵点A的坐标为，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：或．
11．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为．
(1)求出点、的坐标；
(2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积；
【答案】(1)点坐标为，点坐标为
(2)的面积为
【知识点】求点到坐标轴的距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定与性质，勾股定理与折叠问题；
（1）作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，由轴，得，再通过证明，即可得到点的坐标；
（2）设点的坐标为，由得，，即可求出点的坐标，作轴交轴于点，轴交轴于点，则，即可求解．
【详解】（1）解：作轴交轴于点，轴交轴于点，轴交轴于，交于，延长交轴于，
轴，
，
，
在和中，
，
，
，
点坐标为，
，
点坐标为，
同理可得，
，
，
，
四边形为长方形，
，
，
点坐标为，
点坐标为，点坐标为；
（2）解：设点的坐标为，
由（1）得，点坐标为，点坐标为，
，
，
解得，
点的坐标为，
作轴交轴于点，轴交轴于点，
点坐标为，点坐标为，点的坐标为，
则，
，
的面积为．
12．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示．
(1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示；
(2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置；
(3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】用有序数对表示路线、用有序数对表示位置
【分析】此题主要考查了有序数对确定位置，正确理解有序数对意义是解题关键．
（1）直接利用已知有序数对，结合平位置得出答案；
（2）利用已知有序数对，进而得出答案；
（3）先规划好路线，再用有序数对表示路线即可．
【详解】（1）解：小颖家在东王小区，她家的位置可以用表示；
故答案为：；
（2）解：如图所示：李红家的位置即为所求；
（3）解：李红从家到少年宫的一条路线可以为：
．
13．（21-22八年级上·上海·期末）在直角坐标系xoy中，已知：A、B两点的坐标为A(2，2)、B(5，1)．
(1)求A、B两点的距离；
(2)在x轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求满足要求的点C的坐标．
【答案】(1)
(2)，，，，
【知识点】等腰三角形的性质和判定、写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索
【分析】（1）直接利用两点间的距离公式即可求得答案．
（2）根据x轴上点的性质可设点的坐标为，利用等腰三角形的性质分类讨论，结合两点间距离公式即可求得答案．
【详解】（1）解：∵A、B两点的坐标为A(2，2)、B(5，1)，
∴，
即A、B两点的距离为．
（2）由题意可设点的坐标为，
①当时，即，
解得：，
②当时，即，
解得：或，
当时，即，
解得：，
综上所述，
所以满足要求的点C的坐标为：，，，，．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离公式、坐标轴上点的坐标的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握两点间距离公式和会用分类讨论思想解题．
14．（23-24八年级上·上海·月考）已知：，，，且为等腰三角形，求的值．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的定义、已知两点坐标求两点距离
【分析】根据等腰三角形的定义，结合两点距离公式得，，，然后进行分类讨论，即可列式作答．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
，
∵为等腰三角形，
∴当时，即，
则
解得；
或当时，即，
因为，
所以
此种情况不存在；
或当时，即，
则，
即，
那么
综上所述，或．
【点睛】本题考查了两点的距离公式以及等腰三角形的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
15．（21-22八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)
【知识点】已知两点坐标求两点距离、因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法
【分析】（1）直接利用AB＝计算即可；
（2）分两种情况讨论：点B在坐标轴上，设或再利用可得列方程，再解方程即可；
（3）直接利用列方程，再解方程即可.
【详解】（1）解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：
故答案为：
（2）解： 点B在坐标轴上，设或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或
或
当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，
或
解得：
或
（3）解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，
整理得：
解得：
【点睛】本题考查的是已知两点坐标求解两点之间的距离，一元二次方程的解法，掌握“两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B两点的距离AB＝”是解本题的关键.
16．（20-21八年级上·湖南长沙·期末）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）10，
【知识点】已知两点坐标求两点距离、二次根式的应用
【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可；
（2）把M、N两点代入，把根号下函数转化为顶点式即可求解；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为：；
故最小值为：；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，
此时；
作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，AC-BC=AC-=，
在x轴上任取一点，，
即
故的最小值为：10m；的最大值为．
【点睛】本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性．
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专题24.1 平面直角坐标系及距离公式 优等生讲义
(13大考点精讲+压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标
理解并掌握 平面直角坐标系的基本概念与点的坐标表示
熟练运用 点的坐标特征判断点所在的象限、到坐标轴的距离
掌握 中点坐标公式、两点间距离公式及其应用
能根据 实际情境用有序数对、方位角和距离确定位置
体会 数形结合思想在坐标系中的应用
核心公式：中点坐标 ；
两点距离
知识梳理 · 核心概念与定理
☆ 平面直角坐标系
x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点
象限：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、
第四象限（+，-）
坐标轴上的点：x轴上纵坐标为0，y轴上横坐标为0
☆ 点的坐标特征
点到x轴的距离 = |纵坐标|
点到y轴的距离 = |横坐标|
平行于x轴的直线上的点纵坐标相等
平行于y轴的直线上的点横坐标相等
☆ 中点坐标公式
若 ，则中点坐标为
☆ 两点间距离公式
特别地，当两点连线平行于坐标轴时，则距离(d = ||)
或 (d = ||)
☆ 方位与距离确定位置
用有序数对 (a,b) 表示位置（如网格中先左右再上下）
用方向角（如北偏东45°）和距离描述位置
核心考点 · 13类题型精讲
【考点1】用有序数对表示位置与路线
知识点/方法
有序数对：(a,b) 第一个数表示左右移动（右正左负），第二个数表示上下移动（上正下负）。
路线描述：依次给出每一步的移动向量，可确定终点位置。
路程计算：将每一步移动的绝对值相加，得到总路程。
规律探索：按行或列排列的数，用有序数对定位（如第几行第几列）。
1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．
(1)图中（ ， ）， （， ）；
(2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程．
(3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置．
2．（25-26八年级上·上海·月考）将一组数，2，，…，按下面的方式进行排列：，2，，，，，，4，，，…．若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为________．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．
(1)填空：（（__________，________），_______（，________）．
(2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置．
【考点2】写出直角坐标系中点的坐标
知识点/方法
坐标确定：过点作x轴、y轴的垂线，垂足对应的数即为横、纵坐标。
特殊位置：点在x轴上纵坐标为0；点在y轴上横坐标为0；平行于坐标轴的直线上的点坐标特征。
平移与对称：平移时横坐标左减右加，纵坐标下减上加；关于原点对称时横纵坐标均变为相反数。
新定义运算：按给定规则计算新坐标（如“倍减点”）。
4．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，点在直线上且到轴的距离为2，那么点坐标为__________．
5．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)将向右平移4个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标；
(2)与关于原点O成中心对称，请画出，并写出点的坐标．
6．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）定义：在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为，若点N的坐标为，其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”．
(1)已知点的“2级倍减点”是点，则点的坐标为______；
(2)已知点的“-3级倍减点”位于轴上，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若第二象限存在点，使轴，且，求点的坐标．
【考点3】求点到坐标轴的距离
知识点/方法
点到x轴距离：(|y|)
点到y轴距离：(|x|)
绝对值方程：根据距离关系列方程 \(|x-a| = b\) 或 \(|y-c| = d\) 求解。
结合象限：由点所在象限确定坐标的正负，进而化简绝对值。
7．（2025八年级上·上海·专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则点到轴、轴的距离相等
B．已知点，，则轴
C．若满足，则点在轴上
D．点一定在第二象限
8．（24-25八年级上·江西九江·月考）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标．
(1)点的坐标为，且直线轴；
(2)点到轴的距离与到轴的距离相等．
9．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如 和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点 和点 互为“等差点”，则的值为（　　）
A． 或 B． C．或 D．或
10．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）设点在第四象限，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点4】判断点所在的象限
知识点/方法
象限符号：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)。
参数范围：根据点所在象限列出不等式组，求出参数取值范围。
坐标轴上的点：不属于任何象限（x轴、y轴）。
分类讨论：当坐标含参数时，需讨论不同情况确定象限。
11．（25-26八年级上·上海·期末）若点在轴上，则点在第___________象限．
12．（22-23九年级下·上海·期中）不论实数m取什么值，点一定不在第_______象限．
13．（23-24七年级下·上海青浦·期末）若点在y轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点5】已知点所在的象限求参数
知识点/方法
列不等式组：根据象限符号特征列出关于参数的不等式组。
化简求值：结合不等式组求解参数范围，再代入化简代数式。
结合二次根式：化简时注意 及去绝对值符号的讨论。
14．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________．
16．（21-22七年级下·上海闵行·期末）若点在第一象限， 则______．
17．（25-26八年级上·江西九江·期中）已知：点，根据下列条件，解答下列各题．
(1)当时，写出点的坐标为___________，点在第___________象限；
(2)若点在轴上，求点坐标；
(3)若的坐标是，且轴，求点坐标．
【考点6】坐标系中描点
知识点/方法
描点步骤：根据横坐标找竖直位置，纵坐标找水平位置，交点即点。
坐标系画法：两条互相垂直、有公共原点、标有正方向的数轴。
连接图形：顺次连接各点得多边形，可利用坐标求边长、面积。
面积计算：将不规则图形分割成规则图形（梯形、三角形等）求和。
18．（25-26八年级·上海·假期作业）在平面直角坐标系中描出以下各点：
、、、．
（1）顺次连接、、、得到四边形；
（2）计算四边形的面积．
19．（25-26八年级·上海·假期作业）下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（20-21七年级下·上海黄浦·期末）在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣1，4），点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到x轴的距离是2，到y轴的距离是4
（1）写出图中点B的坐标　　；
（2）在图中描出点C，并写出图中点C的坐标：　　；
（3）画出△ABO关于y轴的对称图形△A′B′O；
（4）联结A′B、BB′、B′C、A′C．那么四边形A′BB′C的面积等于　　
【考点7】中点坐标
知识点/方法
中点公式：
应用：已知中点及一点求另一点；旋转180°后对应点关于旋转中心对称
（中点关系）。
倍长中线：延长中线使延长部分等于原中线，构造平行四边形或全等三角形。
21．（25-26八年级上·上海·月考）已知点和点，则线段的中点坐标为________．
22．（24-25九年级上·四川凉山·期末）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【考点8】点坐标规律探索
知识点/方法
周期规律：观察点的坐标变化，找出循环周期（如每4个点一循环）。
等差数列：横坐标或纵坐标按一定规律递增或递减。
图形与坐标：正方形、螺旋形等特殊图形中点的坐标规律。
新定义运算：根据给定运算规则推导坐标关系。
24．（23-24九年级下·上海·自主招生）如图，有一系列正方形，则的坐标为_______．
25．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，…，顶点依次用，，，，…，表示，则顶点的坐标为（ ）

A． B．
C． D．
26．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为______．

27．（2022七年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，任两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
规定运算：①A⊙B＝（x1+x2，y1+y2）；
②当x1＝x2，y1＝y2时，有A＝B成立．
设点C（x3，y3），若A⊙B＝B⊙C，试说明A＝C．
【考点9】实际问题中用坐标表示位置
知识点/方法
建立坐标系：根据已知点的坐标确定原点和坐标轴方向。
根据坐标描点：在坐标系中找出对应位置。
根据描述确定坐标：结合方向、距离等信息写出点的坐标。
28．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），那么棋子“炮”的坐标为（　　）
A．（3，0） B．（3，1） C．（3，2） D．（2，2）
29．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）小舟同学去北京游玩时绘制了北京景点示意图，并以天安门广场为原点建立平面直角坐标系，著名景点“卢沟桥”在坐标系中的位置可以表示为________，1937年中国军队在此地打响了全面抗战的第一枪．
【考点10】根据方位描述确定物体的位置
知识点/方法
方位角：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西，角度从正北或正南方向开始。
位置确定：需要方向角和距离两个量才能唯一确定位置。
相对方位：若A在B的北偏东α°，则B在A的南偏西α°。
30．（25-26八年级上·全国·期末）如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为．
(1)根据上述条件建立平面直角坐标系；
(2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置；
(3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标．
31．（24-25八年级下·河北唐山·月考）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（ ）
A．距淇淇家1200米处
B．南偏西方向上
C．北偏东方向上的1200米处
D．南偏西方向上的1200米处
【考点11】已知两点坐标求两点距离
知识点/方法
距离公式：
构造直角三角形：利用坐标差作为直角边，用勾股定理求距离。
等腰三角形存在性：设未知点坐标，利用距离相等列方程求解。
判断三角形形状：用距离公式求三边长，结合勾股逆定理判断直角三角形。
32．（25-26八年级·上海·假期作业）如果点与点的距离等于，那么的值等于___．
33．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标为______．
34．（20-21八年级上·上海黄浦·期末）平面上三个点的坐标分别是，，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是
35．（24-25八年级下·上海·月考）平面直角坐标系内有点、，点在轴上，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标．
36．（23-24八年级上·上海静安·期末）在直角坐标系中，已知点为线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，则线段长为______．
【考点12】用方向角和距离确定物体的位置
知识点/方法
方位描述：“北偏东30°”表示从正北方向向东转30°的方向。
距离标注：必须同时给出距离才能唯一确定位置。
画图：按给定方向和距离在图中标出位置，可测量或计算坐标。
37．（25-26六年级上·上海宝山·月考）海中有、、三个小岛，岛在岛正西方距离400海里处（如下图所示），岛在岛的北偏东方向500海里处．
(1)用1厘米代表200海里，请根据题意在图中画出岛的位置，并量出图中的长度为 厘米，（四舍五入到个位）；那么、两地的实际距离约为 海里．
(2)甲、乙两货轮同时从岛出发，甲沿方向，乙沿方向，10小时相遇，此时甲货轮比乙货轮多行驶了100海里，求甲乙两货轮的速度．
(3)若岛需要大米和玉米共30吨，岛需要大米和玉米共50吨，现从岛运输20吨大米与60吨玉米到岛和岛，运输费用共为10600元（每吨的运输费用如下表所示），那么运到岛的大米与玉米各是多少吨？
到岛的运费（元/吨） 到岛的运费（元/吨）
大米 100 200
玉米 80 150
38．（25-26六年级上·上海青浦·期末）如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（ ）
A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处
C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处
39．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A，B的位置分别记为，则目标的位置记为_______．
【考点13】创新与压轴题
知识点/方法
新定义问题：理解新定义（如“完美点”“T变换点”），转化为坐标计算。
最值问题：利用两点间线段最短、轴对称、垂线段最短求最值。
勾股定理应用：构造直角三角形，用勾股定理列方程求解。
全等三角形：通过坐标差证明三角形全等，转移线段。
分类讨论：等腰三角形、直角三角形存在性讨论，列方程求解。
1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，将一个台球桌面分成网格图，小球起始时位于处，击球使球沿图中箭头所指方向运动，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是______．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为．
(1)点的T变换点为______；
(2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围．
3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”．
(1)点______（填“是”或“否”）“完美点”；
(2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”；
(3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”．
4．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰．
(1)如图1，若、满足，求点的坐标
(2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：．
5．（25-26八年级上·江西南昌·期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题.
已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：.
例如：已知、，则这两点间的距离．特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知、，求、两点间的距离；
(2)已知、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为8，点的纵坐标为2，求、两点间的距离；
(3)已知的顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗 请说明理由．
6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【思考与尝试】
在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？
【合作与交流】
坪坪和山山进行了合作讨论学习．
首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？
坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！
山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是……
(1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____．
(2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？
坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和……
而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小．
请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．

(3)求出代数式的最小值．
随堂检测 · 精选练习
练习1 中点坐标计算
练习2 点到坐标轴的距离
练习3 象限内点的坐标特征
练习4 已知距离求点坐标
练习5 两点间距离公式应用
1．（25-26八年级·上海·假期作业）点和点的中点坐标为________．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，则点A到x轴的距离为________，到y轴的距离为________．
3．（22-23七年级下·上海·期末）已知点是直角坐标平面中第二象限内的一点，如果点到轴的距离为1，到轴的距离为2，那么点的坐标为________．
4．（24-25八年级下·上海金山·月考）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是______．
5．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为__________．
课后巩固 · 核心作业
作业1-3 方位角、全等三角形与坐标、平移对称
作业4-6 距离公式、中点坐标、新定义运算
作业7-8 等腰三角形存在性、规律探索
作业9-10 点到坐标轴距离、勾股定理
作业11-12 正方形与坐标、路线表示
作业13-16 等腰三角形分类讨论、新定义最值问题
※复习建议 熟练掌握中点坐标和距离公式，灵活运用坐标特征，动点问题设未知数列方程，最值问题利用对称和垂线段最短求解。
1．（25-26六年级上·上海·期末）点A在点B的南偏东方向上，则点B在点A的（ ）
A．东偏北方向上 B．北偏西方向上
C．北偏西方向上 D．西偏北方向上
2．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，且，点、分别在、轴正半轴上，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（ ）．
A．点在第四象限，点在第二象限
B．点和点关于原点对称
C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点
D．两点间的距离是10
4．（25-26八年级上·上海·月考）在直角坐标平面上，到点，和原点的距离相等的点的坐标是，那么下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级上·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A．1 B． C． D．3
6．（25-26八年级上·上海·月考）已知点，，则线段的长为________
7．（24-25八年级下·江西宜春·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为______．
8．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）如图在平面直角坐标系中，，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为______．
9．（24-25八年级下·吉林长春·月考）已知点P的坐标为，则P点到y轴距离为______．
10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）点A的坐标为，点P在x轴上，且．则点P的坐标为 _____．
11．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，正方形的顶点在平面直角坐标系的原点处，，，其中点坐标为．
(1)求出点、的坐标；
(2)在轴上有一点，连接，，若，求的面积；
12．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示．
(1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示；
(2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置；
(3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线．
13．（21-22八年级上·上海·期末）在直角坐标系xoy中，已知：A、B两点的坐标为A(2，2)、B(5，1)．
(1)求A、B两点的距离；
(2)在x轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求满足要求的点C的坐标．
14．（23-24八年级上·上海·月考）已知：，，，且为等腰三角形，求的值．
15．（21-22八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝
根据上面材料完成下列各题：
(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　．
(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
16．（20-21八年级上·湖南长沙·期末）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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