资源简介

第3 课时 最简二次根式
教学设计
教学目标
课题 19.2 第3课时最简二次根式 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级下册第十九章《二次根式》的核心课时，承接二次根式的乘除法运算，是对二次根式运算的规范与深化。教材以旧知运算结果为切入点，通过对比分析引出最简二次根式的概念，再结合二次根式的性质、乘除法法则，讲解最简二次根式的识别与化简方法，层层递进，贴合初中数学“观察—归纳—应用”的认知规律。本节课既是对二次根式运算的完善，也是后续学习二次根式加减、混合运算及实际应用的基础，承载着渗透转化思想、规范运算习惯、提升学生运算精准度的重要作用。
学情分析 八年级学生已掌握二次根式的概念、性质及乘除法法则，具备初步的抽象、推理和运算能力，能通过观察实例总结规律。但学生对最简二次根式的两个核心特征理解不够透彻，识别时易遗漏条件，化简中难以规范处理被开方数的分母和能开得尽方的因数（式），对因式分解在化简中的应用不够灵活。学生乐于参与探究活动，适合通过实例辨析、对应训练突破难点，逐步掌握最简二次根式的识别与化简方法，养成规范运算的习惯。
核心素养目标 1. 数学眼光：能从二次根式实例中抽象出最简二次根式的概念，借助几何直观感知其特征，培养创新思维，能准确识别最简二次根式。 2. 数学思维：运用运算能力将二次根式化为最简形式，通过推理意识判断最简二次根式、推导化简步骤，培养严谨思维。 3. 数学语言：运用模型意识迁移二次根式乘除法知识探究化简方法，增强应用意识，能用规范数学语言表述概念及化简步骤。
素养目标 1.理解最简二次根式的概念，利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算，感知数学转化思想的应用.2.能够判断一个二次根式是否为最简二次根式.
教学重点 最简二次根式的概念，最简二次根式的识别及运用.
教学难点 运用二次根式的性质把二次根式化成最简二次根式.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习回顾，旧知启发 【知识回顾】 1.请分别写出二次根式的乘法法则和除法法则. 二次根式的乘法法则： 二次根式的除法法则： 2.在前面的课时中，我们进行了二次根式的乘法、除法运算，得到的结果有 观察这些式子中的二次根式，可以发现，它们都具备相同的特点，本课时我们将对这一类二次根式进行探究学习. 【教学建议】 教师带领学生回 顾二次根式的乘除法法则，引导学生分析对比给出的二次根式的分母，根号内的因数(式)，为最简二次根式的引入做好铺垫.
设计意图
通过对给出的二次根式进行分析对比，发现它们所具备的特点，方便引入最简二次根式的概念.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 1 最简二次根式及其识别 1.活动一第2点中，列举的二次根式具有什么特点 答：观察发现，这些二次根式有如下两个特点：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 概念引入：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 2.判断下列二次根式是否为最简二次根式，并说明理由. 解:(3)(5)是最简二次根式,(1)(2)(4)(6)(7)不是最简二次根式.理由:(1)的被开方数中含有因数4，(4)的被开方数中含有因式a ，(2)(6)的被开方数中含有分母，(7)的被开方数经过因式分解后含有因式m . 【对应训练】 下列各式是最简二次根式的是(C) 【教学建议】 可 先 让学 生讨 论，再指定学生代表回答，教师进行总结.提醒学生根号下是小数时，先化成分数.
设计意图
引导学生发现总结最简二次根式的特点.
设计意图 应用积的算术平方根的性质与商的算术平方根的性质，把二次根式化成最简二次根式. 探究点2 把二次根式化成最简二次根式 1.观察 和 怎么去掉被开方数中的分母 答：综合利用分数的基本性质、商的算术平方根的性质.例如： (这里令分子、分母乘同一个数，使得分母变成完全平方数) 【教学建议】 根据最简二次根式的概念，教师引导学生总结把二次根式化成最简二次根式的步骤：①将被开方数化为最简分式或整式；
八年级数学下册13
教学步骤 师生活动
2.(教材 P9 例7)计算: 解:(1)解法 1：这里先用二次根式的除法法则，再用1 中方法) 解法2： (这里分子、分母乘同一个二次根式，使得分母变成有理数) 3.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： 解:(1)原式: (2)原式 (3)原式 (4)原式 4.计算: 解:(1)原式 (2)原式 (3)原式 【对应练习】 教材P10练习. ②利用分式的性质将分母化成完全平方数(式);③开方. 【教学建议】 教师 需 注 意强 调：二次根式计算及化简后的最终结果是最简二次根式，解题后需要对结果进行检查，避免在化简过程中出现遗漏.
活动三：重点突破，提升探究 例(1)已知最简二次根式. 与 的被开方数相同,则a+b= 8 ;(2)若二次根式 是最简二次根式，则x 可取的最小整数是 -2 . 【思路分析】 【对应训练】 已知二次根式 与 化成最简二次根式后，被开方数相同.若a 是正整数，则a的最小值为 5 . 【教学建议】 通常情况下，若一个二次根式为最简二次根式，根号内字母的取值不止一个，教师需要引导学生根据题目中的限定条件，找出最符合题意的结果.
设计意图
根据相关定义与已知条件，求出对应字母的值，强化对最简二次根式概念的理解.
14 名师教学设计
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：最简二次根式具有哪些特点 如何将一个二次根式化简为最简二次根式 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P11 习题19.2第4,8,9题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 19.2二次根式的乘法与除法 第3课时 最简二次根式 1.最简二次根式的概念. 2.把二次根式化为最简二次根式.
教学反思 本课时先对比观察前面课时中例题的计算结果，总结归纳其特点，引入最简二次根式的概念，再结合积和商的算术平方根的性质，为最简二次根式的化简提供依据.同时强调二次根式相关运算的结果需要化为最简形式，让学生养成规范答题的良好习惯.
备课素材
解题大招 解题大招 化为最简二次根式 (1)概念：符合下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 如： 不是最简二次根式，因为 是最简二次根式. (2)化简二次根式一般分三步： ①化去分母：如果被开方数是分数或分式，运用商的算术平方根的性质将其化成 的形式； ②能开则开：把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质把能开得尽平方的因数或因式开出来； ③化去分母中的根号：如果分母中含有根号，则运用分式的基本性质化去分母中的根号. 例 将 化为最简二次根式. 解 注意：化简时别犯这种错误 培优计划 培优点 因式分解在二次根式中的应用 例 (1)当x≥0,y≥0时,. 同理， (2)a,b均为非负数,且a≠b,化简
解：
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