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专题25.3 一次函数及其性质 优等生讲义
(21大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 一次函数、正比例函数的概念，掌握其一般形式及限定条件（k ≠ 0）。
能根据 定义、图象或已知条件确定一次函数的解析式（待定系数法）。
熟练运用 一次函数的图象与性质（象限分布、增减性、与坐标轴交点）。
掌握 一次函数图象的平移、对称、旋转等变换规律。
会结合 一次函数解决简单的几何图形问题、新定义题型及实际应用。
体会 数形结合、分类讨论、模型思想在函数学习中的价值。
核心形式：y = kx + b (k ≠ 0) —— k 控制增减性与倾斜程度，b 决定与 y 轴交点。
知识梳理（详细版）
☆一次函数的定义与表示
定义：形如 y = kx + b（k、b为常数，且k ≠ 0）的函数叫做一次函数。当 b = 0 时，称为正比例函数。
自变量取值范围：通常为全体实数，但在实际问题中需使解析式有意义（分母≠0、根式被开方数≥0）且符合实际背景。
待定系数法：通过代入已知点坐标求 k、b 的方法。
常见变式：如 y - m = k(x - n) 表示过定点 (n, m) 的直线。
☆一次函数的图象与性质
图象：一条直线。k 决定直线的倾斜方向和程度（|k| 越大直线越陡），b 决定直线与 y 轴交点的纵坐标。
象限分布：
k > 0, b > 0：一、二、三象限；
k > 0, b = 0：一、三象限；
k > 0, b < 0：一、三、四象限；
k < 0, b > 0：一、二、四象限；
k < 0, b = 0：二、四象限；
k < 0, b < 0：二、三、四象限。
增减性：k > 0 时，y 随 x 增大而增大；k < 0 时，y 随 x 增大而减小。
与坐标轴交点：与 x 轴交点 (-b/k, 0)，与 y 轴交点 (0, b)。围成三角形面积 S = ·|b|·|b/k| = b /(2|k|)。
☆一次函数的变换
平移：“上加下减”在常数项，“左加右减”在自变量。平移前后 k 不变。
对称：
关于 x 轴对称：y = -kx - b（k、b 均变号）；
关于 y 轴对称：y = -kx + b（k 变号，b 不变）；
关于原点对称：y = kx - b（k 不变，b 变号）。
旋转：绕原点旋转 90° 可利用坐标变换 (x,y)→(-y,x) 或 (y,-x)，结合垂直关系 k ·k = -1 求解新解析式。
☆一次函数与方程、不等式
与一元一次方程的关系：方程 kx + b = 0 的解 直线 y = kx + b 与 x 轴交点的横坐标。
与一元一次不等式的关系：kx + b > 0 的解集对应图象在 x 轴上方的部分；kx + b < 0 对应下方部分。
两直线交点：联立方程组，解即为交点坐标。
☆一次函数的应用与创新题型
实际应用：行程问题、弹簧伸长、计费问题、面积问题等，关键在于找出等量关系建立函数模型，并注意自变量的实际取值范围。
新定义题型：如“关联点”“等距点”“加倍点”“阶梯函数”“对等四边形”等，需先理解新定义，将其转化为坐标条件或几何关系，再利用一次函数性质求解。
规律探究：常结合正方形、直角三角形在坐标系中的排列，通过归纳点坐标的规律（如 A (2 , 2 -1)）计算面积或线段长。
※一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象与性质
k 的符号 b 的符号 图象经过的象限 增减性
k > 0 b > 0 一、二、三 y 随 x 增大而增大
k > 0 b = 0 一、三
k > 0 b < 0 一、三、四 y 随 x 增大而增大
k < 0 b > 0 一、二、四 y 随 x 增大而减小
k < 0 b = 0 二、四
k < 0 b < 0 二、三、四
|k| 越大 直线越陡（越靠近 y 轴）；b 是直线与 y 轴交点的纵坐标。
核心考点 ·21类题型精讲
【考点1】识别一次函数
知识点/方法
定义：形如 y = kx + b（k、b 为常数，且 k ≠ 0）的函数是一次函数。正比例函数是 b = 0 的特例。
判断步骤：① 化简表达式，看能否化为 y = kx + b 形式；② 确保自变量次数为1，且分母不含 x；③ 确认一次项系数 k ≠ 0。
常见反例：y = x + 2（二次），y = 1/x（反比例），y = kx + b 未说明 k ≠ 0（可能为常数函数）。
易错提醒：y = (1-x)/2 可化为 y = - x + ，是一次函数；而 y = kx + b 若 k=0，则不是一次函数。
1．（24-25八年级下·上海·期中）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B．
C．（、是常数） D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】识别一次函数
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握形如，其中、为常数且的函数叫做一次函数成为解题的关键．
根据一次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A，，最高次数为2，不符合一次函数定义，不符合题意；
B，，化简为，满足的形式，其中，符合一次函数定义，符合题意；
C，，虽然形式类似，但未明确（若，则为常数函数，非一次函数），因此不一定是正确选项，不符合题意；
D，，即，不符合一次函数定义，不符合题意．
故选B．
2．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】识别一次函数
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握“形如（、为常数，且）的函数是一次函数”是解题的关键．
根据一次函数的定义，分析各选项：A中可能为；B可能为二次或常数函数；D为反比例函数；C中恒为正，故与成正比，一定是一次函数．
【详解】解：∵ 一次函数需满足，
对于A，若，则，不是一次函数，故A不符合题意；
对于B，若，则为二次函数，故B不符合题意；
对于C，， ， ，符合（、为常数，且）的形式，一定是一次函数，故C符合题意；
对于D，，为反比例函数，故D不符合题意．
故选：C．
【考点2】根据一次函数的定义求参数
知识点/方法
核心条件：自变量最高次数为1，且一次项系数 ≠ 0。
题型模型：如 y = 2x^{m } 是一次函数 m = 1 m = ±1；又如 y = (k-2)x + 3 是一次函数 k-2 ≠ 0 k ≠ 2。
注意隐含条件：若解析式含有绝对值或平方，需同时保证系数非零，且自变量指数为1。
3．（24-25八年级下·上海·期中）若是一次函数，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．无法确定
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，确定自变量的指数为，进而解方程求出m的值．
【详解】解：∵是一次函数，
∴，
解得，
故选：C．
4．（23-24八年级下·上海宝山·月考）函数是一次函数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：D．
【考点3】求一次函数自变量或函数值
知识点/方法
已知 x 求 y：直接代入解析式计算。
已知 y 求 x：转化为解一元一次方程，可能有一解或无解（若值不在值域内）。
新定义型求值：先理解新定义（如“加倍点”“短距”），将几何条件转化为坐标满足的方程，再代入函数解析式求解。
示例：直线 y = x+2 上的“加倍点”即横坐标是纵坐标2倍的点，设 (2a, a) 代入得 a = 2a+2 a = -2，得点 (-4,-2)。
5．（24-25八年级下·上海静安·期中）点P、点Q是一次函数（b为常数）图像上的两个点，下列选项中不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别将各选项点代入求出函数解析式，检验点是否也在图像上即可．
【详解】解：A、将代入得，，解得：，将代入得，故在直线上，不符合题意；
B、将代入得，，解得：，将代入得，故在直线上，不符合题意；
C、将代入得，，解得：，将代入得，故在直线上，不符合题意；
D、将代入得，，解得：，将代入得，故不能保证同时在直线上，故符合题意，
故选：D．
6．（24-25八年级下·上海闵行·月考）我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线上的“加倍点”坐标是_______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据加倍点的定义设出加倍点的坐标是解题的关键．
根据加倍点的定义，设出加倍点的坐标，代入直线的解析式，即可求解．
【详解】解：设加倍点为：，
代入直线的解析式得：，
∴，
∴加倍点的坐标为：．
故答案为： ．
7．（24-25八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是___________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求一次函数自变量或函数值、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了新定义，求一次函数的函数值和自变量的值，点到坐标轴的距离，根据定义可得点A的“短距”为1，则点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1，据此求出点B的坐标，再验证其“短距”是否为1即可．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，
∵，
∴点A的“短距”为1，
∵两点为“等距点”，
∴点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1，
∵点B在第三象限，
∴点B的横纵坐标都为负，
在中，当时，，此时，
∵，
∴此时点B的“短距”为1，符合题意；
当时，，此时，
∵，
∴此时点B的“短距”为0，不符合题意；
∴，
故答案为：．
【考点4】列一次函数解析式并求值
知识点/方法
正比例关系：若 y 与 x 成正比例，设 y = kx；若 y+b 与 x+a 成正比例，设 y+b = k(x+a)。
待定系数法：代入已知的一组或两组对应值求 k (及 b)。
注意自变量范围：有时“特征值”如“坐标差”需结合取值范围求最值。
实例：已知 y+4 与 x-3 成正比例，且 x=1 时 y=0，设 y+4 = k(x-3) 代入得 k=-2，则 y = -2x+2。
8．（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知点与点在同一条经过原点的直线上，那么的值为 __________________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】列一次函数解析式并求值、求一次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点A，原点O的坐标，利用待定系数法一次函数解析式，再代入，即可作答．
【详解】解：设直线的函数解析式为，
因为点与点在同一条经过原点的直线上，
将，代入，
得
，
所以直线的函数解析式为，
把代入中，
得，
解得，
故答案为：．
9．（23-24八年级上·广西崇左·月考）已知与成正比例，且时，
(1)求y与x的函数表达式；
(2)点在该函数图象上，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为
【难度】0.65
【知识点】列一次函数解析式并求值、正比例函数的定义、函数解析式
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设 ，然后把已知的对应值代入求出即可；
（2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）设与的表达式为，
把时，代入得，
解得，
∴与的关系式为，
即；
（2）∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质．
10．（2023·上海嘉定·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】列一次函数解析式并求值
【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可．
【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为，
当时，，
∴一次函数的“特征值”为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
【考点5】求一次函数解析式
知识点/方法
两点式：已知两点坐标，代入 y = kx+b 解方程组。
一点 + 平行：平行即 k 相等，设 y = kx + b，代入已知点求 b。
一点 + 截距：已知与 y 轴交点 (0, b) 即得 b，再代入另一点求 k。
图象过原点：b=0，为正比例函数。
注意：若直线经过原点且与另一条直线平行，则 k 相同且 b=0。
11．（25-26八年级上·上海·期末）一条直线经过原点，且与直线平行，则这条直线的解析式为______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象平行的问题，解题的关键是熟练掌握一次函数图象平行，则相同．
设所求直线解析式为，由于与直线平行，则，再根据图象经过原点即可得到，即可求解函数解析式．
【详解】解：设所求直线解析式为．
∵与直线平行，
∴．
∵经过原点，
∴．
∴解析式为．
故答案为：．
12．（25-26八年级上·上海·期中）已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为___________．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的性质以及求解析式问题，熟知正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质，分和两种情况讨论，通过代入自变量取值范围的端点值，计算的值并验证是否一致．
【详解】解：当时，y随x的增大而减小，
∴自变量取最小值时函数值取最大值，自变量取最大值时函数值取最小值．
由题意，当时，；当时，．
代入，得 ，解得 ；
，解得 ．
值一致，符合题意．
当 时，代入端点值时值不一致，故舍去．
因此正比例函数解析式为，
故答案为：．
13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，．
(1)求出y与x的函数表达式；
(2)若点在这个函数的图象上，求m的值．
【答案】(1)
(2)1
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键．
（ 1）设，然后把，代入求解即可；
（ 2）把点代入表达式即可求出m的值．
【详解】（1）解：设，
将，代入，得
，
解得，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）解：将点代入表达式得
，
解得：．
【考点6】判断一次函数的图象
知识点/方法
根据 k,b 符号定位：k>0 上升，k<0 下降；b>0 与 y 轴正半轴相交，b<0 与负半轴相交。
两个函数图象在同一坐标系：分别分析各自 k,b 的符号，确保与图象一致，不矛盾。
特殊点辅助：比如与坐标轴交点、与直线 y=x 的交点等。
示例：函数 y = x-a 与 y = ax 的图象，需根据 a 的符号分别验证象限和交点。
14．（24-25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】根据一次函数的斜率和截距，分析参数的符号，判断两个函数图象是否一致．
【详解】解：A、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明．
一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；但图中显示该交点在轴正半轴，两者矛盾． 不符合题意；
B、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明．
此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示完全一致．符合题意；
C、由图可知，正比例函数经过第二、四象限，说明．
此时，一次函数中，，因此其与轴交点应在轴正半轴；但图中显示该交点在轴负半轴，两者矛盾．不符合题意；
D、由图可知，正比例函数经过第一、三象限，说明．
一次函数中，，因此其与轴交点应在 y 轴负半轴；且一次函数斜率为，图象从左下到右上倾斜，与图示不一致．不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题关键是通过一次函数的斜率（判断增减性）、截距（判断与轴交点位置），分析参数的符号，验证两个函数对应的符号是否一致．
15．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数图象得出答案即可．
【详解】解：根据函数图象可知：时，函数的图象在第三象限．
故选：D．
16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大．
【详解】解：由图象可得：，，，，
由于直线比陡，直线比陡，
，，
，
故答案为：．
【考点7】根据一次函数解析式判断经过的象限
知识点/方法
口诀：k 正一三，k 负二四；b 正上方（与 y 轴正半轴相交），b 负下方；b 零过原点。
综合：根据 k,b 符号确定具体象限组合。例如 k>0,b>0 一二三；k>0,b<0 一三四；k<0,b>0 一二四；k<0,b<0 二三四。
注意：当 b=0 时，图象只过两个象限（一三或二四）。
17．（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限或一、三象限，
∴y随x的增大而增大，
∴．
故选：C．
18．（2025·上海杨浦·模拟预测）一次函数中，，则该图像不过第___________象限．
【答案】一
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是掌握一次函数的图像与性质．
由，可判断一次函数各项系数的符号，再根据一次函数各项系数确定其图像所经象限．
【详解】解：∵，
∴，．
∴，．
∴一次函数的图像经过第二、三、四象限，
∴该图像不过第一象限．
故答案为：一．
19．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（ ）
A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限
C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握一次函数图像与系数关系；对于一次函数，若，随的增大而减小；若，随的增大而增大；若，函数图像与轴交于正半轴；若，函数图像与轴交于负半轴；由点得，则函数图像与轴交于正半轴；由随的增大而减小得，图像呈下降趋势，根据图像判断出经过的象限即可．
【详解】由点代入
得，则函数图像与轴交于正半轴；
由随的增大而减小得，图像呈下降趋势；
∴一次函数图像经过第一、二、四象限．
故选B．
【考点8】已知函数经过的象限求参数范围
知识点/方法
根据图象位置列出不等式组：例如不经过第二象限 k>0 且 b≤0；图象经过一、三、四象限 k>0,b<0。
边界讨论：若图象经过原点，则 b=0，此时象限可能减少；若图象与坐标轴重合需单独考虑。
综合题：常与增减性、平行等条件联立求参数范围。
20．（25-26八年级上·上海·期末）已知是关于的正比例函数，且图象在第一、三象限，则的值为___________．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的定义、已知函数经过的象限求参数范围、正比例函数的性质
【分析】本题主要考查正比例函数的概念、图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
根据正比例函数的形式为，且当时，图象经过第一、三象限，则函数中x的指数必须为1，且比例系数．
【详解】解：由正比例函数的定义，得，即，
解得，
又因图象在第一、三象限，
故比例系数，
因此．
故答案为：2．
21．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是 _______ （填写序号）．
【答案】②④
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次方程的关系等，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质．
直接利用一次函数的性质对①进行判断；
利用一次函数与的图象的交点坐标为得到时，，从而可对②进行判断；
结合函数图象，当时，，所以，从而可对③进行判断；
先把代入中求出，则一次函数的解析式为，接着求出一次函数与轴的交点坐标为，，然后结合函数图象，写出在轴下方且直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限，
，
一次函数经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴上，
，，
，所以①错误；
一次函数与图象的交点坐标为，
时，，
即方程的解是，所以②正确；
当时，，即，
即，所以③错误；
把代入得，
解得，
一次函数的解析式为，
一次函数与轴的交点坐标为，，
当时，，所以④正确．
故答案为：②④．
22．（25-26八年级上·上海·月考）已知函数．
(1)若函数的图象平行于直线，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知两条直线平行的条件以及一次函数图象所过象限与其系数的关系是解答此题的关键．
（1）函数的图象平行于直线，说明，由此求得m的数值即可；
（2）根据一次函数的增减性、图象所过象限与其系数的关系，列出关于m的不等式组，确定m的取值范围后任取一值即可．
【详解】（1）解：∵函数的图象平行于直线，
∴，
∴；
（2）解：函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，
∴且，
∴，
∴m的值可以是1．
【考点9】一次函数图象与坐标轴的交点问题
知识点/方法
与 x 轴交点：令 y=0 x = -b/k，即点 (-b/k, 0)。
与 y 轴交点：令 x=0 y = b，即点 (0, b)。
三角形面积：S = × |x 截距| × |y 截距| = ·|b|·||
= 。
23．（25-26八年级上·上海·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为5，则_____________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，两点之间的距离．
求直线与坐标轴的交点，利用两点间距离公式建立方程求解．
【详解】解：当时，，
解得：，
∴直线 与x轴交于点，
当时，，
∴与y轴交于点，
两交点间距离为，
解得：，
故答案为．
24．（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是_______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据“在y轴上的截距为”计算求出b值，即可得解．
【详解】解：∵直线平行于直线，
∴．
又∵直线在y轴上的截距为，
∴，
∴这条直线的解析式是．
故答案为：．
25．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查一次函数图象的性质．利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可．
【详解】解：将，代入一次函数解析式，
得，
解得，
所以解析式为 ；
，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
观察图象可知，当时，，故C选项符合题意；
观察图象可知，当时，，故D选项不符合题意；
故选：C．
【考点10】画一次函数图象
知识点/方法
步骤：列表（通常取与坐标轴的两个交点，或任意两点）、描点、连线（直线）。
取点技巧：为方便计算，常取 x=0 得 y=b，取 y=0 得 x=-b/k。
图象应用：通过图象可直观看出与坐标轴交点、三角形面积、增减性等。
26．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）（1）画出函数的图象（要求列表、描点、连线）；
（2）结合图象，写出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
（3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积．
【答案】（1） 见解析；（2）该函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；（3）2
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象
【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标：
（1）根据列表、描点、连线的步骤即可解答；
（2）直接观察图象，即可解答；
（3）根据三角形的面积公式即可进行解答．
【详解】解：（1）解：列表如下：
x 0 1 2 3
y 3 2 1 0
描点、连线，画出函数图象如下：
（2）该函数图象与x轴、y轴的交点坐标分别为；
（3）该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为．
27．（24-25八年级下·上海·月考）（1）已知一次函数的图象过点和，求函数解析式；并求图象与坐标轴的交点坐标．
（2）已知直线平行于的图象，且直线过点，求直线的解析式；并画出函数图象．
【答案】（）一次函数解析式为，与轴交点为，与轴交点为；（）直线的解析式为，画函数图象见解析．
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，画函数图象的方法，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）把已知点的坐标代入函数解析式，通过解方程组求得系数的值则求出解析式，然后通过当和即可求出图象与坐标轴的交点坐标；
（）由题意可得，然后再把点代入解析式即可求解，再利用画函数图象的方法画出图象即可．
【详解】解：（）设一次函数解析式为，
∵一次函数的图象过点和，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为，
当，，即与轴交点为，
当，，即与轴交点为；
（）∵直线平行于的图象，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线过点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
列表：
描点：
连线：
如图，
【考点11】一次函数图象平移问题
知识点/方法
平移规律：上加下减（常数项），左加右减（自变量）。即 y = kx + b 向上平移 m 个单位得 y = kx + b + m；向下平移 m 得 y = kx + b - m；向左平移 m 得 y = k(x+m) + b；向右平移 m 得 y = k(x-m) + b。
注意：平移前后 k 不变。
替代方法：取原直线上一个特殊点，按平移方式得到新点，代入新解析式（k 相同）求 b。
28．（25-26八年级·上海·假期作业）将的图象沿轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．
本题考查一次函数图象的平移，解题的关键是掌握平移的规律．
【详解】解：将的图象沿轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是．
故选：C．
29．（2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（ ）之后得到的新函数为正比例函数．
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数图像平移问题以及求一次函数解析式，由题意得一次函数的图象过点，，可求得解析式为；设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：；令，即可求解；
【详解】解：∵一次函数的图象过点，
∴；
∵不等式的解集是，
∴一次函数的图象过点，
∴，解得；
∴；
设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：；
令，求得；
即：原函数向右平移2个单位之后得到的新函数为正比例函数．
故选：B．
30．（24-25八年级下·上海金山·月考）直线向下平移______个单位后，所得的直线在轴上的截距是．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了一次函数的图象的平移，根据一次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减， 即可得解，熟练掌握一次函数图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：设直线向下平移个单位后，所得的直线在轴上的截距是，
则平移后的直线的解析式为，
∴，
∴，
故直线向下平移个单位后，所得的直线在轴上的截距是，
故答案为：．
【考点12】一次函数图象与对称问题
知识点/方法
关于 x 轴对称：用 (x, -y) 代入原式 -y = kx + b y = -kx - b (k,b 都变号)。
关于 y 轴对称：用 (-x, y) 代入 y = -kx + b (k 变号，b 不变)。
关于原点对称：用 (-x, -y) 代入 -y = -kx + b y = kx - b (k 不变，b 变号)。
应用：常与直线关于坐标轴、某点对称结合，求对称直线解析式。
31．（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线．
（1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______；
（2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与对称问题、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可．
【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为，
代入原方程得，即．
（2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为，
代入原方程得，即，
32．（25-26八年级上·浙江台州·期末）若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与对称问题
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；由直线，知与x轴交于，与y轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，待定系数法求的值，即可求解．
【详解】解：直线，时，；时，；
∴直线与x轴交于，与y轴交于．
∴直线经过点，．
∴，解得，
∴．
故答案为：．
33．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
(2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）．
【答案】(1)见解析
(2)①②③
【难度】0.65
【知识点】画一次函数图象、一次函数图象平移问题、一次函数图象与对称问题、一次函数图象与旋转问题
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移和轴对称、点的旋转变换等知识，熟练掌握各种变换是解题的关键．
（1）求出一次函数与y轴的交点和与x轴的交点，画直线即可得到答案；
（2）把函数变换后验证是否过点即可．
【详解】（1）解：当时，，得到直线与y轴的交点为，
当时，，，得到直线与x轴的交点为，
在直角坐标系中描出点和，过这两点画直线，即为的图象，如图所示：
；
（2）①向上平移4个单位，平移后解析式：，
代入得到，
∴函数图象经过变换后过点．
②沿x轴翻折
翻折后解析式：，即
代入得到，
∴函数图象经过变换后过点．
③绕原点按顺时针方向旋转，
设原函数上任意一点旋转后对应点为，旋转的坐标变换为，即，
代入原函数，得，整理得，
代入：，
∴函数图象经过变换后过点．
综上，能使函数图象经过变换后过点是①②③．
故答案为：①②③．
【考点13】一次函数图象与旋转问题
知识点/方法
绕原点旋转 90°：点 (x,y) 绕原点逆时针旋转 90° 得 (-y, x)，顺时针旋转 90° 得 (y, -x)。由此可求旋转后的直线方程。
绕任意点旋转：常利用全等三角形、中点公式、垂直关系（k1·k2 = -1）求旋转后的解析式。
注意：旋转后 k 一般改变，但若旋转 180°（中心对称）则相当于关于原点对称，k 不变，b 变号。
34．（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象与旋转问题
【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大．
【详解】解：∵
∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ，
故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，，
设新解析式为，
根据题意，得，
解得，
故函数的解析式为，
又图象经过，
∴
解得．
35．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的表达式为________．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、一次函数图象与旋转问题、求一次函数解析式
【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，连接，绕点A逆时针旋转得到，绕点A逆时针旋转得到，连接，所在直线即为，过点作轴，判定出，从而得出，，进而得出的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可
【详解】解：直线与y轴交于点A，
令，，则，
直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，
令，，令，，
则，，
，
直线绕点A逆时针旋转得到直线，
如图，连接，绕点A逆时针旋转得到，绕点A逆时针旋转得到，连接，所在直线即为，过点作轴，
则，轴，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，轴，
设直线的解析式为，
，解得：，
则直线的表达式为，
故答案为：
【点睛】本题考查了根据旋转的性质求解，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造全等三角形为解题关键
36．（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与旋转问题
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是．
【详解】解：如下图所示，过点作轴，
当时，，
点的坐标是，
由直线的图像可知随的增大而增大，
当时，，
的值可以是．
故选：D．
【考点14】判断一次函数的增减性
知识点/方法
由 k 决定：k>0 时，y 随 x 增大而增大；k<0 时，y 随 x 增大而减小。
正比例函数 y = kx 同样适用。
注意：常数函数 (k=0) 无单调性（不增不减）。
37．（25-26八年级上·上海·期中）下列关于的函数中，在其定义域内，的值随的增大而增大的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性
【分析】本题综合考查一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性，熟练掌握各函数的图象与性质是解题的关键．
根据一次函数，反比例函数，正比例函数的增减性，逐一判断即可．
【详解】解：A、，
，
∴ 随 增大而减小，故此选项不符合题意；
B、，为反比例函数，，在 和 时，在每个象限内均随 增大而减小，故此选项不符合题意；
C、，为反比例函数，，在和 时，在每个象限内 均随 增大而增大，但不是连续的增大，故此选项不符合题意；
D、，
，
∴ 随 增大而增大，故此选项符合题意．
故选： D．
38．（2025八年级上·上海·专题练习）关于正比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象经过第二、四象限
C．不论x取何值，总有 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查正比例函数的性质，包括图象经过的点、象限分布、函数值符号和增减性，解题的关键是掌握数形结合的思想．
根据正比例函数的图象和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A. 当时，，故图象不经过点 ，该选项错误；
B. ∵ 正比例函数，比例系数，
∴ 图象经过第一、三象限，不经过第二、四象限，故该选项错误；
C. 当时，；当时，，故不一定大于0，该选项错误；
D. ∵ ，
∴ 随的增大而增大，故该选项正确；
故选：D．
39．（24-25九年级下·上海·月考）如果一次函数的图像经过点，那么y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、判断一次函数的增减性
【分析】本题主要考查一次函数解析式，一次函数图象与性质，将点代入，可求出k值，再利用一次函数的性质（当时y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小）即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数的图像经过点，
∴，
解得：，
∴，
∴y随x值的增大而增大，
故答案为：增大．
40．（24-25九年级下·上海·期中）、是一次函数图像上的不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．的符号无法判断
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键；
根据一次函数的性质可得与异号，即可求解．
【详解】解：，
随的增大而减小，
当时，，当时，，
与异号，
，
故选：A．
【考点15】根据一次函数增减性求参数
知识点/方法
根据增减性列出关于 k 的不等式：如 y = (m-3)x - m+2 中 y 随 x 增大而减小 m-3 < 0 m < 3。
结合象限条件：如不经过第二象限且增减性确定，可同时得到 k>0 和 b≤0，联立求参数范围。
41．（24-25八年级下·上海·月考）已知函数中，随的增大而减小，则______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
根据一次函数的性质，若随的增大而减小，则比例系数小于，从而得到的取值范围．
【详解】解：函数中，随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
42．（24-25八年级下·上海·月考）已知函数，根据下列条件，求的取值范围．
(1)函数值随的值的增大而减小；
(2)图象经过一、三、四象限；
(3)图象不经过第二象限．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【难度】0.65
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
（）根据一次函数的性质列出关于的不等式求出的取值范围即可；
（）根据一次函数的性质列出关于的不等式求出的取值范围即可；
（）根据一次函数的性质列出关于的不等式求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵函数值随的值的增大而减小，
∴，
解得：；
（2）解：∵函数图象经过一、三、四象限，
∴，
∴；
（3）解：∵函数图象不经过第二象限，
∴，
∴．
43．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小．
(1)求的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由．
【答案】(1)
(2)这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数，当时，函数值随自变量值的增大而增大；当时，函数值随自变量值的增大而减小．
（1）由一次函数图象与系数的关系得到，由此求得的取值范围；
（2）令y=0，得到，结合的取值范围求得的符号，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数，函数值随自变量值的增大而减小，
，
解得：；
（2）这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由如下：
令，则，
整理得：，
，
，
，
，
这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴．
【考点16】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
知识点/方法
性质：若函数递增，则 x 越大 y 越大，故 (x -x ) 与 (y -y ) 同号 乘积 >0；若递减，则乘积 <0。
应用：比较函数值大小，或判断点坐标之间的关系。
拓展：可用于新定义“阶梯函数”的理解——下阶梯函数即递减，上阶梯函数即递增。
44．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）点，是一次函数图象上的两个点．则______0．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的增减性，分和两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，，
∴随着的增大而减小，
∵点，是一次函数图象上的两个点，
∴①当时，则：，
∴；
②当时，则：，
∴，
综上：；
故答案为：．
45．（23-24八年级下·上海浦东新·月考）取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：
x … －2023 0 2023 …
y … －3 －2 －1 …
根据信息，下列说法正确的个数是（ ）
①； ②当时； ③； ④不等式的解集是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解．
【详解】解：①由表格可知，时，，即，故本选项说法正确，符合题意；
②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意；
③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意；
④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意；
故选：C
46．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（ ）
A．可以是任意的一次函数
B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数”
C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有
D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查函数的性质，一次函数的性质，根据新定义得到为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大，据此求解即可．
【详解】解：根据新定义可得：为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大；
∵函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，
∴A、可以是任意的一次函数，选项说法正确，不符合题意；
B、当时，由得到，此时是“下阶梯函数”，选项说法错误，符合题意；
C、若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有，，则，选项说法正确，不符合题意；
D、若存在实数、使得，则和中一正一负，得到的图像与轴有且只有一个交点，选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
47．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么______0（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】<
【难度】0.65
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题．
【详解】，
∴一次函数中y随x的增大而减小，
∴若，则，若，则，故与始终异号，故．
故答案为：<
【考点17】比较一次函数值的大小
知识点/方法
直接代入法：将自变量的值代入解析式计算比较。
利用增减性：若 k>0，自变量大的函数值也大；k<0 则相反。
图象法：观察图象上点的位置，上方点对应的函数值大。
48．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知直线经过一、二、四象限，且与两坐标轴交于A，B两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②若时，；③函数的图象不经过第三象限；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题、比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据直线经过的象限可判定①结论错误；求出直线与y轴的交点坐标为，然后观察图象，即可判定②结论正确；由图象可判定③结论正确；将两点坐标代入，进行消元，即可判定④结论错误．
【详解】解：∵直线经过一、二、四象限，
∴，，
∴，故①结论错误；
∵当时，
∴直线与y轴的交点坐标为，
∴观察图象得，当时，，故②结论正确；
∵，，
∴函数的图象经过第一、三、四象限，故③结论错误；
将，，代入直线解析式，得
，
∴，
∴，故④结论错误．
∴正确的结论有②，共1个．
故选：A．
49．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，（），其中的图像经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】本题考查了一次函数的性质，由的图像经过点可求出 ，从而得到和的表达式，的符号由的符号决定，因，需分析的正负验证各选项即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵的图像经过点，
∴ ，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的符号由的符号决定，
令，得或，
当时，；当时，；当时，，
、若，则，故该选项说法正确，符合题意；
、当 时，，不满足，不符合题意；
、若，则或，故该选项说法错误，不符合题意；
、若，则，故该选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【考点18】一次函数的规律探究问题
知识点/方法
常见背景：正方形、直角三角形在坐标系中的放置，点按规律出现在直线上。
解题步骤：① 根据图形特征（如正方形边长相等、顶点在直线上）求出前几个点的坐标；② 归纳出第 n 个点的坐标通式；③ 代入目标 n 求值或计算面积。
关键能力：观察序号与坐标的对应关系，往往涉及乘方、倍数规律。
50．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形，、…、正方形，使得点、、…在直线l上，点、、…在y轴正半轴上，则的面积是______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据正方形的性质求线段长、一次函数的规律探究问题
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“（n为正整数）”是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征找出、、、的坐标，结合图形即可得知点是线段的中点，由此即可得出点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：观察，发现：，，，，，，，
（n为正整数）．
观察图形可知：点是线段的中点，
点的坐标是，（n为正整数），
的面积是，
的面积，
故答案为：．
51．（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】图形类规律探索、点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，数字规律探寻，解决本题的关键是根据规律得到与．
根据，，可得，再根据点在直线上，可得，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，，，，，
∴，即点，
∵过点作轴的垂线分别与直线交于点，
∴点，，，，，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为： ．
52．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标、一次函数的规律探究问题、点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案．
【详解】解：如图所示，
设与直线l交于点C，
∵，
∴，
∵函数的图象为直线，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∵将向右平移2个单位得到点，
∴，
同理可得，
∴，，
......，
以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，，
∵，
∴，即．
故选：D．
【考点19】已知直线与坐标轴交点求方程的解
知识点/方法
方程 kx+b = 0 的解 即为一次函数 y = kx+b 与 x 轴交点的横坐标。
不等式 kx+b > 0 的解集：对应图象在 x 轴上方部分的自变量取值范围；kx+b < 0 对应下方部分。
应用：已知交点坐标可直接写出方程的解；反之，已知方程的解可确定交点坐标。
53．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知直线与直线交于．
(1)求直线的表达式；
(2)求直线与两坐标轴围成的三角形面积．
【答案】(1)；
(2)4．
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查待定系数法求直线的解析式，点的坐标，直线的交点坐标以及三角形的面积．
（1）根据的解析式求出P点的坐标，再代入的解析式，利用待定系数法就可以求出的解析式．
（2）当时，设、分别交x轴于点B、C，求出、与x轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式求出的面积．
【详解】（1）解：把代入中，，解得：，
，
把P代入中，，
解得：，
．
（2）解：设交x轴，y轴分别于点A，B，
令，则，
，
令，则，解得：．
，
，
．
54．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数与正比例函数的图像都经过点．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求一次函数图像与轴和轴围成的三角形面积．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.85
【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式、已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题考查了求两直线的交点坐标，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）求出一次函数与轴和轴的交点坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：把点代入函数得，
，
则函数解析式为：；
把点代入函数得，
则函数解析式为：；
（2）解：令中的，则，
∴与轴的交点为，
令中的，则，
∴与轴的交点为，
∴三角形面积为：．
55．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点．
(1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______；
(2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集．
【答案】(1)，；
(2)；．
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）由新定义求出直线的表达式，代入即可求解；
（2）根据题意可得点D是两个函数的交点，联立解析式，可得点D的坐标，再观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为；
∵点在“逆反函数”的函数图象上，
∴，解得：；
故答案为：，；
（2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，
∴点D是两个函数的交点，
联立解析式：，
解得：，
即点，
观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方，
∴不等式组的解集为．
【考点20】由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点
知识点/方法
关系：方程 kx+b = 0 的解为 x = m 直线 y = kx+b 与 x 轴交点为 (m,0)。
逆运用：若直线与 x 轴交点为 (m,0)，则 x = m 是方程 kx+b = 0 的解。
常用于数形结合解不等式：结合函数图象，由交点划分区间，写出不等式的解集。
56．（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知函数中，当______时，图象在轴上方．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与x轴的交点，以及一次函数的性质，先求出直线与x轴的交点横坐标，再根据一次函数的性质即可求解．
【详解】解：当时，，
解得．
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，图象在轴上方．
故答案为：．
57．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
∴点A的横坐标是．
故答案为：．
58．（23-24八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．关于x不等式的解集是
B．关于x的不等式的解集是
C．关于x的方程的解是
D．当时，一次函数值y的取值范围是
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：A. 关于x不等式的解集是，原说法错误；
B. 关于x的不等式的解集是，原说法正确；
C. 关于x的方程的解是，原说法错误；
D. 当时，一次函数值y的取值范围是；
故选B．
【考点21】创新及压轴题
知识点/方法
新定义理解：如“关联点”“倒数点”“对等四边形”“阶梯函数”等，先将定义转化为数学条件（坐标关系、面积相等、不等式）。
常见综合：与反比例函数、几何图形（全等、相似）、面积、平移旋转结合。
解题策略：① 翻译定义，列出方程或不等式；② 利用一次函数性质（k,b 意义、交点、取值范围）求解；③ 注意多解讨论和检验。
实际应用压轴：如生产成本与销售收入、行程问题、增长率问题，正确列出函数模型，解不等式或方程。
示例：“超能果”问题结合一次函数与一元二次方程；“对等四边形”问题利用面积相等转化为点到直线的距离相等，再结合坐标求解。
1．（25-26九年级上·上海宝山·月考）定义：当，，，同时满足，，时，称点与点为一对“关联点”．
如果某函数图像上至少存在一对“关联点”，那么我们就称该函数为“关联函数”．
请在认真阅读上述内容的基础上解答下列问题：
(1)请在函数图像上找到并写出两对“关联点”的坐标；
(2)试判断函数是不是“关联函数”？请简要说明理由；
(3)如果关于x的一次函数是“关联函数”，试求符合题意的k值．
【答案】(1)与，与（答案不唯一）
(2)函数不是“关联函数”，理由见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了新定义、反比例函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，理解“关联点”和“关联函数”的定义是解题的关键．
（1）根据“关联点”的定义以及反比例函数的性质即可解答；
（2）设函数存在一对“关联点”为与，且，利用一次函数的性质列出方程组，解出的值，再检验是否符合题意即可得出结论；
（3）设一次函数存在一对“关联点”为与，且，利用一次函数的性质列出方程组，即可求出的值．
【详解】（1）解：∵与为一对“关联点”，且两个点都在函数图像上，
∴函数图像上一对“关联点”的坐标为与，
同理可得，另一对“关联点”的坐标可以为与，
∴函数图像上两对“关联点”的坐标分别为与，与（答案不唯一）；
（2）解：函数不是“关联函数”，理由如下：
设函数存在一对“关联点”为与，且，
则，
解得，
则，不符合题意，舍去；
∴函数不是“关联函数”；
（3）解：设一次函数存在一对“关联点”为与，且，
则，
得，，
∵，
∴．
2．（2025·上海·模拟预测）超能果，网球大小，色紫，叶大而色浅绿，食用时可以给超能市居民健体．一家超能果批发商正在开展日常工作，请你帮助工作人员完成两个工作任务．
【任务一】已知员工已任职月数m（月）关于当月工资（元）的函数解析式是．五名员工A、B、C、D、E的已任职月数m和当月工资y见下表．
填写表格空格，并且用函数的增减性，得出领中位数工资的员工名称．
名称 A B C D E
m 5 6 0 11 ________
y ？ ？ ________ ？ 1200
【任务二】批发市场在2133年共售出1000吨超能果，年间对比前一年总销售量的增长率如下方折线图所示（）．若2136年总共售出1320吨超能果，求a的值．
【答案】【任务一】：表格见解析，领中位数工资的员工为A；【任务二】：
【难度】0.65
【知识点】比较一次函数值的大小、求一次函数自变量或函数值、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次函数的图象性质，一元二次方程的实际应用：
（1）令和求解即可补全表格；根据一次函数的图象性质即可得到领中位数工资的员工名称；
（2）根据折线图可知2134年售出1000吨超能果，然后根据2136年总共售出1320吨超能果及折线图给的增长率即可列出方程并求解得出答案．
【详解】（1）【任务一】对于，
当时，，
当时，，
故表格补全为：
名称 A B C D E
m 5 6 0 11 3
y ？ ？ 600 ？ 1200
根据一次函数的图象性质，∵，
∴y随着的增大而增大，
∵，
∴，
∴领中位数工资的员工为的员工A；
(2)【任务二】根据折线图，可得2134年对比2133年增长率为0%，即2134年售出1000吨超能果．
可列方程，
解得，
∵，
∴．
3．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）某初中数学小组开展综合实践活动，对某食品工厂所生产、销售的某种食品进行调研．
A小组调研获知： 工厂每月生产成本（元）与产量x（千克）之间是一次函数，且部分对应数据如下表． 51015101510301045
B小组通过调研获知： 该食品每月的销售收入（元）与产量x（千克）之间满足如图所示的函数关系．
根据以上信息回答
(1)分别求出，与x的函数关系式（不用写定义域）；
(2)请测算一下，当产量满足什么条件时，该厂开始盈利
【答案】(1)，
(2)产量时，该厂开始盈利．
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的图象、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求正比例函数解析式，一元一次不等式的运用，解题的关键在于求出，与x的函数关系式．
（1）分别设与x的函数关系式为，与x的函数关系式，结合表格与图象中数据，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据要使该厂开始盈利，即每月的销售收入大于每月生产成本，据此建立不等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：设与x的函数关系式为，
由表格数据可知，
解得，
与x的函数关系式为；
设与x的函数关系式，
由图象可知过点，
，解得，
与x的函数关系式；
（2）解：要使该厂开始盈利，即每月的销售收入大于每月生产成本，
当时，得，
解得，
∴产量时，该厂开始盈利．
4．（24-25八年级上·上海·月考）如图，平面直角坐标系中，，将折叠，使点O落在上点D处，折痕交于C
(1)求直线的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)将沿着射线方向平移，点D落到点E处（点E不与点D重合）．若是直角三角形，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【难度】0.4
【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、求一次函数解析式
【分析】本题考查一次函数与三角形的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称，等腰三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先求出，根据勾股定理，可得，则，，求出，则点的坐标为，设直线的表达式为，将分别代入，即可解答；
（2）过点D作轴于点E，先求出，由，可得，根据勾股定理，求出，则，即可解答．
（3）分类讨论：①当时，②当时，逐一分析，即可解答．
【详解】（1）解：由得，
，
由折叠，得
，
∴，，，
∴，，
即，
解得，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，将分别代入，得
，解得，
∴直线的表达式为．
（2）过点D作轴于点E，如图
由（1）有，，
∵，
即，
解得，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
（3）过点D作，交x轴于点F，如图，由题意，可知点E在射线上，
则有，
设直线的解析式为，将代入，得
，解得，
∴直线的表达式为．
①当时，延长交直线于点M，如图
∴，
由将沿着射线方向平移，点D落到点E处，，可知
平移后的三角形为，点B的对应点为C，点D的对应点为E，
∵点向下平移3个单位长度，再向右平移个单位长度到，
∴点向下平移3个单位长度，再向右平移个单位长度到；
②当时，点E的横坐标与点A横坐标相同，即，
将代入，得
，
∴．
综上所述，点E点坐标为或．
5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线．
如图，在凸四边形中，如果，那么四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线．
(1)下列图形中，一定是对等四边形的是________（填写你认为正确的序号）
等腰梯形；平行四边形；矩形；菱形．
(2)在研究图的对等四边形的性质过程中，乐乐经过测量发现与的长度相邻，于是他猜想，你认为他的猜想正确吗 如果正确，请完成证明；如果错误，请说明理由．
(3)如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点在线段上．且，如果点在线段上，且四边形为对等四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)正确，证明见解析；
(3)，．
【难度】0.65
【知识点】利用菱形的性质证明、利用矩形的性质证明、利用平行四边形的性质求解、求一次函数解析式
【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据“对等四边形”概念即可求解；
（）过作于，过作于，由四边形是对等四边形，则，从而可得，然后证明即可；
（）求出直线解析式为，然后分若为对等对角线，则，若为对等对角线，则，两种情况分析即可．
【详解】（1）解：根据定义可知，一定是对等四边形的是平行四边形，矩形，菱形，
故选：；
（2）解：正确，理由，
过作于，过作于，
∴，
∵四边形是对等四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：设直线解析式为，
∴，解得
∴直线解析式为，
若为对等对角线，则，
设
∴
解得：，
此时；
若为对等对角线，则，
设，
∴，
解得：，
此时，
综上：，．
6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【学习材料】
如何求直线向右平移个单位长度后的函数表达式呢？
因为所求直线是由直线平移得到的，可以设所求直线的表达式为．
在直线上取点，将这点向右平移个单位得到，点在平移后的直线上，于是代入得到，解得．
所以直线向右平移个单位长度后的函数表达式是．
【根据以上学习材料解决问题】
(1)如果直线向左平移个单位得到直线，求和的值；
(2)如果直线与直线关于轴对称，求这条直线的表达式．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式
【分析】（1）根据平移后比例系数相等，即可得到值，再在直线取向左平移得到，代入中求解，即可解题；
（2）根据直线与直线关于轴对称，得到值，再取直线的点关于轴对称点为，将代入中求解，即可解题．
【详解】（1）解析：直线向左平移个单位得到直线，
根据平移后比例系数相等，
，
在直线取向左平移得到，代入得：
，解得；
（2）解：因为直线与直线关于轴对称，
所以，
取直线的点关于轴对称点为，
将代入得：
，解得，
所以这条直线的表达式为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，点坐标的平移，一次函数解析式，轴对称的性质等知识，熟练掌握一次函数图象的平移，点坐标的平移，一次函数解析式，轴对称的性质是解题的关键．
7．（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究：
类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小；
类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系．
小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论．
(1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）．
(2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为．
①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______．
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
此时、、和之间的关系式是______．
②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______．
【答案】(1)
(2)①D，；②．
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积
【分析】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式求解；
（2）①根据一次函数的性质求解；
②根据三角形的面积的和差求解．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，解得：，
∴，，
∴；
（2）解：①观察图形得：经过一二三象限，经过一二四象限，
∴，，，，，
故选：D；，
②∵，，
∴图象如下：
由图象得：．
随堂检测 · 精选练习
*知识点总结：涉及方程与函数关系、二元一次方程组与交点、利用增减性比较大小、待定系数法等。建议熟练使用“点在图象上 坐标满足解析式”。
1．（25-26八年级·上海·假期作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想．
根据一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为函数图象与轴交点的横坐标．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，该点是函数图象与轴的交点，
∴关于的方程的解为，
故答案为：．
2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是________________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，掌握两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键．
先求出点坐标，根据两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可得出结果．
【详解】解：由图象可得点的坐标为二元一次方程组的解，
代入中，得，
∴点的坐标为，
∴二元一次方程组的解为
故答案为：．
3．（25-26八年级上·上海·期中）如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是_________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图象解不等式的方法．由直线过第二、三、四象限可知，然后画出草图，根据一次函数和一元一次不等式的关系，结合函数图象求不等式的解集．
【详解】解：∵直线过第二、三、四象限，
∴，
又直线与x轴的交点为，
∴草图如下：
不等式表示一次函数图象在x轴下方的部分，
根据图象，当，函数图象在x轴下方，
故不等式的解集是．
故答案是：．
4．（25-26八年级上·上海·期中）如果一次函数的图像经过点， 则____________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，把点代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图像经过点，
∴，解得；
故答案为：．
5．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象经过点，，则比较，的大小为_____．（填“”，“”，“”）
【答案】
【难度】0.94
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得增减性，再由增减性即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴y随x的增大而增大，
∵函数的图象经过点，，且，
∴，
故答案为：．
课后巩固 · 核心作业
*知识点总结：包含一次函数图象判断、正比例函数性质、两直线交点、函数增减性与参数、新定义综合。尤其注意 “倒数点” (即 y=1/x 与直线交点)、对等四边形 (面积相等转化为对角线性质) 的解题套路：转化为方程或方程组，利用判别式、根与系数关系求范围。
※复习建议 重点掌握待定系数法、函数图象与系数关系、平移对称规律；对于新定义题，先理解定义再建模；数形结合是贯穿始终的核心思想。
1．（25-26八年级·上海·假期作业）对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象过点 B．图象不经过第四象限
C．随的增大而增大 D．图象与坐标轴围成三角形的面积为4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
根据一次函数的性质，通过计算函数值、判断象限、增减性和与坐标轴围成的面积来分析各选项．
【详解】解：函数为，
A、当时，，图象过点，A正确，不符合题意；
B、当且时，例如，，图象经过第四象限，B不正确，符合题意；
C、，随的增大而增大，C正确，不符合题意；
D、与轴交于点，与轴交于点(2,0)，面积，D正确，不符合题意；
故选：B．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，是正比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小、正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的性质（增减性）及函数值的计算，解题关键是利用函数增减性或直接计算函数值来比较大小．
先根据正比例函数的性质判断函数的增减性，再代入点的横坐标求出、的值，进而比较大小．
【详解】解：正比例函数中，，
∴随的增大而增大．
将、代入函数：
，，
比较大小即：．
A、，与计算结果不符，不符合题意；
B、，与计算结果一致，符合题意；
C、，与计算结果不符，不符合题意；
D、，与计算结果不符，不符合题意．
故选：B．
3．（2025八年级上·上海·专题练习）直线与的交点坐标是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查求一次函数与二元一次方程组的交点坐标，掌握知识点是解题的关键．
通过联立两个直线方程，解方程组求得交点坐标即可．
【详解】解：∵两条直线的交点坐标同时满足两个方程，
∴，
即，
∴．
将代入，得
．
∴直线与的交点坐标为．
故选C．
4．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）直线和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
首先设定一个为一次函数的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可．
【详解】解：
的图像与y轴的交点坐标在x轴上方，故排除A、B选项
C、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，；由的图象可知，，则，两结论不互相矛盾，故正确；
D、如果过第一、二、三象限的图象是，由的图象可知，；由y2的图象可知，，则，两结论相矛盾，故错误．
故选C．
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】正比例函数的性质、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握当时正比例函数单调递减，区间内最大值出现在的最小值处是解题的关键．
根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解．
【详解】解：∵ 中随的增大而减小，
∴当时，时最大，最大值为．
将,代入，
得，
解得．
故答案为：．
6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线与交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是__________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查一次函数交点的性质和二元一次方程组的解，明白一次函数的交点即为对应的二元一次方程组的解是解题的关键．
首先根据交点在已知直线上，代入解得交点的坐标，即可得到交点坐标对应的x，y的值就是关于x，y的二元一次方程组的解．
【详解】解：由图可知，直线与交于点，
∴点在直线上，
∴解得：，
∴，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，在函数的图象上，如果，那么________．（填“”“”或“”）
【答案】
【难度】0.94
【知识点】比较一次函数值的大小、判断一次函数的增减性
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质．根据函数的增减性进行求解即可．
【详解】解：∵函数，，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
8．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知直线经过点A，B，求此直线上：
(1)横坐标为2的点的坐标．
(2)纵坐标为3的点的坐标．
(3)到y轴的距离等于2的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)和
【难度】0.65
【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标、求一次函数解析式
【分析】（1）把代入求出即可得到直线解析式，计算横坐标为的点的纵坐标即可得到该点的坐标；
（2）令，求出横坐标的值，即可得到该点的坐标；
（3）到轴的距离等于的点横坐标为或，结合（1）（2）即可得到该点的坐标．
【详解】（1）解：（1）把代入，
得，
，
∴当时，，
∴横坐标为的点的坐标为．
（2）解：由（1）得，
当时，，
解得，
∴纵坐标为的点的坐标为．
（3）解：∵到轴的距离等于的点的横坐标为或，
∴由（1）（2）可知符合条件的点的坐标为和．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数的图像经过点和点．
(1)若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是_____．
(2)在轴上有一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】已知两点坐标求两点距离、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理．
（1）先利用待定系数法，用m表示出k，b，再根据一次函数的性质得出，解不等式即可；
（2）由已知，根据勾股定理得，即可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点和点，
∴，
解得，
∵一次函数的函数值随着的增大而增大，
∴，
解得，
即若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是，
故答案为：；
（2）解：∵在轴上有一点，且，
∴在中，，
∵，，，
∴，，，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
10．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）
定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．
(1)如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式以及点的坐标；
(2)求直线上的“倒数点”坐标；
(3)如果直线上有两个“倒数点”，记作点、，点为坐标原点，当为锐角时，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【难度】0.4
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解一元二次方程，理解“倒数点”在图象上，是解题的关键；
（1）依题设点，代入，得，根据，即可求解；
（2）联立，解方程，即可求解；
（3）根据为锐角得出在第一象限，结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：依题设点，代入，得，即，
∴，
直线上有且只有一个倒数点，
，解得，
，
．
直线的解析式是：，
由，得，
；
（2）解：依题可知，“倒数点”的坐标满足反比例函数，
联立 ，
解得：或，
∴直线上的“倒数点”坐标为或；
（3）解：依题意，直线上有两个“倒数点”， 为锐角，
∴在第一象限，
此时，
当直线和有两个交点时，
联立得，，
∴，
解得：，
∴的取值范围为．
11．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．

(1)求关于的函数解析式并写出定义域；
(2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】分式的求值、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域；
（2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
把代入中得，
∴，
∴关于的函数解析式为，
当时，，
∴；
（2）解；由（1）可得当时，，
∴加满水时，，
∴
答：当水加满时，储水装置内水的温度为．
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专题25.3 一次函数及其性质 优等生讲义
(21大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 一次函数、正比例函数的概念，掌握其一般形式及限定条件（k ≠ 0）。
能根据 定义、图象或已知条件确定一次函数的解析式（待定系数法）。
熟练运用 一次函数的图象与性质（象限分布、增减性、与坐标轴交点）。
掌握 一次函数图象的平移、对称、旋转等变换规律。
会结合 一次函数解决简单的几何图形问题、新定义题型及实际应用。
体会 数形结合、分类讨论、模型思想在函数学习中的价值。
核心形式：y = kx + b (k ≠ 0) —— k 控制增减性与倾斜程度，b 决定与 y 轴交点。
知识梳理（详细版）
☆一次函数的定义与表示
定义：形如 y = kx + b（k、b为常数，且k ≠ 0）的函数叫做一次函数。当 b = 0 时，称为正比例函数。
自变量取值范围：通常为全体实数，但在实际问题中需使解析式有意义（分母≠0、根式被开方数≥0）且符合实际背景。
待定系数法：通过代入已知点坐标求 k、b 的方法。
常见变式：如 y - m = k(x - n) 表示过定点 (n, m) 的直线。
☆一次函数的图象与性质
图象：一条直线。k 决定直线的倾斜方向和程度（|k| 越大直线越陡），b 决定直线与 y 轴交点的纵坐标。
象限分布：
k > 0, b > 0：一、二、三象限；
k > 0, b = 0：一、三象限；
k > 0, b < 0：一、三、四象限；
k < 0, b > 0：一、二、四象限；
k < 0, b = 0：二、四象限；
k < 0, b < 0：二、三、四象限。
增减性：k > 0 时，y 随 x 增大而增大；k < 0 时，y 随 x 增大而减小。
与坐标轴交点：与 x 轴交点 (-b/k, 0)，与 y 轴交点 (0, b)。围成三角形面积 S = ·|b|·|b/k| = b /(2|k|)。
☆一次函数的变换
平移：“上加下减”在常数项，“左加右减”在自变量。平移前后 k 不变。
对称：
关于 x 轴对称：y = -kx - b（k、b 均变号）；
关于 y 轴对称：y = -kx + b（k 变号，b 不变）；
关于原点对称：y = kx - b（k 不变，b 变号）。
旋转：绕原点旋转 90° 可利用坐标变换 (x,y)→(-y,x) 或 (y,-x)，结合垂直关系 k ·k = -1 求解新解析式。
☆一次函数与方程、不等式
与一元一次方程的关系：方程 kx + b = 0 的解 直线 y = kx + b 与 x 轴交点的横坐标。
与一元一次不等式的关系：kx + b > 0 的解集对应图象在 x 轴上方的部分；kx + b < 0 对应下方部分。
两直线交点：联立方程组，解即为交点坐标。
☆一次函数的应用与创新题型
实际应用：行程问题、弹簧伸长、计费问题、面积问题等，关键在于找出等量关系建立函数模型，并注意自变量的实际取值范围。
新定义题型：如“关联点”“等距点”“加倍点”“阶梯函数”“对等四边形”等，需先理解新定义，将其转化为坐标条件或几何关系，再利用一次函数性质求解。
规律探究：常结合正方形、直角三角形在坐标系中的排列，通过归纳点坐标的规律（如 A (2 , 2 -1)）计算面积或线段长。
※一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象与性质
k 的符号 b 的符号 图象经过的象限 增减性
k > 0 b > 0 一、二、三 y 随 x 增大而增大
k > 0 b = 0 一、三
k > 0 b < 0 一、三、四 y 随 x 增大而增大
k < 0 b > 0 一、二、四 y 随 x 增大而减小
k < 0 b = 0 二、四
k < 0 b < 0 二、三、四
|k| 越大 直线越陡（越靠近 y 轴）；b 是直线与 y 轴交点的纵坐标。
核心考点 ·21类题型精讲
【考点1】识别一次函数
知识点/方法
定义：形如 y = kx + b（k、b 为常数，且 k ≠ 0）的函数是一次函数。正比例函数是 b = 0 的特例。
判断步骤：① 化简表达式，看能否化为 y = kx + b 形式；② 确保自变量次数为1，且分母不含 x；③ 确认一次项系数 k ≠ 0。
常见反例：y = x + 2（二次），y = 1/x（反比例），y = kx + b 未说明 k ≠ 0（可能为常数函数）。
易错提醒：y = (1-x)/2 可化为 y = - x + ，是一次函数；而 y = kx + b 若 k=0，则不是一次函数。
1．（24-25八年级下·上海·期中）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B．
C．（、是常数） D．
2．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点2】根据一次函数的定义求参数
知识点/方法
核心条件：自变量最高次数为1，且一次项系数 ≠ 0。
题型模型：如 y = 2x^{m } 是一次函数 m = 1 m = ±1；又如 y = (k-2)x + 3 是一次函数 k-2 ≠ 0 k ≠ 2。
注意隐含条件：若解析式含有绝对值或平方，需同时保证系数非零，且自变量指数为1。
3．（24-25八年级下·上海·期中）若是一次函数，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．无法确定
4．（23-24八年级下·上海宝山·月考）函数是一次函数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点3】求一次函数自变量或函数值
知识点/方法
已知 x 求 y：直接代入解析式计算。
已知 y 求 x：转化为解一元一次方程，可能有一解或无解（若值不在值域内）。
新定义型求值：先理解新定义（如“加倍点”“短距”），将几何条件转化为坐标满足的方程，再代入函数解析式求解。
示例：直线 y = x+2 上的“加倍点”即横坐标是纵坐标2倍的点，设 (2a, a) 代入得 a = 2a+2 a = -2，得点 (-4,-2)。
5．（24-25八年级下·上海静安·期中）点P、点Q是一次函数（b为常数）图像上的两个点，下列选项中不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25八年级下·上海闵行·月考）我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线上的“加倍点”坐标是_______．
7．（24-25八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是___________．
【考点4】列一次函数解析式并求值
知识点/方法
正比例关系：若 y 与 x 成正比例，设 y = kx；若 y+b 与 x+a 成正比例，设 y+b = k(x+a)。
待定系数法：代入已知的一组或两组对应值求 k (及 b)。
注意自变量范围：有时“特征值”如“坐标差”需结合取值范围求最值。
实例：已知 y+4 与 x-3 成正比例，且 x=1 时 y=0，设 y+4 = k(x-3) 代入得 k=-2，则 y = -2x+2。
8．（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知点与点在同一条经过原点的直线上，那么的值为 __________________．
9．（23-24八年级上·广西崇左·月考）已知与成正比例，且时，
(1)求y与x的函数表达式；
(2)点在该函数图象上，求点M的坐标．
10．（2023·上海嘉定·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______．
【考点5】求一次函数解析式
知识点/方法
两点式：已知两点坐标，代入 y = kx+b 解方程组。
一点 + 平行：平行即 k 相等，设 y = kx + b，代入已知点求 b。
一点 + 截距：已知与 y 轴交点 (0, b) 即得 b，再代入另一点求 k。
图象过原点：b=0，为正比例函数。
注意：若直线经过原点且与另一条直线平行，则 k 相同且 b=0。
11．（25-26八年级上·上海·期末）一条直线经过原点，且与直线平行，则这条直线的解析式为______．
12．（25-26八年级上·上海·期中）已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为___________．
13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，．
(1)求出y与x的函数表达式；
(2)若点在这个函数的图象上，求m的值．
【考点6】判断一次函数的图象
知识点/方法
根据 k,b 符号定位：k>0 上升，k<0 下降；b>0 与 y 轴正半轴相交，b<0 与负半轴相交。
两个函数图象在同一坐标系：分别分析各自 k,b 的符号，确保与图象一致，不矛盾。
特殊点辅助：比如与坐标轴交点、与直线 y=x 的交点等。
示例：函数 y = x-a 与 y = ax 的图象，需根据 a 的符号分别验证象限和交点。
14．（24-25八年级上·上海·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________．
【考点7】根据一次函数解析式判断经过的象限
知识点/方法
口诀：k 正一三，k 负二四；b 正上方（与 y 轴正半轴相交），b 负下方；b 零过原点。
综合：根据 k,b 符号确定具体象限组合。例如 k>0,b>0 一二三；k>0,b<0 一三四；k<0,b>0 一二四；k<0,b<0 二三四。
注意：当 b=0 时，图象只过两个象限（一三或二四）。
17．（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2025·上海杨浦·模拟预测）一次函数中，，则该图像不过第___________象限．
19．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（ ）
A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限
C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限
【考点8】已知函数经过的象限求参数范围
知识点/方法
根据图象位置列出不等式组：例如不经过第二象限 k>0 且 b≤0；图象经过一、三、四象限 k>0,b<0。
边界讨论：若图象经过原点，则 b=0，此时象限可能减少；若图象与坐标轴重合需单独考虑。
综合题：常与增减性、平行等条件联立求参数范围。
20．（25-26八年级上·上海·期末）已知是关于的正比例函数，且图象在第一、三象限，则的值为___________．
21．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是 _______ （填写序号）．
22．（25-26八年级上·上海·月考）已知函数．
(1)若函数的图象平行于直线，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而增大，且不经过第二象限，请直接写出一个符合条件的m的值．
【考点9】一次函数图象与坐标轴的交点问题
知识点/方法
与 x 轴交点：令 y=0 x = -b/k，即点 (-b/k, 0)。
与 y 轴交点：令 x=0 y = b，即点 (0, b)。
三角形面积：S = × |x 截距| × |y 截距| = ·|b|·||
= 。
23．（25-26八年级上·上海·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为5，则_____________．
24．（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是_______．
25．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【考点10】画一次函数图象
知识点/方法
步骤：列表（通常取与坐标轴的两个交点，或任意两点）、描点、连线（直线）。
取点技巧：为方便计算，常取 x=0 得 y=b，取 y=0 得 x=-b/k。
图象应用：通过图象可直观看出与坐标轴交点、三角形面积、增减性等。
26．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）（1）画出函数的图象（要求列表、描点、连线）；
（2）结合图象，写出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
（3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积．
27．（24-25八年级下·上海·月考）（1）已知一次函数的图象过点和，求函数解析式；并求图象与坐标轴的交点坐标．
（2）已知直线平行于的图象，且直线过点，求直线的解析式；并画出函数图象．
【考点11】一次函数图象平移问题
知识点/方法
平移规律：上加下减（常数项），左加右减（自变量）。即 y = kx + b 向上平移 m 个单位得 y = kx + b + m；向下平移 m 得 y = kx + b - m；向左平移 m 得 y = k(x+m) + b；向右平移 m 得 y = k(x-m) + b。
注意：平移前后 k 不变。
替代方法：取原直线上一个特殊点，按平移方式得到新点，代入新解析式（k 相同）求 b。
28．（25-26八年级·上海·假期作业）将的图象沿轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（ ）之后得到的新函数为正比例函数．
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
30．（24-25八年级下·上海金山·月考）直线向下平移______个单位后，所得的直线在轴上的截距是．
【考点12】一次函数图象与对称问题
知识点/方法
关于 x 轴对称：用 (x, -y) 代入原式 -y = kx + b y = -kx - b (k,b 都变号)。
关于 y 轴对称：用 (-x, y) 代入 y = -kx + b (k 变号，b 不变)。
关于原点对称：用 (-x, -y) 代入 -y = -kx + b y = kx - b (k 不变，b 变号)。
应用：常与直线关于坐标轴、某点对称结合，求对称直线解析式。
31．（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线．
（1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______；
（2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______．
32．（25-26八年级上·浙江台州·期末）若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____
33．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；
(2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）．
【考点13】一次函数图象与旋转问题
知识点/方法
绕原点旋转 90°：点 (x,y) 绕原点逆时针旋转 90° 得 (-y, x)，顺时针旋转 90° 得 (y, -x)。由此可求旋转后的直线方程。
绕任意点旋转：常利用全等三角形、中点公式、垂直关系（k1·k2 = -1）求旋转后的解析式。
注意：旋转后 k 一般改变，但若旋转 180°（中心对称）则相当于关于原点对称，k 不变，b 变号。
34．（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
35．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的表达式为________．
36．（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点14】判断一次函数的增减性
知识点/方法
由 k 决定：k>0 时，y 随 x 增大而增大；k<0 时，y 随 x 增大而减小。
正比例函数 y = kx 同样适用。
注意：常数函数 (k=0) 无单调性（不增不减）。
37．（25-26八年级上·上海·期中）下列关于的函数中，在其定义域内，的值随的增大而增大的函数是（ ）
A． B． C． D．
38．（2025八年级上·上海·专题练习）关于正比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象经过第二、四象限
C．不论x取何值，总有 D．y随x的增大而增大
39．（24-25九年级下·上海·月考）如果一次函数的图像经过点，那么y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）
40．（24-25九年级下·上海·期中）、是一次函数图像上的不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．的符号无法判断
【考点15】根据一次函数增减性求参数
知识点/方法
根据增减性列出关于 k 的不等式：如 y = (m-3)x - m+2 中 y 随 x 增大而减小 m-3 < 0 m < 3。
结合象限条件：如不经过第二象限且增减性确定，可同时得到 k>0 和 b≤0，联立求参数范围。
41．（24-25八年级下·上海·月考）已知函数中，随的增大而减小，则______．
42．（24-25八年级下·上海·月考）已知函数，根据下列条件，求的取值范围．
(1)函数值随的值的增大而减小；
(2)图象经过一、三、四象限；
(3)图象不经过第二象限．
43．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小．
(1)求的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由．
【考点16】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
知识点/方法
性质：若函数递增，则 x 越大 y 越大，故 (x -x ) 与 (y -y ) 同号 乘积 >0；若递减，则乘积 <0。
应用：比较函数值大小，或判断点坐标之间的关系。
拓展：可用于新定义“阶梯函数”的理解——下阶梯函数即递减，上阶梯函数即递增。
44．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）点，是一次函数图象上的两个点．则______0．
45．（23-24八年级下·上海浦东新·月考）取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：
x … －2023 0 2023 …
y … －3 －2 －1 …
根据信息，下列说法正确的个数是（ ）
①； ②当时； ③； ④不等式的解集是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
46．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（ ）
A．可以是任意的一次函数
B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数”
C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有
D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点
47．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么______0（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【考点17】比较一次函数值的大小
知识点/方法
直接代入法：将自变量的值代入解析式计算比较。
利用增减性：若 k>0，自变量大的函数值也大；k<0 则相反。
图象法：观察图象上点的位置，上方点对应的函数值大。
48．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知直线经过一、二、四象限，且与两坐标轴交于A，B两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②若时，；③函数的图象不经过第三象限；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
49．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，（），其中的图像经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【考点18】一次函数的规律探究问题
知识点/方法
常见背景：正方形、直角三角形在坐标系中的放置，点按规律出现在直线上。
解题步骤：① 根据图形特征（如正方形边长相等、顶点在直线上）求出前几个点的坐标；② 归纳出第 n 个点的坐标通式；③ 代入目标 n 求值或计算面积。
关键能力：观察序号与坐标的对应关系，往往涉及乘方、倍数规律。
50．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形，、…、正方形，使得点、、…在直线l上，点、、…在y轴正半轴上，则的面积是______．
51．（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则______．
52．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【考点19】已知直线与坐标轴交点求方程的解
知识点/方法
方程 kx+b = 0 的解 即为一次函数 y = kx+b 与 x 轴交点的横坐标。
不等式 kx+b > 0 的解集：对应图象在 x 轴上方部分的自变量取值范围；kx+b < 0 对应下方部分。
应用：已知交点坐标可直接写出方程的解；反之，已知方程的解可确定交点坐标。
53．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知直线与直线交于．
(1)求直线的表达式；
(2)求直线与两坐标轴围成的三角形面积．
54．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数与正比例函数的图像都经过点．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求一次函数图像与轴和轴围成的三角形面积．
55．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点．
(1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______；
(2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集．
【考点20】由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点
知识点/方法
关系：方程 kx+b = 0 的解为 x = m 直线 y = kx+b 与 x 轴交点为 (m,0)。
逆运用：若直线与 x 轴交点为 (m,0)，则 x = m 是方程 kx+b = 0 的解。
常用于数形结合解不等式：结合函数图象，由交点划分区间，写出不等式的解集。
56．（24-25八年级下·上海宝山·月考）已知函数中，当______时，图象在轴上方．
57．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是______．
58．（23-24八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．关于x不等式的解集是
B．关于x的不等式的解集是
C．关于x的方程的解是
D．当时，一次函数值y的取值范围是
【考点21】创新及压轴题
知识点/方法
新定义理解：如“关联点”“倒数点”“对等四边形”“阶梯函数”等，先将定义转化为数学条件（坐标关系、面积相等、不等式）。
常见综合：与反比例函数、几何图形（全等、相似）、面积、平移旋转结合。
解题策略：① 翻译定义，列出方程或不等式；② 利用一次函数性质（k,b 意义、交点、取值范围）求解；③ 注意多解讨论和检验。
实际应用压轴：如生产成本与销售收入、行程问题、增长率问题，正确列出函数模型，解不等式或方程。
示例：“超能果”问题结合一次函数与一元二次方程；“对等四边形”问题利用面积相等转化为点到直线的距离相等，再结合坐标求解。
1．（25-26九年级上·上海宝山·月考）定义：当，，，同时满足，，时，称点与点为一对“关联点”．
如果某函数图像上至少存在一对“关联点”，那么我们就称该函数为“关联函数”．
请在认真阅读上述内容的基础上解答下列问题：
(1)请在函数图像上找到并写出两对“关联点”的坐标；
(2)试判断函数是不是“关联函数”？请简要说明理由；
(3)如果关于x的一次函数是“关联函数”，试求符合题意的k值．
2．（2025·上海·模拟预测）超能果，网球大小，色紫，叶大而色浅绿，食用时可以给超能市居民健体．一家超能果批发商正在开展日常工作，请你帮助工作人员完成两个工作任务．
【任务一】已知员工已任职月数m（月）关于当月工资（元）的函数解析式是．五名员工A、B、C、D、E的已任职月数m和当月工资y见下表．
填写表格空格，并且用函数的增减性，得出领中位数工资的员工名称．
名称 A B C D E
m 5 6 0 11 ________
y ？ ？ ________ ？ 1200
【任务二】批发市场在2133年共售出1000吨超能果，年间对比前一年总销售量的增长率如下方折线图所示（）．若2136年总共售出1320吨超能果，求a的值．
3．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）某初中数学小组开展综合实践活动，对某食品工厂所生产、销售的某种食品进行调研．
A小组调研获知： 工厂每月生产成本（元）与产量x（千克）之间是一次函数，且部分对应数据如下表． 51015101510301045
B小组通过调研获知： 该食品每月的销售收入（元）与产量x（千克）之间满足如图所示的函数关系．
根据以上信息回答
(1)分别求出，与x的函数关系式（不用写定义域）；
(2)请测算一下，当产量满足什么条件时，该厂开始盈利
4．（24-25八年级上·上海·月考）如图，平面直角坐标系中，，将折叠，使点O落在上点D处，折痕交于C
(1)求直线的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)将沿着射线方向平移，点D落到点E处（点E不与点D重合）．若是直角三角形，直接写出点E的坐标．
5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线．
如图，在凸四边形中，如果，那么四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线．
(1)下列图形中，一定是对等四边形的是________（填写你认为正确的序号）
等腰梯形；平行四边形；矩形；菱形．
(2)在研究图的对等四边形的性质过程中，乐乐经过测量发现与的长度相邻，于是他猜想，你认为他的猜想正确吗 如果正确，请完成证明；如果错误，请说明理由．
(3)如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点在线段上．且，如果点在线段上，且四边形为对等四边形，请直接写出点的坐标．
6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【学习材料】
如何求直线向右平移个单位长度后的函数表达式呢？
因为所求直线是由直线平移得到的，可以设所求直线的表达式为．
在直线上取点，将这点向右平移个单位得到，点在平移后的直线上，于是代入得到，解得．
所以直线向右平移个单位长度后的函数表达式是．
【根据以上学习材料解决问题】
(1)如果直线向左平移个单位得到直线，求和的值；
(2)如果直线与直线关于轴对称，求这条直线的表达式．
7．（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究：
类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小；
类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系．
小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论．
(1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）．
(2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为．
①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______．
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
此时、、和之间的关系式是______．
②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______．
随堂检测 · 精选练习
*知识点总结：涉及方程与函数关系、二元一次方程组与交点、利用增减性比较大小、待定系数法等。建议熟练使用“点在图象上 坐标满足解析式”。
1．（25-26八年级·上海·假期作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ．
68．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是________________．
2．（25-26八年级上·上海·期中）如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是_________．
3．（25-26八年级上·上海·期中）如果一次函数的图像经过点， 则____________．
4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象经过点，，则比较，的大小为_____．（填“”，“”，“”）
课后巩固 · 核心作业
*知识点总结：包含一次函数图象判断、正比例函数性质、两直线交点、函数增减性与参数、新定义综合。尤其注意 “倒数点” (即 y=1/x 与直线交点)、对等四边形 (面积相等转化为对角线性质) 的解题套路：转化为方程或方程组，利用判别式、根与系数关系求范围。
※复习建议 重点掌握待定系数法、函数图象与系数关系、平移对称规律；对于新定义题，先理解定义再建模；数形结合是贯穿始终的核心思想。
1．（25-26八年级·上海·假期作业）对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象过点 B．图象不经过第四象限
C．随的增大而增大 D．图象与坐标轴围成三角形的面积为4
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，是正比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025八年级上·上海·专题练习）直线与的交点坐标是（）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）直线和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________．
6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线与交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是__________．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，在函数的图象上，如果，那么________．（填“”“”或“”）
8．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知直线经过点A，B，求此直线上：
(1)横坐标为2的点的坐标．
(2)纵坐标为3的点的坐标．
(3)到y轴的距离等于2的点的坐标．
9．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数的图像经过点和点．
(1)若一次函数的函数值随着的增大而增大，则满足的条件是_____．
(2)在轴上有一点，且，求点的坐标．
10．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）
定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．
(1)如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式以及点的坐标；
(2)求直线上的“倒数点”坐标；
(3)如果直线上有两个“倒数点”，记作点、，点为坐标原点，当为锐角时，求的取值范围．
11．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．

(1)求关于的函数解析式并写出定义域；
(2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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