资源简介

19.2二次根式的乘法与除法
第 1 课时 二次根式的乘法
教学设计
教学目标
课题 19.2 第1课时二次根式的乘法 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级下册第十九章《二次根式》的重要课时，承接二次根式的概念与性质，是二次根式运算的开篇内容。教材以实际问题导入，通过实例探究引导学生总结二次根式乘法法则，再逆向推导积的算术平方根性质，围绕法则与性质展开计算、化简及实际应用，层层递进，贴合初中数学“探究—归纳—应用”的认知规律。本节课既是对二次根式性质的延伸，也是后续学习二次根式除法、加减及混合运算的基础，承载着渗透类比、转化思想，提升学生运算能力和化简意识的重要作用，是二次根式运算的核心铺垫。
学情分析 八年级学生已掌握二次根式的概念、性质及整式乘法运算，具备初步的抽象、推理和运算能力，能通过观察实例总结简单规律。但学生易混淆二次根式乘法法则与积的算术平方根性质的互逆关系，在运算中容易忽视被开方数非负的条件，化简时难以准确提取能开得尽方的因数（式），运算规范性不足。学生乐于参与探究活动，适合通过实例分析、对应训练突破难点，逐步掌握法则与性质的应用方法。
核心素养目标 1. 数学眼光：能通过实例抽象出二次根式乘法法则及积的算术平方根性质，借助几何直观感知两者关系，培养创新思维，识别法则与性质的应用场景。 2. 数学思维：运用运算能力进行二次根式乘法运算与化简，通过推理意识推导法则、验证性质互逆关系，培养严谨的运算思维。 3. 数学语言：运用模型意识迁移整式乘法经验探究新知，增强应用意识，能用规范数学语言表述法则、性质及运算步骤。
素养目标 1.理解和掌握二次根式的乘法法则： ,经历法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系. 2.理解和掌握积的算术平方根的性质： ,体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系. 3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简，提高学生的运算能力，初步要求计算结果达到求简意识.
教学重点 会利用积的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的乘法运算.
教学难点 二次根式的乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 如图，元元家有一块长方形菜地，长为 m,宽为 m，你能求出菜地的面积吗 【教学建议】 让 学 生 相互讨 论，教师说明学完本课时就可以解决这个问题，调动积极性.
设计意图
利用实际问题引入新课.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 1 二次根式的乘法法则 1.计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律 答：规律：(1)被开方数都是正数；(2)左边的两个二次根式的乘积等于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的乘积等于右边的一个二次根式的被开方数. 2.你能用字母表示你发现的规律吗 答：二次根式的乘法法则： 即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 3.(教材P6 例1)利用你发现的规律计算： 解： 【教学建议】 学生口答问题1 的填空，指定学生代表回答规律，教师补充完整.学生讨论问题2，教师板书总结，并提醒 (a≥0,b≥0)可以推广到多个二次根式的情况，如 c≥0).提醒学生二次根式的乘法可以类比单项式的乘法，如果有系数，就将系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘.
设计意图
引导学生观察总结出二次根式的乘法法则.
八年级数学下册7
教学步骤 师生活动
【对应训练】 1.下列各等式中成立的是(D) 2.计算: 3.教材P7 练习第 1题.
设计意图 探究点2 积的算术平方根的性质 把反过来，就得到 ，利用它可以进行二次根式的化简. 1. a，b的取值有什么特点 积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系 答：a，b都是非负数.积的算术平方根的性质是二次根式的乘法法则的逆用，可以用来化简二次根式. 2.(教材 P7例 2)化简: 解： (. 【对应训练】 教材P7 练习第 2题. 【教学建议】 指定学生代表回答，说明 (a≥0,b≥0)可以推广为右边是多个二次根式的情况，例如 (a≥0,b≥0,c≥0).
引导学生逆向思考，发现积的算术平方根的性质.
活动三：重点突破，提升探究 例1解答教材 P7 例3. 例2解答活动一中的问题. 解： . 故菜地的面积为 【对应训练】 1.化简的结果是(D) 2.计算: 解：( . 3.教材P7 练习第 3题. 【教学建议】 提醒学生：(1)在二次根式相乘的时候就可以考虑因数(式)分解，如由 直接可得 而不必先写成 (2)化简二次根式 时，先找出 ab 中最大的能开得尽方的因数(式)，再按公式化简；(3)能开得尽方的一定要开出来；(4)有带分数的先化为假分数.
设计意图
巩固对二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的理解.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 二次根式的乘法法则是什么 其逆向公式怎么表示 二次根式的乘法运算与化简要注意什么 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P11~12习题19.2第1,5,6,12,13题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
8 名师教学设计
教学步骤 师生活动
板书设计 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时 二次根式的乘法 1.二次根式的乘法法则： 2.积的算术平方根的性质：
教学反思 本节课的内容环环相扣，层层递进，最后要综合运用，前面理解不透就很可能导致后面无法下手，所以要特别注意帮助学生夯实基础.教学中可以多引导学生自己发现总结，互相讨论，以便让他们理解更深刻.
备课素材
解题大招
解题大招一 化简二次根式
(1)对被开方数进行因数或因式分解；
(2)分解后把能开得尽方的开出来.
例1 化简二次根式 的结果是(D)
B.
解析：根据题意，知 所以x<0，所以原式 ，故选 D.
注意：在利用积的算术平方根的性质化简时，一定不能忽视被开方数均为非负数的条件，不能犯这样的错误：
解题大招二 根据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质确定字母的取值范围
例2 等式 成立的条件是(C)
A. x≥4 B.x≥-5 C.-5≤x≤4 D.x≥-5或x≤4
解析：由题意，得 所以-5≤x≤4.故选C.
培优计划
培优点 二次根式乘法法则的灵活运用
例1 设x，y是有理数，且x，y满足等式. 则 的平方根是(A)
A.±1 B.±2 C.±3 D.±4
解析：因为x，y为有理数，所以x+2y为有理数.又. 所以 解得
所以 .因为1的平方根是±1，所以 的平方根是±1.故选 A.
例2 已知m 为正整数，若 是整数，则根据 可知m有最小值3×7=21.设n为正整数，若 是大于1的整数，则n的最小值为 3 ，最大值为 75 .
解析：因为 且为整数，所以n的最小值为3.
因为 是大于1的整数，所以 越小 越小，则n越大.
当 时 所以n=75.
经检验，n=75是原方程的解.故n的最大值为75.
故答案为3,75.
八年级数学下册 9

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