资源简介

第2 课时 勾股定理的应用
教学设计
教学目标
课题 20.1 第2课时勾股定理的应用 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学勾股定理章节的核心应用课时，承接勾股定理的核心概念及基础运算，是对勾股定理知识的实际应用延伸。教材以生活中常见的场景（电视机屏幕尺寸、门框过木板、梯子滑动等）为载体，引导学生将实际问题转化为直角三角形问题，借助勾股定理求解，层层递进渗透转化思想、模型思想和方程思想。本节课既是对勾股定理核心知识的巩固，也是培养学生应用数学解决实际问题能力的关键环节，为后续解决复杂几何面积、折叠、动点问题奠定基础，贴合初中数学“理论联系实际”的教学理念。
学情分析 八年级学生已掌握勾股定理的基本内容和简单运算，具备初步的几何分析和推理能力，能识别简单的直角三角形。但学生在将实际问题抽象为直角三角形模型时存在困难，难以灵活运用勾股定理解决复杂场景问题，对方程思想在勾股定理中的应用掌握不足，阅读理解和空间想象能力有待提升。学生适合通过实例探究、分层练习，逐步掌握“实际问题→直角三角形模型→勾股定理求解”的思路，提升应用能力和推理严谨性。
核心素养目标 1. 数学眼光：能从实际场景抽象出直角三角形模型，借助几何直观感知应用场景，培养空间观念和创新思维。 2. 数学思维：具备运用勾股定理运算的能力，能通过推理分析解题思路，提升推理能力和运算严谨性。 3. 数学语言：运用模型观念构建直角三角形模型，规范表述解题过程，增强应用意识。
素养目标 1.进一步理解和掌握勾股定理. 2.能够利用勾股定理解决简单的实际问题. 3.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会转化思想、模型思想，形成应用意识.
教学重点 运用勾股定理解决实际问题.
教学难点 勾股定理的灵活应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 (教材P27练习第3题)电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸(1英寸=2.54cm)为单位.王芳测得自家电视机的屏幕宽为71cm，高为40cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸(结果取整数) 【教学建议】 让学生交流讨论， 引导学生回忆勾股定理的内容，再尝试解决问题.
设计意图
借助实际情境，激发学生的学习兴趣.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 勾股定理的应用 例1 (教材P26例2)一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么 分析： 解:连接AC,在 Rt△ABC 中,根据勾股定理, 所以 因为 AC 大于木板的宽 2.2m，所以木板能从门框内通过. 【教学建议】 让学生 交 流 讨 论，引导学生从实际生活的角度多方面考虑，从而分析出解决问题的关键条件：比较 AC 和木板的宽.教师总结：解决木板进门问题不仅需要考虑木板的长、宽和门的长、宽，有时还要考虑门的对角线.
设计意图
培养学生把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.
教学步骤 师生活动
例2 (教材P26例3)如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点B 到墙面的距离BO 为0.7m.如果将梯子底端沿OB 向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙AO 下滑0.8m吗 分析： 解：如图，当梯子底端沿OB 向外移动0.8m时，设梯子的底端由点 B 移动到点D,顶端由点 A 下滑到点 C.可以看出,AC=OA-OC. 在 Rt△AOB 中,根据勾股定理,( OA=2.4. 在 Rt△COD 中,根据勾股定理, OC=2. 所以,AC=OA-OC=2.4-2=0.4. 因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m，而是下滑0.4m. 【对应训练】 1.教材P27练习第1,2题. 2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上时，顶端距离地面 2m，那么小巷的宽度为(C) A.0.7m B.1.5m C.2.2m D.2.4m 【教学建议】 引导学生分析出 梯子顶端下滑的距离AC=OA-OC,从而需要先计算出 OA，OC 的长度.从题中抽象 出 Rt△AOB 和Rt△COD,分别利用勾股定理求出 OA,OC.
活动三：重点突破，提升探究 例3 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，求竹竿长与门高. 解：如图，设门高x尺，则竹竿长(x+1)尺. 根据勾股定理可得 即 解得x=7.5. 则x+1=8.5. 故竹竿长 8.5尺,门高 7.5 尺. 【对应训练】 如图，在树上距地面10m的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在 A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处先滑到地面B 处，再由 B 处跑到C 处，已知两只猴子所经过的路程都是15m，求树高AB. 解:根据题意,得BD=10m,BD+BC=AD+AC=15m,所以BC=5m. 设AD= xm,则AC=(15-x)m,AB=(10+x)m. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理可得. 即 ,解得x=2.所以 AB=12m. 答:树高 AB 为 12m. 【教学建议】 提醒学生：(1)在 实际生活中，树、竿、建筑等一般视为垂直于地面，从而可抽象出直角三角形模型；(2)当已知直角三角形两边的数量关系和第三边的长度时，一般设未知数，再借助勾股定理列方程求解.
设计意图
巩固用勾股定理解决实际问题的能力.
28 名师教学设计
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 想想生活中哪些场景可以利用勾股定理 只知道直角三角形一边的长和另两边的数量关系，怎样求出另两边的长 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P30~31习题20.1第2,3,4,5,9,10,12题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 20.1勾股定理及其应用 第2课时 勾股定理的应用 1.勾股定理的简单应用. 2.勾股定理中的方程思想.
教学反思 本节课以生活中常见的问题为例，引导学生想象、比较、分析，把实物抽象为直角三角形模型，再借助勾股定理来求解，充分培养学生把课本上的理论知识应用到实际生活中的能力.教学中发现学生的阅读理解和空间想象能力还有待提高，需要在后续的学习中加强.
备课素材
解题大招
解题大招一 利用勾股定理解决图形面积问题
例1 如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC=14,求△ABC的面积.
解:如图,过点A 作AD⊥BC于点D,设BD的长为x,则CD的长为14-x.
∵AD =AB -BD ,AD =AC -CD ,∴AB -BD =AC -CD ,
解得x
即△ABC 的面积是84.
例2 如图,在四边形ABCD 中,AB= ,BC=5- ,CD=6,∠ABC=135°,∠BCD=120°,求四边形ABCD 的面积.
解:如图,过点A 作AE⊥CB 交CB 的延长线于点 E,过点 D作DF⊥BC 交BC 的延长线于点 F.
∵∠ABE=180°-∠ABC=180°-135°=45°,∠DCF=180°-∠BCD=180°-120°=60°,
∴易知AE=1
又
由AE⊥EF,DF⊥EF,易知AE∥DF.∴四边形AEFD 是梯形.
∴S四边形ABCD=S梯形AEFD—S△ABE—S△CDF
解题大招二 利用勾股定理解决图形折叠问题
例3 如图,在长方形ABCD 中,E为AD上一点,将△CDE 沿CE 翻折至△CFE,EF 交AB 于点G,CF 交AB 于点H,且GA=GF.若CD=10,BC=6,则AE 的长是 .
解析:：由长方形和折叠的性质,可知∠A=∠D=∠F=90°,DE=EF,AD=BC=6,CF=CD=AB=10.
在△AGE 和△FGH 中, ∴△AGE≌△FGH(ASA),
∴AE=FH,GE=GH,∴AH=GA+GH=GF+GE=EF=DE.
设AE=FH=x,则AH=DE=AD-AE=BC-AE=6-x,∴BH=AB-AH=10-(6-x)=x+4,CH=CF-FH=10-x.
.故答案为
例4 如图,折叠长方形ABCD 的一边AD,使点 D 落在BC 边上的点F 处,AE 是折痕.
(1)若AB=4,AD=5,求折痕AE 的长;
(2)若 ,且CE:CF=3:4,求长方形ABCD 的周长.
解:(1)由折叠可知,AD=BC=AF=5,DE=EF,CD=AB=4,∠AFE=∠D=∠B=90°,∴BF== =3,∴CF=BC-BF=5-3=2.
设EF=DE=x,则CE=CD-DE=4-x.
解得
(2)设CE=3x(x>0),则(CF=4x,∴EF===5x,∴DE=EF=5x,∴AB=CD=DE+CE=8x. 设AF=AD=y(y>0),则BF=y-4x.
在Rt△ABF 中,AB +BF =AF ,∴(8x) +(y-4x) =y ,∴y=10x,∴AD=10x.
在 Rt△ADE 中, 解得 或 (舍去),
∴AD=10x=2,AB=8x= .∴长方形ABCD 的周长：为
培优计划
培优点 勾股定理与动点问题
例 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,AC=20cm,P,Q分别是△ABC的两边上的动点,其中点 P 从点A 开始沿A→B 方向运动，且速度为1cm/s；点Q 从点B 开始沿B→C→A 方向运动，且速度为2cm/s，它们同时出发，当一点到达终点时，另一点也随之停止，设出发的时间为 ts.
(1)BC= 12 cm.
(2)当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上 并求出此时CQ 的长.
(3)当点Q 在边AC上运动时，写出使△BCQ 成为等腰三角形时t的值.
解:(2)当点 P 在边AC 的垂直平分线上时,PC=PA=t cm,PB=AB—PA=(16—t) cm.在 Rt△BPC 中, 即 解得 易知此时点 Q 在边AC.上，
(3)①当CQ=BQ时,如图①,则∠C=∠CBQ.∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°.∵∠A+∠C=90°,∴∠A=
②当CQ=BC时,如图②,则BC+CQ=12+12=24(cm),∴t=24÷2=12;
③当BC=BQ时,如图③,过点 B 作BE⊥AC 于点E,则
综上所述，当t 的值为11或12或 时，△BCQ 为等腰三角形.

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