资源简介

第2课时 二次根式的混合运算
教学设计
教学目标
课题 19.3 第2课时二次根式的混合运算 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学二次根式章节的核心课时，承接二次根式的乘除法运算及最简二次根式知识，是对二次根式运算体系的完善与综合运用。教材以生活情境（梯形面积计算）导入，通过类比整式运算的分配律、乘法公式，引导学生探究二次根式混合运算的方法，层层递进设计探究内容，既巩固前期所学，又为后续复杂混合运算、实际应用奠定基础，是衔接二次根式基础运算与综合应用的关键课时，同时渗透类比、化归的数学思想。
学情分析 八年级学生已掌握二次根式的乘除法法则、最简二次根式概念，以及整式的运算律和乘法公式，具备初步的抽象、推理和运算能力。但学生在将整式运算知识迁移到二次根式混合运算时易出现混淆，对运算顺序、乘法公式的灵活运用掌握不足，且容易忽略被开方数的取值限制，解题规范性有待提升，适合通过类比探究、分层练习突破难点。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象出二次根式混合运算的规律，借助几何直观理解运算本质，运用创新思维类比整式运算探究混合运算方法，能识别运算场景。 2. 数学思维：具备二次根式混合运算能力，能通过推理意识推导运算步骤，严谨完成计算，培养逻辑推理能力。 3. 数学语言：能运用模型意识迁移整式运算（分配律、乘法公式），规范表述运算过程，增强应用意识，能用规范语言说明运算依据。
素养目标 1.正确进行二次根式的混合运算，灵活运用运算律、乘法公式使计算简便，掌握规范的解题过程，体会类比、化归等数学思想，培养学生知识迁移的能力. 2.经历观察、推理、类比、交流等数学活动过程，提高数学探究能力和归纳表达能力.
教学重点 二次根式的加、减、乘、除混合运算.
教学难点 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 生活中有许多梯形，比如足球球门的侧面.如果一个梯形的上、下底边长分别为2 ,4 高为 ，那么它的面积是多少 状状是这样算的： 梯形的面积： 他的做法正确吗 答：正确. 【教学建议】 让学生相互讨论， 可以引导学生利用计算器检验是否正确.
设计意图
借助梯形的面积导入新课的学习.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 二次根式的混合运算 1.对比(a+b)c= ac+ bc ,想一想( 成立的依据是什么 答：分配律. 2.类似地，参考 n)= am+ bm+ an+ bn,计算： ). 解:(1)原式 (2)原式: (3)原式: 【对应训练】 计算： 解:(1)原式 (2)原式: (3)原式= 【教学建议】 指定学生代表解 答，引导学生回忆整式乘法中的分配律，类比整式的乘法来计算.告诉学生在二次根式的运算中，整式的乘法法则仍然适用.
设计意图
引导学生类比整式学习二次根式的混合运算.
八年级数学下册 19
教学步骤 师生活动
设计意图 探究点 2 二次根式与乘法公式 1.对比( ，想想该怎么计算( 解： 2.类似地，参考( ，计算： 解:(1)原式 ; (2)原式=( 一 【对应训练】 计算： 解:(1)原式 (2)原式 ;(3)原式 (4)原式 (5)原式 【教学建议】 指定学生代表解答，引导学生回忆乘法公式，告诉学生在二次根式的运算中，乘法公式仍然适用.注意提醒学生将3 方时，要把 3 和 平方.
引导学生运用乘法公式进行二次根式的运算.
活动三：重点突破，提升探究 例1 计算： 解:(1)原式= (2)原式 (3)原式 例2已知a=3+2 ,b=3-2 ,求的值. 解： 所以 【对应训练】 1.计算: 解:(1)原式 (2)原式 (3)原式 2.先化简，再求值：其中 解：原式= . 当 时，原式= 【教学建议】 提醒学生二次根式的混合运算顺序与有理数相同：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.一般先将每个二次根式化为最简二次根式再计算(可根据式子特点灵活选择，比如例1(1)中的 和 就 没 有 先 化简)，最后将结果中的每一项化为最简二次根式或整式.
设计意图
帮助学生准确熟练地进行二次根式的混合运算.
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 以前学过的运算律、运算法则和乘法公式在二次根式的混合运算中依然适用吗 二次根式的混合运算最后的计算结果有什么要求 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P16习题19.3第3,5,6,7,8题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 19.3二次根式的加法与减法 第2课时 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算： 先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 2.运用乘法公式和运算律进行计算： 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用.
教学反思 本课时要将整式运算的知识迁移到二次根式中来，教学中先用类比的方式引导学生理解，再用练习帮助学生在实例中掌握.本课时可以说是本章所学内容的综合运用，通过检查可以估计本章教学的基本要求是否达到，关注有哪些不足的地方，以便后续复习时查漏补缺.
备课素材
解题大招
解题大招一 有理化因式的应用
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式.如： 是 的有理化因式； 是 的有理化因式.
例1 阅读材料，解答问题：
材料：已知 求 的值.
张山同学是这样解答的：
因为
所以
问题：已知
(1)求 的值; (2)求x 的值.
解:(1)因为( =21,所以
(2)由 得
所以30-x=25,所以x=5.经检验,x=5符合题意.故x的值为5.
解题大招二 分母有理化
把分母中的根号化去，通常是分子、分母同乘同一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的.
如
例2 在化简 时，甲、乙两位同学的解法如下：
甲
乙
则对甲、乙两人的解法的判断正确的是(B)
A.两人都对 B.甲错，乙对 C.甲对，乙错 D.两人都错
解析：当x=y时， 根据分式的基本性质可知甲的解法不正确，乙的解法正确，故选 B.
例3 阅读下列材料，然后回答问题：
(1)求 的值; (2)求 ((n为正整数)的值；
(3)计算
解
(3)原式= -1+ - + - +···+ - + - = -1=10-1=9.
解题大招三 二次根式的混合运算
注意：①在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律；②进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非负数(式).
例4 计算：
解析：原式 [( -2)( +2)] ×( +2)=(-1) ×( +2)= +2.
例5 已知 求 的值.
解：因为 所以 所以
所以原式
解题大招四 二次根式的求值
(1)变形后降次或整体求值
例6 已知 则代数式 的值为 —15 .
解析：因为 所以 所以 所以原式=x (x-1)-26x+5=(6x-4)(x-1)-26x+5=6x -10x+4-26x+5=6(6x-4)-36x+9=-15.故答案为-15.
(2)运用乘法公式 求值.
例7 已知
(1)求 的值;(2)求 的值.
解：因为 所以
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