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专题25.4 一次函数的应用 优等生讲义
(13大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握一次函数与方程(组)、不等式的对应关系，能利用函数图象求解方程和不等式；
熟练分析实际情景（行程、方案、利润、梯度计价等），建立一次函数模型并解决问题；
理解一次函数与几何综合中的交点、面积、存在性等问题，体会数形结合思想；
能根据图象信息读取关键点坐标，确定函数解析式并进行预测或决策；
掌握一次函数应用中的分类讨论、最值、方案选择等常见题型的方法。
知识梳理 · 核心知识点
☆一次函数与方程（组）
的解 直线与轴交点的横坐标。
二元一次方程组的解 两直线交点坐标。
☆一次函数与不等式
的解集 直线在x轴上方的部分对应的x范围。
直线在上方的部分对应的x范围。
☆常见实际模型
行程问题：距离 = 速度×时间，剩余量 = 总量 - 已用量。
分配方案、最大利润：根据条件列出一次函数，结合自变量范围求最值。
梯度计价：分段函数，注意不同区间表达式不同。
几何综合：求交点、面积、存在性（等腰、直角、平行四边形等）。
核心考点 ·13类题型精讲
【考点1】利用图像法解一元一次方程（题1-3）
方法总结
关键：方程的解 直线上纵坐标为c的点的横坐标。
从图象中直接读取当时的x值。
注意变形：如可化为，即找纵坐标为1的点。
1．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线如图所示，则关于的方程的解是____________．
3．（25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程的解是______；
（2）关于x的方程的解是______；
【考点2】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（题4-6）
方法总结
不等式的解集为直线在x轴上方部分对应的x范围；则为下方部分。
需明确直线与x轴交点坐标，再结合图象升降确定不等号方向。
4．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为________．
5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（、为常数）的图像如图所示，那么关于的不等式的解集是_________．
6．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知一次函数的图像经过点，且与直线都经过点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当的函数值大于的函数值时，求x的取值范围．
【考点3】根据两条直线的交点求不等式的解集（题7-10）
方法总结
不等式的解集即为直线y1在y2上方时对应的x范围，交点横坐标是分界点。
可先将不等式变形为，再结合图象确定方向。
7．（24-25八年级下·上海金山·月考）反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点，当时，请写出自变量x的取值范围_________．
8．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数中两个变量、的部分对应值如下表所示：那么关于的不等式的解集是________________．
0 1 2
2 1 0
9．（24-25八年级下·上海·月考）如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是_______．
10．（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是_____________．
【考点4】两直线的交点与二元一次方程组的解（题11-14）
方法总结
两直线和的交点坐标就是对应方程组的解。
求交点常用方法：联立解析式解方程组，或从图象上直接读取交点坐标。
11．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025八年级上·上海·专题练习）直线与的交点坐标是（）
A． B． C． D．
13．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线和直线．求：
(1)这两条直线的交点A的坐标；
(2)这两条直线与x轴所围成的三角形的面积．
14．（24-25八年级上·上海·月考）现有两条直线，，已知与直线平行，的y随x增大而增大，、与直线的交点均在x轴下方，求：
(1)k的值；
(2)b的范围．
【考点5】图象法解二元一次方程组（题15-17）
方法总结
将方程组中的每个方程转化为一次函数形式，在同一坐标系中画出图象，交点坐标即为方程组的解。
图象法直观，但精度有限，常用于估计解或检验代数解。
15．（21-22八年级下·河北沧州·期末）已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D．
(1)直接写出方程组的解；
(2)求△PCD的面积；
(3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围．
16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程．
(1)画出二元一次方程表示的直线；
(2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标；
(3)若（1）中的图像上有一点，求m的值．
17．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象；
（2）利用图象法求方程组的解．
【考点6】求直线围成的图形面积（题18-20）
方法总结
常见图形：直线与坐标轴围成的三角形，面积S= ×|x轴截距|×|y轴截距|。
两条直线与坐标轴围成的图形：通常需联立求出交点，再利用割补法或直接用面积公式（如铅垂高×水平宽）。
18．（24-25九年级下·上海·月考）已知和点是双曲线上两点，点O为坐标原点，的面积为______．
19．（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为_____．
20．（24-25八年级下·上海·期中）直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是_____．
【考点7】分配方案问题(一次函数的实际应用)（题21-25）
方法总结
根据题意列出总费用或利润与某种变量的一次函数关系式，并确定自变量的取值范围（往往受限于资源、需求量等）。
结合一次函数的增减性（k的符号）在自变量范围内求最值，或通过比较不同方案对应的函数值进行选择。
常见类型：租车方案、购买方案、运输方案等。
21．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元．
(1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围）
(2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？
22．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆）
甲 45 1500
乙 33 1200
(1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；
(2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
23．（2022八年级下·上海·专题练习）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：
A型 B型
价 格（万元／台） 12 10
处理污水量（吨／月） 240 200
年消耗费（万元／台） 1 1
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
(1)求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；
(3)在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）．
24．（20-21八年级上·上海虹口·期末）某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 　 　元，
②方式收费 　 　元；
（2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 　 　；
（3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 　 　（填①或②）．
25．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
类别 甲种客车 乙种客车
载客量（人辆） 45 30
租金（元辆） 1000 800
(1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式．
(2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案．
【考点8】最大利润问题(一次函数的实际应用)（题26-28）
方法总结
利润 = 售价×数量 - 成本，往往可整理为y=kx+b的形式。
若k>0，利润随x增大而增大，最大值在x最大处；若k<0，最大值在x最小处（结合自变量范围）。
注意自变量通常有实际意义（如整数、非负等），要结合不等式组确定范围。
26．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．
方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．
方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．
问：
(1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式．
(2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明．
(3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大．
27．（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元．
(1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围．
(2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？
28．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个．
(1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？
(2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？
【考点9】行程问题(一次函数的实际应用)（题29-31）
方法总结
常用等量关系：路程 = 速度×时间，剩余距离/油量 = 初始量 - 已行驶消耗。
从函数图象中可读取速度（斜率）、初始值、相遇时间等关键信息。
两车（人）相距问题：可转化为两个一次函数值的差，结合图象分段讨论。
29．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题：
(1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
(2)求线段对应的函数表达式；
(3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米
30．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．
(1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式．
(2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？
(3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？
31．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两名同学进行爬山运动，他们沿相同的路线同时从山脚出发前往山顶．如图，是他们与山脚的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图像．请根据图中信息回答下列问题：
(1)分别写出甲、乙两同学上山过程中y（千米）与x（小时）之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）：__________，__________；
(2)甲到达山顶用了_____小时，此时，乙还有_____千米到达山顶；
(3)甲同学先到达山顶，休息1小时后，沿原路下山，与正在上山的乙同学，在B处相遇，此时B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，当乙到达山顶时，甲离山脚的距离是_____千米．
【考点10】梯度计价问题（题32-34）
方法总结
根据收费标准分区间建立分段函数，注意每个区间的计费方式不同。
已知总费用反求用量时，需先判断费用落在哪个区间，再代入对应解析式求解。
常见类型：出租车计费、电费水费、快递费等。
32．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）某出租车公司的收费标准如下：起步价（3千米以内，含3千米）10元；超过3千米，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）．
(1)若行驶路程为x千米（，且x为整数），收费y元，求y与x的函数关系式；
(2)若某人乘坐出租车行驶了8千米，应付多少元？
(3)若某人付了26元车费，最多行驶了多少千米？
33．（25-26八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______．
计费档 户年用气量 单价/（元）
第一档 2.73
第二档 3.28
第三档 3.82
34．（2025八年级上·上海·专题练习）阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元．
(1)若某户某月用电300度，该交多少电费？
(2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式；
(3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量．
【考点11】其他问题(一次函数的实际应用)（题35-37）
方法总结
涵盖工程、销售、储蓄、温度变化等，核心是找出两个变量之间的线性关系，建立模型。
利用待定系数法从两组对应值求出解析式，然后进行预测或比较。
35．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）某商场购进甲、乙两种商品，已知购进1件甲商品和2件乙商品共需170元，购进2件甲商品和1件乙商品共需190元．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)若商场决定购进这两种商品共50件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的4倍，那么该商场怎样进货，才能使进货成本最低？最低成本是多少元？
36．（24-25八年级下·上海·月考）年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：
(1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程；
(2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量．
37．（24-25八年级上·上海·月考）甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题．
(1)甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时；
(2)甲种机器人每小时工作量是___________吨；
(3)直线的表达式为___________；
(4)如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨．
38．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标．
39．（25-26九年级上·上海青浦·月考）如图，已知，点和直线是直线上一点，且点在第一象限，C、A两点到轴的距离相等，是的中点，连接并延长，交AC于点．
(1)求点的坐标；
(2)求的值；
(3)求的面积．
【考点12】一次函数与几何综合（题38-40）
方法总结
涉及一次函数图象上的点坐标、线段长度、三角形面积、全等、相似、特殊图形（等腰三角形、平行四边形、菱形等）的存在性。
常用技巧：设点坐标（因点在直线上，可用一个变量表示），利用距离公式、中点公式、垂直斜率关系等列方程求解。
注意分类讨论：如等腰三角形需按腰相等分情况，平行四边形需按对角线或对边关系分类。
40．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点
(1)求证：；
(2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当时， 求的面积．
【考点13】创新及压轴题（题1-6）
方法总结
新定义型：理解定义（如“特征数”），将新问题转化为常规的一次函数问题。
多知识点融合：往往结合方程、不等式、几何变换（平移、旋转、对称）、最值等。
解题策略：数形结合，分类讨论，方程思想，从复杂图形中分离出基本模型。
1．（25-26九年级上·上海·月考）我们知道同一地区内，同一时间的气温会随海拔高度的变化而变化，一般地海拔每上升米，气温会下降．
(1)某天上午8:00，某地区甲处的海拔为米，气温是．设该地区某处的海拔为米，这天上午8：00的气温为，求关于的函数关系式（不必写出定义域）；
(2)如图是某山区的等高线图，一天中午12：00小杰从甲村出发，沿图中标识的线路（粗实线）去乙村，于13：00时恰好翻越山顶，并于14：00到达．已知中午12：00时甲村的气温是，下午14：00时乙村的气温是．请在下图中，画出小杰的行程中时间与当时所处位置气温间的大致图像．
2．（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)请根据图像直接写出不等式的解集．
3．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线在y轴上的截距为2，直线与直线交于点P．
(1)求直线的解析式；
(2)在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形是直角梯形，求点F的坐标．
(3)若点C在y轴负半轴上，点M在直线上，点N在直线上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．
4．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2．
(1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________．
(2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标．
(3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标．
5．（24-25八年级下·上海松江·月考）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点（如图），平分，交x轴于点E．
(1)求的周长；
(2)求点E的坐标和直线的表达式；
(3)过点B作，垂足为F，交y轴于点G，连接，试判断的形状并证明你的结论．
(4)若将已知条件“平分，交x轴于点”改变为“点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作，垂足为F．设，，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
6．（25-26九年级上·上海宝山·月考）一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是______立方米．
随堂检测 · 精选练习
检测1一次函数与几何综合：利用点在直线上和距离相等条件求坐标。
检测2出租车计费（梯度计价）：根据起步价和超公里费写出分段函数。
检测3一次函数与距离公式：点在直线y=x上，到定点和定直线距离相等，列方程求解。
检测4行程问题（油箱剩余油量）：待定系数法求一次函数，并预测最大行驶里程。
检测5一次函数与方程组、不等式：根据交点坐标判断方程组的解及不等式解集。
1．（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是__________．
2．（24-25八年级下·上海·期中）某城市出租汽车收费标准为；3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为________．
3．（24-25八年级下·上海·期中）已知点在直线上，到的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____．
4．（24-25八年级下·上海·期中）已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶_______千米．
5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程组的解是
B．方程的解是
C．不等式和不等式的解集相同
D．不等式组的解集是
课后巩固 · 针对性练习
题1一次函数与等腰三角形：在坐标轴上找点使三角形等腰，分类讨论。
题2行程问题（油箱剩余油量）：根据表格数据分析耗油规律，求函数解析式并判断说法正误。
题3租车费用比较：从图象读取信息，比较两家公司费用，求函数解析式。
题4浮力实验图象：根据图象求函数解析式，理解各段实际意义。
题5一次函数与坐标轴围成三角形面积：求直线与坐标轴交点再算面积。
题6一次函数应用（鞋码与长度）：待定系数法求函数，已知长度反求码数。
题7一次函数与旋转：根据旋转前后对应点距离相等求点坐标。
题8上网费用比较（一次函数）：从图象求解析式，计算特定时间费用差。
题9租车方案选择：待定系数法求函数，比较不同里程下哪家合算。
题10一次函数与折叠（几何综合）：利用折叠性质（全等、勾股）求点坐标及存在性问题。
题11购物优惠方案（一次函数与不等式）：分段函数建模，求付款相等时的原价，比较优惠条件。
题12新定义“特征数”综合：理解定义，结合平移、正方形、平行四边形等几何条件求点坐标。
题13行程问题（甲乙步行）：从距离-时间图象读取信息，求线段解析式及时间差。
题14输液器流速问题（一次函数与分式方程）：根据图象求解析式，利用实际流速关系列分式方程求解。
※复习建议熟练掌握待定系数法、函数图象的识别、分段函数的处理；对于几何综合题，多画图并运用坐标法；实际应用题要找准自变量与因变量，列出正确的函数关系并考虑取值范围
1．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像交轴于点A，交轴于点．点在坐标轴上，且使得是等腰三角形，符合题意的点有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 …
油箱剩余油量 …
下列说法中不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶耗油
C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油
D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为
3．（24-25八年级下·上海·月考）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（ ）
A．千米时，两家公司的租车费用相同；
B．千米时，甲公司的租车费用为元；
C．千米时，甲公司的费用比乙公司低；
D．千米时，两公司的租车费用相差150元．
4．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降时，此时石块在水里
B．当时，F拉力与之间的函数表达式为
C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是
D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底
5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则的面积为________．
6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）某品牌鞋子的长度与鞋子的码数(码)之间满足一次函数关系．如果码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，那么长度为的鞋子码数是_________码．
7．（24-25八年级下·上海松江·期中）直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将绕点顺时针旋转得到，若点，那么点的坐标为___________．
8．（24-25八年级下·上海·月考）某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高_________元．
9．（24-25八年级下·上海·月考）某公司在“”四川汶川大地震中车辆损失严重，重建急需用车，但暂时又无力购车，于是准备与出租车公司签订租车合同．以每月行驶千米计算，甲出租车公司的月租车费用为元，乙出租车公司的月租车费用为元，如果，，这两个函数的图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)如果每月用车的行驶路程为千米，那么租用哪家公司的车合算？请说明理由．
10．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1)求点和点的坐标以及的长；
(2)求点和点的坐标；
(3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元，
(1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____．
(2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值．
(3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围．
12．（24-25八年级下·上海·期中）定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是
(1)将“特征数”是的函数图像向下平移5个单位，得到一个新函数，求这个新函数的解析式．
(2)在（1）中，平移前的函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，平移后的函数与y轴交于C点，D、C两点关于平移前的函数对称，若四边形是正方形，求D、E的坐标．
(3)若“特征数”是的函数与y轴交于A，“特征数”是的函数与“特征数”是的函数的交点P，点G在x轴上，M在“特征数”是的函数图像上，A、P、G、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M坐标．
13．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示．
(1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求乙比甲早几分钟到达终点？
14．（24-25八年级下·上海宝山·期末）为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．）
(1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示：
①求y关于x的函数解析式（不写定义域）；
②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？
(2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速．
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专题25.4 一次函数的应用 优等生讲义
(13大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握一次函数与方程(组)、不等式的对应关系，能利用函数图象求解方程和不等式；
熟练分析实际情景（行程、方案、利润、梯度计价等），建立一次函数模型并解决问题；
理解一次函数与几何综合中的交点、面积、存在性等问题，体会数形结合思想；
能根据图象信息读取关键点坐标，确定函数解析式并进行预测或决策；
掌握一次函数应用中的分类讨论、最值、方案选择等常见题型的方法。
知识梳理 · 核心知识点
☆一次函数与方程（组）
的解 直线与轴交点的横坐标。
二元一次方程组的解 两直线交点坐标。
☆一次函数与不等式
的解集 直线在x轴上方的部分对应的x范围。
直线在上方的部分对应的x范围。
☆常见实际模型
行程问题：距离 = 速度×时间，剩余量 = 总量 - 已用量。
分配方案、最大利润：根据条件列出一次函数，结合自变量范围求最值。
梯度计价：分段函数，注意不同区间表达式不同。
几何综合：求交点、面积、存在性（等腰、直角、平行四边形等）。
核心考点 ·13类题型精讲
【考点1】利用图像法解一元一次方程（题1-3）
方法总结
关键：方程的解 直线上纵坐标为c的点的横坐标。
从图象中直接读取当时的x值。
注意变形：如可化为，即找纵坐标为1的点。
1．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为___________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．一次函数的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴关于x的方程的解是．
∴关于的方程的解为．
故答案为：4．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线如图所示，则关于的方程的解是____________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】方程的解，就是直线上函数值时对应的自变量的值．我们可以从图像中直接读取当 时的坐标．
【详解】解：从图中可以看到，直线经过点．
∴当时，
因此，方程的解是
故答案为：．
【点睛】本题考查了知识点一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是理解“方程的解”与“函数图像上点的坐标”之间的对应关系．
3．（25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程的解是______；
（2）关于x的方程的解是______；
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】本题考查了一次函数的图象；
（1）利用函数图象写出函数值为时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出函数值时对应的自变量的值即可
【详解】（1）根据函数图象可得，当时，，
所以方程的解为；
故答案为：．
（2）根据函数图象可得，当时，，
∴关于x的方程的解是
故答案为：．
【考点2】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集（题4-6）
方法总结
不等式的解集为直线在x轴上方部分对应的x范围；则为下方部分。
需明确直线与x轴交点坐标，再结合图象升降确定不等号方向。
4．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集为________．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方，结合函数图象求解即可得．
【详解】解：不等式表示的是一次函数的图象位于轴的下方，
结合函数图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（、为常数）的图像如图所示，那么关于的不等式的解集是_________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．直接根据图像作答即可．
【详解】解：由图可知，当时，，
∴的解集是，
故答案为：．
6．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）已知一次函数的图像经过点，且与直线都经过点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当的函数值大于的函数值时，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求一次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一元一次不等式的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键．
（1）将代入得出，进而待定系数法求解析式，即可求解．
（2）依题意，，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：，
∴，
将，代入，
得，
解得：，
∴；
（2）解：依题意，，
解得：．
【考点3】根据两条直线的交点求不等式的解集（题7-10）
方法总结
不等式的解集即为直线y1在y2上方时对应的x范围，交点横坐标是分界点。
可先将不等式变形为，再结合图象确定方向。
7．（24-25八年级下·上海金山·月考）反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点，当时，请写出自变量x的取值范围_________．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用交点坐标确定不等式的解集，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键．
先利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，然后根据交点坐标确定不等式的解集即可．
【详解】解：将代入得，
，
∴反比例函数的解析式为；
∴将代入得，
，
解得，
∴，
将，代入得，
解得，
∴；
根据函数解析式画出图象得，
当时，或，
故答案为：或．
8．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数中两个变量、的部分对应值如下表所示：那么关于的不等式的解集是________________．
0 1 2
2 1 0
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据表格中的数据可知，y随着x的增大而减小，再由不等式的解集即为函数值小于等于时，自变量的取值范围，据此可得答案．
【详解】解；由表格中的数据可知，y随着x的增大而减小，
∵当时，，
∴关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
9．（24-25八年级下·上海·月考）如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是_______．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键．
根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
【详解】解：由图象可知函数和的图像交点，
∵，
∴，
观察图像得：当时，函数的图像位于函数的图像的上方，
∴不等式的解集是，即不等式的解集是，
故答案为：．
10．（24-25八年级上·上海·期末）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是_____________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是利用函数图象求不等式的解集．
从图象上找到在上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵直线与直线交点的横坐标是4，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【考点4】两直线的交点与二元一次方程组的解（题11-14）
方法总结
两直线和的交点坐标就是对应方程组的解。
求交点常用方法：联立解析式解方程组，或从图象上直接读取交点坐标。
11．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求自变量的值或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．将点代入得出，即可求解．
【详解】解：由条件可知：当时，，
，
关于，的方程组的解为，
故选：A．
12．（2025八年级上·上海·专题练习）直线与的交点坐标是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查求一次函数与二元一次方程组的交点坐标，掌握知识点是解题的关键．
通过联立两个直线方程，解方程组求得交点坐标即可．
【详解】解：∵两条直线的交点坐标同时满足两个方程，
∴，
即，
∴．
将代入，得
．
∴直线与的交点坐标为．
故选C．
13．（24-25八年级下·上海·月考）已知直线和直线．求：
(1)这两条直线的交点A的坐标；
(2)这两条直线与x轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的交点的问题，与坐标轴围成的三角形面积问题：
（1）联立函数解析式，解方程组即可求解交点坐标；
（2）分别求出两直线与轴交点坐标，即可确定三角形的底，再用面积公式求解．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：，
∴交点坐标；
（2）解：对于，当时，，解得：，
∴直线与轴交于点；
对于，当时，，解得：，
∴直线与轴交于点，
∴两条直线与x轴所围成的三角形的面积为．
14．（24-25八年级上·上海·月考）现有两条直线，，已知与直线平行，的y随x增大而增大，、与直线的交点均在x轴下方，求：
(1)k的值；
(2)b的范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据一次函数增减性求参数、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的交点坐标，不等式组的解法；
（1）由与直线平行，可得，结合的y随x增大而增大，可得，从而可得答案；
（2）分别求解、与直线的交点坐标，再利用交点均在x轴下方，再建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵与直线平行，
∴，
解得：，
∵的y随x增大而增大，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
联立，
解得：，
∴函数的交点坐标为：；
同理：，
解得：，
∴交点坐标为：，
∵、与直线的交点均在x轴下方，
∴，
解得：．
【考点5】图象法解二元一次方程组（题15-17）
方法总结
将方程组中的每个方程转化为一次函数形式，在同一坐标系中画出图象，交点坐标即为方程组的解。
图象法直观，但精度有限，常用于估计解或检验代数解。
15．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D．
(1)直接写出方程组的解；
(2)求△PCD的面积；
(3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、图象法解二元一次方程组
【分析】（1）根据图象交点坐标可得方程组的解；
（2）先求出两个解析式，再求出C，D的坐标，即可求出面积；
（3）根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2），
∴方程组的解为；
（2）∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2），
∴，
解得，
∴y1＝﹣4x+6，y2＝﹣x+3，
当y＝0时，0＝﹣4x＋6，解得x＝，
当y＝0时，0＝﹣x+3，解得x＝3，
∴C（，0），D（3，0），
∴CD，
∴S△PCD．
即△PCD的面积为；
（3）根据图象可知当在P点左边时y1＞y2，
∴y1＞y2时x的取值范围为x＜1．
【点睛】本题考查一次函数图象交点与二元一次方程组的解和不等式的解集的关系，解题的关键是掌握一次函数图象与方程和不等式的关系，掌握方程的解与图象交点的关系．
16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程．
(1)画出二元一次方程表示的直线；
(2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标；
(3)若（1）中的图像上有一点，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)、
(3)
【难度】0.65
【知识点】图象法解二元一次方程组、求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）二元一次方程所对应的直线为，根据描点法画出函数图像即可；
（2）当时，，当时，，解得，即可求出答案；
（3）把点C的坐标代入函数解析式，即可得到答案．
【详解】（1）解：二元一次方程变形为，所对应的直线为．
列表如下：
x … 0 1 2 …
y … …
描点并连线，
（2）解：当时，，
当时，，
解得，
∴一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为、．
（3）解：把代入得到，
即m的值为．
17．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象；
（2）利用图象法求方程组的解．
【答案】（1）见解析；（2）
【难度】0.65
【知识点】画一次函数图象、图象法解二元一次方程组
【分析】本题主要考查了一次函数图象的绘制以及一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的绘制方法和 “一次函数图象的交点坐标是对应的二元一次方程组的解” 是解题的关键．
（1）通过找两个函数上的点来绘制图象；
（2）依据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系，利用图象交点求方程组的解．
【详解】解：（1）如图所示．
（2）由图可知函数与交点为，
所以方程组的解为
【考点6】求直线围成的图形面积（题18-20）
方法总结
常见图形：直线与坐标轴围成的三角形，面积S= ×|x轴截距|×|y轴截距|。
两条直线与坐标轴围成的图形：通常需联立求出交点，再利用割补法或直接用面积公式（如铅垂高×水平宽）。
18．（24-25九年级下·上海·月考）已知和点是双曲线上两点，点O为坐标原点，的面积为______．
【答案】15
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式
【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积．解本题的关键是求得交点坐标．
作直线，根据A的坐标可求出反比例函数解析式，从而可求出点坐标，进而可利用待定系数法求出直线的解析式，求出直线与横轴的交点的坐标后，即可由三角形面积公式求解．
【详解】解：如图所示，
将代入得，，
∴，
将代入得，，
∴，
假设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，解得，
∴，
，
故答案为：15．
19．（24-25八年级下·上海·期中）如果直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，则的值为_____．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成图形的面积，掌握一次函数图象与坐标轴的交点的计算，图形面积的计算是关键．根据一次函数与坐标轴的交点得到当时，，当时，，结合图形面积的计算即可求解．
【详解】解：直线，
当时，，当时，，
直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4，
当时，，
解得，，
∴，
当时，，
解得，，
∴，
综上所述，，
故答案为： ．
20．（24-25八年级下·上海·期中）直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是_____．
【答案】9
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积
【分析】本题考查在直角坐标系中求三角形的面积、一次函数与坐标轴的交点问题，分别令、求得、，再利用面积公式求解即可．
【详解】解：把代入得，，解得，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
故答案为：9．
【考点7】分配方案问题(一次函数的实际应用)（题21-25）
方法总结
根据题意列出总费用或利润与某种变量的一次函数关系式，并确定自变量的取值范围（往往受限于资源、需求量等）。
结合一次函数的增减性（k的符号）在自变量范围内求最值，或通过比较不同方案对应的函数值进行选择。
常见类型：租车方案、购买方案、运输方案等。
21．（24-25八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元．
(1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围）
(2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？
【答案】(1)；
(2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案；
当送货量为200件时，，则两种方案都可以；
当送货量大于200件时，，则选择甲方案
【难度】0.85
【知识点】求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式：
（1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解；
（2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入，
得：，
解得：，
关于x的函数解析式为；
∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，
∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元．
可设关于x的函数解析式为，将代入，
得：，
解得：，
关于x的函数解析式为．
（2）由图知：
当送货量小于200件时，，则选择乙方案；
当送货量为200件时，，则两种方案都可以；
当送货量大于200件时，，则选择甲方案．
22．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆）
甲 45 1500
乙 33 1200
(1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；
(2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
【答案】(1)
(2)共有种租车方案
(3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元
【难度】0.65
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可；
（2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案；
（3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题．
【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，
；
（2）∵租车总费用不超过元，师生共有人,
，
解得 ，
∵为整数,
∴可取,
∴一共有种租车方案；
（3）在中，随的增大而增大, 又可取,
∴当时，取最小值，最小值为(元),
∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元．
23．（2022八年级下·上海·专题练习）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：
A型 B型
价 格（万元／台） 12 10
处理污水量（吨／月） 240 200
年消耗费（万元／台） 1 1
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
(1)求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；
(3)在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）．
【答案】(1)，有3种购买方案：0台A型，10台B型、1台A型，9台B型、2台A型，8台B型
(2)选择1台A型9台B型
(3)42.8万元
【难度】0.65
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、判断一次函数的增减性、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台，列出不等式方程求解即可，x的值取整数；
（2）先列出不等式求解，再根据函数关系选出最佳方案；
（3）首先计算出企业自己处理污水的总资金，再计算出污水排到污水厂处理的费用，相比较即可得解．
【详解】（1）解：设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台，
由题意可得，
，
，
∵x取非负整数，
∴x可取0，1，2．
有三种购买方案：
方案一：购A型0台、B型10台；
方案二：购A型1台，B型9台；
方案三：购A型2台，B型8台．
（2）解：设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台．
240x+200（10﹣x）≥2040，
解得x≥1，
∴x为1或2．
由可知，，
即y随x的增大而增大，
∴为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
（3）10年企业自己处理污水的总资金为：
12×1+10×9+1×10+9×10＝202（万元），
若将污水排到污水厂处理：
2040×12×10×10＝2448000（元）＝244.8（万元）．
10年节约资金：244.8﹣202＝42.8（万元）．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用与一次函数选择最佳方案问题等，找出题目中的不等关系是解题的关键．
24．（24-25八年级上·上海虹口·期末）某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 　 　元，
②方式收费 　 　元；
（2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 　 　；
（3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 　 　（填①或②）．
【答案】（1）80，100；（2）y2＝0.2x；（3）②
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据题意由函数图象就可以得出①②收费；
（2）根据题意设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由待定系数法求出k2值即可；
（3）根据题意设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，再讨论当y1＞y2，y1＝y2，y1＜y2时求出x的取值就可以得出结论．
【详解】解：（1）由函数图象，得：
①方式收费80元，②方式收费100元，
故答案为：80，100；
（2）设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由题意，得
100＝500k2，
∴k＝0.2，
∴函数解析式为：y2＝0.2x；
（3）设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，由函数图象，得：
，
解得：，
∴y1＝0.1x+30，
当y1＞y2时，0.1x+30＞0.2x，
解得：x＜300，
当y1＝y2时，0.1x+30＝0.2x，
解得：x＝300，
当y1＜y2时，0.1x+30＜0.2x，
x＞300，
∵200＜300，
∴方式②省钱．
故答案为：②．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，分类讨论思想的运用，设计方案的运用，解答时认真分析函数图象的意义是解题的关键．
25．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
类别 甲种客车 乙种客车
载客量（人辆） 45 30
租金（元辆） 1000 800
(1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式．
(2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案．
【答案】(1)(且x为整数)
(2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数增减性求参数、不等式组的分配问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键．
（1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式；
（2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆，
∴租用乙种客车辆，
由题意得，总费用为
(且x为整数)；
（2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，
∴，
解得，
∴不等式组的解集为，
∴x的取值为2或3，
∵中，
∴y随x增大而增大，
∴当时，总费用最低，
∴租甲种客车2辆，乙种客车辆．
【考点8】最大利润问题(一次函数的实际应用)（题26-28）
方法总结
利润 = 售价×数量 - 成本，往往可整理为y=kx+b的形式。
若k>0，利润随x增大而增大，最大值在x最大处；若k<0，最大值在x最小处（结合自变量范围）。
注意自变量通常有实际意义（如整数、非负等），要结合不等式组确定范围。
26．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．
方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．
方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．
问：
(1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式．
(2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明．
(3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大．
【答案】(1)方案1：；方案2：
(2)工厂采用方案1时利润最大，见解析
(3)见解析
【难度】0.85
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查一次函数的应用和方案设计问题．
（1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案一处理污水应花费：，按方案二处理应花费：．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系；
（2）根据（1）中得到的x与y的关系，将代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多．
（3）根据（1）中得到的x与y的关系，列不等式即可求解.
【详解】（1）按方案1处理污水时，．
按方案2处理污水时，；
（2）当时，；
．
因为，
所以工厂采用方案1时所获利润更大．
（3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多；
当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同；
当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多．
27．（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元．
(1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围．
(2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元．
【难度】0.65
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式．
（1）依据题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可；
（2）依据题意，先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润．
【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，
∴，
又∵，
∴，
∴y与x之间的函数解析式为；
（2）解：∵中，，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，获得利润最大，且最大值为：（元），此时B型皮鞋为：（双），
答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元．
28．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个．
(1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？
(2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？
【答案】(1)款的进货单价为元，款的进货单价为元
(2)款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元
【难度】0.65
【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（）设款的进货单价为元，则款的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解；
（）设款购进个，总利润为元，可得，再根据题意由不等式求得，进而根据一次函数的性质即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设款的进货单价为元，则款的进货单价为元，
由题意得，，
解得，（不合，舍去），
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：款的进货单价为元，款的进货单价为元；
（2）解：设款购进个，总利润为元，
由题意得，，
∵款的数量不小于款的一半，
∴，
解得，
∵，
∴当取最小值时，取最大值，
∵为整数，
∴的最小值为，
即款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元．
【考点9】行程问题(一次函数的实际应用)（题29-31）
方法总结
常用等量关系：路程 = 速度×时间，剩余距离/油量 = 初始量 - 已行驶消耗。
从函数图象中可读取速度（斜率）、初始值、相遇时间等关键信息。
两车（人）相距问题：可转化为两个一次函数值的差，结合图象分段讨论。
29．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题：
(1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
(2)求线段对应的函数表达式；
(3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米
【答案】(1)270千米
(2)
(3)2.1小时或2.7小时
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）由图象易得货车的速度为60千米/小时，然后问题可求解；
（2）设线段对应的函数表达式是，然后把点，点代入求解即可；
（3）由题意易得当时，两车之间的距离为70千米，由图象可得，线段对应的函数解析式为，然后可得，进而问题可求解．
【详解】（1）解：由图象可得，
货车的速度为（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）解：设线段对应的函数表达式是，
∵点，点，
∴，
解得，
即线段对应的函数表达式是；
（3）解：当时，两车之间的距离为：，
∵，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在之间，
由图象可得，线段对应的函数解析式为，
则，
解得或，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，（小时），（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
30．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．
(1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式．
(2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？
(3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？
【答案】(1)
(2)B品牌
(3)10或30
【难度】0.65
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求出的函数解析式，然后把代入、，求出、，最后比较即可求解；
（3）分，，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：设解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴，
（2）解：设，
把代入，得，
解得，
∴，
把代入 ，得，，
∵，
∴小明选择B品牌的共享单车更省钱；
（3）解：当时，
根据题意，得，
解得，
当时，
根据题意，得，
解得（舍去），
当时，
根据题意，得，
解得，
综上，当骑行时间为10或30时，两种品牌的收费相差2元
31．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两名同学进行爬山运动，他们沿相同的路线同时从山脚出发前往山顶．如图，是他们与山脚的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图像．请根据图中信息回答下列问题：
(1)分别写出甲、乙两同学上山过程中y（千米）与x（小时）之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）：__________，__________；
(2)甲到达山顶用了_____小时，此时，乙还有_____千米到达山顶；
(3)甲同学先到达山顶，休息1小时后，沿原路下山，与正在上山的乙同学，在B处相遇，此时B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，当乙到达山顶时，甲离山脚的距离是_____千米．
【答案】(1)；
(2)4；4；
(3)6．
【难度】0.65
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图中获取相关信息是解题的关键．
（1）设甲、乙两同学登山过程中，甲、乙离山脚的距离y（千米）与x（小时）之间的函数解析式分别为，，把点和点分别代入，，即可得出各自的解析式．
（2）由图可知，甲到达山顶时离山脚的距离为12千米，即山脚到山顶的距离为12千米，代入可求得所花的时间，再把时间代入即可求得A点离山脚的距离，则A点与山顶的距离可求．
（3）由图象知∶甲到达山顶并休息1小时后点D的坐标为，点B的坐标也可求，则线段所在直线的一次函数表达式可求，而乙到达山顶的时间可求，则题目可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两同学登山过程中，甲、乙离山脚的距离y（千米）与x（小时）之间的函数解析式分别为，，
由题意，得，，
解得：，
则甲，乙的解析式分别为，．
故答案为：；；
（2）解：甲到达山顶时，由图象可知，当（千米），
则，解得：，
把代入得，，
则（千米）
则甲到达山顶用了4小时，此时，乙还有4千米到达山顶，
故答案为：4，4．
（3）解：由图象知：甲到达山顶并休息1小时后点D的坐标为，
代入由题意，得点B的纵坐标为，代入，
解得∶，
∴点，
设过B、D两点的直线为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
当乙到达山顶时，，解得，
把代入(千米)
答∶乙到达山顶时，甲距山脚6千米．
【考点10】梯度计价问题（题32-34）
方法总结
根据收费标准分区间建立分段函数，注意每个区间的计费方式不同。
已知总费用反求用量时，需先判断费用落在哪个区间，再代入对应解析式求解。
常见类型：出租车计费、电费水费、快递费等。
32．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）某出租车公司的收费标准如下：起步价（3千米以内，含3千米）10元；超过3千米，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）．
(1)若行驶路程为x千米（，且x为整数），收费y元，求y与x的函数关系式；
(2)若某人乘坐出租车行驶了8千米，应付多少元？
(3)若某人付了26元车费，最多行驶了多少千米？
【答案】(1)（，x为整数）
(2)应付20元
(3)最多行驶11千米
【难度】0.65
【知识点】梯度计价问题
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了已知自变量求函数，已知函数值求自变量的方法．
（1）起步价超过3千米的部分每千米收费，列式计算即可求解；
（2）把代入函数关系式进行计算即可得解；
（3）把代入函数关系式解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意可得（，x为整数）；
（2）解：当时，（元）；
答：应付20元；
（3）解：设最多行驶了x千米，由题意得，，所以.
令，则，解得：．
答：最多行驶11千米．
33．（25-26八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______．
计费档 户年用气量 单价/（元）
第一档 2.73
第二档 3.28
第三档 3.82
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】梯度计价问题
【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可．
【详解】第一档费用为元，
第二档费用为元，
前两档总费用为元．
第三档费用为元，
因此．
故答案为．
34．（2025八年级上·上海·专题练习）阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元．
(1)若某户某月用电300度，该交多少电费？
(2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式；
(3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量．
【答案】(1)该交183元电费
(2)y＝
(3)该居民家10月份的用电量为360度
【难度】0.65
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、梯度计价问题、电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据题意可直接列式进行求解；
（2）根据题意可分当时，当时和当时，然后分类求解即可；
（3）先判断出该居民家10月份的电费为第二档，再根据（2）中函数关系式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
（元）；
答：该交183元电费；
（2）解：设电费为y元，
①当时，；
②当时，；
③当时，；
综上所述，y关于x的函数表达式为；
（3）解：当时，；
当时，；
∵，
∴该居民家10月份的电费为第二档，
当时，则，
解得；
答：该居民家10月份用电360度．
【考点11】其他问题(一次函数的实际应用)（题35-37）
方法总结
涵盖工程、销售、储蓄、温度变化等，核心是找出两个变量之间的线性关系，建立模型。
利用待定系数法从两组对应值求出解析式，然后进行预测或比较。
35．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）某商场购进甲、乙两种商品，已知购进1件甲商品和2件乙商品共需170元，购进2件甲商品和1件乙商品共需190元．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)若商场决定购进这两种商品共50件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的4倍，那么该商场怎样进货，才能使进货成本最低？最低成本是多少元？
【答案】(1)甲商品每件进价70元，乙商品每件进价50元
(2)购进甲商品40件，乙商品10件时成本最低，最低成本3300元
【难度】0.65
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与函数关系式，并结合不等式确定自变量的取值范围是解题的关键．
（1）设甲商品每件进价元，乙商品每件进价元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进乙商品件，则购进甲商品件，根据题意得到，求出，设进货成本为元，表示出，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲商品每件进价元，乙商品每件进价元，
由题意得
解得
答：甲商品每件进价70元，乙商品每件进价50元；
（2）解：设购进乙商品件，则购进甲商品件，
由题意得，，
解得，
设进货成本为元，
由题意得，，
∵，
∴随的增大而减小
∴当时，w最小，（元），
此时，
答：购进甲商品40件，乙商品10件时成本最低，最低成本3300元．
36．（24-25八年级下·上海·月考）年前月，陕西省新能源汽车产量已达万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题：
(1)当时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程；
(2)求当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量．
【答案】(1)5千米
(2)千瓦时
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了一次函数的应用解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）根据图象信息蓄电池剩余电量为千瓦时，汽车已行驶了千米，据此计算即可；
（2）根据待定系数法求出一次函数解析式，将代入解析式计算出y值即可．
【详解】（1）解：由图象可知，蓄电池剩余电量为千瓦时，汽车已行驶了千米，
1千瓦时用电量能行驶的路程为（千米）．
答：汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程为5千米．
（2）解：当时，设，把点，代入得：
，
解得，
∴，
当时，．
答：当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量为千瓦时．
37．（24-25八年级上·上海·月考）甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题．
(1)甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时；
(2)甲种机器人每小时工作量是___________吨；
(3)直线的表达式为___________；
(4)如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨．
【答案】(1)3
(2)5
(3)
(4)50
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据，判定甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时；
（2）甲种机器人每小时工作量是吨/小时；
（3）设直线的表达式为，把代入解析式解答即可；
（4）根据题意，得，解得，于是得到工作量相等时位置，设直线的解析式，把和分别代入解析式，得，解答即可．
本题考查了一次函数的应用，准确识别函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：根据，得甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时，
故答案为：3．
（2）解：甲种机器人每小时工作量是吨，
故答案为：5．
（3）解：设直线的表达式为，把代入解析式，得
，
解得，
故，
故答案为：．
（4）解：根据题意，得，
解得，于是得到工作量相等时位置，
设直线的解析式，
把和分别代入解析式，得，
解得，
故直线的解析式，
当时，，
解得，
故乙机器人的工作效率为（吨/小时）．
故5小时的工作量为（吨），
故答案为：50．
【考点12】一次函数与几何综合（题38-40）
方法总结
涉及一次函数图象上的点坐标、线段长度、三角形面积、全等、相似、特殊图形（等腰三角形、平行四边形、菱形等）的存在性。
常用技巧：设点坐标（因点在直线上，可用一个变量表示），利用距离公式、中点公式、垂直斜率关系等列方程求解。
注意分类讨论：如等腰三角形需按腰相等分情况，平行四边形需按对角线或对边关系分类。
38．（25-26八年级上·上海·期末）如图在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，直线轴．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)在轴上有一点，使的面积为8，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，注意分情况讨论是解决本题的关键．
（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；
（2）过点作轴，垂足为，则是在边上的高，，根据三角形面积公式求出的长，可得Q点坐标；
【详解】（1）解：与关于原点对称，
，
过点，
，
，
，
∵点C的坐标为，直线轴，
当时，，
，
，
．
（2）解：过点作轴，垂足为，则是在边上的高，，
∴，
，
，
∴在轴上存在两个点满足条件，
即：或．
39．（25-26九年级上·上海青浦·月考）如图，已知，点和直线是直线上一点，且点在第一象限，C、A两点到轴的距离相等，是的中点，连接并延长，交AC于点．
(1)求点的坐标；
(2)求的值；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、已知两点坐标求两点距离
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和数形结合是关键．
（1）求出点的横坐标为2,代入函数解析式即可求出答案；
（2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立求出，根据两点间距离公式即可求出答案；
（3）作轴交于点F，求出，根据的面积即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，C、A两点到轴的距离相等，
∴点的横坐标为2,
把代入得到
∴
（2）∵是OC的中点，
∴,
设直线的解析式为，把，代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把，代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得，
∴，
∴，
∴
（3）作轴交于点F，
由可设，把代入得到，
∴，
∴的面积．
40．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中， ，D是射线上一点(不与点A、C重合)，过点D作直线的垂线，垂足为点E，M是的中点
(1)求证：；
(2)当点D在边上时，如果设，，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当时， 求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当在上时，；当在延长线上时，
【难度】0.4
【知识点】函数解析式、斜边的中线等于斜边的一半、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可证明；
（2）根据勾股定理得出，则，根据勾股定理得出，即可解答；
（3）根据题意进行分类讨论：①当在上时，②当在延长线上时．
【详解】（1）证明：在中，，是的中点，
．
在中，，是的中点，
，
．
（2）解：在中，，，，
．
由勾股定理得，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
∵，
∴，
；
（3）解：∵，
∴，
①当在上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②当在延长线上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
由（1）可知，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【考点13】创新及压轴题（题1-6）
方法总结
新定义型：理解定义（如“特征数”），将新问题转化为常规的一次函数问题。
多知识点融合：往往结合方程、不等式、几何变换（平移、旋转、对称）、最值等。
解题策略：数形结合，分类讨论，方程思想，从复杂图形中分离出基本模型。
1．（25-26九年级上·上海·月考）我们知道同一地区内，同一时间的气温会随海拔高度的变化而变化，一般地海拔每上升米，气温会下降．
(1)某天上午8:00，某地区甲处的海拔为米，气温是．设该地区某处的海拔为米，这天上午8：00的气温为，求关于的函数关系式（不必写出定义域）；
(2)如图是某山区的等高线图，一天中午12：00小杰从甲村出发，沿图中标识的线路（粗实线）去乙村，于13：00时恰好翻越山顶，并于14：00到达．已知中午12：00时甲村的气温是，下午14：00时乙村的气温是．请在下图中，画出小杰的行程中时间与当时所处位置气温间的大致图像．
【答案】(1)
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、画一次函数图象
【分析】本题考查了画函数图象，列函数关系式；
（1）根据题意一般地海拔每上升米，气温会下降．列出关系式，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得山顶时的最低气温，再画出大致图象，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
（2）解：12:00（甲村）：对应气温 （起点），海拔为米；
设
当时，
乙村海拔为米，当时，12:00时，乙村的温度为，2小时后为．每小时升温
12:00~13:00（前往山顶）：海拔上升，气温随海拔升高而下降，因此气温从 （逐渐降低，13:00（山顶）时气温达到最低值；
13:00~14:00（前往乙村）：海拔下降，气温随海拔降低而上升，最终 14:00（乙村）时气温升至．
如图所示，
2．（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)请根据图像直接写出不等式的解集．
【答案】(1)这两个函数的解析式分别为和
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图像直接得出不等式的解集，是解答此题的关键．
（1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可；
（2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接观察函数图像即可得出结论．
【详解】（1）解：∵将点 代入，
得，
解得，
将点代入，
得，
解得，
这两个函数的解析式分别为和；
（2）解：∵在中，
令，得，
，
在中，
令，得，
，
，
（3）
；
解：由函数图像可知，当时，．
3．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线在y轴上的截距为2，直线与直线交于点P．
(1)求直线的解析式；
(2)在平面直角坐标系中，有一点F，使得四边形是直角梯形，求点F的坐标．
(3)若点C在y轴负半轴上，点M在直线上，点N在直线上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，点C的坐标为或
【难度】0.15
【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、求一次函数解析式
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先求得，根据四边形是直角梯形，可得或，分两种情况分别求出点F的坐标即可；
（3）分两种情况：①当为菱形对角线时，②当为菱形边时，分别利用菱形性质求得点C的坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线在y轴上的截距为2，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：联立得：，
解得：，
∴，
∵四边形是直角梯形，
∴或，
当时，如图1，
则，
∴；
当时，如图2，
则，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：，
∴；
综上，点F的坐标为或；
（3）解：设，，，又，
∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，设菱形的中心为点K，
∴分两种情况：
①当为菱形对角线时，，与互相平分，
∴，
解得：，
∴；
②当为菱形边时，，，，如图2，过点M作轴于点G，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴．
综上，点C的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角梯形的性质，两直线的交点坐标的求法，菱形的性质，用方程的思想和分类讨论思想解决问题是解本题的关键．
4．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2．
(1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________．
(2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标．
(3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【难度】0.4
【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合、求一次函数解析式
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）令，求出点坐标，令，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出点坐标，进而求出，设点，作轴交于点，则，分点在点上方和点在点下方，两种情况进行讨论求解即可；
（3）分为对称轴，为对称轴，为对角线三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，则：，当时，则：，
∴，，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，解得：，
∴；
（2）∵，
∴时，，
∴，
∵，
∴；
设点，作轴交于点，则，
当点在点上方时，则：，
∵，
∴，
解得：，
∴；
当点在点下方时，则：，
∴，
解得：，
∴；
综上：或；
（3）∵在轴上，
∴，
∵，，
当点M、N、A、C构成平行四边形时，分三种情况：
①当为对称轴时，，解得：，
∴，
∴；
②当为对称轴时，，解得：，
∴，
∴，此时，重合，不符合题意；舍去；
③当为对角线时，，解得：，
∴；
∴；
综上：或．
5．（24-25八年级下·上海松江·月考）已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点（如图），平分，交x轴于点E．
(1)求的周长；
(2)求点E的坐标和直线的表达式；
(3)过点B作，垂足为F，交y轴于点G，连接，试判断的形状并证明你的结论．
(4)若将已知条件“平分，交x轴于点”改变为“点E是线段上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作，垂足为F．设，，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
【答案】(1)24
(2)，
(3)是等腰三角形，证明见解析.
(4)
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）分别求出，，从而求出，即可求周长；
（2）过点E作EG⊥AB交于G，根据角平分线的性质可得，在中，，求得，则，再由待定系数法求直线的解析式即可；
（3）根据，平分，可知是等腰三角形，则，F是的中点，从而求出，再求，，能判断是等腰三角形；
（4）勾股定理求出，再由，求出．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，解得，
∴，
∴，，
∴，
∴的周长；
（2）解：过点E作交于G，
∵是的平分线，，
∴，
在中，，，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，平分，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键．
6．（25-26九年级上·上海宝山·月考）一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是______立方米．
【答案】300
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用．用待定系数法求出存水量V与放水时间t之间的一次函数关系式，然后再把代入函数关系式，求出V的值，即可得出答案．
【详解】解：设剩余水量V与放水时间t之间的一次函数关系式为：，把点，代入函数关系式得：
，
解得：，
∴一次函数关系式为，
把代入得：，
∴游泳池的初始水量是300立方米．
故答案为：300．
随堂检测 · 精选练习
检测1一次函数与几何综合：利用点在直线上和距离相等条件求坐标。
检测2出租车计费（梯度计价）：根据起步价和超公里费写出分段函数。
检测3一次函数与距离公式：点在直线y=x上，到定点和定直线距离相等，列方程求解。
检测4行程问题（油箱剩余油量）：待定系数法求一次函数，并预测最大行驶里程。
检测5一次函数与方程组、不等式：根据交点坐标判断方程组的解及不等式解集。
1．（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是__________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出三角形的面积即可．
【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示：
∵轴，在第一象限，
∴，，
∵直线的解析式为，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（24-25八年级下·上海·期中）某城市出租汽车收费标准为；3千米以内（含3千米）收14元，超出3千米的部分，每千米收费1.6元．那么车费元与行驶路程千米之间的函数关系式为________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握函数的概念并找出相应的等量关系是解题的关键．
由题意可直接列出车费与行驶路程x千米之间的函数关系式，化简即可．
【详解】解：由题意可知，当行驶路程千米时，车费与行驶路程x千米之间的函数关系式为：，
故答案为：．
3．（24-25八年级下·上海·期中）已知点在直线上，到的距离和到直线的距离相等，则点的坐标为_____．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与几何综合、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查两点之间的距离公式，设，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：∵点在直线上，
∴设，
∴到的距离为，到直线的距离为，
∵到的距离和到直线的距离相等，
∴，
整理得，
解得或，
∴或，
故答案为：或．
4．（24-25八年级下·上海·期中）已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油 126升；行驶250千米，油箱中还剩油120升．这辆汽车加满油最多能行驶_______千米．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，设出函数关系式，待定系数法求出函数解析式，再令，求出自变量的值即可．
【详解】解：设某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）的函数关系式为，
由题意，得：，解得：，
∴，
当时，，
解得：，
∴这辆汽车加满油最多能行驶千米，
故答案为：．
5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程组的解是
B．方程的解是
C．不等式和不等式的解集相同
D．不等式组的解集是
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可．
【详解】解：A、根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意；
B、根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意；
C、根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意；
D、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意．
故选：A．
课后巩固 · 针对性练习
题1一次函数与等腰三角形：在坐标轴上找点使三角形等腰，分类讨论。
题2行程问题（油箱剩余油量）：根据表格数据分析耗油规律，求函数解析式并判断说法正误。
题3租车费用比较：从图象读取信息，比较两家公司费用，求函数解析式。
题4浮力实验图象：根据图象求函数解析式，理解各段实际意义。
题5一次函数与坐标轴围成三角形面积：求直线与坐标轴交点再算面积。
题6一次函数应用（鞋码与长度）：待定系数法求函数，已知长度反求码数。
题7一次函数与旋转：根据旋转前后对应点距离相等求点坐标。
题8上网费用比较（一次函数）：从图象求解析式，计算特定时间费用差。
题9租车方案选择：待定系数法求函数，比较不同里程下哪家合算。
题10一次函数与折叠（几何综合）：利用折叠性质（全等、勾股）求点坐标及存在性问题。
题11购物优惠方案（一次函数与不等式）：分段函数建模，求付款相等时的原价，比较优惠条件。
题12新定义“特征数”综合：理解定义，结合平移、正方形、平行四边形等几何条件求点坐标。
题13行程问题（甲乙步行）：从距离-时间图象读取信息，求线段解析式及时间差。
题14输液器流速问题（一次函数与分式方程）：根据图象求解析式，利用实际流速关系列分式方程求解。
※复习建议熟练掌握待定系数法、函数图象的识别、分段函数的处理；对于几何综合题，多画图并运用坐标法；实际应用题要找准自变量与因变量，列出正确的函数关系并考虑取值范围
1．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数的图像交轴于点A，交轴于点．点在坐标轴上，且使得是等腰三角形，符合题意的点有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的判定、一次函数的有关知识等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分、、三种情况分别作图找到点C，然后统计即可解答．
【详解】解：∵一次函数的图像交轴于点A，交轴于点．点在坐标轴上，
∴，
如图：当时，是等腰三角形；
当时，是等腰三角形；
当时，是等腰三角形．
综上，符合题意的点有7个．
故选C．
2．（24-25八年级下·上海·期中）五一劳动节小明一家自驾车去离家的景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 …
油箱剩余油量 …
下列说法中不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶耗油
C．当小明一家到达景点时，油箱中剩余油
D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，由时，，可判断；由表格数据可知，轿车每行驶，耗油，
可判断，综上即可求解，看懂表格数据的变化规律是解题的关键．
【详解】解：∵时，，
∴该车的油箱容量为，故选项正确，不合题意；
由表格数据可知，轿车每行驶，耗油，
∴该车每行驶耗油，故选项正确，不合题意；
∵景点离家，
∴当小明一家到达景点时，油箱中剩余，故选项错误，符合题意；
∵轿车每行驶，耗油，
∴，故选项正确，不合题意；
故选：．
3．（24-25八年级下·上海·月考）某公司打算与出租车公司签订租车合同．每月行驶千米时，甲出租车公司的月租费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，与之间的函数关系如图所示，那么下列说法错误的是（ ）
A．千米时，两家公司的租车费用相同；
B．千米时，甲公司的租车费用为元；
C．千米时，甲公司的费用比乙公司低；
D．千米时，两公司的租车费用相差150元．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象看两个函数的交点所对应的自变量的取值是多少即可解答，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【详解】解：根据图象可知：相交于，当时，的图象在的图象上方，当时，的图象在的图象上方，
A、每月行驶1500千米时，两家公司的租车费用相同，正确，故选项不符合题意；
B、设关于的函数关系式为，
由题意得：，
解得：，
，
∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为（元），
∴每月行驶750千米时，甲公司的租车费用为150元，正确，故选项不符合题意；
C、每月行驶超过1500千米时，租用甲公司的费用比乙公司低，故选项不符合题意；
D、设关于的函数关系式为，
由题意得：，
解得：，
，
∴每月行驶3000千米时，
，
，
（元），
∴租用乙公司的租车费用比甲公司多100元，故选项符合题意；
故选：D．
4．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降时，此时石块在水里
B．当时，F拉力与之间的函数表达式为
C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是
D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了函数图象读取相关信息，一次函数的应用，求函数解析式，观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题．
【详解】解：A、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意；
B、设，代入，得，故B不符合题意；
C、将，代入，，，故C不符合题意；
D、将时，代入，得，，故D符合题意，
故选：D．
5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则的面积为________．
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，计算三角形的面积，求出一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．通过求直线与坐标轴的交点坐标，得到点A和点B的坐标，进而利用三角形面积公式求解．
【详解】解：当时，代入，得，解得，
所以，点A的坐标为，，
当时，代入，得，
所以点B的坐标为，，
因为是直角三角形，
所以的面积为．
故答案为4．
6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）某品牌鞋子的长度与鞋子的码数(码)之间满足一次函数关系．如果码鞋子的长度为，码鞋子的长度为，那么长度为的鞋子码数是_________码．
【答案】38
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数关系；设，代入得出，再把代入计算即可．
【详解】解：设，
代入得：
，
解得：，
所以
∴当时，，
解得：，
故答案为：38．
7．（24-25八年级下·上海松江·期中）直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点，将绕点顺时针旋转得到，若点，那么点的坐标为___________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据旋转的性质求解、已知两点坐标求两点距离、一次函数与几何综合
【分析】此题考查了一次函数与几何综合，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
设，根据题意得到，然后代入求解即可．
【详解】解：直线与轴、轴分别交于、两点，为线段上一点
∴设
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
∴
解得
∴．
故答案为：．
8．（24-25八年级下·上海·月考）某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y（元）与上网时间x（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高_________元．
【答案】8
【难度】0.65
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意正确设出一次函数的解析式是解题的关键．设方式A的函数关系式为，方式B的函数关系式为，由图象得，当时，，求出的值，再令，求出此时的值即可解答．
【详解】解：设方式A的函数关系式为，方式B的函数关系式为，
由图象得，当时，，
，
整理得：，
当时，
，
如果一个月上网300分钟，那么方式B产生的费用比方式A高8元．
故答案为：8．
9．（24-25八年级下·上海·月考）某公司在“”四川汶川大地震中车辆损失严重，重建急需用车，但暂时又无力购车，于是准备与出租车公司签订租车合同．以每月行驶千米计算，甲出租车公司的月租车费用为元，乙出租车公司的月租车费用为元，如果，，这两个函数的图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)如果每月用车的行驶路程为千米，那么租用哪家公司的车合算？请说明理由．
【答案】(1)
(2)租用甲出租车公司合算
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，解题关键是会用待定系数法求一次函数解析式．
（1）根据待定系数法求一次函数解析式方法，将点、代入解析式即可；
（2）利用已知得函数的图象经过点，求出，得出答案即可．
【详解】（1）解：设函数的解析式为．
根据题意，函数的图象经过点、，
得：，
解得：，
所以函数的解析式为；
（2）设函数的解析式为．
根据题意，得函数的图象经过点，
∴，
解得：，
当时，，
，
∴．
∴如果每月用车的行驶路程为千米，应租用甲出租车公司．
10．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1)求点和点的坐标以及的长；
(2)求点和点的坐标；
(3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1),，
(2),
(3)或
【难度】0.65
【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键．
（1）令，求出；令，求出；继而求出；
（2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（3）存在；由，可得，可求出，进而可求点坐标．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
；
令，则，
；
，，
；
（2）解：由折叠的性质可知，，，
则，
；
设，
则，，
，
解得：，
；
（3）解：轴上存在一点，使得，理由如下：
，
，
解得：，
点的坐标为或．
11．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元，
(1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____．
(2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值．
(3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查不等式，函数关系的运用，理解数量关系正确列式求解是关键．
（1）根据乙家优惠活动计算即可；
（2）根据题意，分别得到甲家付款金额，乙家付款金额，由此列式求解即可；
（3）根据两家的优惠方法，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：乙商店所购商品接原价每满200元减50元，购买商品原价为元，，
∴；
（2）解：顾客购买原价在350元以下的商品，
∴在甲家付款金额为元，在乙家付款金额为元，
∴，
解得，，
∴顾客购买原价为元；
（3）解：顾客购买原价在600元以下的商品，
∴在甲家付款金额为元，
当时，在乙家付款金额为元，
当时，在乙家付款金额为元，
当时，在乙家付款金额为元，
①∵，即在乙家付款大于甲家付款，
∴，不符合题意；
②当时，，
解得，，
∴；
③当时，，
解得，，
∴；
综上所述，当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算．
12．（24-25八年级下·上海·期中）定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是
(1)将“特征数”是的函数图像向下平移5个单位，得到一个新函数，求这个新函数的解析式．
(2)在（1）中，平移前的函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，平移后的函数与y轴交于C点，D、C两点关于平移前的函数对称，若四边形是正方形，求D、E的坐标．
(3)若“特征数”是的函数与y轴交于A，“特征数”是的函数与“特征数”是的函数的交点P，点G在x轴上，M在“特征数”是的函数图像上，A、P、G、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M坐标．
【答案】(1)
(2)、或
(3)或或
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）根据题意得“特征数”是的函数解析式为，再根据一次函数图象的平移规律求解即可；
（2）根据正方形的性质和平行线定理得点E在一次函数的图象上，分别令、求得、、、，过点C作轴，则轴，证得，进而求得，
再利用的面积求得，过点G作轴于点N，利用面积公式和勾股定理求得，，设，再利用中点坐标公式求解即可，设，利用两点间的距离公式求解即可；
（3）由题意求得，，设，，分类讨论：是平行四边形的对角线或是对角线时或为对角线时，利用中点坐标公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，“特征数”是的函数解析式为，
∵将此函数图像向下平移5个单位，得到新函数的解析式；
（2）解：如图，∵垂直平分，一次函数的图象与一次函数的图象平行，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴点E在一次函数的图象上，
∵点D、C关于一次函数图象对称，
∴垂直平分，
把代入得，，
∴，
把代入得，，解得，
∴，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
，
过点C作轴，则轴，
∴，，
∴，
又∵，
，
∵垂直平分，四边形是正方形，
∴，
又，
，
∴，
，
，
∵，
，
∴，
过点G作轴于点N，
∵，
∴，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
设，
∴，
解得或，
当时，，
满足，
∴或；
（3）解：如图，由题意得，“特征数”是的函数解析式为，
∴，
∵“特征数”是的函数解析式为，“特征数”是的函数解析式为，
∴联立方程组得，解得，
∴，
由题意得，点P与点M在一次函数的图象上，
设，，
∴当是平行四边形的对角线时，
∴，解得，
∴，
当为对角线时，
∴，解得，
∴，
当为对角线时，，解得，，
，
综上所述，或或．
【点睛】本题考查新定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点间的距离公式、一次函数与二元一次方程组、平行四边形的性质、平行线的性质、正方形的性质、一次函数的平移规律，理解新定义是解题的关键．
13．（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示．
(1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求乙比甲早几分钟到达终点？
【答案】(1)
(2)6分钟
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
设线段的表达式为：，
把，代入得：
，
解得：，
即线段的表达式为：，
（2）解：线段可知：甲的速度为：（米/分），
乙的步行速度为：（米/分），
在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：（米），
与终点的距离为：（米），
相遇后，到达终点甲所用的时间为：（分），
相遇后，到达终点乙所用的时间为：（分），（分），
答：乙比甲早6分钟到达终点．
14．（24-25八年级下·上海宝山·期末）为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．）
(1)小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示：
①求y关于x的函数解析式（不写定义域）；
②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？
(2)小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速．
【答案】(1)①②不一致，160
(2)该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为
【难度】0.65
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、分式方程的其它实际问题
【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，利用待定系数法求函数解析式，列分式方程解决实际问题等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，并找出等量关系列出方程．
（1）①利用待定系数法即可求出函数解析式；
②求出实际流速进行比较即可，利用待定系数法求出正比例函数，代入求值即可；
（2）假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为，根据等量关系列出分式方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：①假设函数解析式为，
将代入解析式得，
，
解得，
∴函数解析式为；
②不一致，理由如下：
当函数值为0时，
，
解得，
，
，
，
所以，液体A的实际流速是否与设定流速不一致，
假设液体A的实际流速为，设定流速为，，
将代入上式得，，
解得，
∴
当时，代入得，
，
，
所以，应该把旋钮式输液器的流速设定为160毫升/小时；
（2）解：假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为，
根据题意得，
解方程得，
经检验，是分式方程的解，并符合题意，
此时，，
所以，该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为．
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