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26.3 反比例函数应用及综合 优等生讲义
(9大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 反比例函数比例系数的几何意义，能利用面积关系求 k 值或图形面积。
掌握 一次函数与反比例函数图象的综合判断，能根据图象确定函数解析式、交点坐标及不等式解集。
熟练解决 一次函数与反比例函数的交点问题，能联立方程求交点，并利用交点解决几何问题。
能运用 反比例函数解决实际问题（如工程、行程、消毒、漂洗等），建立函数模型并求解。
体会 数形结合、分类讨论、方程思想在函数综合题中的应用，提升综合解题能力。
知识梳理 · 核心概念与定理
☆反比例函数比例系数 k 的几何意义
过双曲线 上任意一点 作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。
连接该点与原点，与坐标轴围成的直角三角形面积为 。
常用于已知面积求k值，或已知k求图形面积，常结合点的坐标特征（如横纵坐标差）列方程求解。
☆一次函数与反比例函数图象综合
图象特征：一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中，根据 的符号可判断图象的大致位置。
交点问题：联立方程组 ，转化为一元二次方程求解，交点个数由判别式决定。
不等式解集：根据图象上下位置确定 或 的解集，交点横坐标为分界点。
☆反比例函数与几何综合
常结合三角形、矩形、梯形等图形，利用点坐标表示线段长，建立方程求解。
涉及面积时，通常利用 的几何意义或割补法。
等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题的处理：设出关键点坐标（注意点在曲线上），根据几何性质（如边相等、垂直、中点等）列方程求解，注意分类讨论。
中点坐标公式、两点间距离公式、勾股定理是常用工具。
☆实际问题与反比例函数
常见模型：工程问题（工作量=效率×时间）、行程问题（路程=速度×时间）、物理问题（压强、浮力）、消毒问题（药物浓度随时间变化）、漂洗问题（残留量随次数变化）等。
解题步骤：①分析题意，找出两个变量之间的反比例关系；②设出解析式 ；③代入已知数据求出；④利用解析式解决具体问题（如求值、解不等式、求最值等）。
☆反比例函数综合题常见思想方法
数形结合：利用图象直观分析函数值大小、交点情况。
分类讨论：涉及动点、存在性问题时，需按不同情况讨论。
方程思想：通过设未知数、列方程求解。
转化思想：将几何问题转化为代数问题，将面积问题转化为k的几何意义。
☆知识总结表
类别 核心内容 常用方法/公式
k 的几何意义 矩形面积 =，三角形面积 = 设点坐标，利用面积列方程
一次函数与反比例函数图象 根据 判断象限、增减性 交点：联立方程；不等式：图象上下位置
反比例函数与几何综合 三角形、平行四边形存在性，线段长度，面积 中点公式、距离公式、勾股定理、分类讨论
实际问题 工程、行程、消毒、漂洗等 待定系数法求解析式，解不等式或方程
核心考点 · 9类题型精讲
【考点1】已知比例系数求特殊图形的面积（题1-4）
知识点/方法
直接利用 的几何意义：过双曲线上一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ，三角形面积为 。
若图形不是规则三角形或矩形，可通过割补法转化为规则图形求解。
已知横纵坐标差等条件时，常设点坐标，利用坐标差列方程求a，再求面积。
1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数 的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，则四边形是矩形，设点，其中，依题意得点，则，由此解出，进而得点，点，然后再分别求出，，，由此可得的面积．
【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示：
，
∴四边形是矩形，
∵反比例函数 的图象经过点A，
∴设点A的坐标为，其中，
又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2，
∴点B的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，
∵反比例函数的图象经过点B，
，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴点，点，
，
∵四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
故选：．
2．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图像上有一点，使的面积为10，则点的坐标是______．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点，反比例函数与面积，先求出，得到，反比例函数解析式为，再设，最后由列方程求解即可．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像交于点，
∴设，反比例函数解析式为，
∵过点作轴，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
把代入反比例函数解析式得，解得，
∴反比例函数解析式为，
∴设，
∴，
∵的面积为10，
∴，
解得或，
∴或，
故答案为：或．
3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合
【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝（）上不同的三点，轴，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F
∴，，
∴
∴
故答案为：B．
4．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出．
【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为，
∴，
∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为，
∴、，
∴，
，
，
∴
．
故答案为：．
【考点2】根据图形面积求比例系数（解析式）（题5-9）
知识点/方法
由k的几何意义：（三角形）或 （矩形），注意符号由象限决定。
若图形由多个部分组成，需根据面积关系列方程，结合函数解析式求解。
注意分类讨论：当点在不同象限时，的符号不同。
5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）直线与反比例函数图象交于A、B两点，过A作轴于C，面积为2，则反比例函数比例系数k为（）．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解答本题的关键．
直接反比例函数k值的几何意义求解即可．
【详解】解：∵直线与反比例函数图象交于A、B两点，面积为2，
设反比例函数的解析式为，
∴，即，
∴结合选项可知：B选项符合题意．
故选B．
6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，对称的性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
先求出一次函数解析式为，作于，于，由反比例函数，一次函数都是关于直线对称，则，，，记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，又由对称性可知：，，，，通过性质求出点坐标，然后代入，最后解方程即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，即点的坐标为，
令一次函数中，则，
∴，即，
∴一次函数解析式为，
作于，于，如下图所示，
∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称，
∴，，，
记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，
∴，
由对称性可知：，，，，
∴，
∴，
∴点坐标，代入直线得，
整理得，
∴或，
∵，
∴，
故答案为：．
7．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键，根据甲同学的说法确定，得到反比例函数解析式即可．
【详解】解：根据题意，满足甲同学说法的反比例函数解析式为：，
故答案为：．
8．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数与几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的面积公式可得，再将点代入计算即可得．
【详解】解：设点的坐标为，
∵轴，且点在第二象限，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
将点代入反比例函数得：，
故答案为：．
9．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、反比例函数的性质，根据甲同学的说法确定，再根据乙同学的说法确定，继而得到反比例函数的解析式即可．掌握反比例函数比例系数的几何意义及反比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
根据甲同学的说法可得：，
∴，
根据乙同学的说法可知：，
∴，
∴根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式是．
故答案为：．
【考点3】一次函数与反比例函数图象综合判断（题10-13）
知识点/方法
根据 的符号确定一次函数图象的位置（象限、增减性、与y轴交点）。
反比例函数图象的位置由k的符号决定：在一、三象限，在二、四象限。
结合图象特征（如交点、渐近线）排除错误选项。
10．（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键．
根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限，
∵ ，一次函数，
∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升），
令，得，
∵ ，
∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴，
结合选项，只有D符合上述特征．
故选：D．
11．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象与一次函数图象的性质是解题的关键．
根据反比例函数与一次函数的图象的性质分析当不同取值时，反比例函数图象与一次函数图象所在的象限，然后根据给出的图象进行判断即可．
【详解】解：当时，
∵反比例函数的系数，一次函数，其中，
∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、三、四象限，
∴选项B符合题意；
当时，
∵反比例函数的系数，一次函数，其中，
∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，
∴选项中没有图象符合．
故选：B．
12．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)，或
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键求出函数解析式，利用数形结合的思想，
（1）在中，，，再用待定系数法即可求解；
（2）求出点D坐标，观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
故点A、B的坐标分别为、，
将点A、B的坐标代入直线的表达式得，，
解得：，
故直线的表达式为；
当时，，
点C的坐标为，
将点C的坐标代入反比例函数表达式得，
解得：，
故反比例函数的解析式；
（2）解：直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D，
联立，
解得：或 ，
点C在第一象限，点D在第三象限，
点D坐标为，
观察图象知，当时，x的取值范围是或．
13．（24-25八年级上·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．
(1)求上述正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，写出的取值范围．
【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)
【难度】0.85
【知识点】求反比例函数解析式、正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识，并数形结合．
（1）分别代入和 中，求出、，即可求解；
（2）根据图像求解即可．
【详解】（1）解：分别代入和 中，
得到：，，
解得：，，
正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由图可知，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，．
【考点4】一次函数与反比例函数的交点问题（题14-17）
知识点/方法
求交点：联立两个函数解析式，解方程组，通常化为一元二次方程求解。
利用交点在函数图象上，代入求参数（如k,b）。
根据对称性：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称。
结合图象求不等式解集：图象上方的点函数值大。
14．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
(1)求k与m的值；
(2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、解一元二次方程——配方法
【分析】该题考查了一次函数和反比例函数交点问题．
（1）将代入一次函数求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求解即可．
（2）联立一次函数和反比例函数解析式即可解答．
【详解】（1）解：把代入得，
∴．
把代入得．
（2）解：联立得，
即，
解得或，
当时，，
．
15．（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，解题关键是掌握待定系数法求解函数解析式．
依据题意，将A代入，求出a，再通过待定系数法可以得解．
【详解】解：将代入得，
∴点A坐标为．
将代入得，
∴反比例函数解析式为．
16．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上．
(1)求点、的坐标；
(2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象平移问题、坐标与图形综合
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数上点的坐标特征、一次函数解析式的求解以及一次函数的平移性质．
（1）先利用反比例函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标确定直线的解析式，最后将点的纵坐标代入直线解析式求出点的坐标；
（2）由直线的解析式得到，结合，根据同位角相等判定轴，从而得到点的横坐标与点相同，再代入反比例函数求出点的坐标；最后设出平移后直线的解析式，代入点的坐标求出参数．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴代入得，故.
∵直线过点，
∴，解得
∴直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴代入得，故；
（2）解：如图，点在点右侧，设点，
∵，
∴点到两坐标轴的距离相等，
∴.
∵，
∴轴，
∴点的横坐标与点的横坐标相同，即点的横坐标为，
∴将代入，得，
∴点的坐标为.
设平移后所得直线的解析式为，
将点代入解析式，得，解得，
∴平移后所得直线的表达式为．
17．（25-26八年级上·上海·月考）观察反比例函数的图像可以发现直线是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图像时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是________．
【答案】13
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数综合，根据可得反比例函数上横纵坐标均为整数的点有八个，分别位于四条经过原点的直线上，计算这四条直线斜率的和即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象上横纵坐标都为整数的点有，，
设经过点的正比例函数解析式为，
∴，
∴，
∴经过点的正比例函数解析式为，
同理可得经过点的正比例函数解析式为，
经过点的正比例函数解析式为，
经过点的正比例函数解析式为，
由正比例函数和反比例函数的对称性可知，横纵坐标互为相反数的两个点所在的直线一定经过原点，则这8个点分别在经过原点的四条直线上，
∴这四条直线的斜率的和是，
故答案为：．
【考点5】一次函数与反比例函数的其他综合应用（题18-21）
知识点/方法
涉及线段长度、三角形面积、直角三角形存在性等问题时，常设关键点坐标，利用距离公式、面积公式列方程。
注意分类讨论（如直角三角形需分不同顶点为直角）。
利用中点坐标公式、全等三角形性质等几何工具。
18．（24-25九年级下·上海黄浦·月考）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是__________
【答案】/0.75
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的其他综合应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数(为常数，)的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即．
作轴，轴，与交于，先利用一次函数图像上点的坐标特征得到，得为等腰直角三角形，则，所以，且为等腰直角三角形，则，设点坐标为，则点坐标为，根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，解得，这样可确定点坐标为，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征得到．
【详解】解：如图：作轴，轴，与交于，
由直线可知点坐标为点坐标为，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点横坐标为，代入，则纵坐标是，则的坐标是：，点坐标为，
∴，
解得，
∴点坐标为，
∵双曲线过点两点，
，
故答案为：．
19．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．
(1)求双曲线的表达式；
(2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值．
【答案】(1)
(2)4
【难度】0.85
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合：
（1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解；
（2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可．
【详解】（1）解：直线经过点，
把，代入，解得．
所以点A的坐标为．
把，代入，得∶
，解得，
∴双曲线的表达式为；
（2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12，
点B的横坐标为12．
又点B在双曲线上，
点B的坐标为．
直线与直线交于点C，与双曲线交于点D，
可设点C的坐标为．点D的坐标为，
∵，
∴
解得：（负舍）．
∵，
的值为4．
20．（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为或
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解；
（2）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：设点，
∵点是的中点，，
∴，
解得：，
∴点，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）设点D的坐标为，
∵点，
∴，，
，
由题意知，则分两种情况讨论：
①当是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为；
②当是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∵当时，与重合，故舍去，
∴点D的坐标为．
综上所述：点D的坐标为或．
21．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点．
(1)求反比例函数的解析式
(2)点B在x轴上，且，反比例函数图像上有一点C，且，求点C坐标．
(3)在（2）的条件下，连接，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用、因式分解法解一元二次方程、求反比例函数解析式
【分析】（1）先求解，再把代入反比例函数解析式，从而可得答案；
（2）过点A作于D，根据等腰三角形三线合一可得，求出B点坐标，利用两点间距离公式表示出、和，根据利用勾股定理列出方程，解方程即可解决问题；
（3）如图，延长与轴交于点，求解直线为；可得，利用，再计算即可．
【详解】（1）解：将点代入，得：，
∴，
将点代入得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点A作于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设点C坐标为，
则，
，
，
∵，
∴，
即，
整理得：，
解得：或，
经检验，：或均是分式方程的解，
∵，
∴，
∴点C坐标为；
（3）如图，延长与轴交于点，
∵，，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为；
当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理以及解分式方程和一元二次方程等知识，灵活运用相关知识进行推理计算是解答本题的关键．
【考点6】反比例函数与几何综合（题22-25）
知识点/方法
设点坐标（注意点在曲线上），用参数表示线段长度、面积等。
利用k 的几何意义简化面积计算。
结合平行四边形、菱形、等腰三角形等性质列方程求解，注意分类讨论。
22．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形的性质，旋转的性质，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意画出图像，先证明四边形是平行四边形，易得，在中利用三线合一得到，利用面积即可求解．
【详解】解：根据题意画出图像得，
过点作于点，
，，
根据旋转得，，，，
，
四边形是平行四边形，
易知，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
23．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在直角坐标平面内，函数（）的图象在同一个象限内经过两点，且．过点B作y轴的垂线，垂足为点C，连接，若，则点B的坐标是_____．
【答案】或
【难度】0.85
【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度，根据三角形的面积列出方程是解决问题的关键．首先求出反比例函数的表达式为，设点B的坐标为，过点A作于点D，则，由得，，由此解出m即可得点B的坐标．
【详解】解：∵函数的图象经过，
，
∴该函数的表达式为：，
∵点B在反比例函数的图象上，
设点B的坐标为，
轴于点C，则，
过点A作于点D，如图所示：
∵点，
，
，
，
，
，
由，解得：，
由，解得：m=1，
当时，点B的坐标为，
当时，点B的坐标为．
综上所述：点B的坐标为或，
故答案为：或．
24．（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．
(1)求的值；
(2)若双曲线上的点的纵坐标为8，求的面积．
【答案】(1)8
(2)15
【难度】0.85
【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式
【分析】（1）求出点A代入解析式得到的值,即可解答；
（2）求出点C，再根据割补法即可求三角形的面积．
本题考查了求反比例函数以及反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．
把代入，
得，
∴，
把代入，
得，
解得；
（2）解：如图,过A、C点分别作x轴、y轴的垂线垂足为G、E,两垂线交于点F,则四边形是矩形，
由（1）得，
在中，当时，，
即，
∴
．
25．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求k和m的值；
(2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标．
(3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【难度】0.65
【知识点】反比例函数与几何综合、因式分解法解一元二次方程、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，平行四边形的性质，学会构建方程组确定交点坐标，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）分别将点B和点A的坐标代入中可得，，即可得反比例函数的解析式；
（2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，设点D的坐标为 ，利用面积和与差即可解答；
（3）先根据平移可得函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：，分三种情况：①如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等，②如图3，四边形是平行四边形，③如图4，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答．
【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，
设点D的坐标为 ，
∵，
∴，
，
，
，，
经检验均是方程的解，
∴点D的坐标为；
（3）由题意得：函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：，
当时，，
∴，
分三种情况：
如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等，
∴设，，
∵，
∴，
解得：（舍），，
经检验：是原方程的解，
∴；
如图3，四边形是平行四边形，
由①知，，
∴，
∴，（舍），
经检验：是原方程的解，
∴点P的坐标为；
③如图4，四边形是平行四边形，
∵B，C关于原点对称，
∴P，Q关于原点对称，
设点Q的坐标为，则点P的坐标为，
∵点P在直线上，
∴，
解得：，，
经检验：，是原方程的解，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或．
【考点7】实际问题与反比例函数（题26-29）
知识点/方法
根据题意判断两个变量是否成反比例，设解析式 。
代入已知数据求k，得到函数关系式。
根据实际问题要求，解方程或不等式，注意自变量的实际意义（如为正数、整数等）。
26．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径，高线长，则h关于r的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】根据题意有：，即；故与之间的函数图象为反比例函数，且根据，实际意义得，应大于0，其图象在第一象限．即可得出结果．考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
【详解】解：，
．
故选：B．
27．（25-26八年级上·上海·月考）阅读材料，回答问题：如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设）都在某个函数的定义域内，并且，，也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角函数”．
(1)试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”．
(2)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明：如果不是，请举出反例．
【答案】(1)
见解析
(2)
不是“保三角函数”，反例见解析
【难度】0.65
【知识点】实际问题与反比例函数、三角形三边关系的应用、正比例函数的定义
【分析】本题考查了新定义“保三角函数”的理解与应用，解题的关键是利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）结合函数性质分析．
（1）设正比例函数，由三角形三边关系，结合证，即证最长边小于其它两边之和即可；
（2）举反例，取满足的三角形三边，验证．
【详解】（1）证明：设正比例函数为（），
任取三角形三边，满足，
，
，，，
，
又，
故能构成三角形，
即比例系数大于零的正比例函数是“保三角函数”．
（2）解：不是“保三角函数”，反例取三角形三边，，，满足，
但，，，不满足三角形三边关系，
故不是“保三角函数”．
28．（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分．
(1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域；
(2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段：
解析式为，自变量取值范围 ．
(2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差．
【难度】0.4
【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键．
（1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域．
（2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内．
【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得
，
解得，，
∴，自变量取值范围 ．
衰减段：设解析式为，代入得
，
∴解析式为，自变量取值范围 ．
（2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）．
当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10．
当 时，有，
，
，
解得或（舍去），
经检验，是原分式方程的解．
∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差．
29．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足．
(1)___________；用含m的代数式表示：___________．
(2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？
甲：___________；乙：___________
(3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由．
【答案】(1)100，
(2)打6折促销，优惠100元
(3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠．
【难度】0.65
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型．
（1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系；
（2）根据（1）的结论和图象即可得出结果；
（3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可．
【详解】（1）解：把代入中，得，
由于始终为0.4，即，
；
故答案为：100，；
（2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时
甲家商场采取的促销方案是：打6折促销，
乙家商场采取的促销方案是：优惠100元，
故答案为：打6折促销，优惠100元；
（3）解：由（2）题可知，
当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元，
当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多，
再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠．
【考点8】一次函数与反比例函数的实际应用（题30-34）
知识点/方法
常见题型：消毒问题、行程问题、工程问题等，往往涉及分段函数（一次函数+反比例函数）。
根据图象信息，用待定系数法求出各段解析式。
结合问题要求（如不低于某个值、不超过某个值）列方程或不等式求解。
30．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
【难度】0.85
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、含30度角的直角三角形
【分析】（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解；
（2）设，设点到距离为，根据已知条件可知，则，，所以，即，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数，
∴，解方程得，，
∴，设反比例函数解析式为，
∴，解方程得，，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：设，设点到距离为，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，解方程得，，，
∴，．
【点睛】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．
31．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）．
(1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式；
(2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）；
(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？
【答案】(1)当时，，当时，
(2)
(3)5
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式；
（2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可；
（3）利用分别得出x的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：当时，将代入得：，
∴在新技术改造阶段的函数关系式为：，
当时，将代入得：，则，
即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上，
∴，
当时，该厂的利润在反比例函数上，
∴，
当时，该厂的利润在一次函数上，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）解：对于，当时，，
对于，当时，，
∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月，
∴该厂资金紧张期共有5个月．
32．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求x的值；
(3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：（），利用待定系数法求解；
（2）将分别代入和求解即可．
（3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
根据题意得：，解得：，
∴（），
当时，设y与x的函数关系式为：（），
由图像可知：，
∴．
∴y与x的函数关系式为：，
综上所述：y与x的函数关系式为：．
（2）解：当时，代入得：，解得：，
代入得，解得：．
（3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒，
理由如下：
根据（2）可得，当时，或，
，
∴这次“药熏消毒”是有效消毒．
33．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示．
信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效．
(1)直接写出m，n的值；
(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：
(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？
【答案】(1)，
(2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟
(3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、从函数的图象获取信息、由反比例函数值求自变量
【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，；
（2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可；
（3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可；
本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意知，．
（2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系，
∴设，
把点代入中，得，解得，
∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，
∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效，
药物燃烧时，当时，，
∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效；
∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，
∴设反比例函数式为，
把点代入中，得，
∴反比例函数式为，
药物燃烧完成后，当时，，
∴（），
∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟．
（3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，
把代入中，解得，
即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室．
34．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
(3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室
(3)有效，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键．
（1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式；
（2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答；
（3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，
将点代入中得：
解得：
∴反比例函数的表达式为
把代入中得：，
解得：
∴
反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
解得：
∴正比例函数的表达式为
（2）解：将代入中得：，
解得：，
∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室．
（3）解：有效，
理由：把将代入中得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴此次消毒有效．
【考点9】创新及压轴题（题1-5）
知识点/方法
新定义问题：理解定义（如“派生点”、“保三角函数”），转化为常规函数问题求解。
综合题往往结合方程、不等式、几何变换（旋转、平移）、最值等，需灵活运用各种思想方法。
解题策略：数形结合，分类讨论，方程思想，从复杂图形中分离出基本模型。
1．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强 …… ……
接触面积 …… ……
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强（）
(1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；
(2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细．
（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值．
（2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积．
【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．
设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
将代入，得，
地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
（2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，，
答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米．
2．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg） … 10 12 15 20 30 …
速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 …
(1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；
(2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式；
(3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量．
【答案】(1)见解析
(2)反比例函数关系，
(3)12千克
【难度】0.65
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）依据题意，连线即可作图得解；
（2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解；
（3）依据题意， 8分钟内将货物运送至2400米，从而（米/秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解．
【详解】（1）解：由题意，连线作图如下．
（2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系，
∴可设，
又∵图象过，
∴．
∴，
代入上式，均符合．
∴函数关系式为．
（3）解：由题意，∵8分钟内将货物运送至2400米，
∴（米/秒）．
∴此时机器狗能承载的最大货物重量（千克）．
答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克．
3．（24-25九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．

(1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标；
(2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，，
(2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析
【难度】0.85
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用：
（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标；
（2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．
【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：
，解得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
；
（2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下：
设当时，的解析式为，将、代入得：
，
解得，
的解析式为，
在中，当时，，
在中，当时，，
时，注意力指标都不低于32，
∵，
陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32．
4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点的坐标为或
【难度】0.4
【知识点】求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式；
点评
（2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式；
（3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可．
【详解】（1）解：点在直线，
，
，
点在第一象限，且点的纵坐标为，
将点代入直线，
，
；
（2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图，
，
，
，
由旋转可知，，
，
，，
，
设直线的函数解析式为，
，即，
直线的函数解析式为；
（3）解：如图，
，，
，
，即，
，
设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：，
，，，
，，
，解得或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键．
5．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点．
(1)求b的值和点B的坐标；
(2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标；
(3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或
【难度】0.4
【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的其他综合应用、因式分解法解一元二次方程
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；
（2）过点P作轴于点E，设点P的坐标为，则，根据，得到关于m的方程，即可；
（3）设点D的坐标为，点Q的坐标为，分三种情况：若以为对角线时，若以为对角线时，若以为对角线时，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为，
当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，过点P作轴于点E，

设点P的坐标为，则，
对于，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∵，的面积等于10，
∴，
解得：（舍去），
∴点P的坐标为；
（3）解：设点D的坐标为，点Q的坐标为，
若以为对角线时，
，解得：，
∴点Q的坐标为；此时，共线，经检验不符合题意；
若以为对角线时，
，解得：，经检验符合题意；
∴点Q的坐标为；
若以为对角线时，
，解得：，经检验符合题意；
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，中点坐标公式的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
随堂检测 · 精选练习
检测1 一次函数与反比例函数图象综合判断（求不等式解集）
检测2 一次函数与反比例函数的交点问题（代数式求值，利用对称性）
检测3 新定义问题（一次函数与反比例函数的交点，求最短边长度）
检测4 一次函数与反比例函数的交点问题（求另一个交点坐标）
检测5 反比例函数与几何综合（阴影部分面积求和）
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________．
【答案】或．
【难度】0.85
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决本题的关键．结合图象，找到一次函数在反比例函数上方时对应自变量x的取值范围即可．
【详解】解：由图象可以看出当或时，一次函数图象在反比例函数上方，所以当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
2．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________．
【答案】256
【难度】0.85
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的交点性质及代数式化简求值，解题的关键是利用交点的对称性和反比例函数的性质进行推导．
先根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，再结合反比例函数的性质，对代数式进行化简求值．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，将其与双曲线联立，可得，整理得，
由于正比例函数与双曲线的交点关于原点对称，所以，
又因为点在双曲线上，所以，
将代入，可得
原式
，
把代入上式，可得，
故答案为：256．
3．（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】先画简易图象，并求解函数的交点坐标，再利用勾股定理求解三边的长度，从而可得答案.
【详解】解：如图，
当时，，解得：，
∴，
当时，，解得：，
∴，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
，
∴，
∴的最短边长度为；
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，新定义的含义，理解题意是解本题的关键.
4．（24-25八年级上·上海·月考）已知直线与双曲线相交于点，那么它们的另一个交点为______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解决本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的交点．先把点分别代入两函数关系式，列出方程组，求出、的值，代入函数解析式，再解关于两函数组成的方程组即可．
【详解】解：把点分别代入两函数关系式得，
，解得，
故一次函数为①，
反比例函数为②，
①②联立解得，，
经检验符合解析式，
故该直线与双曲线的另一个交点为．
故答案为：．
5．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，在反比例函数（）的图像上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则__________________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键．
【详解】
解：由题意，可知点坐标分别为： ．
解法一：
∵，
，
，
∴．
解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，
∴．
故答案为：．
课后巩固 · 核心作业
题1 已知比例系数求特殊图形的面积（k的几何意义）
题2 根据图形面积求比例系数（全等三角形）
题3 一次函数与反比例函数图象综合判断
题4 一次函数与反比例函数的交点问题（利用图象解不等式）
题5 一次函数与反比例函数的其他综合应用（正比例与反比例综合）
题6 一次函数与反比例函数的其他综合应用（求k值）
题7 一次函数与反比例函数的交点问题（利用图象解不等式）
题8 一次函数与反比例函数的交点问题（求k值）
题9 一次函数与反比例函数的交点问题（求不等式解集）
题10 一次函数与反比例函数的其他综合应用（平移与面积）
题11 反比例函数与几何综合（等腰直角三角形判定）
题12 实际问题与反比例函数（甲醛问题，增长率）
题13 实际问题与反比例函数（骑行问题）
题14 一次函数与反比例函数的实际应用（大棚温度问题）
题15 实际问题与反比例函数（漂洗问题）
※ 复习建议熟练掌握反比例函数k的几何意义，能灵活用于面积问题；重视一次函数与反比例函数图象的交点及不等式解集；对于实际应用题，关键是从图象或表格中获取信息，准确建立函数模型。
1．（24-25八年级上·上海·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，根据题意得出，再结合反比例函数的图象在第一象限，得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，
，
，
反比例函数的图象在第一象限，
，
，
故选：C．
2．（24-25八年级下·全国·期末）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了反比例系数的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标的特征．过作轴于，证明，求得，，得到，即可确定的值．
【详解】解：过作轴于，如图：
轴，轴，
，
，
，点是的中点，
，
，
，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故选：C．
3．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像，根据一次函数与反比例函数的图像特点进行判断即可．
【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图像均不符合；
当时，一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项C的图像符合．
故选：C
4．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，根据函数图象确定不等式的解集，利用数形结合的思想是解题的关键．函数值，即函数图象在函数图象下方时，所对应的横坐标的取值范围，借助图象即可求解．
【详解】解：由题意得，，
当函数值，即函数图象在函数图象下方时，所对应的横坐标的取值范围，
∴由图象可得：或，
故选：C．
5．（2025·安徽宿州·一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数相交于A，C两点，点A的横坐标为－4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①；②不等式的解集为－44；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】求出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数解析式即可求出k值，然后对①进行判断；根据正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称可得点C的坐标，然后利用函数图象得出不等式的解集，进而对②进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义求出△ABO的面积，进而可得△ABC的面积，然后对③进行判断．
【详解】解：当x＝－4时，，
∴点A的坐标为，
将A代入y＝kx得：2＝－4k，
解得：，①正确；
∵正比例函数y＝kx与反比例函数相交于A，C两点，点A的坐标为，
∴点C的坐标为，
由函数图象可得不等式的解集为：－44，②正确；
∵，点A、C到x轴的距离相等，
∴，③错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的图象和性质以及反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
6．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______．
【答案】5
【难度】0.85
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数的几何意义，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程．
【详解】解：直线分别交轴、轴于点、，
则，
设点坐标为，
∵点分别是直线与的交点，
当时，，
，
当时，，
，
，
，
，
则，
解得，，
，
，
故答案为：5．
7．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质．
先求得n的值，然后观察函数图象即可求解．
【详解】解：由题意可得，
解得，
∴，
观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
8．（2025·上海闵行·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么__________．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，关键在于求出交点坐标．
【详解】解：将点A坐标代入反比例函数得：.
∴.
∴，
将点A坐标代入正比例函数得：.
∴.
故答案为：.
9．（24-25八年级上·上海·月考）反比例函数与一次函数的图像交于两点的横坐标分别是，则关于的不等式的解集的范围是______．
【答案】或．
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求关于x的不等式的解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的下方所对应的自变量x取值范围问题，即可得解，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解决此题的关键．
【详解】解：由题意画图如下，
观察图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为：或，
故答案为：或．
10．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图像上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图像上．

(1)求点A、B坐标．
(2)联结并延长，交反比例函数的图像于点，求．
【答案】(1)，
(2)6
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合运用．
（1）由反比例函数关系式求出点A，再由点A平移得到点B的坐标，将点B代入反比例函数表达式即可求解；
（2）根据反比例函数图象与性质可得点B与点C关于原点对称，从而得到点C的坐标，由A、C的坐标，运用待定系数法即可求得直线的解析式，进而得到直线与y轴的交点D的坐标，作轴，轴，再由即可求解．
【详解】（1）∵点在反比例函数上的图像上，
∴，
解得，
∴点A的坐标为，
∵点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，
∴点B的坐标为，
∵恰好落在反比例函数的图像上，
∴，
解得
∴点B的坐标为．
（2）由反比例函数性质可得点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得
∴直线的解析式为，
令，则，
∴直线与y轴的交点D的坐标为，
过点作轴于点E，过点作轴于点F，
∵，，，，

∴
．
11．（24-25八年级上·上海·月考）如图，正比例函数 与反比例函数 的图像相交于点A，其中点A 的横坐标为2，点C 是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作 ，轴，垂足分别为点D、点E．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果，求点 D的坐标；
(3)取的中点M，连结，试判断的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)是等腰直角三角形
【难度】0.65
【知识点】反比例函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、斜边的中线等于斜边的一半、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）根据点在上，且横坐标为2，求出点，再代入即可求解．
（2）根据题意求出点，在中，求出，设，表示出，，在中，根据，列出方程求出，即可求解．
（3）在中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出 ， 根据等边对等角得出，，再根据直线是第一，三象限角平分线，证出，即可得出是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：∵点在上，且横坐标为2，
，
把代入得，
；
（2）解：∵轴，且，
点横坐标为4，
在中，令，则，
，
在中，，
，
∵点D在直线上，设，
，
，，
在中，，
即，
整理得，
解得：（舍去，不符合题意），，
，
．
（3）解：是等腰直角三角形．
理由如下：在中，为斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
设，
，
∵，
∴，
设，
，
，
∵直线是第一，三象限角平分线，
，
即，
∴，
∴是直角三角形，
综上：是等腰直角三角形．
【点睛】该题考查了反比例函数解析式求解，反比例函数和正比例函数交点问题，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
12．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题：
(1)施工过程中关于的函数解析式是______；
(2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
(3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到）
【答案】(1)
(2)个月
(3)
【难度】0.65
【知识点】实际问题与反比例函数、增长率问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图象获得所需信息是解题关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出反比例函数解析式为，当时，，解得，即可求出答案；
（3）当时，，当时，，设这个降低的百分率为，根据题意得到一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）当时，设直线解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以施工过程中关于的函数解析式是，
（2）当时，设此阶段关于的函数解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以施工结束后关于的函数解析式为，
当时，，解得，
答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住；
（3）当时，，
当时，，
设这个降低的百分率为，根据题意得，
，
解得或（不合题意，舍去）
∴这个降低的百分率为．
13．（24-25八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表：
v（千米/小时） 15 20 25 30
t（小时） 2 1
(1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
(2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由；
(3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围．
【答案】(1)
(2)不能，理由详见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式．
（1）由表中数据可得，从而得出结论；
（2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论；
（3）根据和t的取值范围得出结论．
【详解】（1）解：根据表中数据可知，，
，
平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由：
从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时，
当时，（千米/时），
骑行速度不超过40千米/小时，
骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地；
（3），
当时，，
解得，
平均速度v的取值范围为．
14．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？
【答案】(1)20摄氏度
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可．
本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，
根据题意，可得，
解得，
直线，
当时，，
恒定温度为：；
（2）由（1）可知：一次函数解析式为，
根据图象可知：，
设小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
，
函数解析式为：，
小时函数解析式为：；
（3）解：当时，，
，
故最多关闭．
15．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加的洗衣粉数量不变．实验发现，每次漂洗用水量（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量（克）与漂洗次数（次）满足（为常数）．
已知使用升水，漂洗次后，衣服中残留的洗衣粉量为克，请回答下列问题：
(1)求的值；
(2)如果每次用水升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于克，那么至少要漂洗多少次？
【答案】(1)的值为
(2)至少要漂洗次
【难度】0.65
【知识点】实际问题与反比例函数、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解一元一次不等式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）将，，代入，计算即可求解．
（2）把，代入中，根据题意可得，即，由为正整数，即可得的最小值为，即可求解．
【详解】（1）解：当，，时，，
解得：，
∴的值为．
（2）解：根据题意，代入中，
即，
又∵要求漂洗后残留的洗衣粉量小于克，为正整数，
∴，
即，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最小值为．
答：至少要漂洗次．
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26.3 反比例函数应用及综合 优等生讲义
(9大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 反比例函数比例系数的几何意义，能利用面积关系求 k 值或图形面积。
掌握 一次函数与反比例函数图象的综合判断，能根据图象确定函数解析式、交点坐标及不等式解集。
熟练解决 一次函数与反比例函数的交点问题，能联立方程求交点，并利用交点解决几何问题。
能运用 反比例函数解决实际问题（如工程、行程、消毒、漂洗等），建立函数模型并求解。
体会 数形结合、分类讨论、方程思想在函数综合题中的应用，提升综合解题能力。
知识梳理 · 核心概念与定理
☆反比例函数比例系数 k 的几何意义
过双曲线 上任意一点 作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。
连接该点与原点，与坐标轴围成的直角三角形面积为 。
常用于已知面积求k值，或已知k求图形面积，常结合点的坐标特征（如横纵坐标差）列方程求解。
☆一次函数与反比例函数图象综合
图象特征：一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中，根据 的符号可判断图象的大致位置。
交点问题：联立方程组 ，转化为一元二次方程求解，交点个数由判别式决定。
不等式解集：根据图象上下位置确定 或 的解集，交点横坐标为分界点。
☆反比例函数与几何综合
常结合三角形、矩形、梯形等图形，利用点坐标表示线段长，建立方程求解。
涉及面积时，通常利用 的几何意义或割补法。
等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题的处理：设出关键点坐标（注意点在曲线上），根据几何性质（如边相等、垂直、中点等）列方程求解，注意分类讨论。
中点坐标公式、两点间距离公式、勾股定理是常用工具。
☆实际问题与反比例函数
常见模型：工程问题（工作量=效率×时间）、行程问题（路程=速度×时间）、物理问题（压强、浮力）、消毒问题（药物浓度随时间变化）、漂洗问题（残留量随次数变化）等。
解题步骤：①分析题意，找出两个变量之间的反比例关系；②设出解析式 ；③代入已知数据求出；④利用解析式解决具体问题（如求值、解不等式、求最值等）。
☆反比例函数综合题常见思想方法
数形结合：利用图象直观分析函数值大小、交点情况。
分类讨论：涉及动点、存在性问题时，需按不同情况讨论。
方程思想：通过设未知数、列方程求解。
转化思想：将几何问题转化为代数问题，将面积问题转化为k的几何意义。
☆知识总结表
类别 核心内容 常用方法/公式
k 的几何意义 矩形面积 =，三角形面积 = 设点坐标，利用面积列方程
一次函数与反比例函数图象 根据 判断象限、增减性 交点：联立方程；不等式：图象上下位置
反比例函数与几何综合 三角形、平行四边形存在性，线段长度，面积 中点公式、距离公式、勾股定理、分类讨论
实际问题 工程、行程、消毒、漂洗等 待定系数法求解析式，解不等式或方程
核心考点 · 9类题型精讲
【考点1】已知比例系数求特殊图形的面积（题1-4）
知识点/方法
直接利用 的几何意义：过双曲线上一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ，三角形面积为 。
若图形不是规则三角形或矩形，可通过割补法转化为规则图形求解。
已知横纵坐标差等条件时，常设点坐标，利用坐标差列方程求a，再求面积。
1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数 的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图像上有一点，使的面积为10，则点的坐标是______．
3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________．
【考点2】根据图形面积求比例系数（解析式）（题5-9）
知识点/方法
由k的几何意义：（三角形）或 （矩形），注意符号由象限决定。
若图形由多个部分组成，需根据面积关系列方程，结合函数解析式求解。
注意分类讨论：当点在不同象限时，的符号不同。
5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）直线与反比例函数图象交于A、B两点，过A作轴于C，面积为2，则反比例函数比例系数k为（）．
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______．
7．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向轴，轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是________．
8．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________．
9．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______．
【考点3】一次函数与反比例函数图象综合判断（题10-13）
知识点/方法
根据 的符号确定一次函数图象的位置（象限、增减性、与y轴交点）。
反比例函数图象的位置由k的符号决定：在一、三象限，在二、四象限。
结合图象特征（如交点、渐近线）排除错误选项。
10．（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围．
13．（24-25八年级上·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．
(1)求上述正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，写出的取值范围．
【考点4】一次函数与反比例函数的交点问题（题14-17）
知识点/方法
求交点：联立两个函数解析式，解方程组，通常化为一元二次方程求解。
利用交点在函数图象上，代入求参数（如k,b）。
根据对称性：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称。
结合图象求不等式解集：图象上方的点函数值大。
14．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
(1)求k与m的值；
(2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标．
15．（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式．
16．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上．
(1)求点、的坐标；
(2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式．
17．（25-26八年级上·上海·月考）观察反比例函数的图像可以发现直线是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图像时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是________．
【考点5】一次函数与反比例函数的其他综合应用（题18-21）
知识点/方法
涉及线段长度、三角形面积、直角三角形存在性等问题时，常设关键点坐标，利用距离公式、面积公式列方程。
注意分类讨论（如直角三角形需分不同顶点为直角）。
利用中点坐标公式、全等三角形性质等几何工具。
18．（24-25九年级下·上海黄浦·月考）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是__________
19．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．
(1)求双曲线的表达式；
(2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值．
20．（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标．
21．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点．
(1)求反比例函数的解析式
(2)点B在x轴上，且，反比例函数图像上有一点C，且，求点C坐标．
(3)在（2）的条件下，连接，，求的面积．
【考点6】反比例函数与几何综合（题22-25）
知识点/方法
设点坐标（注意点在曲线上），用参数表示线段长度、面积等。
利用k 的几何意义简化面积计算。
结合平行四边形、菱形、等腰三角形等性质列方程求解，注意分类讨论。
22．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______．
23．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在直角坐标平面内，函数（）的图象在同一个象限内经过两点，且．过点B作y轴的垂线，垂足为点C，连接，若，则点B的坐标是_____．
24．（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．
(1)求的值；
(2)若双曲线上的点的纵坐标为8，求的面积．
25．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求k和m的值；
(2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标．
(3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标．
【考点7】实际问题与反比例函数（题26-29）
知识点/方法
根据题意判断两个变量是否成反比例，设解析式 。
代入已知数据求k，得到函数关系式。
根据实际问题要求，解方程或不等式，注意自变量的实际意义（如为正数、整数等）。
26．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径，高线长，则h关于r的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D．
27．（25-26八年级上·上海·月考）阅读材料，回答问题：如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设）都在某个函数的定义域内，并且，，也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角函数”．
(1)试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”．
(2)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明：如果不是，请举出反例．
28．（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分．
(1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域；
(2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由．
29．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足．
(1)___________；用含m的代数式表示：___________．
(2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？
甲：___________；乙：___________
(3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由．
【考点8】一次函数与反比例函数的实际应用（题30-34）
知识点/方法
常见题型：消毒问题、行程问题、工程问题等，往往涉及分段函数（一次函数+反比例函数）。
根据图象信息，用待定系数法求出各段解析式。
结合问题要求（如不低于某个值、不超过某个值）列方程或不等式求解。
30．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
31．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）．
(1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式；
(2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）；
(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？
32．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求x的值；
(3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由．
33．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示．
信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效．
(1)直接写出m，n的值；
(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：
(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？
34．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
(3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【考点9】创新及压轴题（题1-5）
知识点/方法
新定义问题：理解定义（如“派生点”、“保三角函数”），转化为常规函数问题求解。
综合题往往结合方程、不等式、几何变换（旋转、平移）、最值等，需灵活运用各种思想方法。
解题策略：数形结合，分类讨论，方程思想，从复杂图形中分离出基本模型。
1．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强 …… ……
接触面积 …… ……
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强（）
(1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；
(2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
2．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg） … 10 12 15 20 30 …
速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 …
(1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；
(2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式；
(3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量．
3．（24-25九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．

(1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标；
(2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．
4．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．
5．（24-25八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点．
(1)求b的值和点B的坐标；
(2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标；
(3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
随堂检测 · 精选练习
检测1 一次函数与反比例函数图象综合判断（求不等式解集）
检测2 一次函数与反比例函数的交点问题（代数式求值，利用对称性）
检测3 新定义问题（一次函数与反比例函数的交点，求最短边长度）
检测4 一次函数与反比例函数的交点问题（求另一个交点坐标）
检测5 反比例函数与几何综合（阴影部分面积求和）
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________．
2．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________．
3．（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为______．
4．（24-25八年级上·上海·月考）已知直线与双曲线相交于点，那么它们的另一个交点为______．
5．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，在反比例函数（）的图像上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则__________________．
课后巩固 · 核心作业
题1 已知比例系数求特殊图形的面积（k的几何意义）
题2 根据图形面积求比例系数（全等三角形）
题3 一次函数与反比例函数图象综合判断
题4 一次函数与反比例函数的交点问题（利用图象解不等式）
题5 一次函数与反比例函数的其他综合应用（正比例与反比例综合）
题6 一次函数与反比例函数的其他综合应用（求k值）
题7 一次函数与反比例函数的交点问题（利用图象解不等式）
题8 一次函数与反比例函数的交点问题（求k值）
题9 一次函数与反比例函数的交点问题（求不等式解集）
题10 一次函数与反比例函数的其他综合应用（平移与面积）
题11 反比例函数与几何综合（等腰直角三角形判定）
题12 实际问题与反比例函数（甲醛问题，增长率）
题13 实际问题与反比例函数（骑行问题）
题14 一次函数与反比例函数的实际应用（大棚温度问题）
题15 实际问题与反比例函数（漂洗问题）
※ 复习建议熟练掌握反比例函数k的几何意义，能灵活用于面积问题；重视一次函数与反比例函数图象的交点及不等式解集；对于实际应用题，关键是从图象或表格中获取信息，准确建立函数模型。
1．（24-25八年级上·上海·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．（24-25八年级下·全国·期末）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
5．（2025·安徽宿州·一模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数相交于A，C两点，点A的横坐标为－4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①；②不等式的解集为－44；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______．
7．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为_______．
8．（2025·上海闵行·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么__________．
9．（24-25八年级上·上海·月考）反比例函数与一次函数的图像交于两点的横坐标分别是，则关于的不等式的解集的范围是______．
10．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图像上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图像上．

(1)求点A、B坐标．
(2)联结并延长，交反比例函数的图像于点，求．
11．（24-25八年级上·上海·月考）如图，正比例函数 与反比例函数 的图像相交于点A，其中点A 的横坐标为2，点C 是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作 ，轴，垂足分别为点D、点E．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如果，求点 D的坐标；
(3)取的中点M，连结，试判断的形状，并证明你的结论．
12．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题：
(1)施工过程中关于的函数解析式是______；
(2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
(3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到）
13．（24-25八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表：
v（千米/小时） 15 20 25 30
t（小时） 2 1
(1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
(2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由；
(3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围．
14．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？
15．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加的洗衣粉数量不变．实验发现，每次漂洗用水量（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量（克）与漂洗次数（次）满足（为常数）．
已知使用升水，漂洗次后，衣服中残留的洗衣粉量为克，请回答下列问题：
(1)求的值；
(2)如果每次用水升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于克，那么至少要漂洗多少次？
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