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专题24.3 平移与轴对称 优等生讲义
(13大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解并掌握 平面直角坐标系中点的平移规律（左减右加，上加下减）。
熟练掌握 点关于坐标轴、原点对称的坐标特征，并能灵活运用。
能运用 平移和对称解决几何图形变换问题，如平行四边形顶点坐标、线段长度最值等。
体会 数形结合思想，通过坐标系将几何变换代数化。
核心规律：
平移：(x,y) → (x±a, y±b)
对称：关于x轴对称(x,-y)；关于y轴对称(-x,y)；关于原点对称(-x,-y)
知识梳理 · 核心概念与定理
☆ 点的平移
向右平移a个单位：(x, y) → (x + a, y)
向左平移a个单位：(x, y) → (x - a, y)
向上平移b个单位：(x, y) → (x, y + b)
向下平移b个单位：(x, y) → (x, y - b)
图形平移：图形上所有点作相同平移，对应点连线平行且相等。
☆ 点的对称
·关于x轴对称
原坐标 (x,y) → (x, y) 例：(2,3) → (2, 3)
·关于y轴对称
原坐标 (x,y) → ( x,y) 例：(2,3) → ( 2,3)
·关于原点对称
原坐标 (x,y) → ( x, y) 例：(2,3) → ( 2, 3)
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标相反 →(x, -y)
关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标相反 →(-x, y)
关于原点对称：横纵坐标均相反 →(-x, -y)
关于直线x = m对称：横坐标满足 x + x = 2m；纵坐标不变。
关于直线y = n对称：纵坐标满足 y + y = 2n；横坐标不变。
☆ 平移与对称规律速查表
变换类型 坐标变化 记忆口诀
向右平移 a 个单位 (x+a, y) 右加
向左平移 a 个单位 (x a, y) 左减
向上平移 b 个单位 (x, y+b) 上加
向下平移 b 个单位 (x, y b) 下减
关于 x 轴对称 (x, y) 横同纵反
关于 y 轴对称 ( x, y) 横反纵同
关于原点对称 ( x, y) 双双相反
☆ 中点坐标公式
若 A(x , y ), B(x , y )，则 AB 的中点坐标为 。
☆ 两点间距离公式
AB = 。当AB∥x轴时，AB = |x - x |；
当AB∥y轴时，AB = |y - y |。
☆ 平移与对称综合应用
利用平移构造平行四边形：已知三点求第四点，可将其中一点平移至对应点。
将军饮马模型：通过对称将折线段转化为直线段求最值。
函数图象的对称：点对称可推广到曲线（如直线、抛物线）关于坐标轴对称、原点对称。
核心考点 · 13类题型精讲
【考点1】坐标系中的平移
知识点/方法
平移的性质：图形平移前后对应点连线平行且相等，平移只改变位置，不改变形状和大小。
平行四边形与平移：已知三角形三个顶点，求第四个顶点构成平行四边形，可利用“一组对边平行且相等”通过平移计算（分类讨论以不同边为对角线）。
平移距离：两点横坐标差或纵坐标差决定平移量。
1．（21-22八年级下·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中的顶点坐标分别为，，，那么在这个坐标系中以，，，为顶点画一个平行四边形，点的坐标为______．
2．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是_____ ．
【考点2】坐标系中的动点问题（不含函数）
知识点/方法
动点坐标表示：用时间 t 表示点的坐标（如 P(t,0) 或 P(0, t)）。
距离最短：垂线段最短；构造直角三角形用勾股定理。
全等三角形存在性：根据全等条件列方程求解。
新定义问题：理解“最佳间距”等新概念，转化为距离计算。
3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，点的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上运动，当线段最短时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．
5．（25-26八年级上·广东深圳·月考）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1．
(1)理解：点，，的“最佳间距”是______；
(2)探究：已知点，， ．
①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；
【考点3】求点沿x轴、y轴平移后的坐标
知识点/方法
直接应用平移法则：左减右加，上加下减。
已知平移前后坐标求平移量：坐标差即为平移量。
与函数结合：平移后点落在某函数图象上，代入解析式求解。
6．（20-21八年级下·上海·期中）如图：四边形是平行四边形，点，点，如果，那么点的坐标是______________ ．
7．（20-21八年级上·四川成都·期末）平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数的图象上，则a的值为__________．
8．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出关于轴对称的图形，并写出各顶点的坐标（点的对应点分别为）；
(2)将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出的各顶点的坐标；
(3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请在图中画出这条对称轴．
【考点4】由平移方式确定点的坐标
知识点/方法
给定平移方式：直接对已知点坐标进行加减。
组合平移：先左右再上下，或先上下再左右，结果相同（可交换）。
利用面积：结合三角形面积公式求点坐标。
12．（22-23七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，如果将点进行平移后得到点，则平移方法是______．
13．（22-23七年级下·上海普陀·期末）在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（ ）
A． B． C． D．
14．（25-26八年级下·全国·周测）如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________．
15．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）三架飞机A，B，C保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变）．它们现在的坐标为，，．后，飞机A飞到位置，此时飞机B，C分别飞到，位置．
(1)请在图中标出，位置点；
(2)写出这三架飞机在新位置的坐标．
【考点6】已知图形的平移，求点的坐标
知识点/方法
整体平移：图形上所有点作相同平移，对应点坐标变化一致。
利用面积：平移后图形面积不变，可结合面积列方程求坐标。
中点坐标法：平移前后对应点连线中点即为平移向量的一半？实际上对应点连线向量相等。
16．（20-21七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
17．（20-21八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为沿坐标轴方向平移后得到（点、的对应点分别为），如果点是直线上一点，那么线段的长为________．

18．（2025八年级上·上海·专题练习）已知点N先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好落在原点上，则点N的坐标为________．
19．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知点，．将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形ABCD的面积为9，则点C的坐标为________．
【考点7】已知平移后的坐标求原坐标
知识点/方法
逆平移：反向平移即得原坐标。例如向右平移a得新点，则原坐标 = 新坐标向左平移a。
列方程：设原坐标(x,y)，根据平移规则列出方程组求解。
20．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________．
21．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
22．（25-26八年级上·安徽池州·月考）已知点．
(1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？
(2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值．
【考点8】坐标系中的对称
知识点/方法
关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数。
关于原点对称：横纵坐标均互为相反数。
关于直线对称：如关于直线 x=a 对称，则两点横坐标满足 x + x = 2a；
关于 y=b 对称，纵坐标满足 y + y = 2b。
折叠问题：利用对称构造全等三角形，结合勾股定理求解。
23．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
24．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
25．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为______．
【考点9】坐标与图形变化——轴对称
知识点/方法
作轴对称图形：求出各顶点关于对称轴的对称点，再连线。
轴对称与最值：利用将军饮马模型，通过对称将折线段转化为直线段。
轴对称与全等：对称图形全等，可用于证明线段相等、角相等。
多次对称：连续两次对称可转化为平移或旋转。
26．（25-26八年级·上海·假期作业）（1）点关于x轴对称的点在第 象限，坐标是 ；
点关于y轴对称的点在第 象限，坐标是 ；
点关于原点对称的点在第 象限，坐标是 ．
（2）如果一个点关于x轴对称的点的坐标是，那么这个点的坐标是 ．
（3）如果点与关于y轴对称，那么 ．
（4）如果点关于x轴的对称点是点，点关于y轴的对称点是点，那么点的坐标是 ．
27．（25-26八年级上·上海·月考）平面内四个点、、、将他们顺次联结，则折线的最小值为________．
28．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）点关于轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________．
29．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为，点B的坐标为．已知点与点A关于x轴对称，点与点B关于y轴对称，是一个等腰直角三角形且，则点A的坐标为_______．
30．（24-25八年级下·上海·期中）在中，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，要使以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），则点的坐标为______________．
【考点10】求关于原点对称的点的坐标
知识点/方法
直接取相反数：(x,y) 关于原点对称点为 ( x, y)。
与平移结合：可先通过平移得到某点，再求对称点。
与函数结合：利用对称点求反比例函数解析式等。
31．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（ ）．
A．点在第四象限，点在第二象限
B．点和点关于原点对称
C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点
D．两点间的距离是10
32．（2025·上海虹口·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________．
33．（2024·上海普陀·二模）在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是______．
34．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）已知点A的坐标为，设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D．

(1)在直角坐标平面内描出点A、点B、点C；
(2)点B的坐标是______，点C的坐标是______．
(3)已知在线段BC上存在一点E，恰好能使与全等，那么此时点E的坐标是______．
【考点11】已知两点关于原点对称求参数
知识点/方法
列方程：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列方程组求解。
验证象限：求出的参数应使点位于合理象限。
35．（21-22七年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第_______象限.
36．（2024·广东·模拟预测）已知：点与点关于原点成中心对称，则________．
37．（2023·辽宁营口·二模）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______．
38．（25-26八年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，且点的坐标为（m，n），将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【考点12】判断两个点是否关于原点对称
知识点/方法
检查坐标和是否为0：若 x + x = 0 且 y + y = 0，则两点关于原点对称。
图形变换识别：观察图形中对应点连线是否过原点且被原点平分。
39．（20-21七年级下·全国·课后作业）把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点______，再向左平移6个单位长度可以得到对应点_______，则点与点A关于________对称，点与点A关于_________对称，点与点关于_______对称．
40．（21-22九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A
41．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________．
【考点13】创新及压轴题
知识点/方法
新定义运算：如“a阶派生点”，按定义计算坐标。
代数式几何意义：将根式转化为两点间距离，利用对称求最值。
动点与面积综合：用时间表示动点坐标，根据面积关系列方程。
构造全等或相似：解决复杂图形中的线段关系。
分类讨论：多解情况（如点在坐标轴、不同象限）。
1．（2025九年级上·上海·专题练习）探究：如图，四边形中，，为的中点，若．求证：
知识应用：如图，坐标平面内有两个点和，其中点的坐标为，点的坐标为，求的中点的坐标．
知识拓展：在图中，点的坐标为，点的坐标为，分别在轴和轴上找一点和，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出点和点的坐标．
2．（24-25七年级下·吉林·月考）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为．
【实践操作】
（1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ．
②若点轴，，则点的坐标为 ．
【初步运用】
（2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ．
【问题解决】
（3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值．
3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，且 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒．
(1)求线段，的长；
(2)点 在运动过程中，当的面积与的面积比为时，求的值；
(3)在（2）中所确定的点 的情况下，过点作直线与直线垂直，垂足为，直线与轴交于点，请直接写出点的坐标．
4．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）操作与探究
【问题情景】
数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题：
如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点．
【问题初探】
（）①点的坐标为 ；
②若，则四边形的面积为 ；
【深入研究】
（）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度．
运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．
设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值；
【拓展提升】
（）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标．
5．（25-26八年级上·山西太原·期末）阅读与探究
下面是小文写的一篇数学小论文的一部分，请认真阅读并完成相应的任务．
探究点运动中的数学问题问题背景：平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，其核心是平面内的点与用有序数对表示的坐标的一一对应，借助平面直角坐标系，可以用代数方法刻画几何对象的特征．下面借助坐标定义点的两种运动方式：在平面直角坐标系中，从点运动到点称为一次甲方式；从点运动到点称为一次乙方式． 概念理解：已知点从原点出发连续运动2次，若两次运动都是甲方式，运动得到点；若两次运动都是乙方式，运动得到点． 拓展探究：……
任务：
(1)若“概念理解”部分的点先按甲方式再按乙方式运动得到点，则点的坐标为___________；若先按乙方式再按甲方式运动得到点，则点的坐标为___________；
(2)已知点从原点出发连续运动3次．若2次按甲方式、1次按乙方式运动可得到点；若1次按甲方式、2次按乙方式运动可得到点．请直接写出点的坐标，在如图的坐标系中画出点，标明字母，并求两点之间的距离；
(3)已知点从原点出发连续运动次，每次运动都按甲方式或乙方式中的一种，运动最终得到点．设按甲方式运动了次为整数，且）．
①请用含的代数式表示点的坐标___________：
②在（1）（2）的基础上，直接写出当，且的面积是面积的时，的值．
6．（23-24九年级上·河南安阳·月考）课本知识再现：
（Ⅰ）归纳（八年级上册课本70页）：点关于x轴对称的点的坐标为；关于y轴对称的点的坐标为；
（Ⅱ）归纳（九年级上册课本68页）：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为．
小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图象的对称，发现一次函数、二次函数图象上也可以应用点的对称特点．
(1)根据上面知识，求与已知直线关于y轴对称的直线的解析式；
解：∵关于y轴对称的点的坐标为；
即直线上的点关于y轴对称的点的坐标为，
∴．
∴与已知直线关于y轴对称的直线的解析式为．
理解上面的解题过程，并完成填空：
与已知直线关于x轴对称的直线的解析式为_________；
(2)已知二次函数的图象与抛物线关于原点对称，求a，b，c的值；
(3)判断以下每对函数的图象：①与；②与；
③与；④与．其中一定关于原点对称的是_________（填序号）．
随堂检测 · 精选练习
练习1 关于y轴对称的点所在象限判断（利用平方非负性）
练习2 关于原点对称与数轴距离问题（分类讨论）
练习3 旋转与轴对称结合求线段长（等边三角形判定）
练习4 关于x轴对称点的坐标（直接写出）
练习5 上下平移方向判断（注意负方向）
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于y轴对称的点B在第________象限．
2．（25-26八年级上·上海·期中）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______．
3．（2025·上海·模拟预测）在中，，将线段绕点旋转度，得到线段，作点关于直线轴对称的点，连接交于点．如果旋转角 ，那么的长为_____．
4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）与关于x轴对称的点的坐标为_______．
5．（24-25九年级上·上海徐汇·月考）已知，，则将点A向上平移______个单位可得到点B．
课后巩固 · 核心作业
作业1 平移与点到坐标轴距离（利用平移求坐标）
作业2 点平移后的坐标（直接右移）
作业3 关于x轴对称求参数（代入求值）
作业4 关于原点对称的点的坐标（直接取相反数）
作业5 平移与对称综合（平移求新坐标）
作业6 关于直线对称（列方程）
作业7 轴对称求最值（将军饮马模型）
作业8 对称点所在象限推理
作业9 作轴对称图形并写坐标
作业10 平行于坐标轴的直线上的点坐标特征
作业11 新定义“a阶派生点”运算
作业12 代数式几何意义与轴对称求最值
作业13 平移与面积综合（非负性、平行四边形面积）
※ 复习建议 熟练掌握平移与对称的坐标变换规律，灵活运用将军饮马模型求最值，注意分类讨论和多解情形。建议结合图形理解，多做练习巩固。
1．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形，点A的对应点到x轴、y轴的距离相等，则点B与其对应点间的距离为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
2．（23-24九年级下·上海·期中）将向右平移3个单位后得到点B，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·上海浦东新·月考）已知点和点关于x轴对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23七年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·上海·期末）如果将点先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点，那么点的坐标是____________．
6．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则__________．
7．（23-24八年级上·上海普陀·期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于________．
8．（22-23七年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A关于x轴的对称点落在第二象限，那么它关于y轴的对称点落在第______象限．
9．（20-21八年级上·辽宁锦州·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为．
(1)在图中作，使和关于轴对称；
(2)写出点的坐标．
10．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知平面直角坐标系中有一点．
(1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标；
(2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值．
11．（24-25七年级下·宁夏固原·期末）综合与实践
在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
(1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为______；
(2)若点的“5阶派生点”的坐标为，求点的坐标；
(3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“4阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标．
12．（2024·上海·模拟预测）小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和．
(1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________；
(2)求：代数式的最小值．
13．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，平面直角坐标系中有三点，，，其中满足．平移线段得到线段，点的对应点为点，连接．
(1)填空：____________，____________；
(2)轴上是否存在点，使得三角形的面积是平行四边形的面积的2倍，若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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专题24.3 平移与轴对称 优等生讲义
(13大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解并掌握 平面直角坐标系中点的平移规律（左减右加，上加下减）。
熟练掌握 点关于坐标轴、原点对称的坐标特征，并能灵活运用。
能运用 平移和对称解决几何图形变换问题，如平行四边形顶点坐标、线段长度最值等。
体会 数形结合思想，通过坐标系将几何变换代数化。
核心规律：
平移：(x,y) → (x±a, y±b)
对称：关于x轴对称(x,-y)；关于y轴对称(-x,y)；关于原点对称(-x,-y)
知识梳理 · 核心概念与定理
☆ 点的平移
向右平移a个单位：(x, y) → (x + a, y)
向左平移a个单位：(x, y) → (x - a, y)
向上平移b个单位：(x, y) → (x, y + b)
向下平移b个单位：(x, y) → (x, y - b)
图形平移：图形上所有点作相同平移，对应点连线平行且相等。
☆ 点的对称
·关于x轴对称
原坐标 (x,y) → (x, y) 例：(2,3) → (2, 3)
·关于y轴对称
原坐标 (x,y) → ( x,y) 例：(2,3) → ( 2,3)
·关于原点对称
原坐标 (x,y) → ( x, y) 例：(2,3) → ( 2, 3)
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标相反 →(x, -y)
关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标相反 →(-x, y)
关于原点对称：横纵坐标均相反 →(-x, -y)
关于直线x = m对称：横坐标满足 x + x = 2m；纵坐标不变。
关于直线y = n对称：纵坐标满足 y + y = 2n；横坐标不变。
☆ 平移与对称规律速查表
变换类型 坐标变化 记忆口诀
向右平移 a 个单位 (x+a, y) 右加
向左平移 a 个单位 (x a, y) 左减
向上平移 b 个单位 (x, y+b) 上加
向下平移 b 个单位 (x, y b) 下减
关于 x 轴对称 (x, y) 横同纵反
关于 y 轴对称 ( x, y) 横反纵同
关于原点对称 ( x, y) 双双相反
☆ 中点坐标公式
若 A(x , y ), B(x , y )，则 AB 的中点坐标为 。
☆ 两点间距离公式
AB = 。当AB∥x轴时，AB = |x - x |；
当AB∥y轴时，AB = |y - y |。
☆ 平移与对称综合应用
利用平移构造平行四边形：已知三点求第四点，可将其中一点平移至对应点。
将军饮马模型：通过对称将折线段转化为直线段求最值。
函数图象的对称：点对称可推广到曲线（如直线、抛物线）关于坐标轴对称、原点对称。
核心考点 · 13类题型精讲
【考点1】坐标系中的平移
知识点/方法
平移的性质：图形平移前后对应点连线平行且相等，平移只改变位置，不改变形状和大小。
平行四边形与平移：已知三角形三个顶点，求第四个顶点构成平行四边形，可利用“一组对边平行且相等”通过平移计算（分类讨论以不同边为对角线）。
平移距离：两点横坐标差或纵坐标差决定平移量。
1．（21-22八年级下·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中的顶点坐标分别为，，，那么在这个坐标系中以，，，为顶点画一个平行四边形，点的坐标为______．
【答案】或或
【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标系中的平移
【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想．
根据平行四边形的性质和平移的性质，分三种情形即可解决问题．
【详解】解：的顶点坐标分别为，，，
当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得，
当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得，
当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得．
故答案为：或或．
2．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是_____ ．
【答案】
【知识点】利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标、坐标系中的平移
【分析】本题考查了坐标与图形变化 平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，点平移的变化规律是：横坐标左减右加；纵坐标上加下减，熟练掌握点平移的变化规律是解题的关键．
直接利用点平移的变化规律求解即可．
【详解】解：∵的顶点A，B的坐标分别为，，，
∴，
∴点A平移至点C的坐标为，
故答案为：．
【考点2】坐标系中的动点问题（不含函数）
知识点/方法
动点坐标表示：用时间 t 表示点的坐标（如 P(t,0) 或 P(0, t)）。
距离最短：垂线段最短；构造直角三角形用勾股定理。
全等三角形存在性：根据全等条件列方程求解。
新定义问题：理解“最佳间距”等新概念，转化为距离计算。
3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，点的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上运动，当线段最短时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短、坐标系中的动点问题（不含函数）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，等腰直角三角形等知识线段最短，说明此时为点到的距离．过点作垂直于直线的垂线，由题意可知：为等腰直角三角形，过作 轴，垂足为，则点为的中点，有 ，由此即可确定出点的坐标．
【详解】解：过点作垂直于直线的垂线，
点在第一、三象限的角平分线上运动，即点在直线上运动，
，
为等腰直角三角形，
过作垂直轴垂足为，
则点为的中点，
则 ，
由作图可知在轴下方，轴的左方，
横坐标为负，纵坐标为负，
所以当线段最短时，点的坐标为，
故选：C．
4．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的性质、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题考查了全等三角形的性质．
分两种情况根据全等三角形的性质作答即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，，，
∴，，
当与全等时，或，
当时，，但此时；
当时，，即点的坐标为；
故选：D．
5．（25-26八年级上·广东深圳·月考）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1．
(1)理解：点，，的“最佳间距”是______；
(2)探究：已知点，， ．
①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______；
②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由；
【答案】(1)3
(2)①；②4
【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标系中描点、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键．
（1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可；
（2）①分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，由于“最佳间距”为2，故，即可求解的值；
②由①可得，“最佳间距”为或的长度，当时，“最佳间距”为，当时，“最佳间距”为，比较两个“最大间距”，即可解决．
【详解】（1）解：∵点，，，
∴，，，
∵，
∴点，，的“最佳间距”是3；
（2）解：①∵点，，，
∴轴，，，，
∵点O，A，B的“最佳间距”是2，
∴，
∴；
②当时，点，，的“最佳间距”是，
当或时，，
点，，的“最佳间距”是，
∴点，，的“最佳间距”的最大值为4．
【考点3】求点沿x轴、y轴平移后的坐标
知识点/方法
直接应用平移法则：左减右加，上加下减。
已知平移前后坐标求平移量：坐标差即为平移量。
与函数结合：平移后点落在某函数图象上，代入解析式求解。
6．（20-21八年级下·上海·期中）如图：四边形是平行四边形，点，点，如果，那么点的坐标是______________ ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】连接AC、BD，作CD⊥x轴于D，先证明平行四边形OABC是菱形，得到OC=OA=BC=5，再根据勾股定理求出b=4，根据平行四边形性质即可求解．
【详解】解：如图，连接AC、BD，作CD⊥x轴于D，
∵OB⊥CA，
∴平行四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=BC=5，
∵点C坐标为(3,b) ，
∴在Rt△OCD中，，
∴点C坐标为（3,4），
∵四边形是平行四边形，且BC=5，
∴点B坐标为．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理，平面直角坐标系中点的平移等知识，根据题意得到平行四边形OABC是菱形，进而求出b=4是解题关键．
7．（20-21八年级上·四川成都·期末）平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数的图象上，则a的值为__________．
【答案】
【知识点】正比例函数的性质、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是(2-a，3)，代入计算即可．
【详解】解：∵A坐标为(2，3)，
∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是(2-a，3)，
∵恰好落在正比例函数的图象上，
∴，
解得：a=．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．．
8．（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出关于轴对称的图形，并写出各顶点的坐标（点的对应点分别为）；
(2)将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出的各顶点的坐标；
(3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请在图中画出这条对称轴．
【答案】(1)见详解，
(2)见详解，
(3)见详解
【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、坐标与图形变化——轴对称、平移(作图)、画轴对称图形
【分析】本题考查了坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴．
（1）根据轴对称的性质画图并写出坐标即可；
（2）根据平移的性质画图即可；
（3）根据对称轴的性质画出图形即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，；
（2）解：如图所示，即为所求，；
（3）解：如图所示，是关于直线成轴对称，如图即为所求．
【考点4】由平移方式确定点的坐标
知识点/方法
给定平移方式：直接对已知点坐标进行加减。
组合平移：先左右再上下，或先上下再左右，结果相同（可交换）。
利用面积：结合三角形面积公式求点坐标。
9．（21-22七年级下·上海·单元测试）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4），点B的坐标是（﹣2，﹣3）
(1)图中点C的坐标是_______．
(2)点C关于x轴对称的点D的坐标是_______．
(3)如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移2个单位得到点，那么A、两点之间的距离是_______．
(4)图中△ACD的面积是_______．
【答案】(1)
(2)
(3)7
(4)6
【知识点】由平移方式确定点的坐标、求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标；
（3）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B′点坐标，进而得到答案；
（4）根据三角形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：图中点C的坐标是（2，﹣3）．
（2）点C关于x轴对称的点D的坐标是（2，3）．
（3）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移2个单位得到点B'（﹣2+2，﹣3），即（0，﹣3），那么A、B'两点之间的距离是：4﹣（﹣3）＝7．
（4）图中△ACD的面积＝．
故答案为：（1）（2，﹣3）；（2）（2，3）；（3）7；（4）6．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，以及三角形的面积，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，．
(1)点D的坐标为______；
(2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或
【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合
【分析】（1）根据平移方式结合平移的性质可得点D的坐标；
（2）利用三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】（1）解：将点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的点D的横坐标为，纵坐标为，即；
（2）设点P的坐标为，则，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴点P的坐标为或．
11．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为．
(1)求点的坐标．
(2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键．
（1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标；
（2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∵点A的坐标为，
∴点C的坐标为，即；
（2）解：设点的坐标为，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【考点5】已知点平移前后的坐标，判断平移方式
知识点/方法
平移向量：新坐标减原坐标即得平移量（右正左负，上正下负）。
整体平移：图形上所有点作相同平移，对应点坐标变化一致。
编队移动：飞机编队保持队形，各点平移方式相同。
12．（22-23七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，如果将点进行平移后得到点，则平移方法是______．
【答案】向左平移个单位
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】根本题考查了点坐标的平移变换规律，掌握理解点坐标的平移变换规律是解题关键．
据点坐标的平移变换规律即可得．点坐标的平移变换规律：将点向右（或向左）平移个单位长度，得到点的坐标为（或）；将点向上（或向下）平移个单位长度，得到点的坐标为（或）．
【详解】解：∵
∴将点向左平移个单位后，得到点，
故答案为：向左平移个单位．
13．（22-23七年级下·上海普陀·期末）在直角坐标平面内，经过平移，其顶点 的对应点的坐标是，那么其内部任意一点的对应点的坐标一定是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】先由点A的平移得到平移方式，再根据平移方式得到答案即可．
【详解】解：∵的顶点A坐标是，经平移后，得到其对应点 ，
∴平移方式为向左平移4个单位，向上平移4个单位，
∴的内部任意一点，则其对应点坐标一定是．
故选：C．
【点睛】此题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．
14．（25-26八年级下·全国·周测）如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________．
【答案】2
【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：∵点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，
又∵点，的坐标分别为，
∴将线段平移至时的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）三架飞机A，B，C保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变）．它们现在的坐标为，，．后，飞机A飞到位置，此时飞机B，C分别飞到，位置．
(1)请在图中标出，位置点；
(2)写出这三架飞机在新位置的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)，，
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查了点的平移．
（1）根据A到坐标的变化求出平移方式，进而标出，位置点即可；
（2）直接根据平面直角坐标系作答即可．
【详解】（1）解：由图可知，移动后到达，即向上平移了9个单位，
作图如下：
（2）解：由平面直角坐标系可知，，，．
【考点6】已知图形的平移，求点的坐标
知识点/方法
整体平移：图形上所有点作相同平移，对应点坐标变化一致。
利用面积：平移后图形面积不变，可结合面积列方程求坐标。
中点坐标法：平移前后对应点连线中点即为平移向量的一半？实际上对应点连线向量相等。
16．（20-21七年级下·上海·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标
【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可求解
【详解】解：将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，
，
，
点A的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
17．（20-21八年级下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为沿坐标轴方向平移后得到（点、的对应点分别为），如果点是直线上一点，那么线段的长为________．

【答案】或/和
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】根据沿轴平移到，点与点对应，点是直线上一点，可分类讨论，设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点；设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点；根据平移的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：点，沿轴平移到，点与点对应，
∴设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点，
∴，解得，，
∴沿轴向右平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，

∴，
∴，，
在中，；
设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点，
∴， 即，
∴沿轴向下平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，

∴，
∴，，
在中，；
综上所述，线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，勾股定理的运用是解题的关键．
18．（2025八年级上·上海·专题练习）已知点N先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好落在原点上，则点N的坐标为________．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，根据坐标平移规律，向左平移横坐标减少，向下平移纵坐标减少，平移后点落在原点，列出方程求解．
【详解】解：设点N的坐标为，向左平移2个单位长度，横坐标变为；向下平移3个单位长度，纵坐标变为，平移后点落在原点，因此有：
，，
解得，，
∴点N的坐标为．
故答案为：．
19．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知点，．将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形ABCD的面积为9，则点C的坐标为________．
【答案】
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查了坐标系中的平移和平行四边形面积公式，熟练掌握找出对应点坐标的方法是解题的关键．
先求的长度，再根据平行四边形面积公式求点的坐标，最后根据平移的性质求出点的坐标即可．
【详解】解：∵点，，
，．
设点的纵坐标为．
∵四边形的面积为，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
∵点到点是先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴点到点也是先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴点的坐标为，即；
故答案为：．
【考点7】已知平移后的坐标求原坐标
知识点/方法
逆平移：反向平移即得原坐标。例如向右平移a得新点，则原坐标 = 新坐标向左平移a。
列方程：设原坐标(x,y)，根据平移规则列出方程组求解。
20．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________．
【答案】，
【知识点】已知平移后的坐标求原坐标
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解
【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为，
∴平移后点坐标为，
∵与给定点相等，
，
解得 ，
故答案为：，．
21．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知平移后的坐标求原坐标
【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可．
【详解】解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为，
故选：C．
22．（25-26八年级上·安徽池州·月考）已知点．
(1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？
(2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值．
【答案】(1)当且时，点在第二象限；
(2)
【知识点】求一元一次不等式的解集、已知点所在的象限求参数、已知平移后的坐标求原坐标
【分析】本题考查了点的坐标特征，点的坐标的平移法则，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据第二象限的点的特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，得出，，求解即可得出结果；
（2）根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵点在第二象限，
∴，，
解得，，
即当且时，点在第二象限；
（2）解：∵点先向下平移个单位长度，纵坐标变为；再向右平移个单位长度，横坐标变为，得到点，
∴，
解得：．
【考点8】坐标系中的对称
知识点/方法
关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数。
关于原点对称：横纵坐标均互为相反数。
关于直线对称：如关于直线 x=a 对称，则两点横坐标满足 x + x = 2a；
关于 y=b 对称，纵坐标满足 y + y = 2b。
折叠问题：利用对称构造全等三角形，结合勾股定理求解。
23．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标系中的对称
【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：关于轴的对称点为，
横坐标不变，即．
故选：D．
24．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标系中的对称
【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键．
根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值．
【详解】解：设点P的坐标为，
∵点P关于x轴的对称点为，
∴；
∵关于y轴的对称点为，
∴，
∴点P的坐标为．
故选：C．
25．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为______．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、坐标系中的对称
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到，
，根据勾股定理，得到，，设，则，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：∵长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，点D的坐标为，
∴，，
，轴，
∴，，
设，
则，，
∴，
解得，
故，
故答案为：．
【考点9】坐标与图形变化——轴对称
知识点/方法
作轴对称图形：求出各顶点关于对称轴的对称点，再连线。
轴对称与最值：利用将军饮马模型，通过对称将折线段转化为直线段。
轴对称与全等：对称图形全等，可用于证明线段相等、角相等。
多次对称：连续两次对称可转化为平移或旋转。
26．（25-26八年级·上海·假期作业）（1）点关于x轴对称的点在第 象限，坐标是 ；
点关于y轴对称的点在第 象限，坐标是 ；
点关于原点对称的点在第 象限，坐标是 ．
（2）如果一个点关于x轴对称的点的坐标是，那么这个点的坐标是 ．
（3）如果点与关于y轴对称，那么 ．
（4）如果点关于x轴的对称点是点，点关于y轴的对称点是点，那么点的坐标是 ．
【答案】（1）三，，三，，一，；（2）；（3）3；（4）
【知识点】判断点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查点的对称变换，包括关于坐标轴和原点的对称，以及象限判断。
（1）根据对称规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号；关于原点对称，横纵坐标均变号，再根据坐标符号判断象限即可；
（2）关于x轴对称的点纵坐标相反，横坐标不变；
（3）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，列方程求解；
（4）先求关于x轴的对称点，再求其关于y轴的对称点；
【详解】解：（1）点关于x轴对称的点为；横坐标为负，纵坐标为负，在第三象限；
点关于y轴对称的点：纵坐标不变，横坐标变号，得；
横坐标为负，纵坐标为负，在第三象限；
点关于原点对称的点：横纵坐标均变号，得；
横坐标为正，纵坐标为正，在第一象限；
故答案为：三，，三，，一，；
（2）设，其关于x轴对称的点为，
则（因为纵坐标相反），故；
故答案为：；
（3）点与点关于y轴对称，
则横坐标互为相反数，纵坐标相等：
，
解得：，
故；
故答案为：3；
（4）点关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标变号，得，
点关于y轴对称的点：纵坐标不变，横坐标变号，得．
故答案为：．
27．（25-26八年级上·上海·月考）平面内四个点、、、将他们顺次联结，则折线的最小值为________．
【答案】10
【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称、两点之间线段最短
【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点坐标与轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键﹒作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，根据轴对称的性质可得，，则，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得﹒
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，

∴，，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴折线的最小值为10﹒
故答案为：10﹒
28．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）点关于轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的对称变换，解题的关键是准确记忆并应用不同对称变换下点的坐标变化规律；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，根据已知点分别求解即可．
【详解】①点关于轴对称时，横坐标不变为，纵坐标取相反数；
故点关于轴对称点坐标为．
②关于原点对称时，横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为；
故点关于原点对称点坐标为．
故答案为：，．
29．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为，点B的坐标为．已知点与点A关于x轴对称，点与点B关于y轴对称，是一个等腰直角三角形且，则点A的坐标为_______．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质，点的坐标特征，由题意可得，，从而可得，由等腰直角三角形的定义可得、、的纵坐标相等，，从而得出，，联立①②求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵点与点A关于x轴对称，点与点B关于y轴对称，点A、点B均在第二象限，
∴，，
∴，
点与点关于轴对称，
故线段垂直于轴。
又因是直角三角形且，
故垂直于，
即平行于轴，
所以点与点的纵坐标相等，
∴，
∵，，、、的纵坐标相等，
∴，
∴，
联立①②解得：，，
∴，，
∴，
故答案为：．
30．（24-25八年级下·上海·期中）在中，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，要使以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），则点的坐标为______________．
【答案】
【知识点】全等三角形的性质、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质等知识，根据题意可得与关于直线成轴对称，据此即可求出的坐标．
【详解】解：∵以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），
∴与关于直线成轴对称，
∴与关于直线成轴对称，
由题意可得直线为，
∵的坐标为
∴的坐标为，
故答案为：
【考点10】求关于原点对称的点的坐标
知识点/方法
直接取相反数：(x,y) 关于原点对称点为 ( x, y)。
与平移结合：可先通过平移得到某点，再求对称点。
与函数结合：利用对称点求反比例函数解析式等。
31．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（ ）．
A．点在第四象限，点在第二象限
B．点和点关于原点对称
C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点
D．两点间的距离是10
【答案】C
【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标系中的平移、判断点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键．
根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用勾股定理，可判断选项D．
【详解】解：∵，，
∴点在第四象限，
∵，，
∴点在第二象限，故A正确；
∵，，
∴点和点关于原点对称，故B正确；
点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度后，坐标为，故C错误；
由勾股定理可得，，故D正确．
故选：C．
32．（2025·上海虹口·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________．
【答案】
【知识点】求反比例函数解析式、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点和点，且点与关于原点对称，
，，
，，
设反比例函数解析式为，代入点坐标可得，
反比例函数的解析式为．
故答案为：．
33．（2024·上海普陀·二模）在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是______．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查点的平移和原点对称的性质，先按题目要求对、点进行平移，再根据原点对称的特征：横纵坐标互为相反数进行列方程，求解．
【详解】设，向右平移个单位，再向上平移个单位得到
、关于原点对称，
，，
解得，，
则
故答案为：
34．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）已知点A的坐标为，设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D．

(1)在直角坐标平面内描出点A、点B、点C；
(2)点B的坐标是______，点C的坐标是______．
(3)已知在线段BC上存在一点E，恰好能使与全等，那么此时点E的坐标是______．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)
【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形的性质、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）根据在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，关于原点对称时，横纵坐标都为相反数即可解答本题；
（2）利用（1）中所求解答；
（3）根据题意作出点，再根据全等三角形的判定顶点解答即可．
【详解】（1）解：（1）的坐标为，点关于轴对称的点为点，点关于原点的对称点为点，过点作轴的平行线，交轴于点．如图：

（2）解：由图可知，点的坐标是；点的坐标是．
（3）解：点如图所示：
，
，，
，，
，，
点坐标为．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中，点关于轴，轴及原点对称时横纵坐标的符号以及全等三角形的判定，正确掌握点的变换坐标性质是解题关键．
【考点11】已知两点关于原点对称求参数
知识点/方法
列方程：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列方程组求解。
验证象限：求出的参数应使点位于合理象限。
35．（21-22七年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第_______象限.
【答案】三
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】首先求得点P坐标为（-2，-1），即可求得，由此即可确定点M所在象限．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴点P坐标为（-2，-1），
∴，
解得：，
∴点M坐标为（-2，-1），
即：点M在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题主要考查的是坐标系中点的转换，熟练掌握坐标系的基本性质是解题的关键．
36．（2024·广东·模拟预测）已知：点与点关于原点成中心对称，则________．
【答案】2024
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，即，，
，
故答案为：2024．
37．（2023·辽宁营口·二模）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______．
【答案】6
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
【详解】解：根据、两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，
，
∴
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
38．（25-26八年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，且点的坐标为（m，n），将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，则点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知两点关于原点对称求参数
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征与点的平移规律，解决本题的关键是需牢记“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”及“右加左减，上加下减”的平移规则．
本题先根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出m、n的值，得到点Q的坐标，再利用点的平移规律求出的坐标，最后判断其所在象限即可．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴两点的横、纵坐标分别互为相反数，
即，
解第一个方程：，解得，
解第二个方程：，解得，
∴点的坐标为，
∵点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
根据“右加左减，上加下减”的平移规律，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
即，
∵，，
∴点在第四象限．
故选：D．
【考点12】判断两个点是否关于原点对称
知识点/方法
检查坐标和是否为0：若 x + x = 0 且 y + y = 0，则两点关于原点对称。
图形变换识别：观察图形中对应点连线是否过原点且被原点平分。
39．（20-21七年级下·全国·课后作业）把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点______，再向左平移6个单位长度可以得到对应点_______，则点与点A关于________对称，点与点A关于_________对称，点与点关于_______对称．
【答案】 x轴 原点 y轴
【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称、判断两个点是否关于原点对称
【分析】根据点的坐标平移特点：左减右加，上加下减，以及关于x轴，关于y轴对称和关于原点点的坐标特征进行求解即可．
【详解】解：把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点(3，2-4)即(3，-2)；
再向左平移6个单位长度可以得到对应点(3-6，-2)即(-3，-2)；则点与点A关于x轴对称；点与点A关于原点对称；点与点关于y轴对称，
故答案为：(3，-2)；(-3，-2)；x轴；原点；y轴．
【点睛】本题主要考查了点的坐标平移，关于x轴，关于y轴对称和关于原点点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
40．（21-22九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，有，，，四点，其中关于原点对称的两点为（　　）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A
【答案】D
【知识点】判断两个点是否关于原点对称
【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：A、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意；
B、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意；
C、点与点关于原点不对称，故此选项不符合题意；
D、点与点关于原点对称，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是掌握点关于原点O的对称点是．
41．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________．
【答案】（﹣x，﹣y）
【知识点】判断两个点是否关于原点对称、求关于原点对称的点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答．
【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2），
∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称，
∴△PQR和△ABC关于原点对称．
∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点，
∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）．
故答案为：（﹣x，﹣y）．
【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数．
【考点13】创新及压轴题
知识点/方法
新定义运算：如“a阶派生点”，按定义计算坐标。
代数式几何意义：将根式转化为两点间距离，利用对称求最值。
动点与面积综合：用时间表示动点坐标，根据面积关系列方程。
构造全等或相似：解决复杂图形中的线段关系。
分类讨论：多解情况（如点在坐标轴、不同象限）。
1．（2025九年级上·上海·专题练习）探究：如图，四边形中，，为的中点，若．求证：
知识应用：如图，坐标平面内有两个点和，其中点的坐标为，点的坐标为，求的中点的坐标．
知识拓展：在图中，点的坐标为，点的坐标为，分别在轴和轴上找一点和，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出点和点的坐标．
【答案】探究：见解析；知识应用：；知识拓展：点的坐标为，点的坐标为
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定及性质、坐标问题，应在理解的基础上熟练求解．
探究：过点作，交于，交的延长线于点，证明即可；
知识应用：分别过、、、三点作轴的垂线，由、的坐标，进而即可求解点的坐标；
知识拓展：由于点、的位置不确定，也即可能是平行四边形的边长，亦有可能是其对角线，所以应分几种情况：
即①当是平行四边形一条边，且点在轴的正半轴时，则与互相平分；
②当是平行四边形一条边，且点在轴的负半轴时，又是一种情况；
③当是对角线时，所以应分开来分别求解．
【详解】解：探究：如图，过点作，交于，交的延长线于点，
∵，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
；
知识应用：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
则点的坐标为，点的坐标为，
由探究的结论可知，，
点的坐标为，
点的横坐标为，
同理可求点的纵坐标为，
点的坐标为．
知识拓展：
①当是平行四边形一条边，且点在轴的正半轴时，与互相平分，
设点的坐标为，点的坐标为，
由上面的结论可知：，，
，，
此时点的坐标为，点的坐标为，
②同理，当是平行四边形一条边，且点在轴的负半轴时，求得点的坐标为，点的坐标为，
③当是对角线时，点的坐标为，点的坐标为．
2．（24-25七年级下·吉林·月考）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为．
【实践操作】
（1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ．
②若点轴，，则点的坐标为 ．
【初步运用】
（2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ．
【问题解决】
（3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值．
【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3）
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标系中的平移、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
（1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可；
（3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可．
【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴，
∴的长为，
故答案为：4；
②∵轴，点，
∴设，
∵，
∴，
∴或，
∴点的坐标为或，
故答案为：或；
（2）∵正方形的边长为4，
∴，
∵的坐标是轴，
∴，，
∴，
∴，
∴顶点A的坐标为；
∵正方形，
∴，
∵轴，
∴顶点B的坐标为，即；
故答案为：，；
（3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，
∴，
由题意得，
∵轴，
∴点的纵坐标相等，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，且 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒．
(1)求线段，的长；
(2)点 在运动过程中，当的面积与的面积比为时，求的值；
(3)在（2）中所确定的点 的情况下，过点作直线与直线垂直，垂足为，直线与轴交于点，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)的值为或
(3)点的坐标为或
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、绝对值非负性、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行计算、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组分别求出、；
（2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算；
（3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，判定根据全等三角形的性质得到点的坐标．
【详解】（1）解：，，
∴，解得，
∴，
∴；
（2）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒，
∴．
的面积与的面积比为，
∴．
∵，
∴．
当点在线段上时，，
∴；
当点在线段的延长线上时，，
∴．
综上所述，当△的面积与△的面积之比为时，的值为或；
（3）解：由（2）知．
当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点在线段上时，同理，得到，
∴，
∴．
综上所述，点的坐标为或．
4．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）操作与探究
【问题情景】
数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题：
如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点．
【问题初探】
（）①点的坐标为 ；
②若，则四边形的面积为 ；
【深入研究】
（）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度．
运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．
设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值；
【拓展提升】
（）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标．
【答案】（）①；②；（）；（）
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数）、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（）①由题意可得，即得，即可求解；②由题意得，即得，再根据四边形的面积解答即可求解；
（）由题意得，，，，即得，即得到，解方程即可求解；
（）连接，设点到轴的距离为，可得，即得，进而得到，解方程即可求解；
本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键．
【详解】解：（）①∵点在第二象限，轴交轴于点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵点在轴负半轴上，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：；
（）由题意得，，，，，
∴，
∵恰好平分四边形的面积，
∴，
解得；
（）连接，设点到轴的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
即点的横坐标是．
5．（25-26八年级上·山西太原·期末）阅读与探究
下面是小文写的一篇数学小论文的一部分，请认真阅读并完成相应的任务．
探究点运动中的数学问题问题背景：平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，其核心是平面内的点与用有序数对表示的坐标的一一对应，借助平面直角坐标系，可以用代数方法刻画几何对象的特征．下面借助坐标定义点的两种运动方式：在平面直角坐标系中，从点运动到点称为一次甲方式；从点运动到点称为一次乙方式． 概念理解：已知点从原点出发连续运动2次，若两次运动都是甲方式，运动得到点；若两次运动都是乙方式，运动得到点． 拓展探究：……
任务：
(1)若“概念理解”部分的点先按甲方式再按乙方式运动得到点，则点的坐标为___________；若先按乙方式再按甲方式运动得到点，则点的坐标为___________；
(2)已知点从原点出发连续运动3次．若2次按甲方式、1次按乙方式运动可得到点；若1次按甲方式、2次按乙方式运动可得到点．请直接写出点的坐标，在如图的坐标系中画出点，标明字母，并求两点之间的距离；
(3)已知点从原点出发连续运动次，每次运动都按甲方式或乙方式中的一种，运动最终得到点．设按甲方式运动了次为整数，且）．
①请用含的代数式表示点的坐标___________：
②在（1）（2）的基础上，直接写出当，且的面积是面积的时，的值．
【答案】(1)，；
(2)， ；图见解析，．
(3)①；②3或7．
【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的动点问题（不含函数）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查新定义下的运算，点的平移，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据新定义进行计算即可；
（2）根据新定义进行计算即可；
（3）①根据新定义进行计算即可；②分类讨论：第1种情况：当点Q在第一象限时，第2种情况：当点Q在第三象限时，第3种情况：当点Q在第四象限时，逐项分析求解即可．
【详解】（1）解：若“概念理解”部分的点先按甲方式再按乙方式运动得到点，则点的坐标为，即；
若先按乙方式再按甲方式运动得到点，则点的坐标为，即；
故答案为：，；
（2）解：∵点从原点出发连续运动3次．若2次按甲方式、1次按乙方式运动可得到点E，
∴，即；
∵若1次按甲方式、2次按乙方式运动可得到点，
∴，即，如图
则．
（3）解：①∵从原点出发连续运动次，每次运动都按甲方式或乙方式中的一种，运动最终得到点，按甲方式运动了次，则乙方式运动了次，
∴，，
∴点的坐标为；
故答案为：；
②当时，点的坐标为，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
∴点Q不在坐标轴上，
当时，，
即点Q不在第二象限，
第1种情况：当点Q在第一象限时，过点Q作轴于点M，连接，如图
，
∵的面积是面积的，
∴，
解得，
当时，，
∴符合题意；
第2种情况：当点Q在第三象限时，过点Q作轴于点M，连接，如图
或
∴
，
，
∵的面积是面积的，
∴，
解得；
第3种情况： 当点Q在第四象限时，，即，
∴且m为整数，
当时，，不符合题意，即点Q的纵坐标不为，当时，如图，过点Q作轴于点M，连接，
当时，如图
∴
，
，
∵的面积是面积的，
∴，
即或，
解得（不符合题意）或．
综上所述，或7．
6．（23-24九年级上·河南安阳·月考）课本知识再现：
（Ⅰ）归纳（八年级上册课本70页）：点关于x轴对称的点的坐标为；关于y轴对称的点的坐标为；
（Ⅱ）归纳（九年级上册课本68页）：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为．
小颖在学习完《旋转》与《二次函数》两章后，从点的对称角度思考函数图象的对称，发现一次函数、二次函数图象上也可以应用点的对称特点．
(1)根据上面知识，求与已知直线关于y轴对称的直线的解析式；
解：∵关于y轴对称的点的坐标为；
即直线上的点关于y轴对称的点的坐标为，
∴．
∴与已知直线关于y轴对称的直线的解析式为．
理解上面的解题过程，并完成填空：
与已知直线关于x轴对称的直线的解析式为_________；
(2)已知二次函数的图象与抛物线关于原点对称，求a，b，c的值；
(3)判断以下每对函数的图象：①与；②与；
③与；④与．其中一定关于原点对称的是_________（填序号）．
【答案】(1)
(2)
(3)③
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）根据于x轴对称的点的坐标，可得用换解题即可；
（2）根据原点对称的点的坐标特点，可得用换换整理解题即可；
（3）根据原点对称的点的坐标特点，可得用换换逐一判断即可；
【详解】（1）解：∵关于x轴对称的点的坐标为；
即直线上的点关于x轴对称的点的坐标为，
∴，即．
∴与已知直线关于y轴对称的直线的解析式为，
故答案为：．
（2）解：∵点关于原点的对称点为，
∴即抛物线上的点关于原点的对称点为，
∴，即．
∴与已知直线关于y轴对称的直线的解析式为，
∴．
（3）j解：①∵点关于原点的对称点为，
则直线关于原点的对称的对称直线为，即，即不关于原点对称；
②抛物线关于原点的对称的对称抛物线为，即，即不关于原点对称；
③抛物线关于原点的对称的对称抛物线为，即，即关于原点对称；
④抛物线关于原点的对称的对称抛物线为，即，即不关于原点对称；
故一定关于原点对称的是③，
故答案为：③．
【点睛】本题考查函数图像关于轴对称和中心对称，掌握图像上对称点的变换规律解题即可．
随堂检测 · 精选练习
练习1 关于y轴对称的点所在象限判断（利用平方非负性）
练习2 关于原点对称与数轴距离问题（分类讨论）
练习3 旋转与轴对称结合求线段长（等边三角形判定）
练习4 关于x轴对称点的坐标（直接写出）
练习5 上下平移方向判断（注意负方向）
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于y轴对称的点B在第________象限．
【答案】三
【知识点】判断点所在的象限、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征、平方的非负性、象限内点的坐标符号特征，掌握关于轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，以及利用平方的非负性判断坐标符号是解题的关键．
根据关于轴对称的点的坐标变化规律，横坐标取相反数，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限．
【详解】解：点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为
∵，∴，则；
∵，∴；
因此点的横坐标为负，纵坐标为负，
故点在第三象限．
故答案为：三．
2．（25-26八年级上·上海·期中）已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______．
【答案】或
【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查数轴上两点间的距离．解题关键是数轴上两点间的距离等于它们表示的两数差的绝对值，也可以“大减小”，分类讨论．
设点B表示的数为x，根据数轴上点与点关于原点对称，得点A表示的数为，根据点表示的数是．分当时，当时，写出长的表达式，再根据建立方程，解答即可．
【详解】解：设点B表示的数为x，
∵数轴上点与点关于原点对称，
∴点A表示的数为．
∵点表示的数是．
当时，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴．
当时，
∴．
∴．
解得．
∴．
故答案为： 或．
3．（2025·上海·模拟预测）在中，，将线段绕点旋转度，得到线段，作点关于直线轴对称的点，连接交于点．如果旋转角 ，那么的长为_____．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、坐标与图形变化——轴对称、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了旋转的性质、轴对称的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用等边三角形的判定及性质是解题的关键．
根据旋转和轴对称的性质，得出相关线段和角度的关系，再利用等边三角形的判定及性质得到的长度．
【详解】解：∵线段绕点旋转得到线段，
∴，．
又∵点关于直线轴对称的点是，
∴，．
∴．
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）与关于x轴对称的点的坐标为_______．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
5．（24-25九年级上·上海徐汇·月考）已知，，则将点A向上平移______个单位可得到点B．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了平移和坐标的知识；解题的关键是熟练掌握平移和坐标的性质，从而完成求解．
【详解】解：将点A向下平移个单位可得到点B．
即将点A向上平移个单位可得到点B．
故答案为：．
课后巩固 · 核心作业
作业1 平移与点到坐标轴距离（利用平移求坐标）
作业2 点平移后的坐标（直接右移）
作业3 关于x轴对称求参数（代入求值）
作业4 关于原点对称的点的坐标（直接取相反数）
作业5 平移与对称综合（平移求新坐标）
作业6 关于直线对称（列方程）
作业7 轴对称求最值（将军饮马模型）
作业8 对称点所在象限推理
作业9 作轴对称图形并写坐标
作业10 平行于坐标轴的直线上的点坐标特征
作业11 新定义“a阶派生点”运算
作业12 代数式几何意义与轴对称求最值
作业13 平移与面积综合（非负性、平行四边形面积）
※ 复习建议 熟练掌握平移与对称的坐标变换规律，灵活运用将军饮马模型求最值，注意分类讨论和多解情形。建议结合图形理解，多做练习巩固。
1．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形，点A的对应点到x轴、y轴的距离相等，则点B与其对应点间的距离为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】求点到坐标轴的距离、利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及坐标与图形变化－平移，利用平移的性质及点的坐标特征，连接，利用平移的性质可得出，且轴，利用点到x轴、y轴的距离相等可得出点的坐标，结合点的坐标可得出的值，此题得解．
【详解】解：连接，如图所示，
∵点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形，
∴，且轴，
∵点A的对应点到x轴、y轴的距离相等，
∴点的坐标为，
∴．
故选：B．
2．（23-24九年级下·上海·期中）将向右平移3个单位后得到点B，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题考查了坐标的平移，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减列式计算即可得解．
【详解】解：将点向右平移3个单位得到点B，
，即．
故选：A．
3．（23-24七年级下·上海浦东新·月考）已知点和点关于x轴对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、二次根式的加减运算
【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标．根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而可得答案．
【详解】解：∵点和点关于x轴对称，
∴，，
∴，
故选：C．
4．（22-23七年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数．
5．（23-24七年级下·上海·期末）如果将点先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点，那么点的坐标是____________．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了点的坐标的平移，根据坐标的平移法则：左减右加，上加下减，即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将点先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点，那么点的坐标是，
故答案为：．
6．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则__________．
【答案】3
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，根据轴对称性可得，即可求出结果．
【详解】解：点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，
，
，
故答案为：3．
7．（23-24八年级上·上海普陀·期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于________．
【答案】5
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点M到点的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出的长即可，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．
【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，可作B点关于x轴的对称点，连接，此时的长即为所求代数式的最小值，
∵，
∴，
∵
∴ ，
∴的最小值等于5 ，
故答案为：5．
8．（22-23七年级下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A关于x轴的对称点落在第二象限，那么它关于y轴的对称点落在第______象限．
【答案】四
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】根据点A关于x轴的对称点落在第二象限，可知点A在第三象限，进而可得它关于y轴的对称点落在第四象限．
【详解】解：点A关于x轴的对称点落在第二象限，
点A在第三象限，
它关于y轴的对称点落在第四象限，
故答案为：四．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质．
9．（20-21八年级上·辽宁锦州·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为．
(1)在图中作，使和关于轴对称；
(2)写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标，作轴对称图形，解题关键是掌握正确画出图形．
（1）作出，使和关于轴对称；
（2）根据在坐标系中的位置，写出点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
10．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知平面直角坐标系中有一点．
(1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标；
(2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值．
【答案】(1)点M的坐标为
(2)或
【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标系中的平移
【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，理解点的横、纵坐标的意义是解题的关键．
（1）根据轴，得到，求出的值，进而算出，即可求得点M的坐标；
（2）根据点M到x轴、y轴的距离相等，得到，进而求解，即可解题．
【详解】（1）解：因为点，点N，且轴，
所以，
解得，
所以，
所以点M的坐标为．
（2）解：因为点M到x轴、y轴的距离相等，
所以，
所以或，
所以或．
11．（24-25七年级下·宁夏固原·期末）综合与实践
在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
(1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为______；
(2)若点的“5阶派生点”的坐标为，求点的坐标；
(3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“4阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【知识点】点坐标规律探索、写出直角坐标系中点的坐标、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了“阶派生点”的定义，由题目已知“阶派生点”的定义是解决本题的关键．
（1）根据“阶派生点”的定义，则“3阶派生点”需“；”即可求解；
（2）设出点P的坐标，根据“阶派生点”的定义即可求解；
（3）根据直角坐标系下点的平移规律先表示出点，再根据在哪个轴分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：；，
点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为．
故答案为：；
（2）解：设点的坐标为，
由题意可知，解得：，
点的坐标为；
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点
∴，
的“4阶派生点”为：，即
当在轴上，，，
；
当在轴上，，，
．
12．（2024·上海·模拟预测）小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和．
(1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________；
(2)求：代数式的最小值．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称
【分析】此题考查了两点间距离公式、勾股定理、轴对称求最短路线等知识．
（1）根据题意把代数式变形后写出答案即可；
（2）代数式变形后所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点距离之和，即，设点A关于x轴的对称点为，则,要求的最小值，只要求的最小值，当三点共线时，取最小值，即为线段的长，进一步求出答案即可．
【详解】（1）解：或
∴代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为或，
故答案为：或
（2）∵
即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点距离之和，即，如图所示：
设点A关于x轴的对称点为，则,
∴要求的最小值，只要求的最小值，
当三点共线时，取最小值，即为线段的长，
如图，过点B作x轴的垂线，过点作y轴的垂线，相交于点C，则
，
∴，
即代数式的最小值为．
13．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，平面直角坐标系中有三点，，，其中满足．平移线段得到线段，点的对应点为点，连接．
(1)填空：____________，____________；
(2)轴上是否存在点，使得三角形的面积是平行四边形的面积的2倍，若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，3
(2)存在，或
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、利用平行四边形的性质求解、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平移的性质，非负性，三角形的面积和平行四边形的面积．
（1）利用非负数的性质建立方程求解即可得出结论；
（2）先求出平行四边形的面积，进而求出的面积，再利用的面积求出，再用的面积求出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵满足，
∴，，
∴，，
故答案为：，3；
（2）解：存在，理由：
由（1）知，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
如图，连接交于E，连接，
，
由平移得，，
∴，
∴，
∴，
∵三角形的面积是平行四边形的面积的2倍，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴或，
∴或．
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