资源简介

第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
第 1 课时 二次根式的概念
教学设计
教学目标
课题 19.1 第1课时 二次根式的概念 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级下册第十九章《二次根式》的开篇第一课时，是在学生掌握平方根、算术平方根概念及运算的基础上，对代数式的进一步拓展。教材通过实际问题引出二次根式的具体形式，逐步抽象出二次根式的定义，围绕概念展开有无意义的条件、字母取值范围等核心内容，层层递进、循序渐进。本节课既是对前期实数、代数式知识的延伸，也是后续学习二次根式性质、运算及应用的基础，承载着衔接旧知、渗透分类讨论思想、培养学生规范解题习惯的重要作用，符合初中数学“由具体到抽象、由浅入深”的认知规律。
学情分析 八年级学生已掌握平方根、算术平方根的概念及不等式的基本解法，具备一定的抽象思维和运算能力，能初步运用旧知解决简单问题。但学生对“二次根式”这一新代数式的形式特征理解易片面，容易忽略被开方数非负的条件；在求含字母的二次根式取值范围时，难以全面考虑分母不为零等附加条件，推理和全面思考能力有待提升。学生思维活跃，适合通过实例探究、对应训练突破难点，逐步培养规范解题和全面思考的习惯。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象出二次根式的概念，通过几何直观感知二次根式的形式特征，培养创新思维，能识别二次根式。 2. 数学思维：在求字母取值范围时，运用运算能力解不等式（组），通过推理意识判断二次根式有无意义。 3. 数学语言：运用模型意识建立不等式模型解决取值范围问题，增强应用意识，能用规范数学语言表述二次根式概念及取值条件。
素养目标 1.理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式，感悟利用数学符号表示实际问题的意义. 2.理解二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想. 3.会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用不等式(组)模型来培养全面思考问题的正确习惯.
教学重点 二次根式的识别，理解二次根式有意义的条件.
教学难点 会求二次根式中字母的取值范围.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习回顾，旧知启发 【知识回顾】 1.16的平方根是 ±4 ,算术平方根是 4 . 2.0的平方根是 0 ，算术平方根是 0 . 3.—2有没有平方根 有没有算术平方根 答：-2没有平方根，也没有算术平方根. 【教学建议】 学生代表独立回 答，教师提示并总结，引出二次根式的有关知识.
设计意图
引导学生回忆已学的内容，为突破本课时的难点做准备.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 1 二次根式的概念 阅读教材P2例1上方的部分，回答下列问题： 1.教材P2上方的思考中三个问题的答案依次为 2.上述三个式子有什么共同特征 答：它们表示一些正数的算术平方根. 3.什么样的式子叫作二次根式 二次根式是代数式吗 答：形如 的式子叫作二次根式.二次根式是代数式. 4.想一想：如果a<0，那么 是否为二次根式 答：不是. 【对应训练】 1.判断下列各式是否为二次根式. (3)6( × ) (6) (x,y异号)( × ) (8) ( × ) 2.教材P3练习第1题. 【教学建议】 学生思考，并完成相应的问题.老师应了解学生是否掌握上述问题的结果中式子的特点. 【教学建议】 学生独立思考并 完成，教师总结二次根式应满足两个条件：①形式 上 带 有“ ”;②被开方数是非负数(正数或0)，即a≥0.第 2 题是二次根式的应用，目的是感知二次根式的产生是实际的需要，注意开方应满足的条件.
设计意图
这里是利用开方开不尽的式子引出二次根式的概念.通过第2点，并结合复习回顾要引导学生说出只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根.通过第3，4点，要使学生理解二次根式的概念.
教学步骤 师生活动
设计意图 探究点 2 二次根式有意义的条件 阅读教材P2例1 及 P3上方的思考，回答下列问题： 1.确定式子. 中字母x的取值范围的依据是什么 解题步骤是什么 答：依据：二次根式的概念. 解题步骤:由x-2≥0,得x≥2.当x≥2时, 在实数范围内有意义. 2.(教材P3练习第2题)当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义 解:(1)a≥1;(2)a≤5;(3)a 为任意实数. 3.若 在实数范围内有意义，则x ≤0 . 【对应训练】 1.当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义 解:(1)x≥3;(2)x≤0;(3)全体实数; (4)x≠0;(5)x>0;(6)x≥0. 2.求二次根式中字母的取值范围时，其基本依据是什么 答：①被开方数大于等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零. 【教学建议】 学生独立思考， 解决问题，教师统一答案，教师关注如下问题： (1)学生对例1中 不等式得出的依据是否清楚. (2)确定二次根 式中被开方数所含字母的取值范围的一般步骤是：①根据 a≥0 的条件列不等式；②解不等式；③确定字母的取值范围. (3)指导学生分析 使 与 在实数范围内有意义的条件.
引导学生关注求二次根式有意义的条件的依据和解题步骤.
活动三：重点突破，提升探究 例 (1)若二次根式. 有意义,则x 的取值范围是 2≤x≤5 . (2)若二次根式 有意义，则x的值为 5 . 解析：(1)因为二次根式. 有意义，所以 所以2≤x≤5. (2)因为二次根式 有意义，所以 所以x=5. 【对应训练】 已知x，y为实数，且 求 的算术平方根. 解：因为x，y为实数， 所以 所以x=9.所以y=4. 所以 ，所以 的算术平方根为 【教学建议】 学生在独立思考 的基础上讨论解答.教师适时引导学生观察例题中两个二次根式的关系，特别提醒学生注意第(2)小题，可以发现两个二次根式的被开方数互为相反数，则这两个二次根式的值都等于0.
设计意图
巩固对二次根式有意义的条件的认知.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 本节课你学到了哪一类新的式子 二次根式有意义的条件是什么 二次根式与算术平方根有什么关系 【知识结构】 【作业布置】 1.教材 P5 习题19.1第1,5,6,7题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
2 名师教学设计
教学步骤 师生活动
板书设计 19.1二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.
教学反思 本节课属于概念数学，概念数学经历“引入概念——形成概念——深化概念”三个环节.本节课通过平方根的知识引入二次根式的概念，在解决用式子表示数量关系的过程中利用类比归纳的方法形成概念，再不断地通过实例分析深化概念. 本节课的重难点是对二次根式概念的理解，学生容易片面地理解概念，所以要将二次根式和前后的知识点联系起来，形成知识网络. 在教学过程中，教师要及时提出问题，让学生充分讨论，横向比较，然后一起总结二次根式概念当中的注意点.
备课素材
解题大招
解题大招一 二次根式的概念
(1)二次根式的概念是从式子的结构和形式上界定的，必须含有“”，如 是二次根式，而 就不是二次根式；(2)被开方数a可以是数也可以是整式或分式，但a 的值必须是非负数；(3)形如( 的式子也是二次根式，二次根号前面的因式若是带分数，书写时要写成假分数的形式，如 不可写成 的形式.
例1 下列式子： 其中，哪些是二次根式 哪些不是二次根式
解： 是二次根式； 不是二次根式.
解题大招二 求二次根式中字母的取值范围
(1)单个二次根式(如)有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加(如 )有意义的条件:A≥0且B≥0;(3)二次根式作为分式的“分母”时，有意义的条件：B>0；(4)二次根式与分式的和或积 或 有意义的条件：A≥0且B≠0；(5)零指数幂、负整数指数幂的底数不等于零；(6)根据实际问题得到的二次根式除了本身的限制条件外，还要考虑其实际意义.
例2 当x取何值时， 在实数范围内有意义
解：依题意，得 所以 且x≠-1.
所以当 且x≠-1时, 在实数范围内有意义.
注意：(1)在求二次根式的被开方数中字母的取值范围时，常将其转化为解不等式(组)的问题；
(2)在求与二次根式有关的字母的取值范围时，应把限制条件考虑全面.
培优计划
培优点 二次根式有意义的条件的应用
例1 (1)使式子 在实数范围内有意义的未知数x有 1 个；
(2)设m，n都是实数，且满足 求 的值.
解：(1)解析：由题意可得所以(x-5) ≤0.又( 所以 所以x=5.
故使式子 在实数范围内有意义的未知数x有1个.故答案为1.
(2)由题意，得 所以；m=-2,则 所以
例2 已知a 满足，求a的值.
解:由a-5≥0,得a≥5,所以4-a<0,所以|4-a|=a-4.
因为 所以 所以 所以a-5=16,所以a=21.

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