资源简介

19.3二次根式的加法与减法
第 1课时 二次根式的加法与减法
教学设计
教学目标
课题 19.3 第1课时二次根式的加法与减法 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学二次根式章节的重要课时，承接最简二次根式知识，是二次根式混合运算的基础。教材以类比整式同类项合并为切入点，通过实例探究可合并二次根式的特征，逐步引导学生掌握二次根式加减的“化简—合并”步骤，结合生活实际问题（木板截取）提升应用能力，层层递进、贴合学生认知规律。本节课既巩固了最简二次根式的化简技能，又为后续二次根式混合运算铺垫，渗透类比、化归的数学思想，是衔接二次根式基础化简与综合运算的关键环节。
学情分析 八年级学生已掌握最简二次根式化简方法和整式同类项合并知识，具备初步的抽象、推理和运算能力，能通过类比探究新的运算规律。但学生对“可合并二次根式”的判断易忽略“先化简为最简二次根式”这一前提，加减运算中常出现化简不彻底、合并错误的问题，对二次根式估值解决实际问题的能力不足。学生适合通过实例辨析、类比迁移、分层练习突破难点，逐步规范解题步骤，提升运算能力。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象出可合并二次根式的特征，借助几何直观理解合并本质，运用创新思维类比整式加减探究二次根式加减方法。 2. 数学思维：具备二次根式加减运算能力，通过推理意识判断可合并二次根式、推导加减步骤，培养严谨运算思维。 3. 数学语言：运用模型意识迁移整式同类项合并知识，规范表述加减运算过程，增强应用意识，能用规范语言说明运算依据。
素养目标 1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式. 2.理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算. 3.通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良好学习习惯.
教学重点 二次根式加减法则的理解及应用.
教学难点 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾旧知，导入新课 【回顾导入】 1.观察下列两组二次根式，它们各有什么特征 答：第(1)组二次根式的被开方数相同，都是2，第(2)组二次根式的被开方数不同，但化简为最简二次根式后，被开方数相同，都是2. 2.复习回顾，感悟知识： (1)2x和5x 是 (填“是”或“不是”)同类项,所以2x+5x= 7x ; (2)3a 和-a 不是 (填“是”或“不是”)同类项，所以 类比整式的加减，被开方数相同的二次根式应该如何加减 被开方数不同的二次根式又该如何加减 本课时我们将进行相关知识的学习. 【教学建议】 对于第(2)组二 次根式学生可能无法直接找出特征规律，教师可提示学生先化简为最简二次根式.
设计意图
回顾最简二次根式的化简，类比整式的合并同类项，引入新课.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 1 可以合并的二次根式 思考(教材P13思考)：如何计算 与 的被开方数相同吗 你认为它们能否直接相加 答： 与 的被开方数不同，无法直接相加. 2.将 与 化为最简二次根式，看看它们可以合并吗 为什么 答： 可以合并.由于它们有共同的因数 ，可以利用分配律进行合并.即 归纳总结：可以合并的二次根式：化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式. 3.若 和最简二次根式可以合并,则m= 3 . 【对应训练】 1.下列各式中，能与 合并的是(D) 2.下列各组二次根式中，化简后能合并的是(D) A. 与 B. 与 C. 与 与 【教学建议】 提醒学生注意以 下两点： (1)在有理数范围 内成立的运算律，在实数范围内仍然成立. (2)辨别两个二 次根式能否合并，一定要先化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同，若相同则可以合并，若不同则不能合并.
设计意图
引导学生发现可以 合并的二次根式.
路
教学步骤 师生活动
设计意图 探究点 2 二次根式的加减 解答教材P13例1和例2，回答下列问题： 1.计算 并说明其中的依据. 解： .将 看成共同的因式，依据是分配律. 2.教材P13例1和例2的计算中先做了什么 后做了什么 答：先把每个二次根式化简成了最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式进行合并. 归纳总结：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并. 3.比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论 答：二次根式的加减，第一步是化简，第二步是合并被开方数相同的二次根式，第二步类似于整式的加减中的合并同类项. 【对应训练】 教材P14练习第1,2题. 【教学建议】 指定学生代表解 答，提醒学生在二次根式的加减中注意：(1)若被开方数中含有带分数或者小数，则要先化成(假)分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，特别注意需要变号的情况，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
引导学生掌握二次根式的加减的一般步骤.
活动三：重点突破，提升探究 例 (教材P14例3)有一块长为7.5d m、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 和18dm 的正方形木板 (1)截取的两块正方形木板的边长分别是多少 答：截取的两块正方形木板的边长分别是 dm和 (2)按如图方式截取正方形木板，原木板的长和宽分别需要满足什么条件 答：原木板的长需要大于( ，原木板的宽需要大于 (3)分析比较对应数据，你认为能否按要求截出相应的两块木板 解： 因为 ，所以 7.5.所以这块木板足够宽，也足够长.因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 8 dm 和18dm 的正方形木板. 【对应训练】 教材P14练习第3题. 【教学建议】 二次根式的估值 方法多种多样，若是比较大小，可直接用平方法；若估值精度要求不高，可直接判断二次根式位于哪两个整数之间；若估值精度要求较高，可利用计算器取近似值.
设计意图
利用二次根式的加减，并估计二次 根式 的近似值，解决生活中的实际问题.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么样的二次根式可以合并 二次根式的加减的一般步骤是怎样的 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P16习题19.3第1,2,4 题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 19.3二次根式的加法与减法 第1课时 二次根式的加法与减法 1.化简后被开方数相同的二次根式才可以合并. 2.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
教学反思 本节课从实际问题引出二次根式的加减，要注意引导学生自主探究，用合并同类项的方法来解决二次根式的加减.运算中的主要难点在于化简二次根式，教学中要注意找到学生不熟练的地方加以巩固.
备课素材
解题大招
解题大招一 可以合并的二次根式
例1 若最简二次根式与二次根式 可以合并，求a，b的值.
分析：先把 化简，再根据最简二次根式的概念和二次根式可以合并的条件，列方程组进行求解.
解：首先把二次根式化为最简二次根式，即
由题意，得 整理，得 解得
解题大招二 二次根式的加减
例2 已知 求 的值.
分析：首先将已知等式变形成两个完全平方式的和的形式，然后结合非负数的性质求出x，y的值.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，最后代入求值.
解：因为 所以 所以( 所以
原式 .
当 时，原式
解题大招三 二次根式的大小比较方法
比较二次根式的大小，通常有平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子有理化法等.
(1)运用平方法
如：比较3 和2 的大小.解：因为( 且18>12,所以
(2)运用作差法
如：比较3 和2 的大小.解：因为 ，所以
(3)运用作商法
如：比较： 和2 的大小.解：因为 所以
(4)运用倒数法
如：比较 与 的大小(其中n 为正整数).
解：因为
又n为正整数，所以 所以
(5)运用分子有理化法
如：比较 与 的大小.
解：因为 ,又 +所以 即
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