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专题25.1&25.2 变量与函数+正比例函数 优等生讲义
(16大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 函数的概念，能判断变量之间的关系是否为函数关系。
掌握 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法，并能相互转换。
能根据 实际问题列出函数关系式，并确定自变量的取值范围。
理解 正比例函数的定义、图象和性质，能运用正比例函数解决简单问题。
体会 数形结合思想，通过图象分析函数性质。
核心思想：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数。
知识梳理 · 核心概念与定理
☆ 函数的基本概念
定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
自变量与因变量：主动变化的量是自变量，随之变化的量是因变量。通常用x表示自变量，y表示因变量。
常量与变量：数值保持不变的量叫常量（如公式中的 π），可以取不同数值的量叫变量。
函数值：当自变量取一个确定值时，因变量的对应值叫做函数值，常用f(a)表示当x=a时的函数值。
唯一对应性：函数的本质是“一对一”或“多对一”，绝不允许“一对多”。
☆ 函数的三种表示方法
列表法：通过表格直接列出自变量与因变量的对应值。优点是直观、具体，缺点是不易看出整体变化趋势，且数据有限。
解析式法：用数学式子表示函数关系。优点是精确、便于计算，缺点是有些函数关系不易列式。
图象法：在平面直角坐标系中描点连线得到图象。优点是直观反映变化趋势，缺点是不够精确。
三种方法的转换：列表可以描点画图；图象可以读取坐标列表；解析式可以列表计算。
☆ 自变量的取值范围
解析式有意义：
分母 ≠ 0（分式函数）
被开方数 ≥ 0（二次根式）
零次幂的底数 ≠ 0
组合情况取各条件交集
实际问题有意义：如边长 > 0、时间 ≥ 0、人数为整数等，需结合具体情境确定。
☆ 函数值计算
已知自变量求函数值：直接代入解析式计算。
已知函数值求自变量：转化为解方程，可能有多个解，需检验是否在定义域内。
复合函数求值：按定义逐步代入。
☆ 正比例函数定义
形如y = kx（k是常数，且k ≠ 0）的函数叫做正比例函数，k称为比例系数。
自变量次数为1，不含常数项。
待定系数法：已知一组对应值可求k。
☆ 正比例函数的图象与性质
图象：一条经过原点(0,0)的直线。
k 的作用：
k > 0：图象过一、三象限，y随x增大而增大（上升）。
k < 0：图象过二、四象限，y随x增大而减小（下降）。
|k| 越大，直线越陡（越靠近y轴）。
画法：取一点（如(1,k)），连接原点即可。
对称性：关于原点中心对称。
☆ 函数相关概念补充
函数记号 f(x)：表示对应法则，如f(x)=2x+1，则f(a)=2a+1。
多元函数概念：如z = f(x,y)表示z随x,y变化而确定。
取整函数：常用于实际问题，如推选代表人数y = [(x+3)/10]（向下取整）。
函数的三种表示方法
表示法 定义 特点 示例
列表法 通过表格列出自变量与因变量的对应值 直接、具体，但数据有限 印刷收费与数量关系表
解析式法 用数学式子表示函数关系 精确、便于计算 y = 2x + 1
图象法 在坐标系中描点连线得到图象 直观反映变化趋势 温度变化曲线
※自变量的取值范围：必须使解析式有意义（分母≠0，二次根式被开方数≥0）且符合实际意义。
正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的性质
k 的符号 图象所在象限 增减性 图象形状
k > 0 一、三象限 y 随 x 增大而增大 从左向右上升
k < 0 二、四象限 y 随 x 增大而减小 从左向右下降
|k| 越大，直线越陡（越靠近 y 轴）。
核心考点 · 16类题型精讲
【考点1】函数的概念
知识点/方法
函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数。
自变量与因变量：主动变化的量是自变量，随之变化的量是因变量。
常量与变量：数值保持不变的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量。
函数值：当自变量取一个确定值时，因变量的对应值叫做函数值。
多元函数概念：如 z = f(x,y) 表示 z 随 x,y 变化而确定。
1．（2025八年级上·上海·专题练习）某地进入5月份后，温度随着日期的变化而逐渐升高，在这个过程中，自变量是________．
【答案】日期
【难度】0.94
【知识点】函数的概念
【分析】本题主要考查了自变量的概念，熟练掌握 “在变化过程中，主动变化的量是自变量” 是解题的关键．根据自变量和因变量的定义，温度随日期的变化而变化，因此日期是自变量．
【详解】解：温度随着日期的变化而变化，自变量是日期．
故答案为：日期．
2．（24-25八年级上·上海·期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么____．
【答案】
【难度】0.15
【知识点】求自变量的值或函数值、函数的概念
【分析】本题考查了函数的性质，解题的关键是理解题意，利用二元函数的特征性质，通过代入特殊值推导出结果．
【详解】解： ，
，
，令 ，，
，
即 ；
，令 ，
，
，代入得，
解得．
故答案为：．
3．（24-25八年级上·上海·期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是（ ）
A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数
C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】用关系式表示变量间的关系、函数的概念
【分析】本题主要考查函数的基本概念，熟练掌握常量与变量及函数是解题的关键；因此此题可根据题意结合函数的基本概念进行排除选项即可．
【详解】解：由圆面积公式中，可知：是常量，S与成正比例；
故选C．
【考点2】用表格表示变量间的关系
知识点/方法
列表法：通过表格直接反映两个变量的对应关系。
观察表格：可以找出变化趋势（增加、减少、周期等）。
计算变化量：通过差值分析变化快慢，找出最快时段。
根据表格写解析式：寻找规律（如一次函数、反比例等）。
对称性观察：从表格中可能发现函数对称性（如关于某点对称）。
4．（2025八年级上·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表：
印刷数量x（张） … 100 200 300 400 …
印刷收费y（元） … 15 30 45 60 …
(1)上表中的变量是什么？
(2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________；
(3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？
【答案】(1)变量是印刷收费与印刷数量
(2)增加
(3)150（元）
【难度】0.85
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键．
（1）由表格中数据变化可得答案；
（2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案；
（3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费，
故答案为：印刷收费；印刷数量；
（2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加，
故答案为：增加；
（3）解：由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元），
所以印刷1000张宣传单，收费（元）．
5．（24-25六年级下·上海·期末）如图，某条河遭受暴雨袭击，一天的水位记录如表所示，通过观察可知8点至24点之间，水位上升最快的时段是________（填几点到几点）．
时刻 8点 12点 16点 20点 24点
水位（m） 3.5 4 5.5 6 8
【答案】20点至24点
【难度】0.85
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】本题考查了变量的表示方法—用表格表示变量间的关系，根据表格得出各时间对应的水位，再找出水位上升最快的时间段即可．
【详解】解：∵上升了，
点上升了，
点上升了，
点上升了，
∴点至点水位上升最快，
故答案为：20点至24点．
6．（2025·上海杨浦·一模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格：
那么下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象关于轴对称
B．该函数的图象没有最低点也没有最高点
C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限
D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断；由当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断；由函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键．
【详解】解：、∵时，；时，，
∴对称轴为直线，故选项错误；
、由表可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，
∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误；
、∵，
∴，
∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项错误；
、∵函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，
∴沿轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确；
故选：．
【考点3】用关系式表示变量间的关系
知识点/方法
解析式法：用含自变量的代数式表示因变量。
建立函数模型：根据几何公式（面积、体积）或实际问题（费用、行程）列出关系式。
注意定义域：结合实际背景确定自变量的取值范围（如边长 >0，三角形三边关系等）。
分离变量：将关系式化为 y = f(x) 的形式。
7．（2025·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的_____函数．
【答案】正比例
【难度】0.85
【知识点】用关系式表示变量间的关系、函数的概念
【分析】本题考查函数的概念，常量与变量．由正比例函数的定义，即可得到答案．
【详解】解：，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数．
故答案为：正比例．
8．（23-24八年级上·上海宝山·月考）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，列函数关系式，解不等式组，根据等腰三角形的定义得到，则，再由三角形三边的关系得到，解得，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵三角形中，两边之和大于第三边，
∴
∴．
故选：D．
9．（24-25八年级下·上海静安·期中）本区某住宅小区物业欲购买杨树、香樟树两种树苗共600棵，已知杨树每棵树苗40元，香樟树每棵树苗50元．
(1)设购买香樟树苗为x棵，购买树苗的总费用为y元，求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)某植树队负责种植这些树苗，如果现计划每天比原计划多种植10棵，那么可提前3天完成种植任务，求现计划平均每天种植树苗的棵数．
【答案】(1)
(2)50棵
【难度】0.85
【知识点】用关系式表示变量间的关系、分式方程的其它实际问题
【分析】（1）根据购买树苗的费用=购买香樟树的费用+购买杨树的费用，列出关系式即可；
（2）设现计划平均每天种植树苗a棵，然后 根据如果现计划每天比原计划多种植10棵，那么可提前3天完成种植任务，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
即y与x之间的函数关系式是：．
（2）解：设现计划平均每天种植树苗a棵，
由题意得：，
解得，a＝50或a＝－40（舍去），
检验：当a＝50时，，
故原分式方程的解是a＝50，
答：现计划平均每天种植50棵．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式和分式方程的实际应用，正确理解题意，列出方程和关系式是解题的关键．
【考点4】用图象表示变量间的关系
知识点/方法
图象法：在坐标系中用点表示对应关系，连线成图象。
图象识别：根据图象判断变化趋势（上升、下降、平缓、陡峭）。
行程问题图象：注意休息（水平线段）、折返（下降）等特殊点。
多段图象分析：每段对应不同运动状态，可求各段速度。
最值/交点：图象最高点、最低点、交点反映实际意义。
10．（24-25六年级上·上海·期末）六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（ ）准确地描述了这个过程．
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】根据用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化，容易看出数量的增减变化情况分析求解即可．本题考查了折线统计图的应用问题，熟练掌握折线统计图的特征是解题的关键．
【详解】解：根据六年级学生在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地；
准确地描述了这个过程．
故选：B．
11．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店1千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查函数图象的实际应用，结合图象得出从家直接去体育场，故第一段函数图象所对应的y轴最高点即为体育场离张强家的距离，进而得出锻炼时间以及整个过程所用的时间，由第三段函数图象可得体育场离开早餐店的距离，根据第五段函数图象求得张强从早餐店回家的距离及时间，再利用平均速度等于总路程除以总时间即可求张强从早餐店回家的平均速度．
【详解】解：由函数图象可得，体育场离张强家2.5千米，故A不符合题意；
由图象可得，张强在体育场锻炼了（分钟），故B不符合题意；
由图象可得，体育场离早餐店的距离为：（千米），故C不符合题意；
由图可得，张强从早餐店回家的距离是1.5千米，所需用的时间为（分），
所以张强从早餐店回家的平均速度是（千米/小时），故D符合题意；
故选：D．
12．（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作．
【答案】②④/④②
【难度】0.65
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论．
【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误；
由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个，
∴当，且时，甲乙生产量最多相差个；
当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个；
甲升级完成后每天生产个，
当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意；
当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个；
综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确；
∵，
∴，故③错误；
，，
∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确；
∴说法正确的有②④，
故答案为：②④．
【考点5】求自变量的取值范围（实际问题）
知识点/方法
几何图形：边长 > 0，且满足图形存在条件（如三角形两边之和大于第三边）。
实际问题：根据具体情境，如人数非负、时间非负、长度有限制等。
不等式组：列出所有限制条件，解不等式组确定范围。
围栏问题：注意墙的长度限制，列不等式组求定义域。
13．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）某建筑工地旁有一堵长为90米的围墙，工程队打算用120米长的铁栅栏靠墙围一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边．（如图所示）

(1)如果长方形的面积是1152平方米，求长方形两条邻边的长；
(2)若与墙垂直的一边长用x表示，长方形的面积用y表示，写出y关于x的函数解析式及函数的定义域．
【答案】(1)、
(2)函数解析式为，
【难度】0.65
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、函数解析式
【分析】（1）设为，则为，利用长方形的面积列方程求解即可；
（2）根据为，则为，利用长方形的面积列关系式，即可求解．
【详解】（1）解：设设为，则为，
则，
整理得，，
解得（舍），，
当，则，故舍去，
∴，
答：如果长方形的面积是1152平方米，求长方形两条邻边的长分别为、；
（2）解：根据题意得，，
即所求的函数解析式为，
∵，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据矩形的面积列方程和关系式是解题的关键．
14．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在一次实验中，小英把一根弹簧的上端固定，在其下方悬挂物体，已知弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小英记录的弹簧长度与所挂物体重量的对应值．
所挂物体质量/ 0 1 2 3 4 …．
弹簧长度/ 18 20 22 24 26 …．
(1)不挂物体时，弹簧长度为__________，当所挂物体为时，弹簧长度为_________
(2)在这个变化过程中，可以认为________是自变量，____________是___________的函数
(3)设所挂物体质量为m（单位：），弹簧长度为l（单位：），请写出表示（2）中函数关系的式子，并求出自变量的取值范围；当所挂物体质量为时，弹簧长度为多少？
【答案】(1)
(2)所挂物体的质量；弹簧长度；是所挂物体质量的函数
(3)；当所挂物体质量为时，弹簧的长度是
【难度】0.85
【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题主要考查函数的表示方法、常量和变量、函数的概念及函数自变量的取值范围，解题的关键是读懂题意．
（1）观察表格即可得出答案；
（2）观察表格即可得出答案；
（3）在整个变化过程中，可以发现物体每增加，弹簧长度增加，即可得出答案；由于弹簧最大能够承受的重物和图表可以得出所挂物体的质量最少是，即可得出答案；将代入即可得出答案．
【详解】（1）解：由表格可知，当所挂物体的质量为0时，弹簧的长度为，
当所挂物体的质量为3时，弹簧的长度为．
故答案为：．
（2）在整个变化过程中，弹簧的长度随着所挂物体的质量而变化，所以在整个变化过程中，所挂物体的质量是自变量，弹簧长度是所挂物体质量的函数．
故答案为：所挂物体的质量；弹簧长度；是所挂物体质量的函数．
（3）在整个变化过程中，可以发现物体每增加，弹簧长度增加，
故表示（2）中函数关系的式子为．
当时，，
答：当所挂物体质量为时，弹簧的长度是．
15．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，一块长和宽分别为和的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，若小正方形的边长为，长方体水槽的底面面积为．
(1)求与的函数关系式，并求出的取值范围；
(2)若它的底面积为，求截去正方形的边长的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【难度】0.65
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、函数解析式
【分析】（）四个角各截去一个边长为厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是：和，则底面积为
（）当长方体的底面积为，代入求出的值即可；
本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）由题意得：，，
∴；
（2）当，即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
∴截去正方形的边长的值为．
【考点6】求自变量的值或函数值
知识点/方法
已知自变量求函数值：代入解析式计算（注意负数、根式运算）。
已知函数值求自变量：解方程（可能有多解，需结合实际取舍）。
复合函数求值：按定义逐步代入，如 f( f(y,z) ) 形式。
常数函数：如 f(x) = ，无论 x 取何值，函数值不变。
16．（25-26九年级上·上海·月考）已知，那么_______．
【答案】5
【难度】0.94
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查求函数值．
将代入函数解析式计算
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：5．
17．（2025·上海徐汇·二模）已知，那么__________．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】二次根式的乘法、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入计算即可．
【详解】解：将代入得：
．
故答案为：．
18．（24-25八年级下·上海·期中）已知，那么__________．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查求函数值，把自变量的值代入函数解析式进行计算即可，正确掌握函数值的求法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
【考点7】函数解析式
知识点/方法
根据等量关系列式：如周长、面积、行程、费用等。
根据已知条件求系数：待定系数法，代入已知点求 k。
变形：将关系式化为 y = f(x) 的形式（如通过去分母、移项）。
定义域：必须同时满足解析式和实际问题。
取整函数应用：如推选代表人数 y = （取整）。
19．（24-25八年级下·上海·月考）等腰三角形周长为，腰长为，底边长为，则关于的关系式及定义域是______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、函数解析式
【分析】本题考查了一次函数关系式，三角形的周长公式，三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据三角形的周长公式可得函数关系式，根据底边长是正数以及三角形的三边关系可确定自变量的取值范围，即可求解．
【详解】解：由三角形的周长公式，得，
由底边长是正数，得，
解得：，
由两边之和大于第三边，得，
解得：，
关于的关系式及定义域是，
故答案为：．
20．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）某同学从家出发骑车去学校参加活动，当她骑行一段时间，突然想买一些食品当午饭，于是又折返回刚经过的一家商店，买好东西后又继续骑车如图是该同学离家的距离与所用时间的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)该同学折返前，他骑车的速度是__________米/分钟，其中路程s关于所用时间t的函数关系式为__________；
(2)由于途中返回买东西比直接去学校多走了__________米；
(3)当该同学距离学校300米时，所用时间为__________分钟．
【答案】(1)300；
(2)1200
(3)4或
【难度】0.65
【知识点】函数解析式、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数的图象，函数的解析式，解题的关键是熟练掌握函数的图象．
（1）根据题意以及图象可知即可求解；
（2）根据图象中的数据即可求解；
（3）分开始去时和买好东西后又继续去时两种情况解答即可．
【详解】（1）解：该同学折返前，他骑车的速度是米/分钟，
其中路程s关于所用时间t的函数关系式为；
故答案为：300；．
（2）解：该同学途中返回买东西比直接去学校多走了：（米）；
故答案为：1200；
（3）解：根据图象可得，当该同学出发后4分钟时，距离学校米，
当该同学买好东西后又继续骑车时速度为米／分钟，
（分钟），
（分钟），
故该同学出发后4分钟或分钟时，距离学校300 米．
故答案为：4或．
21．（2025·上海宝山·模拟预测）最近我校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为_____________
【答案】y=
【难度】0.94
【知识点】函数解析式、不等式的定义
【分析】本题考查了函数关系的应用，理解当余数是时，要增选一名，即人数最小应该增加3，掌握函数关系的应用是解题的关键．
根据题意，人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可得当余数是时，要增选一名，即人数最小应该增加3，由此列式即可求解．
【详解】解：每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，
∴当余数是时，要增选一名，即人数最小应该增加3，
该班人数x，
∴推选代表人数，
故答案为： ．
22．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知关于x的一元二次方程：
(1)证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，设方程的两个实数根分别为（其中），若y是关于m的函数，且，求y关于m的函数解析式．
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
（1）先计算判别式得到，再根据非负数的意义及已知条件得到，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）先解出方程的两个根，，判定根的大小，代入原式即可．
【详解】（1）证明：
，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴方程的两个根分别为和，
∵，
又∵，
∴，
∴．
【考点8】函数图象识别
知识点/方法
判断是否为函数图象：垂直于 x 轴的直线与图象最多一个交点。
根据点坐标判断：若点的坐标满足解析式，则在图象上。
识别特殊点：与坐标轴交点、最高点、最低点等。
图象对称性：关于 y 轴对称、关于原点对称等。
图象过定点：如指数函数 y = 恒过 (0,1)。
23．（2026·上海徐汇·一模）已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别
【分析】此题考查了函数图象，根据点得到点A和点B关于y轴对称，排除A，C选项；根据点得到当时的函数值小于当时的函数值，进而求解即可．
【详解】解：∵点在同一个函数的图像上，且点A和点B关于y轴对称，
∴排除A，C选项；
∵点在同一个函数的图像上，
∴当时，，当时，，且
∴当时的函数值小于当时的函数值，排除D选项，只有B选项符合题意．
故选：B．
24．（25-26八年级上·上海·期中）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
【详解】解：第一段，轮船先从甲地顺水航行到乙地，
是顺水航行，
速度大于静水速度，图象陡一些，
到达乙地后停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴，
又从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加，
是逆水航行，
速度小于静水速度，图象平缓一些，
关于的函数图像大致是D．
故选：D．
25．（23-24九年级上·上海·月考）了解一个新函数：（且）可以通过画图来研究它的图像，则它恒过点____________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别、零指数幂
【分析】本题考查了函数的图象，零次幂；
根据任何一个不为零的数的零次幂都是1可得答案．
【详解】解：∵，（且）
∴函数恒过点，
故答案为：．
26．（23-24八年级下·全国·单元测试）下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别、函数的概念
【分析】本题主要考查了函数的定义，注意掌握在变化过程中对应的唯一性．函数是对于的任意取值，都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断．
【详解】解：、、都符合函数的定义，只有选项的图象，一个对应的值不止一个，不能表示是的函数．
故选：C
【考点9】从函数的图象获取信息
知识点/方法
读取点的坐标：得到具体数值。
分析变化趋势：上升、下降、平缓、陡峭。
确定特殊点意义：相遇点、休息点、折返点、最值点。
计算速度、效率：利用路程差/时间差。
理解图象拐点：对应事件变化（如停留、改变速度）。
图象交点：表示两者相遇或数值相等。
27．（2025八年级上·上海·专题练习）为了调配医疗物资，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速（）前往B地、A地．两车途中在服务区相遇后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离s（）和所用时间t（）之间的函数图象如图所示．请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)图中的自变量是__________；
(2)分别求出甲、乙两车的速度；
(3)甲、乙两车行驶了多少小时相遇？
【答案】(1)时间
(2)甲车的速度为；乙车的速度为
(3)甲、乙两车行驶了相遇
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查函数的图象与实际问题．
（1）根据图象的横坐标、纵坐标即可得知自变量与因变量；
（2）根据图象可得两地相距距离为，甲车到达B地，此时两车之间距离为，即乙车距离A地为，再求出速度即可；
（3）根据甲乙在服务区相遇时的时间等于总路程除以甲乙的速度和即可解答．
【详解】（1）解：由图知，图中的自变量是时间，因变量是两车之间的距离，
故答案为：时间．
（2）解：由图可知，两地相距距离为，甲车到达B地，
故甲车的速度为，
乙车的速度为．
（3）解：．
答：甲、乙两车行驶了相遇．
28．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图是车辆行驶过程中油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的函数图象．从图象中得到的正确的信息是（ ）
A．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升
B．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升
C．汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完
D．汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了小时
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，通过函数图象分析即可求解，明确题意，获取信息是解题的关键．
【详解】解：、汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油（升），原选项不符合题意；
、汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油（升），原选项不符合题意；
、汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完，原选项符合题意；
、汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了（小时），原选项不符合题意；
故选：．
29．（24-25八年级下·上海宝山·期中）某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
(1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留的时间为 小时；
(2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．问甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是多少千米？
(3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第二次相遇（即点C处）时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
【答案】(1)
(2)甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是270千米
(3)按图象所表示的走法符合约定
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）根据函数图象所给的信息即可得到答案；
（2）可求出乙的速度，进而求出点C的坐标，则可求出甲车在段的速度，进而可求出甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程；
（3）由于甲车在段的速度大于乙的速度，那么甲、乙两组在第二次相遇后当时两车之间的距离最大，据此求出此时两车之间的距离即可得到结论．
【详解】（1）解；由函数图象可得，甲组在途中停留的时间为（小时）．
（2）解：乙组的速度为（千米/小时），
当时，乙组所走的路程为（千米），
∴，
∴甲车在段的速度为（千米/小时），
（千米）．
答：甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是270千米．
（3）解：∵甲车在段的速度大于乙的速度，
∴甲、乙两组在第二次相遇后当时两车之间的距离最大，
∴此时甲所走的路程为480千米，乙所走的路程为（千米），
∴两车之间的最大距离为（千米），
∵，
∴按图象所表示的走法符合约定．
30．（25-26八年级上·上海·期中）如图是某函数的图像，当时，若在该函数图像上可以找到n个不同的点
（其中为大于1的正整数），使得恒成立，则所有可能的值的和是___________．
【答案】14
【难度】0.4
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数图象．设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在正比例的图象上，画出函数图象，观察正比例函数与其交点情况即可求解．
【详解】解：设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在的图象上，画出函数图象观察交点即可求解．
如图
正比例函数与该函数图象有1个交点,不符合题意；
如图
正比例函数与该函数图象有2个交点；
如图
正比例函数与该函数图象有3个交点；
如图
正比例函数与该函数图象有5个交点；
如图
正比例函数与该函数图象有4个交点；
综上，所有可能的值的和是，
故答案为：14．
【考点10】函数的三种表示方法
知识点/方法
列表法、解析式法、图象法可以相互转化。
描点法画图象：列表→描点→连线。
根据表格写解析式：寻找规律（如一次函数、反比例等）。
根据图象写解析式：先确定类型，再找点求系数。
图象与性质：通过图象可直观看出增减性、对称性、最值等。
31．（2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为
C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意；
B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意；
C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意；
D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意；
故选：B．
32．（21-22八年级下·全国·课前预习）函数的表示方法通常有三种，它们是_______、_______、_______．
【答案】 解析式法 列表法 图象法
【难度】0.85
【知识点】函数的三种表示方法
【解析】略
33．（24-25七年级下·山东青岛·期中）某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表：
（小时） 0 1 2 3
（升） 120 112 104 96
则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】根据表格数据即可表示因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系．
【详解】解：根据表格数据可知：
因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，解决本题的关键是函数的表示方法．
【考点11】正比例函数的定义
知识点/方法
定义：形如 y = kx (k ≠ 0) 的函数叫做正比例函数，k 为比例系数。
判断：变量次数为1，且不含常数项。
待定系数法：已知一对 x,y 可求 k。
图像过原点：正比例函数图象必过 (0,0) 点。
由象限求 k 范围：过一、三象限则 k>0；过二、四象限则 k<0。
34．（25-26八年级上·上海·假期作业）已知点在正比例函数的图象上，那么这个函数的解析式为_______ ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的定义
【分析】本题主要考查待定系数法求正比例函数的解析式．设正比例函数解析式为，把点代入计算出的值，即可求解函数的解析式．
【详解】解：∵点在正比例函数的图象上，设正比例函数解析式为，
∴，则，
∴这个函数的解析式，
故答案为：．
35．（25-26八年级上·上海·月考）函数是正比例函数，则的值为________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，函数解析式中常数项必须为零即可解答．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，
解得：．
故答案为：
36．（24-25八年级上·上海金山·期中）若函数是正比例函数，且图像经过一、三象限，则_______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一元一次不等式的解集、正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】本题考查正比例函数的定义与性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键．
根据自变量的次数等于1，系数大于0，列式求解即可．
【详解】解：∵函数是正比例函数，且图像经过一、三象限，
∴且，
即且，
∴．
故答案为：．
37．（24-25八年级上·上海·期中）下列关系中，属于成正比例函数关系的是（ ）
A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度
C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题考查正比例函数定义的应用，根据各个选项中的说法，利用学过的数学知识得到变量之间的关系式，判断它们的函数关系是否是正比例函数关系即可得到答案．读懂题意，判断变量之间是否满足正比例函数关系是解决问题的关键．
【详解】解：A、正方形的面积与边长的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意；
B、从甲地到乙地距离固定为，所用的时间和行驶速度的关系是，不是正比例关系，故选项不符合题意；
C、圆的面积与它的半径的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意；
D、等边三角形的周长和边长的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意；
故选：D．
【考点12】求自变量的取值范围（解析式有意义）
知识点/方法
分式：分母 ≠ 0。
二次根式：被开方数 ≥ 0。
零次幂：底数 ≠ 0。
组合情况：取各条件交集。
多个限制：如分式+根式，需同时满足。
38．（25-26九年级上·上海普陀·月考）下列关于的函数中，定义域为一切实数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】二次根式有意义的条件、零指数幂、求自变量的取值范围、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了函数的定义域，解题的关键是掌握二次根式，分式以及零指数幂有意义的条件．
通过分析每个函数的定义域限制，判断是否对所有实数x有定义．
【详解】解：A. ，定义域为一切实数，符合题意；
B. ，，
∴，
∴该选项不符合题意；
C. ，
，
∴，
∴该选项不符合题意；
D. ，
，
∴，
∴该选项不符合题意；
故选：A．
39．（2025九年级·上海·专题练习）（2025·上海徐汇·二模）函数的定义域是____________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了函数定义域的求解， 有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义则分母不为0．
函数为分式形式，分母不能为零，因此需确保分母不为零以确定定义域．
【详解】解：函数中，分母，
解得，
故定义域为
故答案为：．
40．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为__________．
【答案】且
【难度】0.85
【知识点】求自变量的取值范围、因式分解法解一元二次方程、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了定义域、分式的性质、解一元二次方程等知识，根据分式有意义的条件确定是解题关键．分解分式有意义的条件可知，然后解方程，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可知，
当时，解得，
所以，函数的定义域为且．
故答案为：且．
【考点13】正比例函数的图象
知识点/方法
图象是经过原点 (0,0) 的一条直线。
k 决定图象位置：k>0 过一、三象限；k<0 过二、四象限。
|k| 大小决定倾斜程度：|k|越大，直线越陡（越靠近 y 轴）。
画法：取一点（如 (1,k)），连接原点即可。
相关函数：“相关函数”概念：x≥0 取原函数，x<0 取相反数。
可回旋函数：点平移后仍在图象上，可求平移单位。
41．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的图象
【分析】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键．
根据正比例函数的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，
∴，
解得：，
故选：A．
42．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的图象
【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键．
根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可．
【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为，
∵点在这个函数的相关函数的图象上，
当时，把点代入得，，
∴，
当时，把点代入得，，
∴，
∴或．
故答案为：或．
43．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的图象
【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴经过点，
点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到，
由题意，也在直线上，
∴，
解得：；
故答案为：．
44．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“>”连接：________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质
【分析】根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过一、三象限，且的绝对值越大，直线越靠近轴；
当时，函数图象经过二、四象限.通过观察图象所在象限以及直线的陡峭程度来比较、、的大小．
【详解】解：对于和，它们的图象经过一、三象限，所以，，又因为的图象比的图象更靠近轴，所以．
对于，它的图象经过二、四象限，所以．
综上，．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题关键是根据正比例函数图象所在象限以及直线的陡峭程度判断比例系数的大小．
【考点14】用描点法画函数图象
知识点/方法
步骤：列表（取适当自变量）、描点、用平滑曲线连接。
自变量取值：应在定义域内，且具有代表性（包括端点、特殊点）。
观察图象：从图象获取性质（增减性、最值、对称性等）。
补充表格：根据解析式计算空缺函数值。
分析图象：描述增减性、对称轴、最值等。
45．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完成：
(1)函数的定义域是_________，函数值的取值范围是_________；
(2)下表为与的几组对应值：
1 2 3 4 5 ．．．
0 1 1.41 1.73 2 ．．．
在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(3)结合图象写出该函数的一条性质：________．
【答案】(1)，；
(2)见解析
(3)随的增大而增大．
【难度】0.65
【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
（1）根据二次根式的性质即可得出结论；
（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
（3）根据函数图象即可得出结论．
【详解】（1）解：函数的定义域是，函数的函数值的取值范围是；
故答案为：，；
（2）解：如图所示：
（3）解：由图象可得：随的增大而增大．（答案不唯一）
46．（24-25八年级上·上海·期中）已知函数，其中与成反比例，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当或，的值均为．
请对该函数及其图像进行如下探究：
(1)求该函数的解析式；
(2)函数图像探究：根据解析式完成下表：
… 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… 5 4 ① 5 ② …
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的大致图像．
【答案】(1)
(2)，，作图见解析
【难度】0.65
【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确画出函数图象、数形结合是解题的关键．
（1）用待定系数法设，，则，将已知条件代入得关于方程组，即可求得该函数解析式；
（2）把分别代入，即可求得对应的函数值，在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象即可．
【详解】（1）解：设，，则，
当或，的值均为，
，解得，
∴该函数解析式为；
（2）解：把代入得，；
把代得，；
在平面直角坐标系中描点，画出图象如图所示：
故答案为：，．
47．（23-24九年级上·上海·月考）在初三阶段，我们要研究一个新函数：二次函数，在此前，我们研究过一次函数和反比例函数，那么如何研究一个新函数呢？现在做如下探究：
探究课题：探究函数的图象与性质．
方法1：运用已学关于根式，分式的知识．
（1）函数的自变量x的取值范围是 ；
方法2：列表法借助图像性质．
（2）下表是y与x的几组对应值． 其中_____________
x 1 2 3 4 …
y 0 m …
如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
方法3：分析图像的增减性： ．
【答案】（1）且；（2），图象见解析；方法3：当时，函数y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而减小；
【难度】0.65
【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】（1）根据分式有意义分母不为0和二次根式有意义的条件被开方数非负，建立关于x的一元一次不等式组，解之即可求出自变量x的取值范围；
（2）将代入解析式求m的值即可，再根据图中描出各点，连点成线画出图象即可；
方法3 ：观察（2）中函数图象，根据函数图象即可得到函数的增减性；
【详解】（1）解：由题意可得 ，
解得且；
故答案为：且．
（2）解：当时，，
即，
故答案为：．
该函数的图象如下图所示：
方法3：观察（2）中函数图象可知，当时，函数y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而减小；
故答案为：当时，函数y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而减小．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围、求函数值，画函数图象、以及观察函数图象得出函数图象增减性，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．
【考点15】正比例函数的性质
知识点/方法
增减性：k>0 时，y 随 x 增大而增大；k<0 时，y 随 x 增大而减小。
比较函数值大小：利用增减性或代入计算。
对称性：正比例函数图象关于原点对称。
函数值变化量：自变量增加1，函数值增加 k（k 可正可负）。
由象限求参数：过一、三象限则系数 >0；过二、四则系数 <0。
48．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能比较
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解题的关键．
通过点坐标求出正比例函数解析式，再计算和比较和的大小即可．
【详解】解：∵ 正比例函数图象经过点，
∴ 设函数为，代入得，
∴，
∴ 函数解析式为，
∵ 点和点在图象上，
∴，，
∵，
∴，即 ．
故选：B．
49．（2024·上海·模拟预测）对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质求解即可．
【详解】解：因为正比例函数，
所以当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2，
即当自变量x的值增加1时，函数y的值增加．
故答案为：．
50．（24-25八年级上·上海·月考）已知正比例函数的图像经过点和点，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知当时，随的增大而减小是解题的关键．
根据正比例函数的性质解答即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴正比例函数中，随的增大而减小，
，
，
故选：A．
51．（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是______．（写出一个符合题意的k的值即可）
【答案】3（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质
【分析】本题考查正比例函数的增减性，掌握正比例函数的意义是解题关键．
由正比例函数增减性直接求解即可得到答案．
【详解】解：在正比例函数中，
∵的值随的值增大而减小，
∴．
解不等式得
．
∴只要取大于2的数都符合题意；
故答案为：3（答案不唯一）．
【考点16】创新及压轴题
知识点/方法
新定义函数：理解新定义，转化为常规函数问题（如“相关函数”“可回旋函数”）。
函数与几何综合：利用几何性质（全等、垂直平分线）建立函数关系。
动点问题：用时间表示距离，分析函数图象，列方程求解。
数形结合思想：从图象获取信息解决实际问题。
分类讨论：涉及不同运动阶段或不同情况（如 m>0 和 m<0）。
“保三角形函数”：验证函数值是否满足三角形三边关系。
含绝对值的函数：可通过翻折得到图象，研究对称性。
1．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），垂直平分，分别交边、于点、，连接、．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】函数解析式、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的全等三角形的判定和性质是解本题的关键．
（1）由直角三角形的性质求出，，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点作于，由直角三角形的性质及勾股定理可得出结论；
（3）证明，由全等三角形的性质得出，则，设，求出的值可得出答案．
【详解】（1）证明：，，，
，，，
，，
，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
又，
，
；
（2）解：如图，过点，是的垂直平分线，
，，
如图，过点，
，
，分别在，上，
，
过点作于，
，，则，
，，
同理，
，
，
，
．
（3）当时，同理，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
．
2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如下表所示，跑步累积里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如下图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步追程
小明 不分段 A档 4000米
小丽 第一段 B档 1800米
第一次休息
第二段 B档 1200米
第一次休息
第三段 C档 1600米
(1)求A、B、C各档速度（单位：米/分）；
(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累积里程相等，求a的值．
【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分
(2)5分
(3)42.5
【难度】0.65
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息
【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键．
（1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度；
（2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；
（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，档速度为米/分，
∴档速度为米/分，
∴档速度为米/分；
（2）解：小丽第一段跑步时间为分，
小丽第二段跑步时间为分，
小丽第三段跑步时间为分，
∴小丽两次休息时间的总和分；
（3）解：由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分）
∴，
解得：．
3．（24-25八年级下·上海·月考）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”

(1)已知这段高速公路全程限速110千米/小时，如果两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由；
(2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，当张师傅行驶完这段高速公路时，求油箱里的剩余油量．
【答案】(1)张师傅没有超速，理由见解析
(2)当张师傅行驶完这段高速公路时，油箱里的剩余油量升
【难度】0.65
【知识点】分式方程的行程问题、从函数的图象获取信息
【分析】此题考查分式方程的应用和从函数图象获取信息等知识，读懂题意和从函数图象获取有效信息是关键．
（1）设张师傅的速度为千米/时，根据时间关系列方程并解方程即可进行解答；
（2）从函数图象获取信息进行解答即可．
【详解】（1）解：张师傅没有超速，
理由：设张师傅的速度为千米/时，
．
∴（舍去），．
经检验，是原分式方程的解．
∵，
∴张师傅没有超速．
（2）由函数图象可得，张师傅每小时耗油量为：（升），
∴行驶完这段高速公路，张师傅至少需要：（升）．
∴即行驶完这段高速公路，他至少需要33升．
∴当张师傅行驶完这段高速公路时，油箱里的剩余油量（升）．
4．（24-25八年级上·上海·月考）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，．
(1)当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标；
(2)当的面积为4时，求E点的坐标．
【答案】(1)
(2)E点的坐标为
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、正比例函数的性质
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）证明，得出，当点D的纵坐标为3时，得出，即可求解．
（2）根据，得出，设点D的坐标为，则，求出即可得出点D的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当点D的纵坐标为3时，代入得，
则，，，
∴E点的坐标为．
（2）∵，
∴，
设点D的坐标为，
则，
∴，
解得：（舍去）或．
∴点D的坐标为，
∴，，，
∴E点的坐标为．
5．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料，回答问题：
如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设）都在某个函数的定义域内，并且，，也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角形函数”．
(1)试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”；
(2)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例；
(3)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请说明理由，如果不是，请举出反例．
【答案】(1)见解析
(2)不是“保三角函数”，反例见解析
(3)是“保三角函数”，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】三角形三边关系的应用、正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数，三角形的三边关系，新定义：“保三角形函数”，解题的关键是理解“保三角形函数”的定义．
（1）根据正比例函数和“保三角形函数”的定义证明即可；
（2）根据“保三角形函数”的定义判断即可；
（3）根据，得到，进而得到，由，可得，即可判断．
【详解】（1）证明：设，
则，，，
，，
，
，
又 ，，
，
，
是“保三角函数”；
（2）解：不是“保三角函数”，举出反例如下：
对于，设，，，、、能构成三角形，
，，，
，
，，不能构成一个三角形，
故不是“保三角函数”；
（3）对于，
，
，
，
又 ，
，
是“保三角函数”．
6．（24-25九年级上·上海·月考）回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图像，再结合函数图像研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究．
(1)请根据下表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图像：
0 1 2 3 4 5 6
8 0 4 4 0 8
(2)观察图像，研究性质：
①该函数图像关于________对称；
②当随的增大而增大时，的取值范围是________；
③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：________；
(3)深入思考，拓展探究：
④若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是________；
⑤不难发现，函数的图像可通过将函数图像的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图像可通过将函数在_____上的图像（填“具体哪一部分”）沿着______（填“具体哪条直线”）翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）．
【答案】(1)图见详解
(2)①直线；②或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为；
(3)④；⑤轴下方，轴
【难度】0.85
【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数的应用，掌握函数的研究方法是解题关键．
（1）描点连线即可完成作图；
（2）根据图像即可确定函数的性质；
（3）作出直线，通过上下平移即可确定函数的图像与直线有4个交点的情况，即可求解；结合的图像即可确定一般规律；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：由图象可知：
①该函数图像关于直线对称；
②当随的增大而增大时，的取值范围是或；
③当或时，该函数有最小值，且最小值为；
故答案为：①直线；②或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为；
（3）解：由图象可知：
④由表格数据可知：当时，；
若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是：；
⑤函数的图像可通过将函数在轴下方的图像沿着轴
翻折得到，
故答案为：④；⑤轴下方，轴
7．（23-24九年级下·上海·期中）小丁的奶奶想用铁丝网在自家门前围一块面积为4平方米的矩形菜园，并且用最少的铁丝网，因此小丁进行了如下探究活动．
活动一：（1）设矩形菜园的一边长为x米，铁丝网长为y米．
①用含x的代数式表示矩形菜园另一边长为_____________米；
②y关于x的函数解析式是______________
活动二：（2）①列表：根据（1）中所求的函数关系式计算并补全下表． （y精确到0.1）
/米 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
/米 17.0 10.0 8.3 8.2 8.7 9.3 10.8 11.6
②描点：根据表中数值，在平面直角坐标系中描出①中剩下的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考：（3）①请你根据函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
②根据以上信息可得，当_____________时，y有最小值．由此可知，小丁的奶奶至少需要买_____________米的铁丝网．
【答案】（1）①，②；（2）①，，图见解析；②见解析，③见解析；（3）①性质1：函数值y有最小值，性质2：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，②2，
【难度】0.65
【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息、函数解析式
【分析】本题主要考查函数图象和性质，掌握函数图象的画法及数形结合是解题的关键．
（1）①直接利用矩形的面积公式即可求解；
②利用①中的结论和矩形的周长=（长+宽）×2即可找到y关于x的函数解析式；
（2）①根据（1）②中求出的函数关系式，令和求出相应的y值即可补全图表；
②将两个点描出即可；
③用平滑的曲线连接各点即可得到函数的图象；
（3）①根据图象即可得出函数的两条性质；
②找到函数图像中的最低点，即可确定答案．
【详解】解：（1）①根据矩形的面积可知，矩形菜园另一边长为米；
②利用矩形的周长=（长+宽）×2，有
；即；
故答案为：，
（2）①当时，；当时，，补全图表：
x/米 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/米 17.0 10.0 8.3 8.0 8.2 8.7 9.3 10.0 10.8 11.6
②描点如图：

③作图如下

(3)①性质1：函数值y有最小值．
性质2：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
②由图象可知，当时，y有最小值，最小值为，所以小丁的奶奶至少需要买米的铁丝网．
故答案为：，
随堂检测 · 精选练习
练习1函数值计算（如 f(√6)）
练习2函数图象识别（漏壶问题）
练习3函数值计算（二次根式）
练习4函数解析式变形
练习5求函数定义域（分式、根式、零次幂）
1．（2026·上海金山·一模）已知，那么____
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了新定义运算，函数解析式的运用，读懂题意是解题的关键．将代入函数中，直接计算即可．
【详解】解：由函数定义，．
故答案为：．
2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系．
【答案】（2）
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查函数图象的识别，根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，从而可以解答本题．
【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，
∴随的增大而匀速地减小，图象（2）适合表示与的对应关系．
故答案为：（2）．
3．（2025·上海浦东新·三模）已知函数，那么__________
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】二次根式的除法、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，把代入函数表达式，进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：3
4．（24-25八年级上·上海·月考）把化成形式，则______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】函数解析式
【分析】本题考查的是用含的代数式表示，函数关系式的变形，先去分母，把看作是自变量，求解因变量即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：
5．（25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为___________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求自变量的取值范围
【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可．
【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件：
1. 根式的被开方数，解得．
2. 零次幂 的底数，解得．
3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即．
综上，定义域为，
故答案为：．
课后巩固 · 核心作业
作业1函数图象识别（曲线是否为函数）
作业2表格法分析弹簧长度与质量关系
作业3常量与变量判断
作业4龟兔赛跑图象选择
作业5正比例函数象限判断
作业6正比例函数图象上点的判断
作业7销售图象分析（降价百分率）
作业8行程图象信息提取（小明小华）
作业9汽车往返图象分析
作业10赛龙舟图象分析
作业11相遇问题图象分析
作业12正比例函数定义及最值
作业13正比例函数比较大小
作业14正比例函数图象画法及性质
※ 复习建议熟练掌握函数的概念及三种表示方法，理解正比例函数的图象与性质，会从图象中获取信息，灵活运用待定系数法求解析式，注意自变量的取值范围。
1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别、函数的概念
【分析】本题考查函数的定义，根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给x一个值，y都有唯一确定的值与其对应，我们称y是x的函数，x是自变量”逐项判断解答．
【详解】解：根据函数中给x一个值，y都有唯一确定的值与其对应可知，A，B，C表示y是x的函数，D不能表示y是x的函数，
故选：D．
2．（13-14八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度y增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系
【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案．
本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案．
【详解】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确；
B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误；
C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确；
D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确；
故选：B
3．（24-25七年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（ ）
A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x
C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量．
【详解】解：∵长方形面积为，
∴是固定不变的量，
∵长为，宽为，
∴，是可以变化的量，
∴常量为；变量为，，
故选：A．
4．（11-12八年级上·贵州黔西南·期末）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项，
故选：．
5．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】正比例函数的图象
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与所经过的象限的问题．根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限，
∴，
∴．
故选：C．
6．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，）的图像经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质、正比例函数的图象
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数图象的性质，利用待定系数法求出函数解析式，进而得到该函数图象上的点的横纵坐标之间的关系，据此可得答案．
【详解】解：∵正比例函数（是常数，）的图像经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数解析式为，
∴在正比例函数图象上的点纵坐标为横坐标的两倍，
∴四个选项中只有A选项中的点在正比例函数的图象上，
故选：A．
7．（24-25八年级上·上海·期末）互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像，
(1)求线段所在直线的函数解析式；
(2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元．
(3)该商品每次降价的百分率为_______．
【答案】(1)
(2)10，
(3)
【难度】0.65
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、从函数的图象获取信息、正比例函数的图象
【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质、从函数图像中获取信息、一元二次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键．
（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；
（2）根据函数图像可得每件的原价等于销售额1000元除以销售量100件；第二次降价后该商品每件的价格为销售额元除以销售量100件，由此即可得；
（3）设该商品每次降价的百分率为，结合（2）的结果，建立一元二次方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设线段所在直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则线段所在直线的函数解析式为．
（2）解：由线段表示的函数图像可知，该商品原价每件为（元），
由线段表示的函数图像可知，第二次降价后该商品每件为（元），
故答案为：10，．
（3）解：设该商品每次降价的百分率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
所以该商品每次降价的百分率为，
故答案为：．
8．（24-25六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．

【答案】①②③
【难度】0.65
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可．
【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确；
由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确；
由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确；
由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键．
9．（24-25六年级上·上海·期末）如图是一辆汽车从甲地到乙地再返回的路程和时间的关系图．
看图回答问题：
(1)汽车从甲地到乙地行驶了　 　分，行驶　 　．
(2)汽车在乙地停留了　 　分．
(3)汽车从乙地返回甲地行驶了　 　分，行驶　 　．
(4)想一想汽车在哪一段行驶的速度快？
【答案】(1)25，24
(2)15
(3)20，24
(4)汽车在返回途中行驶的速度快
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】此题主要考查的是如何从折线统计图中获取信息，然后再根据信息进行分析、计算即可．
（1）根据统计图中折线上升的趋势可知，汽车从甲地到乙地行驶了25分钟，甲乙两地之间的距离为24千米；
（2）折线图中折线持平的部分为汽车在乙地停留的时间，可用40减去25进行计算即可；
（3）汽车从第40分钟开始返回，所以可用60减去40计算出返回用的时间，返回的路程即是甲乙两地之间的距离；
（4）根据图示，汽车从甲地开往乙地用了25分钟，返回时用了分钟，所以汽车在返回时行驶的速度比较快．
【详解】（1）解：汽车从甲地到乙地行驶了25分，行驶；
（2）解：（分钟），
答：汽车在乙地停留了15分；
（3）解：（分钟），
答：汽车从乙地返回甲地行驶了20分，行驶；
（4）解：根据分析可知汽车在返回途中行驶的速度快．
10．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）甲、乙两队参加赛龙舟比赛，上午9时同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点．
(1)比赛中 的速度始终保持不变，为 千米/小时；
(2) 先到达终点，时间相差 小时；
(3)比赛开始后 小时，他们第一次相遇．
【答案】(1)乙队，16
(2)乙队，
(3)
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）观察图象可知，乙队的速度始终不变，利用路程除以时间进行求解即可；
（2）乙队先到达终点，利用路程除以速度求出乙队所用时间，进而求出时间差即可；
（3）求出甲队在段的速度，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：观察图象可知，乙队的速度始终不变，1小时行驶了16千米，
∴乙队的速度为：千米/小时；
故答案为：乙队，16；
（2）由图象可知，乙队先达到终点，所用时间为：，甲队到达终点所用时间为：小时，
∴时间相差小时；
故答案为：乙队，；
（3）甲队段的速度为：千米/小时，
当他们第一次相遇时，，解得：；
故比赛开始后小时，他们第一次相遇．
11．（24-25八年级上·上海·期中）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示．
(1)结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点；
(2)求甲、乙各自的速度；
(3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离；
【答案】(1)；
(2)甲的速度为千米时，乙的速度为千米时；
(3)当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米．
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键．
（）根据函数图象，两个相距为时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案；
（）由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时，即可求出甲的速度，根据当时，两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度；
（）当乙到达终点地时，求出甲离开出发地地的路程，即为甲乙两人的距离．
【详解】（1）解：由图象可得，在点时，，此时两人相遇，
点之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点，
点表示两人距离为，此时甲到达终点，
故答案为：；
（2）解：由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时，
∴甲的速度为（千米时），
当时，两人相遇 ，
两人的速度之和为（千米时），
∴乙的速度为（千米时），
答：甲的速度为千米时，乙的速度为千米时；
（3）解：当乙到达终点地时，甲离开出发地地有（千米），
∴当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米．
12．（24-25八年级上·上海·期中）已知，且是关于的正比例函数．
(1)求与的函数关系式；
(2)若，求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的性质、正比例函数的定义
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性：
（1）一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案；
（2）根据（1）所求，先求出当时，，再根据解析式可得y随x增大而减小，则当，函数的最小值为．
【详解】（1）解：∵，且是关于的正比例函数，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，当时，，
∵在中，，
∴y随x增大而减小，
∴当，函数的最小值为．
13．（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，．
(1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________；
(2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质
【分析】本题考查的是正比例函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；
（1）先画出，的图象，结合，可得的图象位置，从而可得答案；
（2）先设设，，，再结合图象与直线的交点位置，利用，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，
当时，的图象在图象的上方满足，
结合图象可得：；
（2）解：设，，．
如图，当时，
，
．
解得：．
如图，当时，
，
．
解得：．
综上：．
14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数，，，．
(1)在同一坐标系内画出函数的图象；
(2)探索发现：
观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？
(3)灵活运用：
已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ．
【答案】(1)见详解
(2)随着的增大，直线与y轴的夹角减小
(3)
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、正比例函数的性质、正比例函数的图象
【分析】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键．
（1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象；
（2）比较分析可得答案．
（3）由（2）分析的规律即可判断．
【详解】（1）解：依题意，令时，则，，，．
如图：
（2）解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大直线与轴的夹角越小．
（3）解：由（2）规律可知，，
由图可知，
∴
故答案为：．
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专题25.1&25.2 变量与函数+正比例函数 优等生讲义
(16大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 函数的概念，能判断变量之间的关系是否为函数关系。
掌握 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法，并能相互转换。
能根据 实际问题列出函数关系式，并确定自变量的取值范围。
理解 正比例函数的定义、图象和性质，能运用正比例函数解决简单问题。
体会 数形结合思想，通过图象分析函数性质。
核心思想：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数。
知识梳理 · 核心概念与定理
☆ 函数的基本概念
定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
自变量与因变量：主动变化的量是自变量，随之变化的量是因变量。通常用x表示自变量，y表示因变量。
常量与变量：数值保持不变的量叫常量（如公式中的 π），可以取不同数值的量叫变量。
函数值：当自变量取一个确定值时，因变量的对应值叫做函数值，常用f(a)表示当x=a时的函数值。
唯一对应性：函数的本质是“一对一”或“多对一”，绝不允许“一对多”。
☆ 函数的三种表示方法
列表法：通过表格直接列出自变量与因变量的对应值。优点是直观、具体，缺点是不易看出整体变化趋势，且数据有限。
解析式法：用数学式子表示函数关系。优点是精确、便于计算，缺点是有些函数关系不易列式。
图象法：在平面直角坐标系中描点连线得到图象。优点是直观反映变化趋势，缺点是不够精确。
三种方法的转换：列表可以描点画图；图象可以读取坐标列表；解析式可以列表计算。
☆ 自变量的取值范围
解析式有意义：
分母 ≠ 0（分式函数）
被开方数 ≥ 0（二次根式）
零次幂的底数 ≠ 0
组合情况取各条件交集
实际问题有意义：如边长 > 0、时间 ≥ 0、人数为整数等，需结合具体情境确定。
☆ 函数值计算
已知自变量求函数值：直接代入解析式计算。
已知函数值求自变量：转化为解方程，可能有多个解，需检验是否在定义域内。
复合函数求值：按定义逐步代入。
☆ 正比例函数定义
形如y = kx（k是常数，且k ≠ 0）的函数叫做正比例函数，k称为比例系数。
自变量次数为1，不含常数项。
待定系数法：已知一组对应值可求k。
☆ 正比例函数的图象与性质
图象：一条经过原点(0,0)的直线。
k 的作用：
k > 0：图象过一、三象限，y随x增大而增大（上升）。
k < 0：图象过二、四象限，y随x增大而减小（下降）。
|k| 越大，直线越陡（越靠近y轴）。
画法：取一点（如(1,k)），连接原点即可。
对称性：关于原点中心对称。
☆ 函数相关概念补充
函数记号 f(x)：表示对应法则，如f(x)=2x+1，则f(a)=2a+1。
多元函数概念：如z = f(x,y)表示z随x,y变化而确定。
取整函数：常用于实际问题，如推选代表人数y = [(x+3)/10]（向下取整）。
函数的三种表示方法
表示法 定义 特点 示例
列表法 通过表格列出自变量与因变量的对应值 直接、具体，但数据有限 印刷收费与数量关系表
解析式法 用数学式子表示函数关系 精确、便于计算 y = 2x + 1
图象法 在坐标系中描点连线得到图象 直观反映变化趋势 温度变化曲线
※自变量的取值范围：必须使解析式有意义（分母≠0，二次根式被开方数≥0）且符合实际意义。
正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的性质
k 的符号 图象所在象限 增减性 图象形状
k > 0 一、三象限 y 随 x 增大而增大 从左向右上升
k < 0 二、四象限 y 随 x 增大而减小 从左向右下降
|k| 越大，直线越陡（越靠近 y 轴）。
核心考点 · 16类题型精讲
【考点1】函数的概念
知识点/方法
函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数。
自变量与因变量：主动变化的量是自变量，随之变化的量是因变量。
常量与变量：数值保持不变的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量。
函数值：当自变量取一个确定值时，因变量的对应值叫做函数值。
多元函数概念：如 z = f(x,y) 表示 z 随 x,y 变化而确定。
1．（2025八年级上·上海·专题练习）某地进入5月份后，温度随着日期的变化而逐渐升高，在这个过程中，自变量是________．
2．（24-25八年级上·上海·期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么____．
3．（24-25八年级上·上海·期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是（ ）
A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数
C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例
【考点2】用表格表示变量间的关系
知识点/方法
列表法：通过表格直接反映两个变量的对应关系。
观察表格：可以找出变化趋势（增加、减少、周期等）。
计算变化量：通过差值分析变化快慢，找出最快时段。
根据表格写解析式：寻找规律（如一次函数、反比例等）。
对称性观察：从表格中可能发现函数对称性（如关于某点对称）。
4．（2025八年级上·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表：
印刷数量x（张） … 100 200 300 400 …
印刷收费y（元） … 15 30 45 60 …
(1)上表中的变量是什么？
(2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________；
(3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？
5．（24-25六年级下·上海·期末）如图，某条河遭受暴雨袭击，一天的水位记录如表所示，通过观察可知8点至24点之间，水位上升最快的时段是________（填几点到几点）．
时刻 8点 12点 16点 20点 24点
水位（m） 3.5 4 5.5 6 8
6．（2025·上海杨浦·一模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格：
那么下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象关于轴对称
B．该函数的图象没有最低点也没有最高点
C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限
D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的
【考点3】用关系式表示变量间的关系
知识点/方法
解析式法：用含自变量的代数式表示因变量。
建立函数模型：根据几何公式（面积、体积）或实际问题（费用、行程）列出关系式。
注意定义域：结合实际背景确定自变量的取值范围（如边长 >0，三角形三边关系等）。
分离变量：将关系式化为 y = f(x) 的形式。
7．（2025·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的_____函数．
8．（23-24八年级上·上海宝山·月考）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25八年级下·上海静安·期中）本区某住宅小区物业欲购买杨树、香樟树两种树苗共600棵，已知杨树每棵树苗40元，香樟树每棵树苗50元．
(1)设购买香樟树苗为x棵，购买树苗的总费用为y元，求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)某植树队负责种植这些树苗，如果现计划每天比原计划多种植10棵，那么可提前3天完成种植任务，求现计划平均每天种植树苗的棵数．
【考点4】用图象表示变量间的关系
知识点/方法
图象法：在坐标系中用点表示对应关系，连线成图象。
图象识别：根据图象判断变化趋势（上升、下降、平缓、陡峭）。
行程问题图象：注意休息（水平线段）、折返（下降）等特殊点。
多段图象分析：每段对应不同运动状态，可求各段速度。
最值/交点：图象最高点、最低点、交点反映实际意义。
10．（24-25六年级上·上海·期末）六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到出发地．图（ ）准确地描述了这个过程．
A． B． C． D．
11．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．张强在体育场锻炼了15分钟
C．体育场离早餐店1千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
12．（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作．
【考点5】求自变量的取值范围（实际问题）
知识点/方法
几何图形：边长 > 0，且满足图形存在条件（如三角形两边之和大于第三边）。
实际问题：根据具体情境，如人数非负、时间非负、长度有限制等。
不等式组：列出所有限制条件，解不等式组确定范围。
围栏问题：注意墙的长度限制，列不等式组求定义域。
13．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）某建筑工地旁有一堵长为90米的围墙，工程队打算用120米长的铁栅栏靠墙围一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边．（如图所示）

(1)如果长方形的面积是1152平方米，求长方形两条邻边的长；
(2)若与墙垂直的一边长用x表示，长方形的面积用y表示，写出y关于x的函数解析式及函数的定义域．
14．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在一次实验中，小英把一根弹簧的上端固定，在其下方悬挂物体，已知弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小英记录的弹簧长度与所挂物体重量的对应值．
所挂物体质量/ 0 1 2 3 4 …．
弹簧长度/ 18 20 22 24 26 …．
(1)不挂物体时，弹簧长度为__________，当所挂物体为时，弹簧长度为_________
(2)在这个变化过程中，可以认为________是自变量，____________是___________的函数
(3)设所挂物体质量为m（单位：），弹簧长度为l（单位：），请写出表示（2）中函数关系的式子，并求出自变量的取值范围；当所挂物体质量为时，弹簧长度为多少？
15．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，一块长和宽分别为和的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，若小正方形的边长为，长方体水槽的底面面积为．
(1)求与的函数关系式，并求出的取值范围；
(2)若它的底面积为，求截去正方形的边长的值．
【考点6】求自变量的值或函数值
知识点/方法
已知自变量求函数值：代入解析式计算（注意负数、根式运算）。
已知函数值求自变量：解方程（可能有多解，需结合实际取舍）。
复合函数求值：按定义逐步代入，如 f( f(y,z) ) 形式。
常数函数：如 f(x) = ，无论 x 取何值，函数值不变。
16．（25-26九年级上·上海·月考）已知，那么_______．
17．（2025·上海徐汇·二模）已知，那么__________．
18．（24-25八年级下·上海·期中）已知，那么__________．
【考点7】函数解析式
知识点/方法
根据等量关系列式：如周长、面积、行程、费用等。
根据已知条件求系数：待定系数法，代入已知点求 k。
变形：将关系式化为 y = f(x) 的形式（如通过去分母、移项）。
定义域：必须同时满足解析式和实际问题。
取整函数应用：如推选代表人数 y = （取整）。
19．（24-25八年级下·上海·月考）等腰三角形周长为，腰长为，底边长为，则关于的关系式及定义域是______．
20．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）某同学从家出发骑车去学校参加活动，当她骑行一段时间，突然想买一些食品当午饭，于是又折返回刚经过的一家商店，买好东西后又继续骑车如图是该同学离家的距离与所用时间的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)该同学折返前，他骑车的速度是__________米/分钟，其中路程s关于所用时间t的函数关系式为__________；
(2)由于途中返回买东西比直接去学校多走了__________米；
(3)当该同学距离学校300米时，所用时间为__________分钟．
21．（2025·上海宝山·模拟预测）最近我校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为_____________
22．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知关于x的一元二次方程：
(1)证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，设方程的两个实数根分别为（其中），若y是关于m的函数，且，求y关于m的函数解析式．
【考点8】函数图象识别
知识点/方法
判断是否为函数图象：垂直于 x 轴的直线与图象最多一个交点。
根据点坐标判断：若点的坐标满足解析式，则在图象上。
识别特殊点：与坐标轴交点、最高点、最低点等。
图象对称性：关于 y 轴对称、关于原点对称等。
图象过定点：如指数函数 y = 恒过 (0,1)。
23．（2026·上海徐汇·一模）已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
24．（25-26八年级上·上海·期中）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为（小时），航行过的路程为（千米），则关于的函数图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
25．（23-24九年级上·上海·月考）了解一个新函数：（且）可以通过画图来研究它的图像，则它恒过点____________．
26．（23-24八年级下·全国·单元测试）下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点9】从函数的图象获取信息
知识点/方法
读取点的坐标：得到具体数值。
分析变化趋势：上升、下降、平缓、陡峭。
确定特殊点意义：相遇点、休息点、折返点、最值点。
计算速度、效率：利用路程差/时间差。
理解图象拐点：对应事件变化（如停留、改变速度）。
图象交点：表示两者相遇或数值相等。
27．（2025八年级上·上海·专题练习）为了调配医疗物资，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速（）前往B地、A地．两车途中在服务区相遇后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离s（）和所用时间t（）之间的函数图象如图所示．请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)图中的自变量是__________；
(2)分别求出甲、乙两车的速度；
(3)甲、乙两车行驶了多少小时相遇？
28．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图是车辆行驶过程中油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的函数图象．从图象中得到的正确的信息是（ ）
A．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升
B．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升
C．汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完
D．汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了小时
29．（24-25八年级下·上海宝山·期中）某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程（千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
(1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留的时间为 小时；
(2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．问甲组的汽车在排除故障时，距出发地的路程是多少千米？
(3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第二次相遇（即点C处）时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
30．（25-26八年级上·上海·期中）如图是某函数的图像，当时，若在该函数图像上可以找到n个不同的点
（其中为大于1的正整数），使得恒成立，则所有可能的值的和是___________．
【考点10】函数的三种表示方法
知识点/方法
列表法、解析式法、图象法可以相互转化。
描点法画图象：列表→描点→连线。
根据表格写解析式：寻找规律（如一次函数、反比例等）。
根据图象写解析式：先确定类型，再找点求系数。
图象与性质：通过图象可直观看出增减性、对称性、最值等。
31．（2025·上海·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为
C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称
32．（21-22八年级下·全国·课前预习）函数的表示方法通常有三种，它们是_______、_______、_______．
33．（24-25七年级下·山东青岛·期中）某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量（升）与汽车的行驶时间（小时）之间的关系如表：
（小时） 0 1 2 3
（升） 120 112 104 96
则用关系式法表示因变量（升）与自变量（小时）之间的关系为______．
【考点11】正比例函数的定义
知识点/方法
定义：形如 y = kx (k ≠ 0) 的函数叫做正比例函数，k 为比例系数。
判断：变量次数为1，且不含常数项。
待定系数法：已知一对 x,y 可求 k。
图像过原点：正比例函数图象必过 (0,0) 点。
由象限求 k 范围：过一、三象限则 k>0；过二、四象限则 k<0。
34．（25-26八年级上·上海·假期作业）已知点在正比例函数的图象上，那么这个函数的解析式为_______ ．
35．（25-26八年级上·上海·月考）函数是正比例函数，则的值为________．
36．（24-25八年级上·上海金山·期中）若函数是正比例函数，且图像经过一、三象限，则_______．
37．（24-25八年级上·上海·期中）下列关系中，属于成正比例函数关系的是（ ）
A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度
C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长
【考点12】求自变量的取值范围（解析式有意义）
知识点/方法
分式：分母 ≠ 0。
二次根式：被开方数 ≥ 0。
零次幂：底数 ≠ 0。
组合情况：取各条件交集。
多个限制：如分式+根式，需同时满足。
38．（25-26九年级上·上海普陀·月考）下列关于的函数中，定义域为一切实数的是（ ）
A． B． C． D．
39．（2025九年级·上海·专题练习）（2025·上海徐汇·二模）函数的定义域是____________.
40．（2025·上海·模拟预测）函数的定义域为__________．
【考点13】正比例函数的图象
知识点/方法
图象是经过原点 (0,0) 的一条直线。
k 决定图象位置：k>0 过一、三象限；k<0 过二、四象限。
|k| 大小决定倾斜程度：|k|越大，直线越陡（越靠近 y 轴）。
画法：取一点（如 (1,k)），连接原点即可。
相关函数：“相关函数”概念：x≥0 取原函数，x<0 取相反数。
可回旋函数：点平移后仍在图象上，可求平移单位。
41．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
42．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______．
43．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____．
44．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是，将a，b，c按从大到小的顺序排列，并用“>”连接：________．
【考点14】用描点法画函数图象
知识点/方法
步骤：列表（取适当自变量）、描点、用平滑曲线连接。
自变量取值：应在定义域内，且具有代表性（包括端点、特殊点）。
观察图象：从图象获取性质（增减性、最值、对称性等）。
补充表格：根据解析式计算空缺函数值。
分析图象：描述增减性、对称轴、最值等。
45．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完成：
(1)函数的定义域是_________，函数值的取值范围是_________；
(2)下表为与的几组对应值：
1 2 3 4 5 ．．．
0 1 1.41 1.73 2 ．．．
在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(3)结合图象写出该函数的一条性质：________．
46．（24-25八年级上·上海·期中）已知函数，其中与成反比例，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当或，的值均为．
请对该函数及其图像进行如下探究：
(1)求该函数的解析式；
(2)函数图像探究：根据解析式完成下表：
… 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… 5 4 ① 5 ② …
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数的大致图像．
47．（23-24九年级上·上海·月考）在初三阶段，我们要研究一个新函数：二次函数，在此前，我们研究过一次函数和反比例函数，那么如何研究一个新函数呢？现在做如下探究：
探究课题：探究函数的图象与性质．
方法1：运用已学关于根式，分式的知识．
（1）函数的自变量x的取值范围是 ；
方法2：列表法借助图像性质．
（2）下表是y与x的几组对应值． 其中_____________
x 1 2 3 4 …
y 0 m …
如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
方法3：分析图像的增减性： ．
【考点15】正比例函数的性质
知识点/方法
增减性：k>0 时，y 随 x 增大而增大；k<0 时，y 随 x 增大而减小。
比较函数值大小：利用增减性或代入计算。
对称性：正比例函数图象关于原点对称。
函数值变化量：自变量增加1，函数值增加 k（k 可正可负）。
由象限求参数：过一、三象限则系数 >0；过二、四则系数 <0。
48．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能比较
49．（2024·上海·模拟预测）对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加______．
50．（24-25八年级上·上海·月考）已知正比例函数的图像经过点和点，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
51．（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是______．（写出一个符合题意的k的值即可）
【考点16】创新及压轴题
知识点/方法
新定义函数：理解新定义，转化为常规函数问题（如“相关函数”“可回旋函数”）。
函数与几何综合：利用几何性质（全等、垂直平分线）建立函数关系。
动点问题：用时间表示距离，分析函数图象，列方程求解。
数形结合思想：从图象获取信息解决实际问题。
分类讨论：涉及不同运动阶段或不同情况（如 m>0 和 m<0）。
“保三角形函数”：验证函数值是否满足三角形三边关系。
含绝对值的函数：可通过翻折得到图象，研究对称性。
1．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点是边上一点（不与点、重合），垂直平分，分别交边、于点、，连接、．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当时，求线段的长．
2．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如下表所示，跑步累积里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如下图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步追程
小明 不分段 A档 4000米
小丽 第一段 B档 1800米
第一次休息
第二段 B档 1200米
第一次休息
第三段 C档 1600米
(1)求A、B、C各档速度（单位：米/分）；
(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累积里程相等，求a的值．
3．（24-25八年级下·上海·月考）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”

(1)已知这段高速公路全程限速110千米/小时，如果两人全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗？请说明理由；
(2)张师傅所行驶的车内油箱余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，当张师傅行驶完这段高速公路时，求油箱里的剩余油量．
4．（24-25八年级上·上海·月考）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，．
(1)当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标；
(2)当的面积为4时，求E点的坐标．
5．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料，回答问题：
如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设）都在某个函数的定义域内，并且，，也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角形函数”．
(1)试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”；
(2)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例；
(3)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请说明理由，如果不是，请举出反例．
6．（24-25九年级上·上海·月考）回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图像，再结合函数图像研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究．
(1)请根据下表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图像：
0 1 2 3 4 5 6
8 0 4 4 0 8
(2)观察图像，研究性质：
①该函数图像关于________对称；
②当随的增大而增大时，的取值范围是________；
③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：________；
(3)深入思考，拓展探究：
④若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是________；
⑤不难发现，函数的图像可通过将函数图像的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图像可通过将函数在_____上的图像（填“具体哪一部分”）沿着______（填“具体哪条直线”）翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）．
7．（23-24九年级下·上海·期中）小丁的奶奶想用铁丝网在自家门前围一块面积为4平方米的矩形菜园，并且用最少的铁丝网，因此小丁进行了如下探究活动．
活动一：（1）设矩形菜园的一边长为x米，铁丝网长为y米．
①用含x的代数式表示矩形菜园另一边长为_____________米；
②y关于x的函数解析式是______________
活动二：（2）①列表：根据（1）中所求的函数关系式计算并补全下表． （y精确到0.1）
/米 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
/米 17.0 10.0 8.3 8.2 8.7 9.3 10.8 11.6
②描点：根据表中数值，在平面直角坐标系中描出①中剩下的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考：（3）①请你根据函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
②根据以上信息可得，当_____________时，y有最小值．由此可知，小丁的奶奶至少需要买_____________米的铁丝网．
随堂检测 · 精选练习
练习1函数值计算（如 f(√6)）
练习2函数图象识别（漏壶问题）
练习3函数值计算（二次根式）
练习4函数解析式变形
练习5求函数定义域（分式、根式、零次幂）
1．（2026·上海金山·一模）已知，那么____
2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系．
3．（2025·上海浦东新·三模）已知函数，那么__________
4．（24-25八年级上·上海·月考）把化成形式，则______．
5．（25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为___________．
课后巩固 · 核心作业
作业1函数图象识别（曲线是否为函数）
作业2表格法分析弹簧长度与质量关系
作业3常量与变量判断
作业4龟兔赛跑图象选择
作业5正比例函数象限判断
作业6正比例函数图象上点的判断
作业7销售图象分析（降价百分率）
作业8行程图象信息提取（小明小华）
作业9汽车往返图象分析
作业10赛龙舟图象分析
作业11相遇问题图象分析
作业12正比例函数定义及最值
作业13正比例函数比较大小
作业14正比例函数图象画法及性质
※ 复习建议熟练掌握函数的概念及三种表示方法，理解正比例函数的图象与性质，会从图象中获取信息，灵活运用待定系数法求解析式，注意自变量的取值范围。
1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（13-14八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度y增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
3．（24-25七年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（ ）
A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x
C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为
4．（11-12八年级上·贵州黔西南·期末）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，）的图像经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·上海·期末）互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像，
(1)求线段所在直线的函数解析式；
(2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元．
(3)该商品每次降价的百分率为_______．
8．（24-25六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．

9．（24-25六年级上·上海·期末）如图是一辆汽车从甲地到乙地再返回的路程和时间的关系图．
看图回答问题：
(1)汽车从甲地到乙地行驶了　 　分，行驶　 　．
(2)汽车在乙地停留了　 　分．
(3)汽车从乙地返回甲地行驶了　 　分，行驶　 　．
(4)想一想汽车在哪一段行驶的速度快？
10．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）甲、乙两队参加赛龙舟比赛，上午9时同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点．
(1)比赛中 的速度始终保持不变，为 千米/小时；
(2) 先到达终点，时间相差 小时；
(3)比赛开始后 小时，他们第一次相遇．
11．（24-25八年级上·上海·期中）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示．
(1)结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点；
(2)求甲、乙各自的速度；
(3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离；
12．（24-25八年级上·上海·期中）已知，且是关于的正比例函数．
(1)求与的函数关系式；
(2)若，求函数的最小值．
13．（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，．
(1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________；
(2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值．
14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数，，，．
(1)在同一坐标系内画出函数的图象；
(2)探索发现：
观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？
(3)灵活运用：
已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为
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